Devoirs et corrigés de Spécialité Mathématiques en Terminale ES

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1 Devoirs et corrigés de Spécialité Mathématiques en Terminale ES O. Lader Table des matières Devoir maison : Utilisation des matrices Devoir maison : Utilisation des matrices (corrigé) Devoir sur table : Utilisation des matrices Devoir sur table : Utilisation des matrices (corrigé) Devoir maison : Matrice de Léontief Devoir maison : Matrice de Léontief (corrigé) Devoir sur table : Les graphes Devoir sur table : Les graphes (corrigé) Bac blanc décembre Bac blanc décembre 04 (corrigé) Devoir maison : Système linéaire et graphes Devoir maison : Système linéaire et graphes (corrigé) Devoir sur table 3 : graphes Devoir sur table 3 : graphes (corrigé) Bac blanc mars 05 : graphes Bac blanc mars 05 : graphes (corrigé) Devoir maison 3 : Couplage minimal et évolution d une population Devoir maison 3 : Couplage minimal et évolution d une population (corrigé) Devoir maison 4 : Graphes probabilistes Devoir maison 4 : Graphes probabilistes. (corrigé) TP : Proies et prédateurs : le modèle de Lotka-Volterra Exercices et sujets de Baccalauréat Évolution de population Algorithme de Dijkstra Sujets de Bac

2 Devoir maison : Utilisation des matrices pour le mardi 4 octobre 04 Exercice. Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un médicament pour injection. Ce laboratoire peut produire entre 0 et 50 litres de ce médicament par mois. Le bénéfice mensuel (en euros) réalisé par le laboratoire en fonction du volume x (en litres) de médicament produit est connu pour différents niveaux de productions : Bénéfice mensuel en euros C B A Volume en litres 000 Les coordonnées des points A, B et C sont A(6; 540), B(4; 394) et C(30; 5700). On peut donc penser à modéliser par une fonction du 3 e degré f : [0; 50] R définie par : f(x) = ax 3 + bx + cx + d où x est exprimé en litres et f(x) le bénéfice mensuel en euros. On suppose de plus que la fonction f change de sens de variation au point d abscisse 40. Partie A : Le modèle théorique. a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) En déduire que l hypothèse, f change de sens de variation au point d abscisse 40, implique l équation suivante : 4800a + 80b + c = 0

3 . Traduire en trois équations les trois bénéfices connus en fonction du nombre de litres produits. 3. Compléter l équation matricielle suivante : a b 540 = c d Déterminer les coefficients a, b, c et d de la fonction f. Partie B : Lectures graphiques Par lecture graphique sur votre calculatrice, déterminer :. à partir de quel volume mensuel produit, le laboratoire va être bénéficiaire ;. pour quel volume mensuel produit, le bénéfice mensuel est supérieur ou égal à 6000 euros. Partie C : Étude du bénéfice mensuel. Étudier le sens de variation de la fonction f.. Estimer le bénéfice mensuel si le laboratoire produit 50 litres pas mois. 3. Combien de litres par mois doit produire le laboratoire pour que le bénéfice soit maximal? Exercice 36 page 34. 3

4 Devoir maison : Utilisation des matrices corrigé Exercice. Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un médicament pour injection. Ce laboratoire peut produire entre 0 et 50 litres de ce médicament par mois. Le bénéfice mensuel (en euros) réalisé par le laboratoire en fonction du volume x (en litres) de médicament produit est connu pour différents niveaux de productions : Les coordonnées des points A, B et C sont A(6; 540), B(4; 394) et C(30; 5700). On peut donc penser à modéliser par un fonction du 3 e degré f : [0; 50] R définie par : f(x) = ax 3 + bx + cx + d où x est exprimé en litres et f(x) le bénéfice mensuel en euros. On suppose de plus que la fonction f change de sens de variation au point d abscisse 40. Partie A : Le modèle théorique. a) La dérivée de la fonction f est f (x) = 3ax + bx + c. b) De l hypothèse, f change de sens de variation au point d abscisse 40, on déduit que f (40) = 0, c est-à-dire : 3 40 a + 40b + c = O 4800a + 80b + c = 0. Des trois bénéfices connus en fonction du nombre de litres produits, on déduit que f(6) = 540 6a + 36b + 6c + d = 540 f(4) = a + 576b + 4c + d = 394 f(30) = a + 900b + 30c + d = Compléter l équation matricielle suivante : a b 540 = c d Ainsi, = D où, la fonction f est définie par f(x) = 3 x3 + x 60x 300 4

5 Partie B : Lectures graphiques Bénéfice mensuel en euros O Volume en litres 000 Par lecture graphique, on note :. qu à partir de 0l mensuel produit, le laboratoire va être bénéficiaire ;. et le bénéfice mensuel est supérieur ou égal à 6000 euros pour une production comprise entre 3 et 47 litres. Partie C : Étude du bénéfice mensuel. La dérivée de la fonction f est f (x) = x + 44x 60. C est une fonction polynôme du second degré, déterminons sa forme factorisée. Le discriminant est = 44 4 ( ) ( 60) = 96 = 36 et ses deux racines sont x = = 40 et x = = 8 = 4. D où f (x) = (x 40)(x 4) = (40 x)(x 4). Le tableau de variation de la fonction f : x x x f (x) f(x) Le bénéfice mensuel si le laboratoire produit 50 litres pas mois est f(50) = Pour obtenir un bénéfice maximal de 767 euros, il faut produire 40l. 5

