5.1.1 Définition, opérations usuelles

Transcription

1 MATRICES 5 Cours 1 51 Rappels 1 52 Matrices et applications linéaires 5 53 Trace d une matrice carrée Hors programme : suites de matrices 13 Méthodes 15 Dans tout ce chapitre, K désignera indifféremment R ou C De plus, on supposera que tous les espaces vectoriels que l on manipule sont de dimension finie Les propositions non démontrées ici l ont été en première année 51 RAPPELS 511 Définition, opérations usuelles Définition 51 On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K un tableau de n p éléments de K L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté M n,p (K) Dans le cas où n = p, on note M n (K) au lieu de M n,n (K) Définition 52 Si n N, on note I n = 0 1 et 0 n = Définition 53 Soit A = (a i, j ) M n,p (K) et λ K On note λa = (λa i, j ) M n,p (K) Si A = (a i, j ), B = (b i, j ) M n,p (K), on pose A + B = (a i, j + b i, j ) M n,p (K) Proposition 54 : Muni de ces opérations, M n,p (K) est un K-espace vectoriel De plus, il est de dimension finie, et dim M n,p (K) = n p En particulier, dim M n (K) = n 2 Définition 55 Soit A = (a i, j ) M n,p (K) et B = (b i, j ) M p,q (K) Alors on note A B = (c i, j ) M n,q (K) la matrice définie par c i, j = p a i,k b k, j k=1 1 Formule C est cette formule qui justifie la manière dont on fait le produit de deux matrices : on fait le produit des coefficients de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B Il est tout de même bon de connaître cette formule car elle sert régulièrement dans des problèmes théoriques

2 2 CHAPITRE 5 : MATRICES Proposition 56 : Si A, B M n,p (K) et si C M p,q (K), alors (A + B)C = AC + BC si A M n,p (K), et si B,C M p,q (K), alors A(B + C) = AB + AC si A M n (K), alors AI n = I n A = A et A0 n = 0 n A = 0 n Remarques En général, AB BA Par exemple, si A = AB = ( ) et BA = ( ) ( ) 1 1 et B = 0 1 Si A, B M n (K) vérifient AB = BA, on dit que A et B commutent ( ) 1 0, alors 0 0 La matrice I n, et de manière plus générale, la matrice λi n, λ K commute à toutes les matrices de M n (K) Définition 57 Si A M p,q (K), on appelle transposée de A, et on note t A = (b i, j ) la matrice de M p,n (K) définie par b i, j = a j,i Par cœur Transposer une matrice, c est échanger lignes et colonnes, donc on échange i et j Il est important de connaître (ou de savoir retrouver) cette formule, et pas seulement de savoir calculer la transposée d une matrice donnée Proposition 58 : Si A, B M n,p (K), et si λ K, alors En Scilab, la transposée d une matrice A est obtenue avec la commande A t (λa + B) = λ t A + t B Si A M n,p (K) et B M p,q (K), alors t (AB) = t B t A 512 Matrices carrées Définition 59 Soit A = (a i, j ) M n (K) On dit que A est : scalaire s il existe λ K tel que A = λi n diagonale si a i, j = 0 pour i j Dans ce cas, si A = λ 1 0, on note A = diag(λ 1,, λ n ) 0 λ n triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si a i, j = 0 pour i > j (resp j > i) symétrique si A = t A On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques de M n (K) C est un sous-espace vectoriel car c est le noyau de l application linéaire φ : M n (K) M n (K) définie par φ(a) = A t A antisymétrique si A = t A On note A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques de M n (K) C est un sous-espace vectoriel de M n (K) car c est le noyau de ψ : M n (K) M n (K), l application linéaire définie par ψ (A) = A + t A Par cœur Il ne suffit pas de savoir dire si une matrice 3 ou 4 4 est symétrique, il faut connaître la définition en terme de la transposée En particulier Si A est antisymétrique, on a alors a i,i = a i,i, et donc les coefficients diagonaux de A sont tous nuls Définition 510 Une matrice A M n (K) est dite inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n B est alors unique et s appelle l inverse de A, et on la note A 1 On note GL n (K) (et on appelle groupe linéaire d ordre n sur K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) En Scilab, l inverse d une matrice A s obtient par la commande inv(a) Remarque En fait, si on prouve l existence d une matrice B M n (K) telle que AB = I n ou BA = I n, alors automatiquement l autre égalité est vérifiée, et donc A est inversible et B = A 1

