Fonction exponentielle

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1 Fonction exponentielle Une fonction est dite exponentielle s il y a la présence d un facteur multiplicatif dans l expression. Ex.: 4x5x5x5x5x5x5x5 : le facteur multiplicatif est 5 La fonction de base d une exponentielle est : y = c x x est l exposant c est la base y est la puissance Exemple : 10 3 = 1000 : 1000 est la 3e puissance de 10 ( base = 10 ) 9 3 = 729 : 729 est la 3e puissance de 9 ( base = 9 ) 8 5 = : est la 5e puissance de 8 ( base = 8 ) Pour la fonction exponentielle, on doit mettre une restriction sur la valeur que peut prendre la base c : c doit être une constante strictement positive et différente de 0. On distingue 2 situations : Dont le graphique est :

2 Toutes les fonctions de base ayant une valeur c supérieure à 1 ont la même allure caractéristique. Propriétés - Il y a une asymptote horizontale ( y = 0 ) - Dom = - Codom = - Aucun zéro - Aucun extrémum - La fonction est strictement positive et croissante

3 Toutes les fonctions de base ayant une valeur c comprise entre 0 et 1 ( 0 et 1 non compris ) ont la même allure caractéristique. Propriétés - Il y a une asymptote horizontale ( y = 0 ) - Dom = - Codom = - Aucun zéro - Aucun extrémum - La fonction est strictement positive et décroissante La réciproque d une fonction exponentielle est une fonction logarithmique. Notation pour la réciproque Donc, la fonction y = log 3 x est la fonction réciproque de la fonction y = 3 x.

4 Le lien qui existe entre la forme exponentielle et la forme logarithmique est : (base) (exposant) = puissance log (base) (puissance) = exposant Exemple : Fonction exponentielle transformée y = ac b( x - h ) + k Les paramètres a, b, h et k jouent encore le même rôle. On peut obtenir la forme canonique à 3 paramètres en effectuant la transformation algébrique suivante :

5 Propriétés - Il y a une asymptote horizontale ( y = k ) - Dom = - Il existe un zéro si a et k sont de signes inverses - Aucun extrémum Croissance et décroissance de la fonction ( forme canonique à 3 paramètres ) Équations 1 e cas : calcul du zéro de la fonction Exemple # 1

6 Exemple # 2 Nous avons un petit problème : pour l'instant nous ne pouvons pas utiliser la base 4 avec la calculatrice. Nous allons donc procéder de la façon suivante : On transforme l'expression de gauche et de droite de telle sorte qu'on ait une expression exponentielle avec la même base et on résout l'équation formée par l'égalité des exposants. Exemple # 3

7 2 e cas : point de rencontre de 2 fonctions Exemple # 1 Algébriquement : Exemple # 2 Exemple # 3

8 Base naturelle La valeur de la base naturelle est : e = 2, C est un nombre irrationnel. Il est obtenu en évaluant l expression ( 1 + 1/n ) n quand n tend vers l infini. Une particularité importante de la fonction y = e x est la suivante : si on évalue la pente en chaque point de la courbe, on obtient la même courbe!!! C est la seule fonction qui a cette particularité. Si on utilise la fonction y = x 2 et qu on évalue la pente entre deux points et qu on en trace le graphique, on obtient une courbe complètement différente de la courbe d équation y = x 2. Voici le graphique de la fonction y = x 2

9 Choisissons les couples avec une différence de 1 chez les x, on obtient la série de droite ci-contre qu'on a représenté en surimpression de la courbe y = x 2. Calculons la pente de chacunes des droites. Traçons le graphique de cette nouvelle fonction.

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11 C'est presque pareil mais cela ne l'est pas!!! Avec y = 4 x, la courbe en vert ( pour x > 0 ) est maintenant située au-dessus de la courbe en bleue. Encore une fois : c'est presque pareil mais cela ne l'est pas!!! Avec y = e x, on obtient la même courbe!!!

12 Recherche de la règle 1 e cas : C est une fonction de base ( une courbe située au-dessus de l axe des x et passant par (0,1)). Exemple #1 : Exemple #2 :

13 2 e cas : On connaît 2 couples et on sait que l asymptote est zéro. Il y a donc 2 inconnues ( le a et le c ). On forme un système d équations exponentielles et on résout. 3 e cas : On connaît 2 couples et on connaît la valeur de l asymptote. Il y a encore 2 inconnues ( le a et le c ) puisqu'on connaît le k. On forme un système d équations exponentielles et on résout.

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