6 Devoir sur table : Utilisation des matrices mardi 4 octobre 04 Exercice. Résoudre le système suivant : { 3x + y = 5x 3y = Exercice (Dette publique de la France). Le tableau ci-dessus indique l évolution de la dette publique de la France en pour cent du PIB entre 005 et 00. Année Rang x i Dette y i en % du PIB On cherche à déterminer, puis à comparer différents modèles afin de les confronter aux prévisions du gouvernement. Tous les calculs seront arrondis au millième.. Dans un repère orthogonal, représenter les six points M(x i ; y i ).. Premier modèle : une fonction polynôme de degré a) On décide de modéliser la situation à l aide d une fonction quadratique f d expression f(x) = ax + bx + c où x est le rang de l année, f(x) la dette publique en pour cent du PIB et a, b et c des nombres réels. À l aide des trois points du graphique d abscisses 0, et 5, déterminez un système d équations d inconnues a, b et c. b) Justifier que le système précédent est équivalent à l équation matricielle A X = B où a 66.8 X = b et B = 64. c 8.3 et A est une matrice qu on déterminera. c) Résoudre le système à l aide d une calculatrice. En déduire une équation de la courbe de ce premier modèle. 3. Deuxième modèle : une fonction cubique L allure du graphique évoque également une fonction cubique. On décide donc de déterminer un nouveau modèle sous la forme d une fonction cubique g d expression g(x) = αx 3 + βx + γx + δ. Reprendre les questions du ) avec les quatres points d abscisses 0,,4 et 5 afin d obtenir une équation de la courbe de ce deuxième modèle. 4. Troisième modèle et comparaison Souhaitant approcher au plus près les points de la courbe, un élève a obtenu le graphique suivant avec Géogebra : 6

7 00 y h(x) = 0.4x x 8.3x x Dans une présentation datant de 0, le gouvernement estimait que la dette allait continuer à s élever en 0 et atteindre 85.4% du PIB ; culminer en 0 à 86.9% ; enfin décroitre en 03 pour atteindre 85.6%. Comparer les trois modèles et déterminer celui qui s approche le plus des prévisions du gouvernement. Exercice 3. Trois voyageurs ont pris, le même jour, à Cherbourg, un billet de bateau transatlantique pour New-York. Le premier donne 900 dollars et 700 livres sterlings, sur lesquels on lui rend 6.79 euros ; le second donne 500 dollars et 000 livres sterlings, sur lesquels on lui rend 8.48 euros ; le troisième donne 00 dollars et 00 livres sterlings et 07 euros. Exprimer en euros les prix auquels on compte la livre, le dollar arrondis à 0 4 et le prix de la traversée au cent près. 7

8 Devoir sur table : Utilisation des matrices corrigé Exercice. Le système suivant : { 3x + y = 5x 3y = équivaut à l équation matricielle suivante : 3 x = 5 3 y x = y = C est-à-dire x = et y =. Exercice (Dette publique de la France). Le tableau ci-dessus indique l évolution de la dette publique de la France en pour cent du PIB entre 005 et 00. Année Rang x i Dette y i en % du PIB On cherche à déterminer, puis à comparer différents modèles afin de les confronter aux prévisions du gouvernement. Tous les calculs seront arrondis au millième.. Le nuage de points associé : 00 y C f C h C g x. Premier modèle : une fonction polynôme de degré 8

9 a) On décide de modéliser la situation à l aide d une fonction quadratique f d expression f(x) = ax + bx + c où x est le rang de l année, f(x) la dette publique en pour cent du PIB et a, b et c des nombres réels. À l aide des trois points du graphique d abscisses 0, et 5, on obtient le système suivant : f(0) = 66.8 c = 66.8 f() = 64. 4a + b + c = 64. f(5) = 8.3 5a + 5b + c = 8.3 b) Le système précédent est équivalent à l équation matricielle 0 0 a b = c 8.3 c) On en déduit que a b = = c et donc la fonction f est définie par f(x) = 5 x 7 30 x Deuxième modèle : une fonction cubique L allure du graphique évoque également une fonction cubique. On décide donc de déterminer un nouveau modèle sous la forme d une fonction cubique g d expression g(x) = αx 3 + βx + γx + δ. Reprennons les questions du ) avec les quatres points d abscisses 0,,4 et 5 afin d obtenir une équation de la courbe de ce deuxième modèle : g(0) = 66.8 δ = 66.8 g() = 64. 8α + 4β + γ + δ = 64. g(4) = 79 64α + 6β + 4γ + δ = 79 g(5) = 8.3 5α + 5β + 5γ + δ = 8.3 d où D où la fonction g est définie par α β = = γ δ g(x) = 7 4 x x x

10 4. Troisième modèle et comparaison Souhaitant approcher au plus près les points de la courbe, un élève a obtenu le graphique suivant avec Géogebra : 00 y h(x) = 0.4x x 8.3x x Dans une présentation datant de 0, le gouvernement estimait que la dette allait continuer à s élever en 0 et atteindre 85.4% du PIB ; culminer en 0 à 86.9% ; enfin décroitre en 03 pour atteindre 85.6%. D après le graphe de la question., on déduit que le modèle le plus proche de ses prévisions est le modèle h obtenue avec Géogébra. Exercice 3. Trois voyageurs ont pris, le même jour, à Cherbourg, un billet de bateau transatlantique pour New-York. Le premier donne 900 dollars et 700 livres sterlings, sur lesquels on lui rend 6.79 euros ; le second donne 500 dollars et 000 livres sterlings, sur lesquels on lui rend 8.48 euros ; le troisième donne 00 dollars et 00 livres sterlings et 07 euros. Soit d la valeur en euros d un dollar, l la valeur en euros d une livre sterling et p le prix du billet en euros. Alors, on a 900d + 700l 6.79 = p 900d + 700l p = d + 000l 8.48 = p 500d + 000l p = d + 00l + 07 = p 00d + 00l p = 07 C est-à-dire d l p 07 d l = p D où, dollar vaut environ euros, livre vaut environ.659 euros et le billet coûte euros. 0

