Gestion des contacts 3D pour une modélisation Eléments Discrets

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1 Gestion es contacts 3D pour une moélisation Eléments Discrets Issa Sanni - Jérôme Fortin - Patrice Coorevits Laboratoire e Technologies Innovantes (EA ) Université e Picarie Jules Verne 48 rue Ostene, Saint-Quentin , France jerome.fortin@insset.u-picarie.fr RÉSUMÉ. L objectif e ce papier est e proposer une stratégie pour optimiser la gestion es contacts 3D ans un coe e calcul par Eléments Discrets (ED). La moélisation ED utilisée s appuie sur la méthoe e Dnamique es Contacts (DC) et sur la méthoe u bipotentiel. On aboutit à un algorithme comportant une phase globale e résolution e l équation e la namique et une phase locale e résolution u schéma e préiction-correction qui fournit une nouvelle valeur e l impulsion. On constate alors que la gestion es contacts consomme une grane partie u temps machine (90 % u temps CPU). Afin e restreinre le nombre e cas à eaminer, on propose ans ce papier un algorithme performant e étection es contacts 3D. En terme e temps CPU, la stratégie mise en place pour gérer les contacts 3D permet e iminuer consiérablement le temps machine. ABSTRACT. The aim of this paper is to propose a strateg to optimize the 3D contacts management in a computer coe b Discrete Elements Metho (DEM). The DEM moelling use is base on the Contact Dnamics metho an on the bipotential metho. This leas to an algorithm comprising a global stage of resolution of the namic equations an a local stage of resolution of the preiction- correction equations which provies a new value of the impulse. We note whereas that the contacts management consumes most of the machine time (90 purcent of CPU time). In orer to restrict the number of cases to be eamine, we propose in this paper a reliable algorithm of 3D contacts etection. In term of CPU time, this strateg enable to ecrease consierabl the machine time (CPU time). MOTS-CLÉS : contact frottant non linéaire ; milieu granulaire ; formulation variationelle KEYWORDS: non-smooth frictional contact; Granular meia; variational formulation L objet 8/2002. LMO 2002, pages 45 à 57

2 46 L objet 8/2002. LMO Introuction Le matériau granulaire concerne es secteurs activité aussi ivers que le Génie Civil, les inustries minières, agro-alimentaires, pharmaceutiques, etc... À la ifférence avec autres mélanges fluie-solie, l interaction entre les particules joue un rôle très important ans la manipulation e ces sstèmes complees. L objet es travau sur ce tpe e matériau est onc e mieu comprenre le comportement ensemble un gran nombre e grains ou e corps rigies à partir e leur cinématique et es efforts qu ils transmettent. La iversité es moélisations Éléments Discrets (ED) provient pour une bonne part e la ifficulté à représenter correctement l interaction entre les corps. L objectif e ce papier est e proposer une stratégie pour optimiser la gestion es contacts 3D en fonction es non-linéarités rencontrées (ici la loi e contact unilatéral avec frottement e Coulomb). La moélisation ED utilisée s appuie sur la méthoe e Dnamique es Contacts (DC) éveloppée par Jean [JEA 99] et Moreau [MOR 94] et sur la méthoe u bipotentiel éveloppée par e Sacé [SAX 98] et appliquée au sstèmes granulaires 2D par Fortin [FOR 00]. Les sstèmes mécaniques relevant e la DC eigent un traitement implicite e l équation e la namique et es relations interparticulaires. On aboutit alors à un algorithme comportant une phase globale e résolution e l équation e la namique qui calcule une nouvelle approimation e la vitesse et une phase locale e résolution u schéma e préiction-correction qui fournit une nouvelle valeur e l impulsion. On constate alors que la gestion es contacts consomme une grane partie u temps machine (90 % u temps CPU). Pour minimiser cette consommation, il nous faut satisfaire à eu conitions : trier rapiement les caniats potentiels au contacts et calculer une solution possible" es impulsions avec un nombre limité itérations locales. vérifications! ", représentant 2. Détection es contacts potentiels en 3D Concernant la sélection es caniats au contacts [FOR 04], classiquement, pour chaque caniat et pour tous les antagonistes avec, on oit effectuer ce qui evient très rapiement coûteu ès que N evient élevé. Afin e restreinre le nombre e contacts potentiels à eaminer, on propose un algorithme performant e étection es contacts. Celui-ci se écompose en quatre étapes : maillage u sstème à étuier, ientification es tables e connectivités, appartenance es particules au patch et vérification u critère e sélection. L espace étuié est subivisé en plusieurs sous-espaces (ou mailles), figure1 le nombre maimun e maille qu il est possible e #%$'&)(+*-,.$ 0/*)12#%$'&)(+34,.$ 0/3512#%$'&6(879,:$ 0/71 construire ans le sstème étuié, ;*;3;7 [1]

