ESPACES VECTORIELS. . une loi externe sur E c est à dire une application de K E dans E on dit que le triplet (E, +,.) est un K espace vectoriel si

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1 Chapitre 5 ESPACES VECTORIELS K est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur K 1 Espace vectoriel, algèbre E un ensemble non vide Définition 1 Soit + une loi interne sur E c est à dire une application de E E dans E. une loi externe sur E c est à dire une application de K E dans E on dit que le triplet (E, +,.) est un K espace vectoriel si 1. (E, +) est un groupe commutatif 2. (u, v) E 2 α K α.(u + v) = α.u + α.v 3. u E (α, β) K 2 (α + β).u = α.u + β.u 4. u E (α, β) K 2 (αβ).u = α.(β.u) 5. u E 1.u = u Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K des scalaires. Définition 2 On dit que A est un sous-espace vectoriel de E (sev) si 1. A 2. (u, v) A 2 u + v A 3. u A λ K λ.u A Remarque 3 A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si 1. 0 E A 2. (u, v) A 2 (α, β) K 2 α.u + β.v A Définition 4 Soit A un point d un espace vectoriel et F un sev de E. On appelle sous-espace affine (sea) passant par A de direction F l ensemble: {A + u : u F } Définition 5 Soit f une application de E dans F on dit que f est linéaire si 1. (x, y) E 2 f(x + y) = f(x) + f(y) 2. x E α K f(αx) = αf(x) l ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ). L ensemble des applications linéaires de E dans E, encore appelées endomorphismes est noté L(E) L ensemble des endomorphismes bijectifs de E encore appelés automorphismes est noté GL(E). Remarque 6 f est une application linéaire si et seulement si: (x, y) A 2 (α, β) K 2 f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) 25

2 Proposition 7 1. L image par une application linéaire d un sev est un sev. 2. L image réciproque par une application linéaire d un sev est un sev. 3. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est {0} 4. GL(E) est un groupe. Définition 8 On appelle application affine de E dans F une application telle qu il existe un vecteur b de F et une application l L(E, F ) tels que x E, f(x) = b + l(x) Proposition 9 1. L image par une application affine d un sea est un sea. 2. L image réciproque par une application affine d un sea est vide ou un sea. 3. La composée de deux applications affines est affine, d application linéaire associée la composée des applications linéaires associées. 4. Une application affine est bijective si et seulement si application linéaire associée l l est et dans ce cas f 1 a pour application linéaire associée l 1 Définition 10 Soit K un corps et A un ensemble non vide muni de deux lois de composition interne (notées + et ) et d une loi externe ( notée. ). On dit que (A, +,,.) est une K algèbre si : 1. (A, +,.) est un K espace vectoriel, 2. (A, +, ) est un anneau, 3. (a, b) A 2, λ K, (λ.a) b = a (λ.b) = λ.(a b). Exemple 11 1.K[X] est une K-algèbre, 2. si E est un K espace vectoriel alors (L(E), +, o,.) est une K algèbre, 3.F(X, K) ensemble des fonctions d un ensemble X dans K est une K algèbre, en particulier l ensemble des suites réelles. Définition 12 Soit (A, +,,.) une K algèbre et B une partie de A, on dit que B est une sous-algèbre de A si : 1. 1 A B 2. (x, y) B 2 (α, β) K 2 αx + βy B 3. (x, y) B 2 x y B Définition 13 Soit A et B deux K algèbre, on appelle morphisme d algèbres de A dans B toute application linéaire qui est un morphisme d anneaux c est à dire : 1. (x, y) A 2 (α, β) K 2 f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) 2. f(1 A ) = 1 B 3. (x, y) A 2 f(x y) = f(x) f(y) 26