11 Devoir maison : Matrice de Léontief pour le mardi 4 novembre 04 Exercice. Dans un pays sans échanges extérieurs, l économie se décompose en trois branches : l agriculture (A), l industrie hors énergie (I) et l énergie (E). On donne le tableau d échanges interbranches (en millier d euros) ci-dessous : Produit agricole Produit industriel hors énergie Produit l énergie de Consommation de l industrie hors énergie Consommation de l énergie Consommation de l agriculture Consommation finale (pour la population) Production totale Exemple de lecture : Pour l agriculture, la production totale pour une valeur de millions d euros se répartit en consommation finale (pour la population) et consommations intermédiaires : 400 milliers d euros consommés par l industrie, 50 milliers d euros consommés par l énergie et 400 milliers d euros consommés par l agriculture elle-même.. Lire dans le tableau la production de l énergie consommée par l agriculture.. a) À partir de l exemple de lecture, justifier que la consommation finale (la part consommée par la population) des produits agricoles est d une valeur de 50 milliers d euros. On remarquera que finalement, la production totale est égale à la somme des consommations des 4 types (agricole, industrie, énergie et population). C est une particularité du modèle, qui provient de l hypothèse que ce pays ne procède pas aux échanges extérieurs (en particulier, pas d exportation). b) Compléter la colonne "Consommation finale" du tableau. On note C f la matrice colonne des consommations finales (par la population) : 050 C f = On appelle matrice des coefficients techniques, la matrice M carrée de taille 3 constituées des 9 coefficients sur les trois premières colonnes du précédent tableau où l on divise la première colonne par la production totale agricole, la deuxième colonne par la production totale industrielle et la troisième colonne par la production totale d énergie. Plus précisément, si on note a ij le coefficient sur la i-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice M, alors a ij = consommation du produit i par la branche j production totale de la branche j où les branches sont numérotées ainsi : : agriculture, : industrie, 3 : énergie.

12 a) Déterminer la matrice des coefficients techniques avec les coefficients sous forme de fractions simplifiées : M = b) Calculer le produit M P. On note C i le résultat et on l appelle matrice des consommations intermédiaires. Justifier que le premier coefficient de la matrice C i correspond à la valeur en euros des produits agricoles consommés par les trois branches. c) On note I la matrice identité de taille 3. Rappeler ses coefficients. d) Vérifier que (I M) P = C f. En effectuant le calcul sur feuille et sans la calculatrice de (I M) P, justifier pourquoi on tombe sur la matrice C f. La matrice L = I M est appelée matrice de Léontief. 4. On suppose que la matrice M des coefficients techniques reste stable et que la consommation finale (par la population) : en produit agricole baisse de 0% ; de la production industrielle augmente de 0% ; et de l énergie de 0%. a) Déterminer la nouvelle matrice C f des consommations finales (par la population). a b) On pose P = i la matrice des productions totales nécessaires dans cette nouvelle e configuration. À l aide de l équation (I M) P = C f, déterminer la matrice P. 3

13 Devoir maison : Matrice de Léontief corrigé Exercice. Dans un pays sans échanges extérieurs, l économie se décompose en trois branches : l agriculture (A), l industrie hors énergie (I) et l énergie (E). On donne le tableau d échanges interbranches (en millier d euros) ci-dessous : Produit agricole Produit industriel hors énergie Produit l énergie de Consommation de l industrie hors énergie Consommation de l énergie Consommation de l agriculture Consommation finale (pour la population) Production totale Exemple de lecture : Pour l agriculture, la production totale pour une valeur de millions d euros se répartit en consommation finale (pour la population) et consommations intermédiaires : 400 milliers d euros consommés par l industrie, 50 milliers d euros consommés par l énergie et 400 milliers d euros consommés par l agriculture elle-même.. La production de l énergie consommée par l agriculture est d une valeur de 00 milliers d euros.. a) À partir de l exemple de lecture, on déduit que la consommation finale (la part consommée par la population) des produits agricoles est d une valeur de = 050 milliers d euros. On remarquera que finalement, la production totale est égale à la somme des consommations des 4 types (agricole, industrie, énergie et population). C est une particularité du modèle, qui provient de l hypothèse que ce pays ne procède pas aux échanges extérieurs (en particulier, pas d exportation). b) (Compléter la colonne "Consommation finale" du tableau.) On note C f la matrice colonne des consommations finales (par la population) : 050 C f = On appelle matrice des coefficients techniques, la matrice M carrée de taille 3 constituées des 9 coefficients sur les trois premières colonnes du précédent tableau où chaque colonne est divisée par la production totale des trois branches dans l ordre. Plus précisément, si on note a ij le coefficient sur la i-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice M, alors a ij = consommation du produit i par la branche j production totale de la branche j où les branches sont numérotées ainsi : : agriculture, : industrie, 3 : énergie. 3

14 a) Ainsi, la matrice des coefficients techniques avec les coefficients sous forme de fractions simplifiées : M = = b) La matrice des consommations intermédiaires est C i = M P = = = Le calcul montre que le premier coefficient de la matrice C i correspond à la valeur en euros des produits agricoles consommés par les trois branches. c) On note I la matrice identité de taille 3 : d) On note que 0 0 I = (I M) P = I P M P = P M P = P C i = = = C f La matrice L = I M est appelée matrice de Léontief. 4. On suppose que la matrice M des coefficients techniques reste stable et que la consommation finale (par la population) : en produit agricole baisse de 0% ; de la production industrielle augmente de 0% ; et de l énergie de 0%. a) La nouvelle matrice C f des consommations finales (par la population) est 050 ( 0.0) 945 C f = 90 ( + 0.0) = ( + 0.0) 3456 a b) On pose P = i la matrice des productions totales nécessaires dans cette nouvelle e configuration. 4