3 COURS 3 Pour prouver que A est inversible, on échelonne A à l aide d opérations sur les lignes Les opérations permises sont : l échange de deux lignes la multiplication d une ligne par un scalaire non nul l ajout à une ligne d une combinaison linéaire des autres Alors A est inversible si et seulement si tous les coefficients diagonaux de la matrice échelonnée sont non nuls De plus, cette méthode permet d obtenir facilement l inverse de A lorsqu il existe Méthode de calcul de A 1 : on écrit la matrice I n à droite de la matrice A, et toujours à l aide d opérations sur les lignes, on transforme A en l identité, tout en réalisant les mêmes opérations sur la matrice de droite À la fin du processus, la matrice de droite est A 1 Exemple 511 A = Ainsi, A 1 = L 3 L 1 L 2 L 2 +3L 1 L 3 L 3 +3L 1 L 1 L 1 +L 3 L 1 L Méthode Le début du calcul de l inverse d une matrice nécessite les mêmes opérations que celles nécessaires au calcul du rang Dans une question du type «déterminer si A est inversible, et si oui, calculer A 1», il y a alors deux options : 1) calculer le rang par un pivot Puis si A est inversible, calculer A 1 en commençant par faire une seconde fois les opérations nécessaires au calcul du rang 2) être malin, et commencer directement un calcul d inverse (par la méthode de son choix) Ce calcul d inverse va nécessiter d échelonner la matrice (ce qui permettra d obtenir le rang et donc de savoir si l on continue ou non les calculs) Si la matrice n est pas inversible, on s arrête là (et le calcul d inverse n a servi à rien), sinon on continue jusqu à obtention de A 1 Proposition 512 : Si A, B M n (K) sont inversibles, alors AB est inversible, et (AB) 1 = B 1 A 1 Définition 513 Si A M n (K), alors on pose A 0 = I n k N, A k+1 = A k A Si de plus A est inversible, alors pour k N on pose A k = (A 1 ) k Remarque Les puissances de A ne sont définies que si A est carrée De plus, toutes les puissances de A commutent entre elles Plus généralement, si P, Q K[X], P(A) et Q(A) commutent 513 Rang d une matrice Définition 514 Soit E un K-espace vectoriel et (e 1,, e n ) une famille de vecteurs de E Le rang de cette famille est la dimension de Vect(e 1,, e n ), que l on note rg(e 1,, e n )

4 4 CHAPITRE 5 : MATRICES Remarque rg(e 1,, e n ) est le cardinal maximal d une sous-famille libre de (e 1,, e n ) En particulier, le rang d une famille libre est égal à son cardinal Définition 515 Si M M n,p (K), on appelle rang de M, et on note rg(m) le rang de la famille de ses vecteurs colonnes dans M n,1 (K) Méthode : pour calculer le rang d une matrice A, on échelonne la matrice par opérations sur les lignes Le rang de A est alors le nombre de pivots non nuls de la matrice bien échelonnée obtenue En Scilab le rang d une matrice A s obtient à l aide de rank(a) Exemple 516 A = L L 3 L 1 L L 3 2L Ainsi, rg(a) = 2 Ceci signifie que la famille de ses vecteurs colonnes engendre un espace vectoriel de dimension 2, ce qui était prévisible car C 3 et C 4 sont combinaisons linéaires de C 1 et C 2 (C 3 = 2C 1 2C 2 et C 4 = C 1 + C 2 ) Rédaction Lorsqu on échelonne une matrice, on prendra bien soin d utiliser des symboles et non des égalités : la matrice échelonnée n est bien entendu pas égale à la matrice de départ puisqu on a changé ses coefficients En revanche, leurs rangs sont égaux Proposition 517 : Si M M n,p (K), alors rg(m) = rg( t M) Remarque Puisque la transposée échange lignes et colonnes et que rg( t A) = rg(a) : le rang d une matrice est aussi le rang de la famille de ses vecteurs lignes on a le droit de procéder à des opérations élémentaires sur les colonnes Proposition 518 : Soit A M n,p (K) une matrice non nulle Alors A est de rang 1 si et seulement si ses colonnes sont deux à deux proportionnelles En particulier Ce résultat sert notamment si toutes les colonnes de A sont égales Démonstration Notons A 1,, A p les colonnes de A Puisque A est non nulle, il existe i 1,p tel que A i 0 Par proportionnalité des colonnes, pour tout j 1,p, il existe λ j tel que A j = λ j A i Et donc Vect(A 1,, A p ) = Vect(A i ), qui est donc de dimension 1, car A i 0 Par conséquent, rg(a) = 1 Inversement, supposons que A soit de rang 1 Alors Vect(A 1,, A n ) est de dimension 1 L une des colonnes A i est non nulle, et donc forme une famille libre de Vect(A 1,, A n ) Puisque ce dernier est de dimension 1, la famille formée de la seule colonne A i en est une base Et donc pour tout j 1, n, A j Vect(A 1,, A n ) = Vect(A i ) Il existe donc λ j K tel que A j = λ j A i : toutes les colonnes de A sont proportionnelles à A i, et donc sont deux à deux proportionnelles Remarque Puisque le rang de A est aussi le rang de la famille de ses vecteurs lignes, les lignes de A sont aussi deux à deux proportionnelles si rg(a) = 1

