RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

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1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année Dr MF DAURES 1

2 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction primitive D - La fonction puissance E - La fonction logarithme F - La fonction exponentielle G - Les fonctions trigonométriques II - LA CINEMATIQUE A - Le mouvement rectiligne B - Le mouvement circulaire uniforme C - Le mouvement sinusoïdal D - Le mouvement périodique quelconque 2

3 A - CARACTERISTIQUES GENERALES DES FONCTIONS 1. Notion de fonction 2. Propriétés des fonctions a) Définition b) Courbe représentative c) Domaine de définition d) Continuité d une fonction e) Croissance d une fonction f) Maximum et minimum g) Tableau de variation h) Fonction inverse i) Fonction composée 3. Etude d une fonction particulière : la droite a) Equation d une droite b) Tableau de variation c) Cas particuliers 3

4 A CARACTERISTIQUES GENERALES DES FONCTIONS 1. Notion de fonction Dépendance de 2 grandeurs Relation telle que la connaissance de l une permet de calculer l autre Y = f (x) «fonction» variable Exemple : «variation de la taille des garçons en fonction l âge» Age (an) N 1/ Taille (cm)

5 2. Propriétés des fonctions a) Définition mathématique La fonction f fait correspondre à tout élément X de l ensemble E un seul élément y de l ensemble F. La fonction f est une transformation qui fait correspondre à tout x un seul élément y. Certaines des ces relations ont été étudiées et correspondent à des lois simples : ce sont les fonctions mathématiques connues. b) Courbe représentative Permet de visualiser les variations respectives de x et de y. Pour la construire il faut : Choisir des axes Choisir une échelle sur chaque axe Choisir l origine de chaque axe Un point quelconque de la courbe sera parfaitement défini par son abscisse x et son ordonnée y dans le plan. 5

6 2 18 Exemple de courbe Taille (cm) c) Intervalle de variation et domaine de définition Limites des valeurs de x entre lesquelles à toute valeur de x on peut faire correspondre une valeur de y par la relation Y = f ( x ) Une fonction est toujours définie sur un domaine donné même si celui-ci est infini. Domaine mathématique Age (an) Domaine physique Conditions supplémentaires 6

7 d) Continuité d une fonction sur un intervalle Si x appartient à l intervalle [ab] qd x a y(x) y a qd x b y(x) y b y prend toutes les valeurs intermédiaires entre y a et y b Graphiquement : tracé sans interruption dans l intervalle. e) Croissance d une fonction dans l intervalle de définition Fonction strictement croissante y quand x y quand x Variation dans le même sens Fonction strictement décroissante y quand x y quand x Variation en sens inverse 7

8 f) Maximum et minimum dans l intervalle de définition y passe par le maximum puis y Y passe par le minimum puis y g) Tableau de variation Renseignements utiles à la construction de la courbe, on se limitera aux éléments suivants. Limite inf. Limite sup. x croissance y 8

9 h) Fonction inverse ou réciproque Fonction bijective f : y = f (x) Fonction inverse g telle que x = g (y) équivalente à x = f -1 (y) i) Fonction composée ou fonction de fonction image x y = g (x) z = f {g (x) } y image z = f (y) 9

10 3. Etude de la droite a) Définition Y = a x + b a coefficient angulaire «pente» >, <, nul, entier, fractionnaire b ordonnée à l origine intersection droite axe des y >, <, nul, entier, fractionnaire «a et b sont fixes pour une droite donnée». b) Tableau de variation a et b > x - - b/a + y - b + 1

11 Cas particuliers a < b > b < Passant par l origine Première bissectrice Deuxième bissectrice Droite horizontale Droite verticale Axe des abscisses Axe des ordonnées 11

12 B - LA FONCTION DERIVEE PLAN 1. Notion de taux de croissance 2. Notion de dérivée 3. Propriétés de la dérivée 4. Dérivées de certaines fonctions 5. Application : le vecteur vitesse 12

13 B LA FONCTION DERIVEE 1. Notion de taux de croissance T = Δy/Δx 1. Notion de dérivée Δ X alors Δy Δx dy dx valeur définie valeur dérivée de y / à x = dy/dx = y (x) = y 3. Propriétés Donne la tangente en un point de la courbe. Permet la définition des grandeurs physiques. Indique le sens de la croissance y > y croissante y < y décroissante y = y horizontale y y verticale 13

14 4. Dérivées de certaines fonctions de x a et b sont des constantes, u est une fonction de x Fonction y (x) Fonction dérivée y (x) a x 1 ax + b a sin x cos x cos x -sin x e x e x e u u e u sin u (x) u (x) cos u (x) cos u (x) -u (x) sin u (x) 14

