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1 Devoir surveillé 1 de physique S. Benlhajlahsen Samedi 1er Octobre 216 Consignes de rédaction Il est nécessaire de rédiger vos copies (en bon français en limitant les fautes d orthographe et en évitant les abréviations). Celles-ci devront être claires et lisibles. Les copies mal rédigées ne seront pas corrigées. I. Mouvement d une bille dans un saladier On étudie le mouvement d une boule assimilée à un point matériel dans un saladier sphérique de rayon R. On jette la boule avec une vitesse v orthoradiale et horiontale à une distance r de l axe de symétrie de la sphère. On cherche à montrer que dans le cas général, le mouvement est compris entre deux cercles déterminés par les conditions initiales (dans le cas où il n y a pas de frottement) (voir figure 1). A. Etude en coordonnées cylindriques On repère le mouvement en coordonnées cylindriques. On prend l origine de l axe (O) au centre de la sphère, u pointant vers le haut (voir figure 2). 1. Exprimer l altitude en fonction du rayon cylindrique r et de R. Quel est son signe dans le saladier? 2. On admet que la projection de la grandeur OM v sur u, que l on notera C, est constante. Exprimer cette grandeur en fonction de r et θ uniquement. En déduire que θ = dθ dt = r v r 2 3. En déduire l expression du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques, en exprimant les composantes uniquement en fonction de r et de ṙ = dr par rapport au temps. dt 4. En déduire l expression en fonction des mêmes grandeurs du carré de la norme de la vitesse. On admet qu il existe une constante k, telle que la fonction v 2 + k soit une constante du mouvement. 5. Exprimer cette grandeur fonction uniquement de r, R, k et ṙ. 6. Evaluer cette grandeur à l instant initial. En déduire l équation qui détermine les deux rayons extrêmes du mouvement sous la forme f(r) =. On ne résoudra pas cette équation. 1

2 u ϕ O θ Figure 1: Saladier hémi-sphérique M Figure 3: Vue en coupe vertical du saladier O u uθ ur r M r M 1. Exprimer la vitesse générique dans ce système de coordonnées. En déduire C en fonction de R, θ et ϕ. 2. Evaluer cette grandeur en fonction des données initiales. On notera θ la colatitude correspondant au rayon cylindrique r. En déduire l expression de la vitesse uniquement en fonction de R, θ, θ et ϕ. 3. Exprimer en fonction de la colatitude. En déduire la grandeur v 2 +k en fonction de R, k, θ, θ et θ. 4. En déduire l équation qui détermine les colatitudes extrêmes du mouvement. Figure 2: Vue en coupe vertical du saladier II. Diode Zéner A. Étude d une diode Zéner B. Etude en coordonnées sphériques On repère maintenant le mouvement en coordonnées sphériques. On notera que l angle θ est supérieur à π/2 (voir figure 3). La figure 4 représente la caractéristique statique idéalisée d une diode Zéner. La tension Zéner u vaut 7, V. 1. Repérer clairement les 3 domaines de fonctionnement. Montrer que, suivant le domaine considéré, la diode peut être modélisée comme 2

3 une source de tension dont on donnera la fém (ainsi que le sens de la flèche) ou un interrupteur dont on précisera l état. A 2. Sachant que la puissance maximale dissipée par la diode dans le sens i > (sens Zéner) est P max = 1, W, quelle est l intensité maximale à ne pas dépasser? η U R R Afin de rendre compte de la résistance interne de la diode Zéner, on place en série avec cette dernière une résistance R = 1 Ω (voir schéma de la figure 5). dipôle D B i u i Figure 4 u u i U R Figure 5 3. Quelle est la puissance minimale que doit pouvoir dissiper cette résistance si on ne veut pas qu elle limite le courant dans la branche qui la contient? On supposera que cette condition est toujours vérifiée dans la suite. Déterminer le domaine de variation de U correspondant à < i < i max. B. Montage stabilisateur en tension La diode Zéner est incorporée au montage de la figure On pensera à utiliser le modèle de la diode Zéner établi à la question 1 de la partie précédente 3 Figure 6 η est une source de courant dont on peut régler la valeur du courant électromoteur. La résistance de charge vaut R = 1, kω. 1. Étude théorique (a) Déterminer le dipôle de thévenin équivalent au dipôle D lorsque la diode Zéner est traversée par un courant i > (voir note 1 ). (b) En déduire la tension aux bornes de R, ainsi que le domaine de variation de η autorisant un tel fonctionnement. 2. Étude graphique On se propse de retrouver graphiquement les résultats précédents. (a) Tracer sur la feuille annexe et sur un même graphe les caractéristiques suivantes. la diode Zéner idéale avec les mêmes conventions que pour la partie précédente ; La résistance R en convention récepteur ; La résistance R en convention récepteur. On veillera à distinguer clairement chaque courbe. (b) En déduire les caractéristiques correspondant aux dipôles D 1 et D 2 avec D 1 ={diode en série avec R } et D 2 = {D 1 en parallèle avec R}. On expliquera la méthode employée.