5 COURS 5 Exemple n Soit A = 1 2 n 1 2 n Alors les colonnes de A sont deux à deux proportionnelles 1, et donc rg(a) = 1 1 Et non toutes nulles Proposition 520 : Si (e 1,, e p ) est une famille de vecteurs d un espace vectoriel de dimension finie n, et si B est une base de E, alors le rang de (e 1,, e p ) est égal au rang de la matrice de (e 1,, e p ) dans la base B Rappel La matrice de (e 1,, e n ) dans la base B est la matrice dont la i-ème colonne est le vecteur colonne des coordonnées de e i dans B Exemple 521 Dans R 2 [X ], posons P 1 = X 2 + 3X + 2, P 2 = X et P 3 = X 2 + 3X + 4 Alors la matrice de la famille (P 1, P 2, P 3 ) dans la base canonique de R 2 [X ] est : P 1 P 2 P X X 2 Le rang de cette matrice a été calculé dans l exemple 511, et il vaut 3, donc (P 1, P 2, P 3 ) est une famille de rang 3 52 MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 521 Rappels Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, B = (e 1,, e p ) une base de E et B = (f 1,, f n ) une base de F Alors la matrice de f L(E, F) dans les bases B et B est Mat B,B(f ) = (a i, j ) M n,p (K), où j {1,,p}, f (e j ) = a i, j f i Autrement dit, la j-ème colonne de Mat B,B(f ) est formée des coordonnées de f (e j ) dans la base B En particulier, le rang de la matrice de f est égal au rang de la famille de ses vecteurs colonnes, et donc au rang de la famille (f (e 1 ),, f (e p )) dans F Mais puisqu il s agit d une famille génératrice de Im(f ), c est donc le rang de f Proposition 522 : Soit f L(E, F), B une base de E et B une base de F Soit x E, x 1 et soit y = f (x) Si l on note x B = le vecteur des coordonnées de x dans la base B et x n y 1 y B = le vecteur colonne des coordonnées de y dans la base B alors y p y B = Mat B,B(f )x B Ainsi, la matrice de f permet d obtenir les coordonnées de f (x) (dans la base B ) à partir de celles de x (dans la base B)

6 6 CHAPITRE 5 : MATRICES Proposition 523 : Soient E, F,G trois espaces vectoriels de dimension finie, de bases respectives B, B et B Alors : si f,д L(E, F), λ K, alors Mat B,B(λf + д) = λmat B,B(f ) + Mat B,B(д) si f L(E, F),д L(F,G), alors Mat B,B(д f ) = Mat B,B (д) Mat B,B(f ) Remarque Une fois fixées deux bases B et B de E et F, on a un isomorphisme de L(E, F) dans M n,p (K), défini par f Mat B,B(f ) En particulier, on a dim L(E, F) = dim M n,p (K) = n p = dim E dim F Corollaire 524 f L(E, F) est un isomorphisme si et seulement si Mat B,B(f ) est inversible, et dans ce cas Mat B,B (f 1 ) = Mat B,B(f ) 1 Démonstration Si f L(E, F) est un isomorphisme, alors Mat B,B (f 1 ) Mat B,B(f ) = Mat B,B (id) = I n Remarque C est cette formule qui justifie que le produit de matrices est défini de manière «si compliquée» : on voulait que cette formule soit vraie On aurait tout aussi bien pu définir le produit de deux matrices en faisant le produit des coefficients de chaque matrice, ce serait bien plus simple Mais alors on ne disposerait plus de l interprétation en termes d applications linéaires Précision Si dim E dim F, alors la matrice de f ne peut être inversible car elle n est pas carrée Ceci est cohérent avec le fait que s il existe un isomorphisme E F, alors nécessairement dim E = dim F Donc Mat B,B(f ) est inversible, et son inverse est Mat B,B (f 1 ) Inversement, si Mat B,B(f ) est inversible, soit д L(F, E) tel que Mat B,B (д) = Mat B,B(f ) 1 Alors Mat B,B (д f ) = I n = Mat B,B (id E ) Donc д f = id E, et donc д = f 1 Cas des endomorphismes Définition 525 Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, si B est une base de E et si f L(E), alors on note Mat B (f ) = Mat B,B (f ) On a alors, k N, Mat B (f k ) = (Mat B (f )) k Plus généralement, si P K[X ], Mat B (P(f )) = P (Mat B (f )) 522 Retour sur le rang d une matrice Proposition 526 : Soit f L(E, F), B E une base de E, et B F une base de F Alors le rang de la matrice Mat BF,B E (f ) est égal au rang de l application linéaire f Proposition 527 : Soit A M n (K) Alors il y a équivalence entre : 1 A est inversible 2 rg(a) = n 3 pour tout X M n,1 (K), AX = 0 X = 0 Démonstration Notons f l unique endomorphisme de K n dont la matrice dans la base canonique est A On a alors Et donc 1) 2) rg(a) = n rg(f ) = n f est bijective A est inversible

