A. Chauffage d une maison en hiver

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1 Banque Agro - Véto A PHYSIQUE Durée : 3 heures 30 minutes L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet. L épreuve est constituée d un problème A et d un exercice B totalement indépendants. Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualité de la rédaction. A. Chauffage d une maison en hiver Ce problème propose l étude simplifiée du chauffage hivernal d une maison dans des conditions extrêmes. Dans un premier temps, les pertes thermiques à travers les parois sont calculées (I). Puis, la puissance électrique nécessaire au chauffage est évaluée (II). Enfin, la troisième partie présente le principe d un dispositif de préchauffage de l air, appelé puits canadien. Les trois parties sont largement indépendantes. Afin de simplifier l étude, le seul mode de transfert thermique pris en compte est la diffusion. Dans tout le problème, la température extérieure, T e, est uniforme et constante. La température intérieure de la maison, T i, est uniforme. La maison comporte une seule pièce qui est modélisée par un parallélépipède rectangle surmonté d un toit. Les éléments considérés dans la maison sont : Les murs, la porte et le toit dont la résistance thermique totale est notée R m ; Une seule fenêtre de surface s, dont les propriétés thermiques sont étudiées dans la première partie. Les pertes thermiques à travers le sol de la maison sont négligeables. Données : Température extérieure T e = 258, 15 K ( 15 C) Résistance thermique (mur, porte, toit) R m = 1, K.W 1 Surface de la fenêtre s = 5, 0 m 2 Conductivité thermique du verre λ v = 1, 0 W.m 1.K 1 Conductivité thermique de l air λ a = 2, W.m 1.K 1 Épaisseur des plaques de verre e = 5, 0 mm 1/10 TSVP

2 A.I- Évaluation des pertes thermiques Dans cette partie, la température intérieure de la maison est constante : T i = 298, 15 K (25 C). Les seules pertes considérées sont celles liées à la conduction thermique à travers les murs, la porte, le toit et la fenêtre. L étude est réalisée en régime permanent. A.I.1. Préliminaire : Analogie avec l électrocinétique. a) Expliciter brièvement une analogie entre diffusion thermique en régime permanent et électrocinétique. En particulier, préciser l analogue de la température et de la puissance thermique. b) Soient deux résistances électriques r 1 et r 2 en série (figure 1). Démontrer la formule donnant l expression de la tension U 2 en fonction de r 1, r 2 et de la tension totale U. i U 2 r 1 r 2 U Figure 1 : Résistances en série A.I.2. La résistance thermique R m est définie par R m = T i T e, où P m est la puissance thermique à travers les murs, la porte et le toit de la maison, orientée de l intérieur vers l extérieur. a) Pourquoi la résistance thermique est-elle toujours positive? b) Application numérique : calculer P m. A.I.3. Soit le conducteur solide cylindrique d axe Ox, de section S, de conductivité thermique λ et de longueur l dessiné figure 2. Le conducteur est en régime permanent et la température T(x) à l intérieur de ce dernier est supposée n être qu une fonction de x. On note T 0 = T(0) et T 1 = T(l). Les parois latérales du cylindre sont parfaitement isolées. P m T 0 T(x) T(x + dx) T 1 O x 0 x x + dx l Figure 2 : Conducteur cylindrique en régime permanent a) Donner la définition du vecteur densité de flux thermique j th. Énoncer la loi de Fourier. Commenter le signe de la conductivité thermique. b) Effectuer un bilan d énergie sur la portion infiniment petite du conducteur située entre x et x + dx. Déduire l expression de dt dx en fonction de T 0, T 1 et l. c) Démontrer l expression de la résistance thermique du cylindre, R th, en fonction de l, λ et S. 2/10

