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1 ACT2025 groupes 20, 21, 22. Mathématiques financières I EXAMEN DE MI-SESSION mercredi 4 novembre 2009 Professeurs: Version 2. Robert Bédard Claude Pichet Nom de famille (en lettres majuscules): Prénom: Code permanent: Directives: 1) Durée de l examen: 3 heures. 2) Matériel permis: Calculatrice. 3) Aucune note, aucun livre n est permis. 4) Vous devez répondre sur le questionnaire pour les questions vrai ou faux, ainsi que les questions à choix multiple de réponses et dans le cahier d examen pour celles à développement. 5) À la fin de l examen, insérer votre questionnaire dans votre cahier d examen. 6) Les étudiantes et étudiants des groupes 20 et 21 ne peuvent pas remettre leur copie d examen plus tôt qu avant 90 minutes après le début de l examen. 1

2 QUESTIONS VRAI OU FAUX. La pondération de chaque question vrai ou faux est de 1 point. (ENCERCLER VOTRE RÉPONSE.) Dans les questions vrai ou faux, i, d, δ et i (m) sont des taux équivalents et ν désigne (1 + i) 1. # 1. ä n i = (1 (1 d)n ), où d est le taux d escompte équivalent au taux d intérêt i V F d # 2. ( ) mn 1 + i(m) m = (1 d) m V F # 3. Dans la méthode de Newton-Raphson pour obtenir des zéros de la fonction f(x), V F alors la règle récursive est x s+1 = x s + f(x s) f (x s ). # 4. (1 + i) 5 ä 5 i est la valeur à t = 5 de la série des cinq paiements: 1$ à t = 0, 1$ à t = 1, V F 1$ à t = 2, 1$ à t = 3 et 1$ à t = 4 # 5. ä n i a n i = 1 + ν n. V F # 6. Pour un placement rémunéré au taux d escompte simple d, alors le taux effectif V F d intérêt i n pour la n e période est i n = d/(1 dn). # 7. La valeur actuelle d une rente perpétuelle dont le premier paiement est fait à la fin V F de la deuxième période et achetée au taux d intérêt i par période est 1/(i 2 + i). # s 2 i + a 2 i est la valeur à t = 2 de la série des cinq paiements: 1$ à t = 0, 1$ à t = 1, V F 1$ à t = 2, 1$ à t = 3 et 1$ à t = 4 # i est le temps nécessaire pour tripler le capital, où i est le taux d intérêt V F # 10. Si t est l échéance moyenne et t est l échéance moyenne approchée, alors V F on a toujours t t. 2

3 QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE DE RÉPONSES. La pondération de chaque question à choix multiple de réponses est de 4 points. (ENCERCLER VOTRE RÉPONSE.) # 1. Béatrice a hérité de $. Elle investit cette somme dans un placement rémunéré au taux nominal d intérêt i (12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Elle fait 60 retraits de $ à chaque mois de ce placement, le premier étant fait un an après son héritage. Alors le solde X dans son placement immédiatement après son 60 e retrait est tel que A) X < B) X < C) X < D) X < E) X # 2. Charles verse dans le fonds A 100 $ à la fin de chaque année pendant 13 ans. Danielle verse dans le fonds B 100 $ à la fin de chaque année pendant 13 ans. Le taux d intérêt du fonds A est 15 % par année pour les 5 premières années et 6% par année ensuite. Le taux d intérêt du fonds B est i par année pour les 13 années. À la fin de la 13 e année les montants accumulés dans chacun des fonds sont les mêmes. Alors i est tel que A) i < 6,4% B) 6,4% i < 6,8% C) 6,8% i < 7,2% D) 7,2% i < 7,6% E) 7,6% i # 3. Alain investit $ au taux nominal d intérêt i (4) = k capitalisé trimestriellement pour la première année et au taux nominal d escompte d (4) = k capitalisé trimestriellement pour la deuxième année. Après deux ans, l investissement vaut 1 173,54 $. Alors A) k < 6,6 % B) 6,6 % k < 7,0 % C) 7,0 % k < 7,4 % D) 7,4 % k < 7,8 % E) 7,8 % k # 4. Émilie doit rembourser un prêt de L dollars pour l achat d une automobile et elle veut aussi accumuler A dollars pour l achat d une seconde automobile dans six ans. Pour son prêt, elle fera 36 paiements de 300$ à la fin de chaque mois, le premier paiement étant fait 1 mois après son prêt. Après avoit fait ces 36 paiements de remboursement du prêt, elle fera alors 36 dépôts de 300 $ à la fin de chaque mois dans un fonds pour accumuler le capital de A dollars, le premier dépôt est fait un mois après le dernier paiement du prêt. Les taux d intérêt du prêt et du fonds sont tous les deux égaux au taux nominal d intérêt i (12) = 12% par année capitalisé mensuellement. Alors L et A sont respectivement égaux à A) < L < et < A < B) < L < et < A < C) < L < et < A < D) < L < et < A < E) < L < et < A < # 5. Denis veut accumuler $ après cinq ans. Il fait les dépôts suivants: $ immédiatement, X dollars à la fin de la 1 re année et 2X dollars à la fin de la 3 e année dans un fonds de placement. Si ce fonds est rémunéré au taux nominal d intérêt de i (4) = 8 % par année capitalisé à tous les trimestres, alors A) X < 3150 B) 3150 X < 3250 C) 3250 X < 3350 D) 3350 X < 3450 E) 3450 X 3