7 COURS 7 Supposons que 2) soit vérifié, et soit X M n,1 (K) tel que AX = 0 Soit x l unique vecteur de K n tel que X = (x) Bcan Alors AX = 0 f (x) = 0 Mais f est bijective, et donc Ker(f ) = {0} On en déduit que x = 0 et donc X = 0 Ainsi, 2) 3) Inversement, supposons que 3) soit vérifiée Si x Ker f, soit X = (x) Bcan M n,1 (K) Alors f (x) = 0 AX = 0, et donc X = 0 x = 0 Ainsi, Ker(f ) = {0}, et donc f est injective, donc bijective : A est inversible Ainsi, 3) 2) 523 Matrices de passage Soit f L(E) Si B est B sont deux bases de E, alors Mat B (f ) et Mat B (f ) sont a priori deux matrices différentes Nous expliquons dans cette partie comment passer de l une à l autre Proposition 528 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et soit B une base de E Alors une famille (e 1,, e n ) de n vecteurs de E est une base de E si et seulement si Mat B (e 1,, e n ) est inversible Démonstration (e 1,, e n ) est une base de E (e 1,, e n ) est génératrice de E rg(e 1,, e n ) = n rg (Mat B (e 1,, e n )) = n Mat B (e 1,, e n ) est inversible Remarque Bien évidemment, cette proposition ne s applique que pour une famille de cardinal n, puisqu une famille de cardinal différent de n ne peut en aucun cas être une base de E Définition 529 Soient B = (e 1,, e n ) et B = (f 1,, f n ) deux bases d un espace vectoriel E de dimension n Alors j 1, n,!(a 1, j,, a n, j ) K n : f j = a i, j e i Autrement dit La matrice de passage de B à B est la matrice de la famille B dans la base B On appelle matrice de passage de B à B, et on note P B,B = (a i, j ) M n (K) Remarque P B,B est la matrice des coordonnées des vecteurs de la nouvelle base (B ) dans l ancienne base (B) Proposition 530 : Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie Alors : P B,B = Mat B,B (id E ) P B,B est inversible et 1 PB,B = PB,B Démonstration Pour le premier point, remarquons que la j-ième colonne de Mat B,B est formée des coordonnées de f j = id(f j ) dans la base B Donc P B,B = Mat B,B (id E ) Méthode En général, quand on a deux bases différentes de E, on a l expression des vecteurs de l une en fonction de ceux de l autre On a alors une des deux matrices de passage Pour obtenir l autre matrice de passage, il suffit d inverser celle dont on dispose Pour le second point, nous savons que l identité est un isomorphisme, égal à son propre inverse Donc P B,B est inversible, et P 1 B,B = Mat B,B (id E ) 1 = MatB,B(id 1 E ) = Mat B,B(id E ) = P B,B