3 2 Familles generatrices, libres, bases Définition 14 Soit A une partie de E. On appelle combinaison linéaire des éléments de A tout élément de E de la forme p λ k u k ; avec p N ; λ k K; u k A k=1 Attention: A peut être infinie mais le nombre d éléments dans la somme est fini Proposition 15 Soit A une partie non vide de E, l ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A est un sous espace vectoriel de E, on l appelle espace vectoriel engendré par A et on le note V ect(a). V ect(a) est le plus petit sous espace vectoriel de E contenant A. On définit de même le sous espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs de E. Définition 16 La famille (u i ) i I est une famille génératrice de E si E = V ect(u i ) i I Définition 17 On dit que la famille (u 1,..., u p ) de vecteurs de E est liée ou linéairement dépendante si : (λ 1,..., λ n ) K p ; (λ 1,..., λ p ) (0,.., 0) : p λ k u k = 0 k=1 Si la famille (u 1, u 2 ) est liée on dit que les vecteurs u 1, u 2 sont colinéaires. On dit que la famille (u 1,..., u p ) de vecteurs de E est libre ou linéairement indépendante si elle n est pas liée. On dit que la famille (x i ) i I E I est libre si toute sous-famille finie est libre. Proposition 18 La famille (u 1,..., u p ) de vecteurs de E est libre si et seulement si ( p ) λ k u k = 0 (λ 1 =... = λ p = 0) k=1 Définition 19 On dit que la famille (x i ) i I E I est une base si elle est libre et génératrice. Exemple La famille (X n ) n N est une base de K[X], appelée base canonique. 2. Toute famille (P n ) n N K[X] N telle que deg P n = n est une base de K[X]. 3. La famille (f a ) a R C(R, R), définie par f a (x) = e ax est une famille libre de C(R, R). 4. Soit [a, b] un segment de R tel que a < b, la famille (f x ) x [a,b] C([a, b], R), définie par f x (t) = x t est une famille libre de C([a, b], R). Soient E et F deux espaces vectoriels. Proposition 21 Soit u L(E, F ), soit (x i ) i I une famille de vecteurs de E, on a : u(v ect(x i ) i I ) = V ect(u(x i )) i I (u injective et (x i ) i I libre) (u(x i )) i I libre 27

4 Théorème 22 Soient (e i ) i I une base de E et (f i ) i I une famille de vecteurs de F. Il existe une unique application linéaire u L(E, F ) telle que i I, u(e i ) = f i, de plus : u bijective (f i ) i I est une base Remarque 23 Si E et F sont de dimension finie et si dim E = dim F alors : u surjective u injective Définition 24 Soit u L(E, F ), on dit que u est de rang fini si Imu est de dimension finie, on appelle alors rang de u la dimension de Imu. 3 Produit d une famille finie d espaces vectoriels Théorème-définition 25 Soient E 1,..., E n n espaces vectoriels sur K. L ensemble produit n E i muni des lois produits définies par : (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) et α(x 1,..., x n ) = (αx 1,..., αx n ) est un espace vectoriel appelé espace vectoriel produit.. Les projections canoniques π i : (x 1,..., x n ) x i de j I E j dans E i sont linéaires. Remarque 26 Lorsque i {1,..., n}, F i = E, on note le produit E n. Il s identifie naturellement à A({1,..., n}, E). Proposition 27 Si les espaces vectoriels E i sont de dimension finie pour tout i alors n F i est de dimension finie et n n dim F i = dim F i 4 Somme et somme directe d une famille finie d espaces vectoriels 4.1 Définitions Définition 28 Soient E 1,..., E r r sous espaces vectoriels d un espace vectoriel E. On appelle somme des sous-espaces vectoriels (E i ) i {1,...,r} le sous-espace vectoriel : { r r } E i = x i : i {1,..., r}, x i E i Proposition 29 Lorsque E est de dimension finie, dim r E i r dim E i Définition 30 On dit que E est somme directe des espaces vectoriels E i, i {1,..r} on note E = si l une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée. r 28 E i

5 1. Tout vecteur de E se décompose de manière unique comme somme de vecteurs des E i 2. L application suivante est un isomorphisme : r E i E (x 1,..., x r ) r x i 3. l = r E i (x 1,..., x r ) r E i, ( r x i = 0) ( i {1,..., r}, x i = 0 4. E= r E i ( ) j {1,..., r}, E j 1 i r,i j E i = {0} Proposition 31 Lorsque E est de dimension finie, on a les équivalence : E = r E i { E = r E i dim E = r dim E i { ( r ) j {1,..., r}, E E = E i j 1 i r,i j E i = {0} dim E = r dim E i r E = E i la concaténation des bases B i des E i est une base B de E Dans ce cas on dit que B est une base adaptée à r E i. Proposition 32 Si E est de dimension finie alors dim(f + G) = dim F + dim G dim F G 4.2 Sous espaces supplémentaires Définition 33 Si E est somme directe des sous espaces F et G on dit que F et G sont supplémentaires. Théorème 34 du rang Soient u L(E, F ), L image de u est isomorphe à tout supplémentaire du noyau de u Si E est de dimension finie alors le rang de u est fini, le noyau de u est de codimension finie et : dim E = ker u + rang u 29