4 III. (c) Le schéma du circuit peut se mettre sous la forme de la figure 7. η U D 2 Figure 7 Tracer sur le graphique précédent, la caractéristique du générateur idéal de courant η (on prendra η = 85 ma). En déduire le point de fonctionnement du circuit ainsi que les courants traversant chaque composant. (d) Repérer le point de fonctionnement de la diode à l utilisation limite i max et déterminer graphiquement à partir de lui, les points de fonctionnement limites des dipôles D 1 et D 2. (e) Déduire de la question précédente le domaine de variation de η. Problème : Horloge mécanique à balancier A. Le pendule simple On s intéresse au pendule simple de la figure 8 qui oscille dans le champ de pesanteur uniforme g, composé d une masse ponctuelle m, accrochée en M au bout d un fil sans masse de longueur l. Le point O est fixe dans le référentiel du sol, supposé galiléen. θ est l angle que fait le pendule avec la verticale. On négligera les frottements. On lâche le point matériel, sans vitesse initiale, pour une valeur de θ = θ. θ g M Figure 8: vive le pendule simple! Le principe fondamental de la dynamique permet de montrer que l équation différentielle vérifiée par θ est : l x Pour résoudre le problème, on aura besoin de l intégrale suivante : I = π 2 dθ cos(θ) 2, 62 Pour éviter les trous de mémoire, on rappelle que ( ) dx x a2 x = arcsin + cte 2 a θ = g sin (θ) l On se place dans l hypothèse où l angle θ est "petit". 1. Montrer qu alors, le système oscille à une pulsation ω que l on déterminera. Montrer que le pendule est isochrone : il oscille avec une période T indépendante de θ que l on déterminera. On ne se place plus dans l hypothèse où l angle θ est "petit". On pose T (θ ) la période du mouvement du pendule pour amplitude maximale θ. 4

5 2. Montrer que : ( ) 2 dθ = 2 g dt l (cos(θ) cos(θ )) 3. En remarquant que la période du mouvement vaut quatre fois le temps mis par le pendule pour que θ passe de à sa valeur maximale θ, montrer que : Afin de surmonter la non isochronie du pendule simple, Huygens a proposé la réalisation d un pendule, avec un guide AOB ("joues") sur lequel le fil s enroule (cf figure 9). Le profil des joues est : r(θ ) = T (θ ) T = 2 π θ dθ 2(cos(θ) cos(θ )) 4. Donner le rapport r( π 2 ) en fonction de l intégrale I fournie, et montrer que le pendule simple n est pas isochrone. P (θ) = x P (θ) = R(2θ sin(2θ)) P (θ) = R(1 cos(2θ)) B. Pendule d Huygens (Physicien, mathématicien et astronome néerlandais ( )) Le point A est tel que θ = π, B correspond à θ = π 2 2 pour lequel θ =. et O est le point Ce profil est cycloïdale : en effet, l équation paramétrique d une cycloïde est, de manière générale : x(u) = R(2u sin(2u)) + x (u) = R(1 cos(2u)) + l axe O étant verticale orienté vers le bas. A et B sont les deux points des joues où la tangentes est horiontales donc d P dx P = en A ou B. 5

6 Joue horiontale A Trajectoire de M g O Q P(θ) B M(θ) Fil du pendule Figure 9: Le pendule d Huygens sera-t-il isochrone?... Suspense. xx À un instant donné, le fil du pendule est en contact avec la joue de O à P (θ), puis libre de P (θ) à M(θ). Le fil est tangent au profil de la joue en P (θ). 1. Montrer que le paramètre θ qui définit la position du point P (θ) vaut l angle α que fait P (θ)m(θ) avec la verticale. 2. Soit deux points de la joue P = P (θ) et P = P (θ + dθ). Donner l expression du vecteur déplacement élémentaire dl qui permet de passer de P à P et qui s écrit : dl = P P = dx P u x + d P u puis montrer que dl = 4R sin (θ) dθ 3. En déduire la longueur l(θ) de la joue entre O et P (θ), et la longueur totale l de la joue entre O et B, qui est la longueur du fil. 4. Montrer alors que l on peut exprimer θ en fonction de l(θ) sous la forme : θ = arccos ( ) 1 l(θ) l. 5. Grâce à cela, montrer que la position du point M(θ) en fonction du paramètre θ est : M(θ) = x M (θ) = R(2θ + sin (2θ)) M (θ) = R(3 + cos (2θ)) On accroche de nouveau une masse ponctuelle m au bout du fil dans masse (donc en M(θ)). Le champ de pesanteur est uniforme et on néglige les frottements. Les conditions initiales sont identiques au cas précédent : On lâche le point matériel sans vitesse initiale en θ = θ. 6. En admettant que θ ( ) = dθ vérifie par : dt θ2 = g l 1 cos 2 (θ ) cos 2 (θ), montrer que la période T (θ ) des oscillations d amplitude θ peut s exprimer grâce à l intégrale : θ cos (θ) dθ cos 2 (θ) cos 2 (θ ) 7. En faisant le changement de variable x = sin (θ), exprimer la période T (θ ) du pendule d Huygens, la comparer à T (période du pendule simple aux petits angles) et montrer que le pendule de Huygens est isochrone. 6

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