8 8 CHAPITRE 5 : MATRICES Exemple 531 Retour sur l exemple 521 Reprenons B = (P 1, P 2, P 3 ) = ( X 2 + 3X + 3, X, X 2 + 3X + 4) Alors P Bcan,B = P 1 P 2 P X X 2 Et donc P B,Bcan = X X P 1 = P P Formules de changement de base Proposition 532 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, B et B deux bases de E Soit x E Alors : Démonstration telle sorte que Alors x B = P B,B x B Notons B = (e 1,, e n ) et B = (f 1,, f n ) Notons P B,B x = x j f j = j=1 j 1, n, f j = x j j=1 a i, j e i a i, j e i = a i, j x j e i j=1 = (a i, j ) de Ainsi, x i = n j=1 a i, j e i On reconnaît là l expression du coefficient de la i-ème ligne du A Danger! La terminologie est trompeuse : la matrice de passage de B à B permet d obtenir les coordonnées dans B à partir de celles dans B, et non l inverse (comme le nom le laisserait penser) Plus simplement P B,B = Mat B,B (id) Et alors ce résultat est une application directe de la proposition 522 x 1 produit P B,B x n Ainsi, la matrice de passage de B à B permet d obtenir les coordonnées d un vecteur dans la base B à partir de ses coordonnées dans la base B Théorème 533 (Formule de changement de base) : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, B et B deux bases de E Soit f L(E) Alors Mat B (f ) = P B,BMat B (f )P B,B = P 1 B,B Mat B (f )P B,B Démonstration Nous savons que f = id E f id E, et donc Mat B (f ) = Mat B,B(id E ) Mat B,B (f ) Mat B,B (id E ) = P B,BMat B (f )P B,B Méthode Cette formule permet, à partir de la matrice de f dans une base B, et de la connaissance de la matrice de passage de B à B = (e 1,, e n ), d obtenir la matrice de f dans la base B sans avoir besoin de décomposer les f (e i ) dans B Exemple 534 Soit f l endomorphisme de R 2 [X ] défini par f (P) = P + P

9 COURS 9 Alors Mat Bcan (f ) = Mais alors, f (1) f (X ) f (X 2 ) X X 2 Mat B (f ) = P B,Bcan Mat Bcan (f ) P Bcan,B = = f (P 1 ) f (P 2 ) f (P 3 ) P P P Matrices semblables Définition 535 Deux matrices A et B de M n (K) sont dites semblables s il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP En particulier, si B et B sont deux bases d un espace vectoriel E, et si f L(E), alors les matrices de f dans les bases B et B sont semblables En effet, par la formule de changement de base, on a Mat B = P 1 B,B Mat B (f )P B,B Remarques A est semblable à I n si et seulement si P GL n (K) : A = P 1 I n P = I n Donc I n est la seule matrice semblable à I n De même, la seule matrice semblable à la matrice nulle est la matrice nulle Proposition 536 : Si A, B M n (K) sont semblables, alors rg(a) = rg(b) Démonstration Supposons donc qu il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP Soit f L(K n ) l unique endomorphisme de K n dont la matrice dans la base canonique est A Soit e 1,, e n l unique famille de vecteurs de K n telle que C i = (e i ) Bcan Alors la matrice de (e 1,, e n ) dans la base canonique est, par définition, la matrice dont les colonnes sont (e 1 ) Bcan,, (e n ) Bcan, c est-à-dire C 1,,C n Autrement dit, cette matrice est la matrice P, et donc elle de rang n, de sorte (e 1,, e n ) est une base de K n Notons B cette base La matrice de passage de B can à B est alors la matrice P Et donc par la formule de changement de base, B = P 1 AP = P 1 B can,b Mat Bcan (f )P Bcan,B = Mat B (f ) En particulier, puisque A et B représentent le même endomorphisme f dans deux bases différentes, on a rg(a) = rg(f ) = rg(b) ( ) ( ) La réciproque est fausse Par exemple si A = I 2 = et B =, alors A et B ont le même rang, mais ne sont pas semblables car la seule matrice semblable à I 2 est I 2 Plus généralement Une matrice semblable à λi n est nécessairement égale à λi n Méthode On a prouvé que si A et B étaient semblables, alors elles représentent le même endomorphisme de K n dans deux bases différentes Autrement dit, deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes En particulier, pour montrer que deux matrices A et B sont semblables, on essaira de trouver un endomorphisme f de K n (ou de tout autre espace de dimension n) et deux bases de K n dans lesquelle les matrices de f sont respectivement A et B