15 De l équation (I M) P = C f, on déduit que a i = e a i = e a i = e a i = e a i e arrondi à l unité. Ainsi, la production totale agricole serait d une valeur de 934 milliers d euros, la production totale de l industrie serait d une valeur de 3 06 milliers d euros et la production totale d énergie serait d une valeur de milliers d euros environ. 5

16 Nom : Devoir sur table : Les graphes Mardi décembre 04 Exercice. On considère le graphe suivant : E D C F A B G. Détermiener l ordre du graphe.. Déterminer le degré des sommets E et G. 3. Est-ce qu il admet une chaîne Eulérienne, un cycle Eulérien? Si oui, la/le représenter. Exercice. Représenter un graphe dont les sommets sont notés A, B, C et D et tels que deg(a) =, deg(b) = 3, deg(c) = et deg(d) = 3. 6

17 Exercice 3. On note que le carré a diagonales et le pentagone a 5 diagonales.. Déterminer le nombre de diagonales d un hexagone.. Déterminer le nombre de diagonales d un heptagone (polygone régulier à 7 côtés). Pour les deux questions suivantes, toute prise d initiative, même non aboutie, sera valorisée. 3. * Déterminer le nombre de diagonales d un polygone régulier à 36 côtés. 4. * Déterminer le nombre de diagonales d un polygone régulier à n côtés. 7

18 Devoir sur table : Les graphes corrigé Exercice. On considère le graphe suivant : E. Le graphe est d ordre 7. D C. Le sommet E est de degré et le sommet G de degré 4. F G A B 3. On note que tous les sommets du graphe sont de degré pair, ainsi, d après le théorème d Euler, il existe un cycle Eulérien. En voici un : E- C-B-G-A-B-D-C-A-D-F-G-F-D-E. Exercice. Voici des graphes dont les sommets sont notés A, B, C et D et tels que deg(a) =, deg(b) = 3, deg(c) = et deg(d) = 3 : A B C D A B D C D A B C Exercice 3. On note que le carré a diagonales et le pentagone a 5 diagonales.. Un hexagone a 9 diagonales.. Un heptagone (polygone régulier à 7 côtés) a 4 diagonales. S S Pour les deux questions suivantes, toute prise d initiative, même non aboutie, sera valorisée. S 3. * Soit S un sommet d un polygone régulier à 36 côtés. Ce sommet peut être relié à 35 sommets, il y a deux segmets vers les sommets voisins qui forment des côtés du polygone et les autres sont des diagonales. Ainsi, il y a 36 3 = 33 diagonales issues du sommet S. Il y a pour chacun des 36 sommets, 33 diagonales qui leurs sont issues. Or une diagonale relie sommets d où l on déduit que le nombre de diagonales du polygône régulier à 36 côtés est = S

19 4. * Le raisonnement précédent avec le polygone régulier à 36 côtés s applique aux nombres de diagonales d un polygone régulier quelconque à n côtés (avec n 3). D où, le nombre de diagonales d un polygone à n côtés est n (n 3). Autre solution : On aurait aussi pu remarquer que le graphe induit par un polygone régulier à n côtés avec ses diagonales est complet d ordre n. Notons d le nombre de diagonales et a le nombre d arêtes, ainsi, comme le nombre de côtés du polygone est n, on a d + n = a. De plus, le degré d un sommet d un graphe complet d ordre n est n et d après une propriété vue en cours, la somme des degrés n (n ) est égale à a. D où n (n ) = (n + d) n (n ) n = d n (n ) = d n (n 3) d = D où, le nombre de diagonales est bien n (n 3). 9

20 Bac blan décembre 04 décembre 04 Exercice. (5 points) Les deux parties de l exercice sont indépendantes. Partie A La trajectoire de saut d un BMX est modélisée par la parabole d équation y = ax + bx + c où x et y sont exprimés en mètres et où a, b et c désignent des nombres réels. y S m m O x Au point S, la tangente à la trajectoire était parallèle au sol. Lorsque le photographe l a pris en photo, le pilote se trouvait à 4,0m du sol. Le tremplin de saut mesure 3,0m de haut. On se propose de calculer la hauteur et la longueur du saut du pilote.. Justifier que a, b et c sont solutions du système (S) suivant : c = 3. a + b + c = 4. 6a + b = 0. Résoudre le système (S). 3. Quelle a été la hauteur du saut du pilote par rapport au sol? 4. Quelle a été la longueur du saut? Partie B Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z). B R C L V Z T P M. Pour cette question, on justifiera chaque réponse. a) Déterminer l ordre du graphe. b) Déterminer si le graphe est connexe. c) Déterminer si le graphe est complet.. Un touriste atterrit à l aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. 0

21 Bac blan décembre 04 corrigé Exercice. (5 points) Les deux parties de l exercice sont indépendantes. Partie A La trajectoire de saut d un BMX est modélisée par la parabole d équation y = ax + bx + c où x et y sont exprimés en mètres et où a, b et c désignent des nombres réels. 5 y S m m T O x Au point S, la tangente à la trajectoire était parallèle au sol. Lorsque le photographe l a pris en photo, le pilote se trouvait à 4,0m du sol. Le tremplin de saut mesure 3,0m de haut. On se propose de calculer la hauteur et la longueur du saut du pilote. pt. Le fait qu au point S, la tangente à la trajectoire était parallèle au sol signifie que le nombre dérivée de la fonction polynôme x ax + bx + c en 3 est nul. C est-à-dire a 3 + b 3 = 6a + 3b = 0. Ensuite, de la seconde information on déduit que a + b + c = a + b + c = 4.. Enfin, la hauteur du tremple induit la condition a 0 + b 0 + c = c = 3.. D où les paramètres a, b et c sont solutions du système (S) suivant : c = 3. a + b + c = 4. 6a + b = 0 pt. Le système (S) est équivalent à l équation matricielle : 0 0 a 3. b = c 0 La matrice carrée de taille 3 dans l équation précédente est inversible, d où : a b = 4. =. c et la trajectoire du saut est représentée par la parabole d équation y = 0.x +.x + 3..

