Fiche méthode : exploiter un graphique Application à la loi de Descartes

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1 Fiche méthode : exploiter un graphique Application à la loi de Descartes I. Représentation graphique d une fonction mathématique : Une fonction mathématique «y=f(x)» permet de connaître la valeur de y pour chaque valeur de x. A la fonction correspond une courbe qu on peut tracer dans un graphique ; y est alors l ordonnée et x l abscisse du graphique. On dit que la courbe obtenue lorsqu on a tracé y en fonction de x est la courbe représentative de la fonction f(x). Quelques exemples : Représentation d une fonction linéaire ( y = a.x) Représentation d une fonction affine ( y = a.x+b ) Représentation d une parabole ( y = a.x 2 ) Représentation de la fonction inverse ( y = a.1/x) Laquelle de ces 4 fonctions traduit le fait que y est proportionnel à x? Quelle est la représentation graphique correspondante? Quel est le coefficient de proportionnalité?

2 II. Détermination du coefficient directeur d une droite : Voici la représentation d une fonction y=f(x). Par comparaison avec les exemples donnés précédemment, de quelle fonction s agit-il? Que peut-on dire de la relation entre y et x? On cherche à déterminer le coefficient de proportionnalité «a». On l appelle aussi coefficient directeur de la droite. Pour cela, choisir 2 points appartenant à la droite : A ( ; ) et B ( ; ) yb y A a Calcul de a : xb x A A.N. : Ecrire la relation entre y et x : III. Application à la physique : En physique, on cherche à déterminer la relation entre 2 grandeurs physiques qui jouent le rôle de x et y en maths. On trace souvent la représentation graphique d une grandeur en fonction de l autre ; on essaie de trouver la fonction qui correspond alors à la courbe obtenue. 1. Représentation d une grandeur en fonction d une autre : Remplir le tableau suivant, et indiquer sur les axes quelles sont les grandeurs qui doivent y figurer : Graphe tracé Grandeur jouant le rôle de y Grandeur jouant le rôle de x Axes h en fonction de Δt h en fonction de Δt 2

3 2. Loi de Descartes : Nous avons étudié la réfraction d un rayon lumineux lorsqu il passe d un milieu à un autre ; il subit une déviation due au changement de vitesse de propagation de la lumière. La relation entre i l angle d incidence et r l angle de réfraction est appelée «Loi de Descartes pour la réfraction» ; cette relation est : n 1. sin i = n 2. sin r où n1 est l indice du milieu par lequel la lumière arrive et n2 l indice du milieu dans lequel la lumière est réfractée. Une série de mesures a été réalisée dans le cas du passage de la lumière de l air à l eau : i ( ) r ( ) 0 7,5 14,9 22,1 28,9 35,2 40,6 45,0 47,8 48,8 On désire vérifier que ces mesures confirment bien la loi de Descartes. n La loi de Descartes peut également s exprimer de façon suivante : sin r 1 sin i n ce qui suggère que sin r est proportionnelle à sin i. Quelle courbe veut-on obtenir pour vérifier la proportionnalité? Quelle graphique doit-on alors tracer (quoi en fonction de quoi?) 2 Quelle sont les grandeurs à calculer? Compléter le tableau et tracer le graphique prévu :

4 Commenter le graphique obtenu (peut-on confirmer que la loi de Descartes est vérifiée?) : Modélisation la courbe obtenue : calculer le coefficient de la courbe obtenue Quelle est l expression du coefficient directeur avec des grandeurs physiques? Sachant que n air = 1, en déduire la valeur de n eau.

5 Méthode : Tracer un graphe - Tracer les axes sur le bord de la zone quadrillée, à condition que toutes les valeurs correspondant aux points à placer soient positives. - Orienter les axes (flèches au bout) - Indiquer les grandeurs au bout des axes et les unités dans lesquelles elles sont exprimées Quand on trace «y en fonction de x», y est en ordonnée (verticale) et x en abscisse (horizontale) - Graduer les axes en choisissant l échelle qui permet de placer la valeur la plus grande le plus loin possible au but de l axe tout en s arrangeant pour que la lecture des graduations soit facile : ex : si L=8,5cm est la plus grande valeur sur l axe des ordonnées et que cet axe compte au total 20 graduations, on choisira de représenter 10cm par 20 graduations (8,5 proche de 10). On en déduit que 1 graduation correspondra donc à 0,5cm. On peut donc graduer l axe Rq : on gradue régulièrement, sans tenir compte des points correspondant aux mesures! - Faire figurer l échelle sur un coin du graphe (1carreau horizontal x unités ; 1 carreau vertical y unités) - Placer les points correspondant aux mesures : on utilise des croix «+» et non «x» - On ne relie pas les points les uns aux autres par des segments! La courbe à tracer est la ligne idéale qui donne l évolution de la grandeur étudiée. Elle doit être la plus régulière possible et passer le plus près du maximum de points (courbe «moyenne») Rq : tous les points ne sont pas forcément exactement sur la courbe : ils sont issus de mesures réalisées avec des imprécisions source d erreurs. Ils donnent l idée de la courbe. Une fois la courbe tracée, on oublie les points. - Ecrire un titre et un sous titre au haut de la courbe. Le titre correspond à l étude réalisée, le sous-titre indique quelles sont les grandeurs mises en relation (quoi en fonction de quoi). Comment commenter la courbe? - Décrire la courbe obtenue en choisissant le vocabulaire approprié parmi les mots suivants : «On obtient une droite, une courbe orientée vers le haut, le bas» - En déduire comment varient les grandeurs étudiées, l une en fonction de l autre. Utiliser les mots «augmente», «diminue», «est constant». - Dans le cas où on obtient une droite orientée vers le haut, passant par l origine, que peut-on conclure?