BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE

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1 BACCALAUREAT TECNOLOGIQUE Sciences et technologies du management et de la gestion SESSION 2016 EPREUVE OBLIGATOIRE DE MATÉMATIQUES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 3 La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Ce sujet comporte 7 pages. 1

2 EXERCICE 1 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une absence de réponse n apporte ni ne retire aucun point. Les deux parties sont indépendantes. Partie A. Une enquête est réalisée auprès des 1000 élèves du lycée Marie Reynoard qui possèdent un téléphone portable afin de connaître le type d appareil et le type de forfait dont ils disposent. Il en ressort que : 610 élèves possèdent un smartphone et parmi eux 20% ont un forfait bloqué. 775 élèves ont un forfait non bloqué. Pour répondre aux questions on pourra s'aider du tableau donné ci-dessous. On interroge au hasard un élève du lycée et on considère les événements : S : «l élève interrogé a un smartphone» B : «l élève interrogé a un forfait bloqué» 1. La probabilité de l événement B S est : a) 0,225 b) 0,122 c) 0, La probabilité de l'événement B S est : a) 0,713 b) 0,835 c) 0, La probabilité conditionnelle p B (S) est au dixième près : a) 0,5 b) 0,122 c) 0,2 Élèves ayant un smartphone Élèves ayant un autre téléphone Élèves ayant un forfait bloqué Élèves ayant un forfait non bloqué Total Total

3 Partie B. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur [0;36]. A est le point de la courbe C d'abscisse 5, B celui d'abscisse 12 et D celui d'abscisse 33,5. T 1 est la tangente à la courbe C au point A, T 2 celle au point B et T 3 celle au point D. 1. L'image de 12 par la fonction f est environ a) 0 b) 1410 c) f ' (12) est égal à a) 0 b) 1410 c) 35 EXERCICE 2 6 points. Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. On s intéresse à l évolution de la production électrique par les éoliennes en France. Le tableau cidessous présente les données entre 2006 et Année Rang de l année x i Production en Térawattheure (TWh) 2,3 4,0 5,6 7,9 12,1 14,9 y i Taux d'évolution annuel 73,9 41,1 22,8 24,7 23,1 (en pourcentage) Source : Réseau de transport d électricité (RTE), Bilan électrique

4 Partie A Dans cette partie, les résultats seront donnés en pourcentage et arrondis à 0,1% près. 1. Compléter le tableau sur l'annexe, en calculant la production électrique éolienne en France en Térawattheure en 2010, arrondie à 0,1 Térawattheure, et le taux d'évolution entre 2007 et On détaillera les calculs sur la copie. 2. Calculer le taux d évolution global de la production électrique éolienne en France entre 2009 et Montrer le taux d évolution annuel moyen de la production électrique éolienne en France entre 2009 et 2012 est d'environ 23,6 %. 4. a) En supposant que ce taux moyen corresponde aux évolutions de la production électrique éolienne en France dans les années à venir, donner une estimation de la production éolienne française en 2020, arrondie à 0,1 TWh. b) Selon les projections du Grenelle de l environnement, le parc éolien français devrait produire 55 TWh en Selon l'estimation du a), les objectifs fixés lors du Grenelle de l environnement seront-ils atteints? Partie B 1. Sur le graphique ci-dessous, représenter le nuage des points de coordonnées (x i ; y i ). 4

5 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G (arrondir au dixième) et placer ce point dans le repère. 3. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation réduite de la droite d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Elle sera notée (d) et on arrondira les coefficients à 0,01 près. Pour la suite de cet exercice, on utilisera comme équation réduite de la droite (d) : y = 2,1 x +1,8. 4. Tracer la droite (d) dans le repère orthogonal dans lequel est représenté le nuage de points. 5. Selon les projections du Grenelle de l environnement, le parc éolien français devrait produire 55 TWh en On suppose que l évolution de la production électrique par les éoliennes en France se poursuit selon le modèle donné par la droite d ajustement (d). a) Déterminer graphiquement une estimation de la production éolienne française en On laissera apparents tous les tracés utiles à la lecture graphique. b) Retrouver ce résultat par le calcul. c) Selon cette estimation, les objectifs fixés lors du Grenelle de l environnement seront-ils atteints? EXERCICE 3 5 points Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonnes, varie entre 0 et 10. Pour l entreprise, le coût correspondant à la fabrication de x tonnes de bouteilles, exprimé en milliers d euros, est modélisé par la fonction f définie sur l intervalle [0 ;10 ] par : f ( x )=0,5 x 3 4 x x +72. On a représenté ci-dessous la fonction f dans un repère orthogonal du plan. y 450 Coût total (en milliers d'euros) Production (en tonnes de bouteilles) x 5

6 Partie A 1. Déterminer, par lecture graphique, le coût correspondant à la fabrication d une tonne de bouteilles. 2. Déterminer, par lecture graphique, la production de bouteilles correspondant à un coût de fabrication de 130 milliers d euros. Partie B On appelle coût moyen la fonction C M définie sur l intervalle ]0;10 ] par : C M ( x)= f (x) x 1. Calculer la dérivée de la fonction C M, notée C' M. 2. Montrer que pour tout x de l intervalle ]0;10 ], C' M (x) peut s écrire C M (x)= (x 6)(x2 +2 x+12) x Justifier que C M (x) est du signe de x 6 pour x variant dans l intervalle ]0;10] et en déduire le tableau des variations de la fonction C M. 4. Déterminer la production de bouteilles correspondant à un coût moyen minimal. Partie C L entreprise vend ses bouteilles de verre au prix de 40 milliers d euros la tonne. 1. On note B la fonction bénéfice, exprimée en milliers d euros. Montrer que l expression de B( x) sur l intervalle [0;10 ] est : B(x)= 0,5 x 3 +4 x x Calculer le bénéfice associé à une production de 6,5 tonnes. 3. Calculer la dérivée de la fonction B, notée B '. 4. Que pensez-vous de l affirmation «le bénéfice est maximal lorsque le coût moyen est minimal»? Justifier la réponse.. 6

7 EXERCICE 4 4 points. Un organisme de centres de vacances propose à ses clients deux types de destinations : en France ou à l étranger. Pour chaque destination, le client a le choix entre deux types d hébergement : le camping ou l hôtel. L organisme fait une analyse statistique de ses fiches clients et constate que 60% de ses clients optent pour les centres à l étranger et parmi ceux-ci 80% choisissent un hôtel. En outre, 70% des clients choisissant un centre en France, se rendent dans un camping. On prélève une fiche client au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d être choisie. On considère les événements suivants : E : «La fiche prélevée est celle d un client ayant choisi un centre de vacances à l étranger.» : «La fiche prélevée est celle d un client ayant choisi un hôtel.» Les résultats numériques sont demandés sous forme décimale. 1. a) Décrire par une phrase l événement E et donner sa probabilité P ( E ). b) Déterminer la probabilité conditionnelle P E (). 2. a) Compléter l arbre de probabilité ci-dessous. E E b) Calculer la probabilité P(E ). c) Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d un client ayant choisi un hôtel en France. d) Montrer que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d un client ayant choisi un hôtel est de 0,6. 3. Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d un client ayant choisi un centre de vacances en France sachant que ce dernier réside en hôtel. 7