3 A.I.4. La fenêtre est constituée d une plaque de verre de surface s et d épaisseur e. La conductivité thermique du verre est notée λ v. Les pertes dues au cadre de la fenêtre sont négligées. La résistance thermique de la fenêtre est identique à celle d un cylindre de même section s et de longueur e. Exprimer la puissance thermique perdue à travers la fenêtre, P f, en fonction de λ v, e, s, T i et T e. Réaliser l application numérique. Commentaire. A.I.5. Pour réduire cette déperdition d énergie, la fenêtre simple est remplacée par un double vitrage composé de deux vitres identiques d épaisseur e et de surface s, séparées par une épaisseur 2e d air. La conductivité thermique de l air est notée λ a. La fenêtre double vitrage est schématisée figure 3. Quatre points A, B, C et D sont placés sur le schéma. A est au niveau de l interface extérieur/verre, B au niveau de l interface verre/air, C au niveau de l interface air/verre et D au niveau de l interface verre/intérieur. Les températures en A et D sont T(A) = T e et T(D) = T i e 2e Intérieur A B C D e T e T i Verre Air Verre Figure 3 : Schéma de la fenêtre double-vitrage a) Exprimer puis calculer les valeurs numériques des résistances thermiques R AB, R BC et R CD. b) Donner la résistance thermique totale R AD en fonction de e, λ v, λ a et s. c) Que vaut la puissance thermique perdue à travers la fenêtre P f? Montrer que l on a P f λ a P f 2λ v et déduire la valeur numérique de P f. A.I.6. Dans cette question, les températures aux points B et C sont calculées. a) Exprimer (T B T e ) en fonction de (T i T e ) et des résistances thermiques R AB, R BC et R CD. b) Réaliser l application numérique. c) Au final, quel élément du double-vitrage assure l essentiel de l isolation? A.I.7. Pour conclure cette partie, montrer que la puissance thermique totale P T, perdue par la maison équipée d une fenêtre simple (respectivement P T, pour une fenêtre double), s exprime selon : Fenêtre simple P T = (T i T e ) R 1 (1) Fenêtre double P T = (T i T e ) R 2 (2) où l on exprimera R 1 en fonction de R m, λ v, e et s ; et R 2 en fonction de R m, λ a, e et s. 3/10 TSVP

4 A.II- Chauffage électrique À présent, la température à l intérieur de la maison est une fonction du temps T i (t). Dans cette partie, le temps nécessaire au chauffage de la maison et la puissance électrique permettant le maintien de la température sont évalués. Le chauffage est allumé à l instant t = 0, la température intérieure de la maison vaut T i (0) = T e. D un point de vue thermodynamique, le système étudié dans cette partie est composé : de la maison elle-même, modélisée par une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique totale constante C, d énergie interne U M ; de l air à l intérieur assimilé à un gaz parfait, d énergie interne U G, dont le rapport γ = C P C V entre la capacité thermique à pression constante et la capacité thermique à volume constant est supposé indépendant de la température. Le nombre de moles de gaz n ne varie pas. Le système est fermé et son énergie interne totale est notée U. A.II.1. R désigne la constante des gaz parfaits. a) La capacité thermique molaire à pression constante, c Pm, et la capacité thermique molaire à volume constant, c V m d un gaz parfait sont liées par la relation de Mayer : c Pm c V m = R. Exprimer alors C V, capacité thermique à volume constant totale du gaz, en fonction de n, R et γ. b) Le système subit une transformation élémentaire, sa température passant de T à T + dt. Donner les variations élémentaires des énergies internes du M et du G. c) Quelle propriété de l énergie interne permet de relier U, U M et U G? Déduire que du = βdt, où β est une constante que l on exprimera en fonction de C, n, R et γ. A.II.2. La maison est chauffée par des radiateurs électriques qui fournissent une puissance de chauffage totale constante P 0. On admet que les formules (1) et (2), démontrées à la question A.I.7, restent valables, à condition de remplacer T i par T i (t). Au départ, la vitre est doublée, les pertes thermiques correspondent donc à la formule (2). a) Effectuer un bilan d énergie interne entre deux instants infiniment proches t et t + dt. Déduire que T i vérifie l équation : dt i dt + T i τ = T if τ. Exprimer τ et T if en fonction de T e, β, R 2 et P 0. b) Déduire l expression de T i (t). Au bout de combien de temps peut-on considérer que le régime permanent est atteint? c) Tracer l allure de la courbe de la fonction T i (t). Faire apparaître τ et la tangente à l origine. A.II.3. Le kilowattheure (kwh) correspond à l énergie fournie par une puissance de un kilowatt pendant une heure. Le prix du kwh est de l ordre de 10 centimes d euro. Calculer le coût en chauffage permettant de maintenir une température intérieure T if = 298, 15 K (25 C) pendant 200 heures. Comparer à ce qu il en coûterait sans double-vitrage. A.II.4. En réalité, le temps de chauffage de la maison avec une puissance P 0 est trop long. À partir de t = 0, le chauffage fournit, dans un premier temps, une puissance P 1 = 10P 0. Exprimer le temps τ nécessaire pour que la température atteigne T if, en fonction de τ. Sachant que la maison nécessite une aération quotidienne, que pensez-vous de l estimation numérique de la question A.II.3? 4/10

