Mathématiques et actuariat

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1 Mathématiques et actuariat Maths Club, Paris 7, 1 er fév. 21 Stéphane Loisel loisel@univ-lyon1.fr

2 Un transparent en espagnol Un médico dice a una mujer: -A usted solo le queda un año de vida. Ella pregunta: -Realmente no hay nada que hacer? El médico le dice -Claro, usted puede cadarse con un actuario. Ah, y eso me hara vivir mas tiempo?

3 Un transparent en espagnol Un médico dice a una mujer: -A usted solo le queda un año de vida. Ella pregunta: -Realmente no hay nada que hacer? El médico le dice -Claro, usted puede cadarse con un actuario. Ah, y eso me hara vivir mas tiempo? -Non, pero el año le parecera mucho mas largo!

4 Classement 21 des métiers Jobs rated Actuary Interprets statistics to determine probabilities of accidents, sickness, and death, and loss of property from theft and natural disasters. 2. Software Engineer 3. Computer Systems Analyst 4. Biologist 5. Historian 6. Mathematician 7. Paralegal Assistant 8. Statistician 9. Accountant 1. Dental Hygienist

5 Contrat de Monsieur DUPONT En cas de décès de l assuré, Monsieur DUPONT, survenant dans l année la famille de Monsieur DUPONT reçoit de l assureur 2.

6 I : Un transfert de risque Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. achète de l avenir sécurisé ASSURE ASSUREUR reçoit de l avenir incertain Premier rôle de l actuaire L analyse du Passif de l assureur modéliser l incertitude pesant sur l avenir et calculer le montant réclamé (la prime) à Monsieur DUPONT à la signature du contrat. s assurer que la réalisation de cet avenir est conforme à sa modélisation

7 Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. II : Inversion du cycle de production paye immédiatement ASSURE ASSUREUR encaisse immédiatement inversion du cycle de production Industrie classique fabrication du produit Industrie de l assurance vente (signature du contrat) vente fabrication du produit (la garantie liée à l éventuel décès)

8 Le Contrat En cas du décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. Deuxième rôle de l actuaire La gestion de la dette de l assureur envers l assuré calculer le montant de la dette définir une politique de placement des actifs sur les marchés financiers afin de : s assurer que l assureur pourra honorer ses dettes envers ses assurés. réaliser les meilleurs profits possibles

9 La prime pure : Un échange équitable(?) engagement de l assuré (versement des primes) = engagement de l assureur (versement des prestations en cas de sinistre)

10 Le calcul de la prime pure Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. On suppose que Monsieur Dupont a 2 chances sur 1 de décéder dans l année.(étude statistique) Si l assureur vend 1. contrats il aura «a peu près» (loi dite des «grands nombres»): 1.*.2=2 décès et devra donc payer 2*2. soit 4.. Le tarif est équitable si l assureur demande à M. Dupont une prime pure de 4.. euros / 1. =4

11 Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. euros mais Le calcul de la prime pure ne valorise pas le transfert de risque de l assureur vers l assuré De plus l assureur peut-il honorer ses engagements en toutes circonstances avec le versement de la prime pure? si Monsieur Dupont ne décède pas l assureur garde 4 mais si Monsieur Dupont décède l assureur a besoin de = 196 : il est ruiné!

12 Le Contrat En cas du décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. Comment éviter la ruine ou tout au moins la rendre exceptionnelle? Première piste: La mutualisation des risques Si l assureur n a vendu qu un seul contrat la ruine est évitée à coup sûr s il demande 2. à Monsieur Dupont au lieu des 4. Il serait fou d accepter! Heureusement l assureur est un commerçant : il vend plusieurs centaines de contrats!

13 Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. Premier cas: L assureur a vendu 1 contrats identiques au contrat vendu à Monsieur DUPONT. Il a reçu 1*4=4. de prime pure Il est donc ruiné s il doit payer plus de 4. On va imaginer (c.à.d simuler) l avenir de ces contrats un très grand nombre de fois (par exemple 1 fois) et on regarde ce que nous raconte la loi des grands nombres..

14 Nombre d'obs solvable simulations d'un portefeuille de 1 assurés 6 ruine si plus de 2 décès :32% Montant des primes pures Montant des prestations nombre de décès es de décès

15 Nombre d'obs simulations d'un portefeuille de 1 assurés ruine souhaitée inférieure à 1% nombre de décès 1 4 prime par contrat 12/1 =12! besoin de garantir 6 décès es de décès

16 Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. Deuxième cas: L assureur a vendu 5 contrats identiques au contrat vendu à Monsieur DUPONT. Il a reçu 5*4=2.. de prime pure Il est donc ruiné si il a à payer plus de 2..