10 10 CHAPITRE 5 : MATRICES Proposition 537 : Si A et B M n (K) sont semblables, et si A est inversible, alors B est inversible et A 1 et B 1 sont semblables Démonstration Si A est inversible, alors elle est de rang n, et donc B est également de rang n, donc inversible De plus soit P inversible telle que B = P 1 AP Alors B 1 = ( P 1 AP ) 1 = P 1 A 1 (P 1 ) 1 = P 1 A 1 P et donc A 1 et B 1 sont semblables Proposition 538 : Si A et B sont semblables, alors pour tout P K[X ], P(A) et P(B) sont semblables Démonstration Puisque A et B sont semblables, il existe Q GL n (K) telle que B = Q 1 AQ Commençons par remarquer que k N, B k = Q 1 A k Q En effet B k = (Q 1 AQ)(Q 1 AQ) (Q 1 AQ) = Q 1 A(QQ 1 )AQ (QQ 1 )AQ = Q 1 A k Q Ceci prouve en fait que si A et B sont semblables, alors A k et B k sont semblables, pour tout k N d Alors soit P = a k X k K[X ] On a k=0 P(B) = d a k B k = k=0 d d Q 1 A k Q = Q 1 a k A k Q = Q 1 P(A)Q k=0 k=0 526 Retour sur les projecteurs Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Proposition 539 : Soit f L(E), B = (e 1,, e n ) une base de E Alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1 f est un projecteur de rang r, 2 il existe une base B de E telle que, Mat B (f ) = = Diag(1,, 1, 0,, 0) = A } {{ }} {{ } r r fois n r fois Attention! Nous avons bien dit qu il existe une telle base Ne pas en déduire que dans toute base de E, la matrice d un projecteur est diagonale avec des 0 et des 1 sur la diagonale! 3 Mat B (f ) est semblable à A r Démonstration 1) 2) : supposons que f soit un projecteur Nous savons que E = Imf Kerf, et si x = x 1 + x 2 avec x 1 Imf et x 2 Kerf, alors f (x) = x 1 Soit (e 1,, e r ) une base de Imf, et soit (e r +1,, e n ) une base de Kerf Alors B = (e 1,, e r, e r +1, e n ) est une base de E, adaptée à la somme directe E = Im f Ker f, et i 1, r, f (e i ) = e i, i r + 1, n, f (e i ) = 0 Base adaptée La preuve est constructive : une base B dans laquelle la matrice de f est de la forme souhaitée est une base obtenue par concaténation d une base de Im f et d une base de Ker f

11 COURS 11 Donc la matrice de f dans la base B est : f (e 1 ) f (e r ) f (e r +1 ) f (e n ) 1 0 e 1 Mat B (f ) = 1 e r 0 e r +1 0 e n = A r Remarque Notons que le nombre de 1 sur la diagonale de A est égal à r = dim Im(f ) = rg(f ) Autrement dit, A = Diag(1,, 1, 0,, 0) } {{ }} {{ } r fois (n r ) fois 2) 3) Mat B (f ) et Mat B (f ) sont semblables d après la formule de changement de base 3) 1) Notons que A 2 r = A r Et donc si Mat B (f ) est semblable à la matrice A r, alors il existe P GL n (K) telle que Mat B (f ) = P 1 A r P et donc Mat B (f ) = (P 1 A r P) 2 = P 1 A 2 r P = Mat B (f ) On en déduit que f 2 = f et donc que f est un projecteur Et alors rg(f ) = (Mat B (f )) = rg(a r ) = r Le principal intérêt de ce résultat est de déterminer la matrice d un projecteur dans une base : dans «une bonne base», c est-à-dire une matrice adaptée à la somme directe Imp Kerp, nous connaissons cette matrice Si on souhaite obtenir la matrice de p dans une autre base, il suffit d appliquer la formule de changement de base 527 Retour sur les sous-espaces stables Soit E un espace vectoriel de dimension finie, soit f L(E), soit F un sous-espace stable par f et H un supplémentaire de F dans E Soit alors f F la restriction de f à F, qui va de F dans E Puisque F est stable par f, l image d un vecteur de F par f (et donc par f F ) est dans F, et on peut ainsi voir f F comme une application de F dans F : on l appelle l endomorphisme induit par f sur F En particulier, soit (e 1,, e r ) une base de F, et (e r +1,, e n ) une base de G, de sorte que B = (e 1,, e n ) est une base de E adaptée à la somme directe F G r Alors, pour tout j 1, r, f (e j ) F et donc f (e j ) s écrit de manière unique f (e j ) = a i, j e i Et donc la matrice de f dans la base B est Restriction Rappelons que l application f F est l application de F dans E définie par x f (x) C est donc f, mais son ensemble de départ est F et non E f (e 1 ) f (e r ) f (e r +1 ) f (e n ) a 1,1 a 1,r e 1 Mat B (f ) = a r,1 a r,r e r 0 0 e r e n Terminologie Une telle matrice est dite triangulaire par blocs En particulier, la matrice (a i, j ) 1i, jr est la matrice de f F dans la base (e 1,, e r ) Inversement, s il existe une base (e 1,, e r, e r +1,, e n ) dans laquelle la matrice de f est de cette forme 2, alors F = Vect(e 2 1,, e r ) est stable par f C est-à-dire avec a i, j = 0 pour j r et i > r Si de plus H est également stable par f, alors on peut tenir le même raisonnement avec les