3 JIIIIIH avec; =< simuler et< un paramètre qui permet ajuster la taille e la maille en fonction u nombre e particules ésiré par maille et par ae. où>@?ba* représente Gestion es contacts 3D 47 le iamètre maimal e la particule à z Σ ma z min z ma min z min ma Figure 1. Eemple e maillage e l espace e simulation. Maintenant pour chaque maille, nous allons calculer sa position puis ientifier ses voisins au moen e celle-ci pour ainsi constituer sa table e connectivité. La position une <FG/$'7 maille est ientifier par (, 0Cet ED. Pour les calculer on utilise la procéure suivante K O#<, K<P/$ 1/$ *3*L3NM Z?N[ ^M ED# 1a< (# 1 #,_#<, 1/$ *L31O,`# 0C# 1, 1/$ * [2] IHJ 0C# 1RQTSVU!WYXW%Z?N[]\W et/$'*3 c/$'*' oùqbsreprésente la partie entière alternative,/$ 7le nombre e mailles suivant l ae z /$'3. Une fois les mailles positionnées, il nous reste à ientifier pour chaque maille ses voisins et établir les tables e connectivité. L objectif étant e limiter notre champ eploration es contacts potentiels à ces tables. En fonction e sa position, la maille peut avoir entre 1 et 14 voisins. Ce calcul inclut la maille elle même. Le processus utilisé ici pour ientifier le nombre e voisins et le nom es mailles voisines utilise les imensions u maillage/$ *,/$'3et/$'7. A titre eemple, on montre à la figure2 une maille et ses voisins.

4 représente 48 L objet 8/2002. LMO 2002 z=1 z=2 z= Figure 2. Table e connectivité : la maille étuiée est9e. En gris foncé sont représentés ses voisins, ici au nombre e 14 le maimum Il nous reste alors à ientifier l appartenance, pour chaque particule, à tel ou tel patch ikj:l]muon2pbqbrtsi%uq représentant l ensemble es particules une même table e connectivité. Pour vq ^w l]mnptzr{si!uz vz ce faire utilise les cooronnées es particules,fhg. usqw l]muon2pb}~r{si!u} v} ^usqzw [3] Z fhg, fhg,_#!& M & 1 `ˆ Enfin, ans chaque patch e particules, chaque couple e caniats au contact potentiel est testé sur le critère e sélection utilisé. La conition e contact s appuie sur l analse e l interstice Oƒ. [4] oùfhg,fhg,&,& sont respectivement les cooronnées es centres e gravité et les raons es corps et.ˆ étant la istance à consiérer, ans notre cas elle est e l orre e W Š. Ce qui nous onnera alors une liste e caniats au contact effectif sur lesquels on calculera les impulsionsœž. 3. Calcul es impulsions et qualité e la solution La loi e contact utilisée R, + ici est la loi e contact unilatéral avec frottement e Coulomb. On a montré ans oœh # ]ž [FOR 00] qu elle pouvait Ÿ1 se mettre sous la forme un seul schéma e préiction-correction : préiction : [5] correction : oùž Ÿ le cône e Coulomb, l impulsion e contact, Z la vitesse normale, la vitesse e glissement et un paramètre numérique qui est fonction u pas e temps, u coefficient e frottement, es coefficients e restitution normale et tangentielle et e la masse réuite. La projection e sur le cône e Coulomb conuit à la possibilité e trois statuts : M # ZM,š 1/,