22 0.5 pt 3. La hauteur du saut du pilote par rapport au sol est égale à = 5 mètres. 0.5 pt 4. Pour déterminer la longueur du saut, il nous faut déterminer l abscisse du point T d impact au sol (voir la figure précédente). Cela équivaut à déterminer la racine positive du précédent polynôme du second degré. On a =. 4 ( 0.) 3. = 4 et x =. 4 ( 0.) = 8 et x =. + ( 0.) = D où, l abscisse de T est 8 et le saut fait 8 mètres de long. Partie B Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z). B R C L V Z T P M. Pour cette question, on justifiera chaque réponse. 0.5 pt a) L ordre du graphe est 9 car il y a 9 sommets. 0.5 pt b) On voit que pour tous couples de sommets, il existe un chemin les reliant. Ainsi, par définition, le graphe est connexe. 0.5 pt c) Il n existe pas d arête de C à T et donc le graphe n est pas complet. 0.5 pt. Un touriste atterrit à l aéroport de Lyon et loue une voiture. Les sommets B, R, C sont de degré impair, ainsi, d après le théorème d Euler, il n existe pas de cycle ni de chaîne Eulérienne. C est-à-dire, le touriste ne pourra pas visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute.

23 Devoir maison : Système linéaire et graphes pour le mardi 0 janvier 05 Exercice. On considère une entreprise U qui produit des fontaines d eau à bonbonnes. Elle fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants : Nombre de recharges en milliers 3 5 Coût total annuel de production en centaines d euros 7,4 83 Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 0] par : C(x) = ax 3 + bx + cx + 0 a, b et c sont des nombres réels. Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, C(x) est le coût total de production en centaines d euros.. Justifier que le triplet (a, b, c) est solution du système (S). (S) a + b + c = 7a + 9b + 3c = 7, 4 5a + 5b + 5c = 73 a et on pose X = b. c. a) Écrire ce système sous la forme MX = Y où M et Y sont des matrices que l on précisera. b) On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l aide de la calculatrice, le triplet (a, b, c) solution du système (S). 3. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d eau produites? Exercice. Lors d une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d autoroute par une arête) : A B C E G F D H 3

24 Partie A. Déterminer, en justifiant, si le graphe G est : a) complet ; b) connexe.. a) Justifier qu il est possible d organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d autoroute. b) Citer un trajet de ce type. 3. On appelle M la matrice d adjacence associée au graphe G (les sommets étant pris dans l ordre alphabétique). Partie B a) Déterminer la matrice M. b) On donne la matrice M = Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H. Préciser ces chemins. Des contraintes d organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d autoroute. 400 B 600 C A E G 00 F D 900 H Déterminer, en utilisant l algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet. 4

25 Devoir maison : Système linéaire et graphes corrigé Exercice. On considère une entreprise U qui produit des fontaines d eau à bonbonnes. Elle fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants : Nombre de recharges en milliers 3 5 Coût total annuel de production en centaines d euros 7,4 83 Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 0] par : C(x) = ax 3 + bx + cx + 0 a, b et c sont des nombres réels. Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, C(x) est le coût total de production en centaines d euros.. D après le précédent tableau, on a f() = a+b+c+0 =, f(3) = 7a+9b+3c+0 = 7.4 et f(5) = 5a + 5b + c + 0 = 83. Ainsi, le triplet (a, b, c) est solution du système (S). a + b + c = a (S) 7a + 9b + 3c = 7, 4 et on pose X = b. 5a + 5b + 5c = 73 c. a) On pose M = et Y = Alors le système (S) est équivalent à l équation matricielle MX = Y. b) On admet que la matrice M est inversible. À l aide de la calculatrice, le triplet (a, b, c) solution du système (S) est a 0.5 b = M Y = 0.4 c 0. Ainsi, le coût total de la production est modélisé par la fonction C définie par C(x) = 0.5x x + 0.x En utilisant cette modélisation, on note que C(8) = 9.4. Ainsi, le coût total annuel de production pour 8000 recharges d eau produites serait de 9 40 euros. Exercice. Lors d une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d autoroute par une arête) : 5

26 A B C E G F D H Partie A. Le graphe G : a) n est pas complet, car il n y a pas d arête de A à E par exemple ; b) est connexe, car entre deux sommets il y au moins une chaîne.. a) Seul les sommets C et D sont de degré impair, ainsi d après le théorème d Euler, il est possible d organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule fois chaque tronçon d autoroute. b) Par exemple le circuit : B-A-D-H-F-G-H-C-G-E-B-C-D amène à passer une et une seule par chaque tronçon. 3. On appelle M la matrice d adjacence associée au graphe G (les sommets étant pris dans l ordre alphabétique). a) La matrice M : M = b) On donne la matrice M =