4 # 6. Fernand reçoit X dollars à la fin de chaque année pendant n années. La valeur actuelle de la rente de Fernand est 493 $. Ginette reçoit 3X dollars à la fin de chaque année pendant 2n années. La valeur actuelle de la rente de Ginette est $. Les deux rentes sont calculées avec le même taux d intérêt i. Alors ν n = (1 + i) n est A) 0,827 B) 0,832 C) 0,841 D) 0,858 E) 0,869 # 7. La valeur actuelle de $ payable dans 6 mois au taux d intérêt simple i par année est égale à la valeur actuelle de $ payable dans 8 mois au taux d escompte simple de 6 % par année. Alors i est tel que A) i < 5,4 % B) 5,4 % i < 5,5 % C) 5,5 % i < 5,6 % D) 5,6 % i < 5,7 % E) 5,7 % i # 8. Irma fait les dépôts suivants: dollars immédiatement et X dollars à la fin de la deuxième année dans un fonds de placement, dont la fonction de capitalisation est a(t) = 1 + 0,01t 2. À la fin de la cinquième année, le montant accumulé est 4 500$. Alors A) X < B) X < C) X < D) X < E) X # 9. L échéance moyenne de la série de paiements suivante: 2 000$ immédiatement, 3 000$ à la fin de la 2 e année, R dollars à la fin des 5 e et 6 e années au taux d intérêt composé de 4% par année est 4. Alors le montant R est tel que A) R < B) R < C) R < D) R < E) R # 10. Harold dépose $ dans un compte bancaire. Le taux d intérêt est le taux nominal d intérêt i (2) = k par année capitalisé semestriellement pour les 7 premières années et le taux nominal d intérêt i (4) = 2k par année capitalisé trimestriellement pour les années suivantes. Le montant accumulé dans le compte après 10 ans est $. Le montant accumulé dans le compte à la fin de la cinquième année est A) B) C) D) E)

5 QUESTIONS À DÉVELOPPEMENT. La pondération de chaque question à développement est de 10 points. # 1. Jules et Jim partagent un héritage en parts égales. Avec sa part d héritage, Jules achète une rente consistant en 10 paiements annuels de $ au taux effectif d intérêt de 8% par année, le premier paiement étant fait immédiatement. Jim place sa part d héritage au taux effectif d intérêt de 9% par année pendant 2 ans. Après ces deux années, il achète ensuite une rente de 15 paiements au montant de Z dollars payable à la fin de chaque année. Le taux d intérêt de ce dernière rente est de 8% par année. (a) Déterminer Z. (b) Si au lieu de placer sa part pour deux ans et d ensuite acheter une rente de 15 paiements, Jim avait acheté plutôt une rente perpétuelle consistant en des paiements de $ par année, le premier paiement étant fait un an après l héritage, alors déterminer le taux effectif d intérêt de cette transaction. (c) Déterminer le montant total d intérêt gagné par Jules. # 2. Katherine prête L dollars à Liz. Cette dernière remboursera son prêt en versant $ deux ans après le prêt, $ trois ans après le prêt et $ cinq ans après le prêt. Le taux d intérêt du prêt est le taux nominal d intérêt i (12) = 6% par année capitalisé mensuellement. Lorsqu elle reçoit les paiements de Liz, Katherine les investit dans un placement rémunéré au taux nominal d escompte d (4) = 4% par année capitalisé trimestriellement. Immédiatement après le paiement de 5 000$ de Liz, le montant accumulé dans le placement est A dollars. (a) Déterminer le montant prêté L. (b) Déterminer le montant accumulé A par Katherine. # 3. Marco fait des dépôts de R dollars au début de chaque année pendant 25 ans. À partir de la fin de la 30 e année, il effectue des retraits annuels de $ et ceci jusqu à la fin de la 35 e année. Àprès le retrait de $ à la fin de la 35 e année, le solde du compte est nul. Le taux d intérêt est le taux effectif d intérêt de 6% par année. (a) Déterminer le dépôt R fait au début de chacune des 25 premières années. (b) Déterminer le montant total d intérêt gagné par Marco. # 4. La valeur actuelle de 5K dollars payable dans 4 ans au taux instantané d intérêt δ par année est égale à 7 726,25 $, alors que la valeur accumulée par 3K dollars placé pendant 8 ans au taux instantané d intérêt 2δ par année est égale à ,10 $. Déterminer la valeur actuelle d une annuité consistant en 6 paiements de K dollars faits à la fin de chaque année au taux effectif d intérêt i équivalent au taux instantané d intérêt δ/2 par année. Le premier paiement de l annuité est fait à la fin de la première année. # 5. Un prêt de $ contracté au taux effectif d intérêt de 5% par année est remboursé par 20 paiements annuels: $ à la fin de chaque année pendant 8 ans, R dollars à la fin de chaque année pour les 7 années suivantes, R dollars à la fin de chaque année pour les 5 dernières années. (a) Déterminer R. (b) Si, plutôt que de faire 20 paiements annuels, le prêt était remboursé par des paiements annuels au montant de $ à la fin de chaque année, sauf pour le dernier paiement qui est un paiement réduit (c est-à-dire < 6 000$), alors déterminer le nombre de paiements annuels, ainsi que le dernier paiement réduit. Le taux d intérêt est toujours le taux effectif d intérêt de 5 % par année. 5

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