5 si - ' -,_#ž ž ž Ÿ4 ž: Ÿ, non contact, Ÿ, Ÿ1 contact Gestion es contacts 3D 49 contact avec frottement, avec glissement. Pour la qualité e la solution, on utilise comme critère arrêt l inicateur erreur en loi e comportement [LAD 96] ª«#,. au 1M sens strict basé sur la violation" u bipotentiel e contact [FOR 00]. [6] [7] 4. Application A titre application, nous proposons la viange un sstème granulaire constitué e 1000 particules sphériques soumis à la seule pesanteur et au efforts interparticulaires, figure 3. Le frottement est e l orre e 0.2. Les coefficients e restitution normales et tangentielles sont égales respectivement à 0. et 1. Le pas e temps est égal àl W8 secone. A l initialisation, les particules e taille homogène sont positionnées e la même façon qu un assemblage rectangulaire. Figure 3. simulation 3D un matériau granulaire ensilé. Pour information, il faut 15 heures pour simuler la viange sur une station e travail HP B2000 avec un processeur e 400 MHz et 256 Mb e RAM. En terme e temps CPU, la étection es contacts potentiels pren beaucoup plus e temps que le calcul es impulsions, voir tableau 4.

6 50 W8 L objet 8/2002. LMO 2002 temps e la simulation (s) 2,87 4,5 6,16 sélection es contacts potentiels (CPU) 0,94 0,82 0,82 0,84 calcul es impulsions (CPU) 0,48 0,1 0,16 0,3 Nombre e contacts Nombre itérations locales En moenne, sur ce tpe e simulation, il nous faut moins e 5 itérations locales pour converger vers une solution acceptable. Il est à noter que ans la étection es contacts est inclut, pour les simples contacts effectifs, le calcul es matrices e passage entre les variables locales et globales [FOR 00]. 5. Conclusion En terme e temps CPU, la stratégie mise en place pour gérer les contacts 3D (triage es caniats potentiels et le calcul es impulsions) permet e iminuer consiérablement le temps machine. En terme e qualité, l utilisation une seule formulation variationnelle nous permet e converger très rapiement (entre 2 et 5 itérations) avec es résultats e simulations très correcte. L objectif à terme est utiliser un maillage aaptatif qui oit nous permettre e iminuer le temps CPU ans cette procéure. 6. Bibliographie [FOR 00] FORTIN J., «Simulation numérique e la namique es sstèmes multicorps appliquée au milieu granulaires», PhD thesis, Université e Lille 1, januar [FOR 03] FORTIN J., COOREVITS P., Stratégie e calcul u pas optimal pour une moélisation Éléments Discrets, mai [FOR 04] FORTIN J., COOREVITS P., «Selecting contact particles in namics granular mechanics sstems», Journal of Computational an Applie Mathematics, vol. 168, 2004, p [JEA 99] JEAN M., «The non-smooth contact namics metho», Computer Methos in Applie Mechanics an Engineering, vol. 177, 1999, p [LAD 96] LADEVÉZE P., Mécanique non linéaire es structures : nouvelle approche et méthoes e calcul non incrémentales, Hermés, [MOR 94] MOREAU J.-J., «Some numerical methos in multibo namics : application to granular materials», Eur.J. Mech., A/Solis, vol. 13, 1994, p [SAX 98] DE SAXCÉ G., FENG Z.-Q., «The bipotentiel metho : a constructive approach to esign the complete contact law with friction an improve numerical algorithms», Math. Comput. Moelling, vol. 28, 1998, p