6 4.3 Projections Proposition 35 Supposons E = r E i, alors pour tout i I on a ( ) E = E i E j 1 j r,i j on peut définir p i la projection sur E i parallèlement à 1 j r,i j E i, on dit que (p i ) i {1,...,r} est une famille de projection associées à la décomposition (E i ) i {1,..,r} et on a : : 1. r p i = id, 2. p 2 i = p i pour tout i, 3. p i op j = 0 pour tout (i, j) tel que i j. Définition 36 Soit p L(E) on dit que p est un projecteur si p 2 = p Proposition 37 p est un projecteur si et seulement si il existe deux sous espaces vectoriels E 1 et E 2 supplémentaires tels que p soit la projection sur E 1 parallèlement à E 2. Proposition 38 Soient E = F G = F H La projection sur H parallèlement à F induit un isomorphisme de G sur H. Définition 39 On dit que le sous-espace vectoriel E de E est de codimension fine, s il possède un supplémentaire de dimension finie, on note co dim E la dimension commune de ses supplémentaires. 5 Dualité 5.1 Définitions Définition 40 On appelle forme linéaire sur un K espace vectoriel E toute application linéaire de E dans K. On appelle dual de E l ensemble des formes linéaires sur E et on le note E. Exemple forme coordonnée sur une base, 2. l évaluation en un point, 3. Soient a et b deux réels tels que a b et E ={applications continues par morceaux de [a, b] dans C }. L application E C f b a f Proposition 42 E est un K espace vectoriel. est une forme linéaire sur E Définition 43 On appelle hyperplan de E tout sev de codimension 1 Théorème 44 Soit H un sev de E, H est un hyperplan si et seulement si il est le noyau d une forme linéaire ϕ sur E non nulle. On dit alors que la relation ϕ(x) = 0 est une équation de H. Proposition 45 Soient ϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur E; On a ker ϕ = ker ψ α K, ϕ = αψ 30

7 5.2 Bases duales Soit E u K espace vectoriel de dimension finie n Théorème-définition 46 Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E. On considère pour chaque i la forme linéaire coordonnée e i sur E définie par j {1,..., n}, e i (e j ) = δ i,j La famille (e 1,..., e n) forme une base de E appelée base duale de B et est notée B Corollaire 47 E est un espace vectoriel de dimension n Proposition 48 Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E et B = (e 1,..., e n) sa base duale. On a 1. n x E, x = e i (x)e i ϕ E, ϕ = n ϕ(e i )e i 2. x E, ϕ E si X = Mat B (x) et U = Mat B (ϕ) alors ϕ(x) = t UX Proposition 49 Soient B et B deux bases de E et P la matrice de passage de B à B. La matrice de passage de B à B est t P 1 Théorème-définition 50 Pour toute base F de E, il existe une unique base B de E telle que F = B, B est appellée la base préduale (ou duale) de F, on dit que B et F sont des bases duales l une de l autre. Exemple 51 Soit E = C n [X]. 1. Soit ϕ k la forme linéaire définie par ϕ k : P 1 k! P (k) (0) (ϕ 0,.., ϕ n ) est la base duale de (X 0, X,, X n ) 2. Soit a 0,..., a n, n + 1 points distincts de C. Soit ϕ k la forme linéaire définie par ϕ k : P P (a k ) (ϕ 0,.., ϕ n ) est la base duale de la famille des polynômes de Lagrange associée à a 0,..., a n 5.3 Formes linéaires et sous-espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel de dimension n. Proposition 52 L ensemble des formes linéaires s annulant sur un sous-espace F de E de dimension p est un sous-espace vectoriel de E de dimension n p. Proposition 53 Si (ϕ 1,..., ϕ q ) est une famille libre de formes linéaires, alors q F = Kerϕ i est un sous-espace de E de dimension n q. De plus toute forme linéaire ϕ s annulant sur F est combinaison linéaire de ϕ 1,..., ϕ q coefficients de la combinaison linéaire s appelle les multiplicateurs de Lagrange de ϕ. q Kerϕ i ker ϕ ϕ V ect(ϕ 1,..., ϕ q ), les 31