27 Partie B Il y a 4 chemins de longueur 3 allant de E à H : E - B - C - H E - C - G - H E - G - C - H E - G - F - H Des contraintes d organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d autoroute. 400 B 600 C A E G 00 F Appliquons l algorithme de Dijkstra : D 900 H A B C D E F G H A (400,A) (600,A) B (000,B) (600,A) (800,B) D (000,B) (900,D) > (800,B) (500,D) E (50,E) > (000,B) (800,B) (400,E) (500,D) C (550,C) > (400,E) (450,C) < (500,D) G (600,G) (400,E) (700,G) > (450,C) H (950,H) > (600,G) (450,C) F (600,G) Donc, le chemin le plus court de la ville A à la ville F est A B E G F d une distance de 600km. 7

28 Devoir sur table 3 : graphes mardi 3 février 05 On prendra soin de justifier toutes les réponses! Exercice. Partie A Le graphe représente les chemins entre les différentes stations du réseau des égouts d une ville. A D S E G B C. Un ouvrier se demande s il peut passer par toutes les stations au moins une fois en empruntant tous les chemins exactement une fois. a) Est-ce possible en partant de la station E? Si oui donner un tel chemin. b) Est-ce possible en partant de la station S? Si oui donner un tel chemin.. On ordonne les sommets du graphe de la manière suivante : E, A, B, C, D, G, S. a) Déterminer la matrice d adjacence M associée au graphe précédent. b) Quelle est la nature de la matrice M? c) Avec l ordinateur, on a obtenu le résultat suivant : M 3 = Déterminer le nombre de chemins de longueur 3 de la station E à la station S et préciser ces chemins. Partie B Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts d une ville. E 4 7 A B D C S G 5. Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à S. Déterminer, en utilsant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée. 8

29 . Ayant choisi le trajet le plus rapide, l ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu il ne peut les utiliser. a) Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas? b) S il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S? Combien de temps ce trajet aurait-il pris? Exercice. Soit M = La matrice M est la matrice d adjacence d un graphe G non orienté. Est-ce que le graphe G possède une chaine Eulérienne? 9

30 Devoir sur table 3 : graphes corrigé On prendra soin de justifier toutes les réponses! Exercice. Partie A Le graphe représente les chemins entre les différentes stations du réseau des égouts d une ville. E A B D C S G. Un ouvrier se demande s il peut passer par toutes les stations au moins une fois en empruntant tous les chemins exactement une fois. a) Ce n est pas possible en partant de la station E. En effet, le sommet E est de degré pair, ainsi s il existait un tel type de trajet, une chaîne Eulérienne, d après le théorème d Euler, tous les sommets devraient de degré pair, or S est de degré 3. b) D après le théorème d Euler, comme le graphe est connexe, les sommets E et G sont les seuls à être de degré pair, on déduit qu il possible d emprunter un tel chemin en partant de la station S. Par exemple : S D A E B C A B D G C S G.. On ordonne les sommets du graphe de la manière suivante : E, A, B, C, D, G, S. a) La matrice d adjacence M associée au graphe précédent est : M = b) La matrice M est symétrique. c) Avec l ordinateur, on a obtenu le résultat suivant : M 3 =

31 Le coefficient sur la ère ligne et 7ème colonne de M 3 est 4, ainsi le nombre de chemins de longueur 3 de la station E à la station S est 4, voici les différents chemins possibles : E - A - C - S, E - A - D - S, E - B - C - D et E - B - D - S. Partie B Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts d une ville. E 4 7 A B D C S G 5. Appliquons l algorithme de Dijkstra : E A B C D G S E 0 (4, E) (7, E) A,4 0 (6, A) (, A) (3, A) B,6 0 (, B) (3, A) C, 0 (3, A) (5, C) (9, C) D,3 0 (5, C) (9, C) G,5 0 (9, C) S,9 0 Ainsi, le trajet le plus rapide est E A B C S et il faudra 9 minutes à l ouvrier.. Ayant choisi le trajet le plus rapide, l ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu il ne peut les utiliser. a) Dans ce cas, le trajet entre E et S sera le suivant E A B C B D S et durera 33 minutes. b) En appliquant une seconde fois l algorithme de Dijkstra, on note que s il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, l ouvrier aurait du choisir le trajet E A D S pour se rendre, au plus vite de E à S. Il aurait alors mis minutes. Exercice. Soit M = Voici un graphe non orienté dont M est la matrice d adjacence : Ainsi, on voit qu il n y a pas de chaîne du sommet au sommet. D où le graphe G n est pas connexe et ne possède pas de chaine Eulérienne

32 Bac blanc : graphes mars 05 Exercice (Asie juin 0). Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins. Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins. Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins. Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale. Chaque fois qu un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage. E 4 B A C F 6 D. Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner à chaque candidat?. Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. Est-ce possible? Justifier la réponse. 3. Soit M la matrice associée au graphe G (on ordonne les sommets dans l ordre alphabétique). a) Écrire la matrice M b) On donne les matrices M = et M 3 = Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. Combien a-t-il de possibilités? c) Donner, le trajet correspondant à la distance la plus courte lui permettant d aller récupérer son dossard. 3

33 Bac blanc : graphes mars 05 corrigé Exercice (Asie juin 0). Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins. Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins. Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins. Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale. Chaque fois qu un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage. E 4 B A C F 6 D. Le graphe est constitué de 9 arêtes ainsi, il faut donner au minimum 9 jetons à chaque candidat.. On note que le graphe est connexe et que tous les sommets du graphe sont de degré pair, ainsi, d après le théorème d Euler, il existe un cycle Eulérien. En d autres termes, un candidat peut faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule et ceci quel que soit le point de départ. 3. Soit M la matrice associée au graphe G (on ordonne les sommets dans l ordre alphabétique) a) La matrice M = b) On donne les matrices M = et M 3 =