12 12 CHAPITRE 5 : MATRICES f (e j ), r + 1 j n, qui sont tous dans H, et montrer que la matrice de f est de la forme f (e 1 ) f (e r ) f (e r +1 ) f (e n ) a 1,1 a 1,p 0 0 e 1 Mat B (f ) = a p,1 a p,p 0 0 e r 0 0 e r e n Terminologie Une telle matrice est dite diagonale par blocs 53 TRACE D UNE MATRICE CARRÉE 531 Définition, linéarité Définition 540 Soit A = (a i, j ) M n (K) Alors on appelle trace de A, et on note tr(a) = a i,i K C est la somme des coefficients diagonaux de A Exemples 541 On a tr(0) = 0 et tr(i n ) = n Plus généralement, tr(diag(λ 1,, λ n )) = λ λ n Si A est antisymétrique, alors 3 tr(a) = 0 3 En effet, tous les coefficients diagonaux de A sont alors nuls Proposition 542 : L application tr : M n (K) K est une forme linéaire Démonstration Puisque tr est à valeurs dans K, il s agit de prouver que tr est linéaire Soient donc A = (a i, j ), B = (b i, j ) M n (K), et soit λ K Alors tr(λa + B) = (λa + B) i,i = (λa i,i + b i,i ) = λ a i,i + b i,i = λtr(a) + tr(b) Proposition 543 : Si A M n (K), alors tr( t A) = tr(a) Démonstration C est évident car les coefficients diagonaux de t A sont les mêmes que ceux de A 532 Invariance de la trace par similitude Proposition 544 : Soient A, B M n (K) Alors tr(ab) = tr(ba) Démonstration Par définition, tr(ab) = (AB) i,i = a i,k b k,i = b k,i a i,k = (BA) k,k k=1 k=1 k=1 A Danger! Pour autant, on n a pas tr(ab) = tr(a) tr(b) Par exemple, tr(in) 2 = tr(i n ) = n tr(i n ) 2 = n 2

13 COURS 13 Remarque Ce résultat est en fait encore valable pour A M n,p (K) et B M p,n (K), c est-à-dire dès que les deux produits AB et BA sont tous deux définis et carrés Corollaire 545 Deux matrices semblables ont même trace Réciproque fausse Deux matrices peuvent en revanche avoir la même trace et ne pas être semblables Démonstration Supposons que A et B soient semblables Alors soit P GL n (K) telle que B = P 1 AP Alors tr(b) = tr(p 1 AP) = tr(p 1 (AP)) = tr(app 1 ) = tr(a) Exemple 546 Soit A M n (K) telle que A 2 = A Alors A est la matrice dans la base canonique de K n d un projecteur f de K n Par l étude des projecteurs réalisée précédemment, il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale, avec rg(f ) = rg(a) coefficients diagonaux égaux à 1 et les autres à zéro Mais alors A est semblable à cette matrice, dont la trace vaut rg(a) On en déduit que tr(a) = rg(a) 54 HORS PROGRAMME : SUITES DE MATRICES Les résultats qui suivent sont hors programme, et ne sont donc pas à connaître Toutefois, les sujets introduisant des suites de matrices ne sont pas rares 4 Les résultats qui suivent sont alors nécessairement fournis par l énoncé, mais mieux vaut les avoir déjà rencontré avant afin de bien les comprendre Définition 547 Une suite de (A(n)) n N de matrices de M p,q (K) est la donnée, pour tout entier n, d une matrice A(n) de M p,q (R) Pour tout (i, j) 1,p 1,q, on note alors a i, j (n) le coefficient à la i-ème et j-ème colonne de A(n) 4 Les sujets de parisiennes, mais pas seulement : on trouve par exemple des suites de matrices dans Lyon 2010 et dans EDHEC 2016 Notation On pourrait noter A n au lieu de A(n), mais alors il serait compliquer de noter le coefficient (i, j) de A n, il faudrait un triple indice Exemple 548 A(n) = 1 + ( 1)n 2 n n n Définition 549 On dit qu une suite (A(n)) n N de matrices de M p,q (R) converge vers A = (a i, j ) M p,q (R) si pour tout (i, j) 1,p 1,q, lim n + a i, j(n) = a i, j Exemple 550 En ( reprenant ) l exemple précédent, la suite (A(n)) n N converge vers la matrice