17 1 simulations d'un portefeuille de 5 contrats Nombre d'obs nombre de décès Les primes pures permettent d honorer 1 décès 5151 fois sur 1. Pour une ruine souhaitée inférieure à 1 %, il faut pouvoir honorer 123 décès montant à percevoir : 2.*123=2.46. prime par contrat : 2.46./5 = 492

18 prime Les effets de la mutualisation prime à ruine à 1% prime(n) taille du portefeuille prime pure

19 Une autre possibilité pour réduire les risques de ruine Etat La constitution de réserves D ou viennent ces réserves? Institutions de prêts Actionnaires Les réserves permettent-elles de réduire le montant des primes? NON Constituer des réserves est une opération coûteuse L assureur doit rémunérer les apporteurs des réserves. Coût du capital: marge de risque à répercuter sur les assurés.

20 Le Contrat En cas de décès de M. Dupont survenant dans l année la famille reçoit de l assureur 2. En France pour le contrat vendu à M DUPONT l assureur doit réserver.3%*2. (= 6 ) soit 15% de la prime pure. Si la prime est de 492 l assureur dispose, par contrat, de 492+6=552 Pour 5 contrats il perçoit 552*5=2.76. et peut faire face à 2.76./2 = 138 décès Nombre d'obs 1 simulations d'un portefeuille de 5 contrats nombre de décès avec réserve ruine quasi impossible pas de réserve ruine < à 1%

21 Une possibilité pour pallier au manque de réserves Un transfert (partiel) des risques à un réassureur réassureur gan assureurs A X A SCOR Famille Dupont

22 Réassureur : Assureur des assureurs portefeuille plus important meilleure mutualisation moins d incertitudes moins de possibilités de ruine Prime réduite? En principe oui mais le transfert génère aussi des frais!

23 Nombre d'obs 1 simulations d'un portefeuille de 1 assurés nombre de décès Pour 1 contrats vendus par l assureur Sans réassureur Ruine < 1% : prime=12 1 simulations d'un portefeuille de 5 contrats Nombre d'obs nombre de décès transfert total à un réassureur Ruine < 1% : prime=492 +rémunération du réassureur

24 Le réassureur est il au sommet de la pyramide? Non! Il y a des risques qui se mutualisent très peu (pandémies, tempêtes, inondations, tremblements de terre, faillites, allongement de la durée de vie, etc ) Les réassureurs n ont pas toujours la possibilité financière (ni l envie) de prendre ces risques. On fait appel aux marchés financiers (arrivée de nouveaux produits dont la rémunération dépend de la survenance ou non du risque couvert). Ce transfert s appelle titrisation. Le risque est directement pris par les détenteurs du produit!

25 Réassurance et titrisation La réassurance traditionnelle a tendance à concentrer les risques Avec la titrisation, la pyramide devient un sablier! Assurés Réassureurs Assureurs Investisseurs «taille» du risque

26 La titrisation «atomise»-t-elle vraiment les risques?

27 La titrisation «atomise»-t-elle vraiment les risques? Le risque ne disparaît pas, il est juste transféré, recombiné. Cela peut entraîner des crises de corrélation (crises des subprimes par exemple)

28 Solvabilité II

29 Solvency Capital Requirement (SCR) Standard formula: Lognormal loss distribution assump 1-Year Time Horizon SCR Andres Scotti

30 Solvabilité II: le SCR

31 Contrats complexes: les variable annuities Pourquoi votre grand-mère achète-t-elle des options quanto-asiatiques? (M. Milevsky)

32 Risque endogène: analogie avec le Millenium Bridge

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37 Cf Danielsson & Shin, 23: Endogenous Risk

38 Les actuaires Assemblée Générale Ordinaire 29 juin 29 - Paris Concorde Lafayette 38

39 Les actuaires Assemblée Générale Ordinaire 29 juin 29 - Paris Concorde Lafayette 39

40 Les actuaires Assemblée Générale Ordinaire 29 juin 29 - Paris Concorde Lafayette 4

41 Les 1 formations d actuaires reconnues en France ISFA ISUP ULP EURIA Dauphine ENSAE ESSEC CNAM CEA CDI

42 Solvencia II Conosce la diferencia entre un actuario intravertido y un actuario extravertido?

43 Solvencia II Conosce la diferencia entre un actuario intravertido y un actuario extravertido? Un actuario intravertido mira sus zapatos cuando te habla.

44 Solvencia II Conoces la diferencia entre un actuario intravertido y un actuario extravertido? Un actuario intravertido mira sus zapatos cuando te habla. Un actuaria extravertido mira tus zapatos cuando te habla.

45 Pour toute question: Merci pour votre attention!