34 Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. Sur la graphe, on voit qu il n a pas de chemin direct (de longueur ). De la matrice M, on déduit qu il y a chemin de longueur : D F B et la matrice M 3, on déduit qu il y a 3 chemins de longueur 3 : D C A B, D F A B et D C F B. c) Déterminons le trajet le plus court à l aide de l algorithme de Dijkstra : D F E C A B D 0 (6,D) (,C) C, (4, C) < (6, D) (6,C) (8,C) F, 4 (4,C) (6,C) (0, F ) > (8, C) (4, F ) E, 6 (0, E) > (8, C) (4, F ) A, 8 (8,C) (0,A) Donc le chemin le plus court du point D au point B est B C A D et fait 0km. 34

35 Devoir maison 3 : Couplage minimal et évolution d une population pour le mardi 7 mars 05 On prendra soin de justifier toutes les réponses! Exercice (Problème du postier chinois). Le problème dit du postier chinois" consiste à optimiser la distribution du courrier en parcourant, au moins une fois, chacune des rues d une ville (ou d un quartier d une ville) en cherchant à minimiser la distance totale parcourue. H K A B Ce problème a été posé, pour la première fois, par le Chinois Kwan Mei-Ko, en 96. On considère le graphe suivant, représentant le plan d une tournée d un facteur dans un ville. Les poids sur les arêtes sont les longueurs des rues, exprimée en hectomètres et les sommets représentent les intersections des rues. Le bureau de poste est situé au point B. F 3 E 3 3 C D. Lorsque le facteur effectue sa tournée, il part toujours du bureau situé en B pour y revenir en fin de tournée. Le facteur se rend compte qu en changeant tous les jours d itinéraire, il n arrive pas à effectuer sa tournée en passant exactement une fois dans chaque rue. Pouvez-vous lui dire pourquoi?. Calculer d la somme des poids du graphe. Justifier que la distance minimale que le facteur peut parcourir est supérieure strictement à d hectomètres? 3. Lister les noeuds de degré impair. 4. Le couplage A-D et F-H : Considérons que le facteur s autorise à prendre deux fois le chemin A-B-C-D et deux fois le chemin H-F (celui de poids 3). On peut représenter la nouvelle configuration ainsi : A a) Montrer que cette nouvelle configuration admet un cycle Eulérien partant de B et en déterminer un. 3 H 3 K 3 3 B 3 b) Quelle est la distance totale d, en hectomètres, parcourue par le facteur en parcourant le précédent cycle Eulérien? F E C D c) Justifier que la distance (minimale) entre A et D est 5 hectomètres et la distance (minimal) entre F et H est 3 hectomètres. d) Vérifier que d = d Faire le même raisonnement que dans la question précédente, avec le couplage A F et D H (attention à bien emprunter une chaîne plus courte pour aller de A à F et de même de D à H). 35

36 6. De même avec le couplage A H et D F. 7. Y a-t-il un autre couplage possible entre les arêtes de degré impair? 8. Conclure que la distance minimale que le facteur doit parcourir pour faire sa tournée est de 3500m et préciser un exemple d une tournée "minimale". Exercice (Modèle de Leslie). On s intéresse à une population de rongeurs ayant un cycle de reproduction de 3 ans, répartie en trois catégories : juvéniles (J), pré-adultes (P) (rongeurs de an) et adultes (A) (rongeurs de ans). On ne considère ici que la sous-population formée des individus femelles. On suppose que chaque femelle donne naissance en moyenne à 6 femelles durant sa deuxième année (lorsqu elle est préadulte) et à 0 femelles durant sa troisième année (lorsqu elle est adulte). Cependant, une femelle sur deux survit au-delà de sa première année et 40% de celles qui survivent la deuxième année survivront jusqu à la troisième année. On suppose donc qu aucun rongeur ne vit plus de 3 années. En 0, cette population de rongeurs comportait 30 juvéniles, 50 pré-adultes et 50 adultes. On se propose d étudier l évolution de cette population de rongeurs.. Avec un tableau : On souhaite prédire l évolution de cette population à l aide d un tableur. a) Réaliser cette feuille de calcul. Saisir la formule adéquate dans la cellule E ; puis les formules adéquates dans la plage B3 :E3, puis recopier vers le bas. 3 4 A B C D E F G Année Rang de Total des Juvéniles Pré-adultes Adultes l'année femelles Rapport ,4 04 Vous écrirez toutes les formules entrées sur votre copie. b) Déterminer le nombre de rougeurs dans chaque catégorie en 07. c) Pour avoir une idée de l évolution de cette population, représenter dans une même fenêtre graphique l allure du nuage de points correspondant aux trois catégories ainsi qu à la population totale. De quel type d évolution s agit-il? d) Dans la colonne G, on décide de faire apparaître les rapports entre le nombre total de rongeurs femelles et celui de l année précédente. Saisir en G3 la formule adéquate afin d obtenir, par recopie vers le bas, ce rapport au cours des années suivantes. Quelle conjecture peut-on émettre sur l évolution de ce rapport? La réprésenter dans une nouvelle fenêtre graphique. Émettre alors une conjecture sur l évolution de cette population de rongeurs.. Avec un graphe pondéré : a) Recopier et compléter le graphe pondéré ci-contre traduisant la situation J P A