8 5.4 Equations d un s.e.v., d un s.e.a. Soit E un Ke.v. de dimension n, soit F un sev de E et soit A un sous espace affine Théorème 54 Si dim F = p alors F est l intersection de n p hyperplans indépendants, c est à dire il existe n p formes linéaires ϕ i indépendantes telles que : On dit que le système est un système d équations définissant F. x F i {1,..., n p}, ϕ i (x) = 0 i {1,..., n p}, ϕ i (x) = 0 Remarque 55 Avec les notations précédentes, un hyperplan H contient F ssi il existe (α 1,..., α n p ) K n p tels que H a pour éqution : n p α i ϕ i (x) = 0 Théorème 56 Si dim A = p alors A est l intersection de n p hyperplans affines indépendants, c est à dire il existe n p formes linéaires ϕ i indépendantes et n p scalaires b i tels que : x A i {1,..., n p}, ϕ i (x) = b i On dit que le système i {1,..., n p}, ϕ i (x) = b i est un système d équations définissant A. La direction de A est alors le sev défini par le système d équations : i {1,..., n p}, ϕ i (x) = 0 Corollaire 57 Faisceaux de plans en dimension 3 : Soit D une droite d équation { a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 Un plan P contient la droite D ssi il existe (α 1, α 2 ) K 2 tel que P a pour équation : α 1 (a 1 x + b 1 y + c 1 z d 1 ) + α 2 (a 2 x + b 2 y + c 2 z d 2 ) = 0 6 Applications polynomiales sur K n K est un corps infini et n N Définition 58 On appelle application mônome sur K n, ou mônome sur K n, toute application f (k1,...k n) de K n dans K définie par (x 1,..., x n ) x k x kn n avec (k 1,...k n ) N n. On notera f (k1,...k n) par abus x k x kn n. On appelle application polynomiale sur K n ou polynôme sur K n, toute combinaison linéaire d applications monômes. On dit que P est une application polynomiale, si il existe un entier naturel n tel que p soit une application polynomiale sur K n. 32

9 Théorème 59 L ensemble des applications polynomiales sur K n est une algèbre de F(K n, K) noté K[x 1,..., x n ]. Théorème 60 La famille (x k x kn n ) (k1,...k n) N n est une base de K[x 1,..., x n ]. Définition 61 On appelle degré d une application polynômiale P, et l on note deg P, le plus grand entier k k n tel que x k x kn n apparaisse dans P. On pose par définition deg 0 =. Proposition 62 Soient P et Q deux applications polynomiales, 1. deg(p + Q) max(deg P, deg Q) 2. deg(p Q) = deg P + deg Q Définition 63 On appelle application polynomiale homogène toute application ne contenant que des applications monômes de même degré. Proposition 64 Toute application polynomiale P peut s écrire de manière unique sous la forme P = i I P i avec I partie finie de N, P i application polynomiale homogène de degré i. 7 Hors programme : Sous-algèbre monogène d une K algèbre E désigne une K algèbre non nécessairement commutative et a un élément de E. 7.1 Morphisme d évaluation Théorème 65 Si P = n α ix i K[X], on appelle valeur de P en a, l élément n α ia i noté P (a). L application f a : K[X] E est un morphisme d algèbre. P P (a) Théorème-définition 66 L image de f a est une sous-algèbre de E noté K[a]. C est la plus petite sous-algèbre de E contenant a, on l appelle la sous-algèbre de E engendrée par a. Remarque Le sous-espace vectoriel K[a] est engendré par {a k,..k N} 2. K[a] est une algèbre commutative. Définition 68 On appelle sous-algèbre monogène de E toute sous-algèbre de E de la forme K[a]. Théorème-définition 69 Le noyau de f a est un idéal de K[X]. On l appelle l idéal annulateur de a. On appelle polynôme annulateur de a tout élément de l idéal annulateur de a. Définition 70 On dit que a est : algébriquement libre si son idéal annulateur est réduit à {0}, algébriquement lié si son idéal annulateur n est pas réduit à {0}, on appelle alors polynôme minimal de a, et on le note M a, l unique polynôme unitaire qui engendre cet idéal. 33

10 Exemple 71 la fonction sin est algébriquement libre dans C(R) 2 est algébriquement lié sur Q de polynôme minimal (X 2 2) La limite de la suite ( n 1 k=1 kk!) est algébriquement libre sur Q, on dit que c est un nombre transcendant sur Q. 7.2 Structure d une sous-algèbre monogène Théorème Si a est algèbriquement libre alors, K[a] est de dimension infinie et f a est un isomorphisme d algèbre. 2. Si a est algèbriquement liée alors, K[a] est de dimension finie égale à n = deg M a et la famille (1, a,..., a n 1 ) est une base de K[a]. Supposons a algébriquement lié Théorème 73 On a équivalence entre les propositions suivantes : 1. P est premier avec M a, 2. P (a) est inversible dans E, dans ces conditions, l inverse de P (a) est U(a) avec UP + V M a = 1. Théorème 74 On a équivalence entre les propositions suivantes : 1. le polynôme M a est irréductible sur K[X], 2. l algèbre K[a] est un corps, 3. l algèbre K[a] est intègre. Corollaire 75 Si E est intègre alors K[a] est un corps. 34