5 A.III- Puits Canadien Le puits canadien est un système de préchauffage passif de l air utilisant les réserves d énergie du sol entourant la maison. En faisant passer l air dans une canalisation enterrée dans le sol, celui-ci se réchauffe, ce qui permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage en hiver, ainsi que les émissions de CO 2 qui en résultent. Dans cette partie, un modèle simple de ce dispositif est étudié. Une entrée d air est située à une distance L de la maison. Une pompe à l intérieur de la maison permet de faire circuler l air dans un tuyau de section S T enterré à une profondeur h dans le sol, la température du sol étant T s = 283, 15 K (10 C), (figure 4). Sortie Entrée d air T e Intérieur O h Sol Pompe z T s L Figure 4 : Principe du puits canadien Dans la suite, l étude montre d abord que la température du sous-sol est peu sensible aux variations de la température de l air extérieur. La longueur minimale de canalisation permettant de préchauffer l air correctement est ensuite calculée. A.III.1. On admet qu en régime non permanent la température à l intérieur d un conducteur solide, de conductivité thermique λ, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique c vérifie (dans le cas où elle ne dépend que d une variable d espace z) l équation de la chaleur : T t = D 2 T th z, avec D 2 th = λ a 1 ρ a 2 c a 3 (3) Déterminer les exposants a 1, a 2 et a 3, par analyse dimensionnelle. A.III.2. La température de l air extérieur (qui est aussi la température à la surface du sol) varie (annuellement) de manière périodique autour de sa valeur moyenne selon : T surf (t) = T s +( T) sin(ωt). Le sol est un milieu homogène, assimilé au demi-espace z > 0, de masse volumique ρ, de capacité thermique c et de conductivité thermique λ. Lorsque la profondeur devient très importante (z + ), la température tend vers T s (qui est une constante). La température dans le sol T(z,t) est une fonction de z et de t qui vérifie l équation (3), dont la solution est de la forme : ( z T(z,t) = T s + A exp δ 1 ) sin Il n est pas demandé de commenter la forme de cette solution. ( 2πt τ 1 + βz a) Exprimer les constantes A, δ 1, τ 1 et β en fonction de D th, ω et T. On utilisera le modèle de l équation (3) et on remarquera que T(z = 0,t) = T surf (t). ) 5/10 TSVP

6 b) La canalisation est enterrée à une profondeur h = 5δ 1. Estimer, avec un seul chiffre significatif, le facteur numérique par lequel a été divisée l amplitude des oscillations de la température autour de la valeur moyenne, en prenant exp(1) 3. Conclure. A.III.3. Les propriétés de l air qui circule dans la canalisation enterrée sont étudiées dans cette question. Cette canalisation est un cylindre de section S T et d axe Ox (figure 5). La température du sol autour de la canalisation est uniforme et constante et vaut T s. L air est toujours considéré comme un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante c P. On suppose que la température T(x) est uniforme sur une section droite du tube. L étude est réalisée en régime permanent et D m désigne le débit massique. Sur le schéma, un élément de longueur dx a été grossi afin de définir la surface de controle Σ qui est limitée par les parois du cylindre et les sections droites situées en x et x + dx x Figure 5 : Canalisation enterrée Σ x x + dx L étude porte sur le système ouvert défini par la surface de contrôle Σ. L écoulement est supposé : lent, de telle sorte que la variation d énergie cinétique est négligeable ; horizontal, l altitude moyenne ne varie pas. Le système ne reçoit que du travail des forces de pression, et, du fait du contact avec le sol au niveau des parois latérales de la canalisation, il reçoit une puissance thermique dont l expression est : δp Q = α dx (T s T(x)) où α ne dépend que de la forme et de la nature du matériau constituant la canalisation. a) Appliquer le premier principe pour un système ouvert et déduire une équation différentielle d ordre 1 à laquelle doit satisfaire la fonction T(x). b) Résoudre cette équation et exprimer T(x) à l aide de T s, T e et l 0 = D mc P α c) Établir l expression littérale de la longueur L de canalisation nécessaire à l obtention d une température d entrée de l air dans la maison égale à ut S, avec u < 1. L sera exprimée en fonction de l 0, u, T e et T s. A.III.4. Pourquoi le puits permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage? Quelle peut être l utilité du puits en été? 6/10