37 b) Donner la matrice de transition M associée construite de manière analogue à celle d un graphe probabiliste en choississant comme ordre des sommets : J, P, A. La matrice M est appelée la matrice de Leslie du modèle. c) Si l on désigne respectivement par j n, p n et a n le nombre de femelles juvéniles, préadultes et adultes en 0+n, justifier que la situation peut se traduire par le système suivant : j n+ = 6 p n + 0 a n p n+ = 0.5 j n a n+ = 0.4 p n ] d) En notant X n la matrice ligne [j n p n a n donnant la répartition de la population en 0 + n, vérifier que X n+ = X n M. e) Montrer que X = X 0 M. f) On admet que pour tout nombre entier naturel n, X n = X 0 M n. Donner avec la calculatrice le nombre de rongeurs dans chaque catégorie en 07. Remarque. Le statisticien anglais Partick Leslie a développé en 945 un modèle pour décrire l évolution du nombre de femmelles chez les rongeurs qui provoquent de gros dégâts dans les réserves alimentaires. De nos jours, ce modèle est adopté par de nombreux biologistes et son usage est facilité par l emploi d ordinateurs comme nous l avons vu. 37

38 Devoir maison 3 : Couplage minimal et évolution d une population corrgé Exercice (Problème du postier chinois). Le problème dit du postier chinois" consiste à optimiser la distribution du courrier en parcourant, au moins une fois, chacune des rues d une ville (ou d un quartier d une ville) en cherchant à minimiser la distance totale parcourue. H K A B Ce problème a été posé, pour la première fois, par le Chinois Kwan Mei-Ko, en 96. On considère le graphe suivant, représentant le plan d une tournée d un facteur dans un ville. Les poids sur les arêtes sont les longueurs des rues, exprimée en hectomètres et les sommets représentent les intersections des rues. Le bureau de poste est situé au point B. F 3 E 3 3 C D. On note que dans le graphe les sommets A, D, F et H sont de degré impair. Ainsi, d après le théorème d Euler, il n existe pas de chaîne ni cycle Eulérien. Ce qui explique que lorsque le facteur effectue sa tournée, il n arrive pas à effectuer sa tournée en passant exactement une fois dans chaque rue.. La somme des poids du graphe est d = 9. Ainsi, la distance minimale que le facteur peut parcourir est supérieure strictement à 9 hectomètres, la somme des longueurs de chacune des rues. 3. Les noeuds de degré impair sont A, D, F et H. 4. Le couplage A-D et F-H : Considérons que le facteur s autorise à prendre deux fois le chemin A-B-C-D et deux fois le chemin H-F (celui de poids 3). On peut représenter la nouvelle configuration ainsi : 3 H 3 K 3 A B 3 3 a) On note que dans cette nouvelle configuration, tous les sommets du graphe sont de degré pair. Ainsi, d après le théorème d Euler, il existe un cycle Eulérien partant de B : B-A-B-A-K-H-F-H-F- E-K-B-C-E-D-C-D-C-B. F E C D b) La distance totale parcourue par le facteur en parcourant le précédent cycle Eulérien est de d = 37 hectomètres. c) Il est presque immédiat en observant le graphe que la distance (minimale) entre A et D est 5 hectomètres et la distance (minimal) entre F et H est 3 hectomètres. 38

39 d) Ainsi, on note la relation entre les différentes distances : d = d Pour obtenir la distance parcourue en passant une fois par toutes les rues et deux fois par A-B-C-D et F-H, il suffit d ajouter à d les longeurs des deux précédentes chemins minimaux reliant les 4 sommets de degré impair. 5. On considère maintenant le couplage A F et D H : Le chemin le plus court entre A et F est A K H F de longueur 6 hectomètres et le chemin le plus court entre D et H est D E F H de longueur 6 hectomètres. Ainsi, si le facteur passe une fois dans chaque rue et une seconde par A K H F et D E F H, il parcourra en tout d = 9 + = 4 hectomètres en tout. 6. De même avec le couplage A H et D F : Le chemin le plus court entre A et H est A K H de longueur 3 hectomètres et le chemin le plus court entre D et F est D E F de longueur 3 hectomètres. Ainsi, si le facteur passe une fois dans chaque rue et une seconde par A K H et D E F, il parcourra en tout d = = 35 hectomètres en tout. 7. Il n y a que 3 couplages possibles entre les 4 sommets de degré impair : A D, H F et A F, D H et A H, D F. 8. Du théorème d Euler, on déduit que si le facteur veut faire sa tournée, il est obligé de passer fois par chacun des sommets de degré impair. Dans les questions 4, 5 et 6, on a étudié les différents couplages possibles entre les 4 sommets de degré impair. On voit qu avec le couplage A H, D F, il parcourra 3500m. Plus concrètement, voici une tournée optimale : B-A-K-H-F-H-K-A-B-K-E-F-E-D-C-D-E-C-B. Exercice (Modèle de Leslie). On s intéresse à une population de rongeurs ayant un cycle de reproduction de 3 ans, répartie en trois catégories : juvéniles (J), pré-adultes (P) (rongeurs de an) et adultes (A) (rongeurs de ans). On ne considère ici que la sous-population formée des individus femelles. On suppose que chaque femelle donne naissance en moyenne à 6 femelles durant sa deuxième année (lorsqu elle est préadulte) et à 0 femelles durant sa troisième année (lorsqu elle est adulte). Cependant, une femelle sur deux survit au-delà de sa première année et 40% de celles qui survivent la deuxième année survivront jusqu à la troisième année. On suppose donc qu aucun rongeur ne vit plus de 3 années. En 0, cette population de rongeurs comportait 30 juvéniles, 50 pré-adultes et 50 adultes. On se propose d étudier l évolution de cette population de rongeurs.. Avec un tableau : On souhaite prédire l évolution de cette population à l aide d un tableur. a) (Réaliser cette feuille de calcul. Saisir la formule adéquate dans la cellule F ; puis les formules adéquates dans la plage A3 :F3, puis recopier vers le bas.) A B C D E F G Année Rang de Total des Juvéniles Pré-adultes Adultes l'année femelles Rapport , , , , , , , , , , , , , , ,00 39