14 14 CHAPITRE 5 : MATRICES Proposition 551 : Soit (A(n)) n N une suite de matrices de M p,q (R) qui converge vers A M p,q (R) Alors pour tout λ R, la suite (λa(n)) n N converge vers λa Soient (A(n)) n N et (B(n)) n N deux suites de matrices de M p,q (R), qui convergent respectivement vers A et B Alors (A(n) + B(n)) n N converge vers A + B Si (A(n)) n N est une suite de matrices de M p,q (R) qui converge vers A et soit (B(n)) n N une suite de matrices de M q,r (R) qui converge vers B Alors la suite (A(n)B(n)) n N converge vers AB M p,r (R) Démonstration Prouvons par exemple le dernier point Pour tout (i, j) 1,p 1, r, le coefficient (i, j) de A(n)B(n) est q k=1 a i,k (n)b k, j (n) n + q a i,k b k, j k=1 On reconnaît là le coefficient (i, j) du produit AB Exemple 552 ( Soit X (n) = e n ) 1 + sin n n Alors la suite (X (n)) n N converge vers X = 0 vers AX = ( ) ( 0 1 ) = ( 0 1) 1 et donc (A(n)X (n)) n N converge

15 MÉTHODES 15 MÉTHODES DU CHAPITRE 5! MÉTHODE 51 : Déterminer le rang d une matrice M On utilise la méthode du pivot en effectuant des opérations sur les lignes jusqu à obtenir une matrice bien échelonnée Le rang de M est alors le rang de la matrice échelonnée ainsi obtenue Pour une matrice de taille n quelconque, se souvenir que le rang de la matrice est le rang de la famille des vecteurs colonnes Exercices de TD : 51, 52! MÉTHODE 52 : Déterminer si une matrice M est inversible, et si c est le cas, calculer son inverse M 1 Seule une matrice carrée peut être inversible! Si M est une matrice carrée de taille n, elle est inversible si et seulement si elle est de rang n Avant même de savoir si la matrice est inversible, on pourra procéder comme si l on cherchait son inverse, en ajoutant x 1 un second membre (qui sera au choix ou I n ) En effet, le calcul de l inverse nécessite à un moment d échelonner la x n matrice, ce qui permet de déterminer son rang Et dans le cas où elle est inversible, une fois la matrice échelonnée, on a déjà effectué la moitié du calcul de l inverse, évitant ainsi de refaire deux fois les mêmes opérations Exercices de TD : 51, 48! MÉTHODE 53 : Déterminer la matrice d un projecteur p L(E) dans une base B Rappelons que si p est la projection sur F parallèlement à G, alors F = Im(p) et G = Ker(p) On connaît la matrice de p dans une base adaptée à la somme directe E = Im(p) Ker(p) : elle est diagonale, ne possède que des 0 et des 1 sur sa diagonale, et le nombre de 1 est égal à dim Imp Fort de ces deux résultats, on procède ainsi : 1 Déterminer une base de Im(p) et une base de Ker(p) 2 La concaténation de ces deux bases est une base B de E adaptée à la somme directe E = Im(p) Ker(p) 3 Déterminer la matrice de passage de B à B, ainsi que son inverse 4 La matrice de p dans la base B est donc diagonale avec des 0 et des 1 sur la diagonale Et donc, par la formule de changement de base, Exercices de TD : 58 Mat B (p) = P B,B Mat B (p)p 1 B,B! MÉTHODE 54 : Utiliser des matrices de passage Savoir écrire la matrice d une famille de vecteurs dans une base et l utiliser pour déterminer si une famille de vecteurs est une base ou non Savoir différencier P B,B de P B,B et connaître le lien entre les deux Utiliser les matrices de passage dans les formules de changement de base Exercices de TD : 55, 56, 59! MÉTHODE 55 : Montrer que deux matrices A et B ne sont pas semblables Montrer que A et B n ont pas le même rang ou pas la même trace Si A ou B est une matrice scalaire, vérifier que l autre ne l est pas (la seule matrice semblable à une matrice scalaire est elle-même) Exercices de TD : 57

16 16 CHAPITRE 5 : MATRICES MÉTHODE 56 : Montrer que deux matrices A et B sont semblables Déterminer un endomorphisme f dont la matrice dans deux bases différentes sont A et B En général pour cela, on définit f comme étant l unique endomorphisme de K n dont la matrice dans la base canonique est A Et alors on montre qu il existe une base de K n dans laquelle la matrice de f est B Pour cela, on essaiera de chercher ce que doit vérifier une telle base Exercices de TD : 56, 59, 515, 517