7 B. Le piège de Paul Les techniques d analyse de la matière par spectrométrie de masse occupent une place grandissante, notamment dans l étude de composés biologiques. Après ionisation, la matière est injectée dans un système analyseur, capable de séparer les composants élémentaires en fonction de leurs masses. L objet de cette partie est la présentation et l étude d un type d analyseur : l analyseur à piège à ions. Le principe repose sur le piégeage de la matière ionisée au voisinage d une position d équilibre stable. Le composant principal est un piège de Paul, mis au point dans les années 1950 par le physicien allemand Wolfgang Paul. Ce travail lui vaudra d être récompensé par une partie du prix Nobel de physique, en Aucune connaissance préalable d électromagnétisme n est nécessaire pour l étude de ce problème. Le piège de Paul, dont le schéma est représenté figure 6, est constitué de trois électrodes. Deux électrodes en forme de coupelles qui sont reliées à la masse d un générateur et une électrode en forme d anneau qui est portée au potentiel électrique U. Du fait de la forme des électrodes et de la tension électrique, les particules chargées subissent, au voisinage de O, une force qui dérive de l énergie potentielle : E p (x,y,z) = Φ(ax 2 + ay 2 + bz 2 ) (4) où Φ dépend de la charge de la particule et de la tension U ; et a et b sont deux constantes. z Coupelles Anneau O y x U Figure 6 : Piège de Paul Rappel : Une force F dérive d une énergie potentielle E p lorsque F = grade p L expression du gradient en coordonnées cartésiennes dans la base ( e x, e y, e z ) est donnée : gradf = f x e x + f y e y + f z e z 7/10 TSVP

8 L objectif de l exercice est d apprécier les conditions de piégeage d une particule. Dans la suite, on considère que la particule est complètement piégée si elle se comporte comme un oscillateur harmonique dans les trois dimensions de l espace. Dans tout le problème, l étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. B.I- Préliminaire B.I.1. Donner trois exemples de forces qui dérivent d une énergie potentielle. B.I.2. Proposer un dispositif simple permettant de réaliser un oscillateur harmonique à une dimension. B.II- Étude d un mouvement unidimensionnel Un point matériel M de masse m se déplace le long d un axe Ox (donc OM = x e x ), au voisinage du point O. Pour cette étude, la seule force F à considérer dérive de l énergie potentielle : où K est une constante positive ou négative. E p (x) = Kx 2 B.II.1. Exprimer F en fonction de K et x. Déduire l équation du mouvement. B.II.2. Dans le cas où K > 0, montrer que x = 0 est une position d équilibre stable. B.II.3. Lorsque K < 0, tracer l allure de l énergie potentielle. Comment caractériser la position x = 0? B.II.4. Pourquoi estime-t-on que M est piégé lorsque K > 0 et libre pour K < 0? B.III- Étude du régime statique appliqué à une particule de mouvement tridimensionnel Dans cette partie, la tension est constante U = U 0 et il en est donc de même pour Φ = Φ 0. Le système étudié est un point matériel M de masse m. La seule force qu il subit est la force qui dérive de l énergie potentielle E p (x,y,z) (formule (4)). B.III.1. Montrer que F = (K x e x + K y e y + K z e z ), où F est la force que subit M. Exprimer K x, K y et K z en fonction de a, b et Φ 0. B.III.2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour établir les trois équations du mouvement. B.III.3. D un point de vue dimensionnel, on a [Φ 0 ] = MT 2 (Φ 0 est le produit d une masse par l inverse d un temps au carré). Déduire la dimension de a et b. B.III.4. On admet qu en conséquence des équations fondamentales de l électromagnétisme, dans ce cas statique, a et b doivent vérifier la relation : 2a + b = 0 Que peut-on déduire quant à la possibilité de piéger une particule chargée dans ce dispositif? 8/10

9 B.IV- Étude du régime dynamique appliqué à une particule de mouvement tridimensionnel : piégeage L idée de Wolfgang Paul est de contourner cette impossibilité de pièger une particule chargée à l aide d un potentiel purement statique, en utilisant un potentiel oscillant de pulsation Ω, de sorte que Φ = Φ 0 cos(ωt). Φ0 Dans le cas où Ω ω 0 =, on montre que tout se passe, approximativement, comme si la m particule évoluait avec une énergie potentielle effective : E p,eff = mω4 0 16Ω 2 ( x 2 + y 2 + 4z 2) B.IV.1. Écrire les nouvelles équations différentielles vérifiées par x, y et z. B.IV.2. Montrer que la particule est piégée. Le mouvement de cette dernière est un mouvement oscillant sur chacun des axes. Exprimer les pulsations d oscillation ω x, ω y et ω z sur Ox, Oy et Oz en fonction de ω 0 et Ω. B.IV.3. À t = 0, la particule est injectée dans le piège en O avec une vitesse v = v 0 ( e x + e z ). Calculer les trois fonctions x(t), y(t) et z(t). B.IV.4. Les fonctions x(t) et z(t) sont représentées ci-dessous sur le même graphe (figure 7). Identifier les deux fonctions. f(t) 0 t g(t) Figure 7 : Graphe des fonctions x(t) et z(t) 9/10 TSVP

10 B.IV.5. L allure de la trajectoire de la particule est tracée figure 8. Reproduire cette figure en identifiant, en le justifiant, les axes Ox et Oz. Conclure quant à l efficacité du piège. Figure 8 : Allure de la trajectoire de la particule chargée Fin du sujet 10/10