15 5. Application à la vitesse «espace parcouru pendant l unité de temps» v «vecteur vitesse» Origine Direction Sens Intensité le mobile la trajectoire le sens du mouvement dx / dt 15

16 C - FONCTION PRIMITIVE 1. Définition Une primitive Y (x) d une fonction y (x) est une fonction telle que sa dérivée Y (x) = la fonction y (x). 2. Calcul En utilisant les dérivées et en se rappelant qu une primitive n est alors connue qu à une constante près. 3. Quelques primitives Fonction y (x) Fonction primitive Y (x) 1 b sin x cos x b x + b ax + b - cos (x) + b sin (x) + b 16

17 D - FONCTION PUISSANCE 1. Définition Y = a x n a et n >, <, entiers, fractionnaires 2. Cas particulier : puissance de 1 1 n = 1 suivi de n zéros Par convention 1 = 1 n 1 n 3. Calcul sur les puissances x n.x m = x (n+m) x n x m = x n m (x n ) m = x nm 17

18 E - FONCTION LOGARITHME Définition Intérêt Types 1. Le logarithme népérien de x : Ln x a) Définition b) Propriétés c) Tableau de variation d) Courbe représentative e) Calcul 2. Le logarithme décimal de x : log x a) Définition b) Propriétés c) Application 3. Les échelles logarithmiques a) Définition b) Intérêts c) Représentation semi-log d) Représentation log - log 18

19 E - FONCTION LOGARITHME 1. Définition Y = a x x = log a y y > Y = log a x x = a y x > 2. Intérêt Simplification des calculs Fonction fréquente en biologie 3. Logarithmes étudiés log à base e ou log népérien : Ln x log à base 1 ou log décimal : log x 19

20 1. Le logarithme népérien de x : Ln x a) Définition La fonction logarithme népérien y = Ln x est la fonction primitive de 1/x définie pour tout x > et qui s annule pour x = 1. x > (Lnx)' = Ln1 = 1 x b) Propriétés définie de - à+ strictement croissante car (Ln x) toujours > < x 1 - < y x > 1 < y < + 2

21 c) Tableau de variation x y = 1/ x y = Ln x d) Courbe représentative A tracer e) Calcul a, b strictement > et n quelconque Ln (ab) = Ln a + Ln b Ln a b = Ln a Ln b Ln (a) n = n Ln a 21

22 2. Le logarithme décimal a) Définition y = log a x x = a y y = log 1 x x = 1 y log x Ln x = x > Ln 1 Log x = 2,3 log x b) Propriétés Les mêmes que Ln x log 1 n = n Réduit les échelles 1 x 1 n <log x n c) Courbes A tracer 22

23 3. Les échelles logarithmiques a) Définition «graduation proportionnelle au logarithme des nombres» Les puissances de 1 sont équidistantes, les log 1 x différent de 1 unité (-3) (-2) (-1) (1) (+ 2) (+ 3) b) Propriétés Pas de zéro sur cette échelle On ne peut pas insérer des nombres négatifs c) Intérêts Réduire les échelles pour les grandeurs variant beaucoup Transformer les fonctions exponentielles en fonctions linéaires 23

24 d) Représentation semi log Abscisse ou ordonnée avec une échelle logarithmique e) Représentation log log Abscisse et ordonnée avec des échelles logarithmiques 24

25 F-LA FONCTION EXPONENTIELLE 1. Définition «fonction réciproque de la fonction logarithme népérien» y = Ln x (x > ) x = e y > x = Ln y (y > ) y = e x > 2. Propriétés e = 1 e 1 e lnx = e = x Ln e y = y (e x ) = e x e u(x) = u (x) e u(x) 25

26 3. Courbe représentative A tracer 4. Calcul avec les exponentielles Les mêmes qu avec les puissances. e a e b = e (a + b) e a / e b = e (a-b) (e a ) n = e na 26

27 G-LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1. Le cercle trigonométrique a) Définition b) Arc de cercle c) Abscisse curviligne d) Angles 2. Les fonctions circulaires a) Définitions b) Angles associés c) Etude de la fonction sin α d) Etude de cos α 27

28 G - LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1. Cercle trigonométrique a) Définition «cercle orienté de rayon égal à l unité de longueur» b) Arc de cercle A M c) Abscisse curviligne S d) Les angles α α en degré α en radian π/2 π 3π/2 2π α angles(radian) : S = Rα (m) R rayon (m) 1 radian = angle au centre découpant sur le cercle trigonométrique un arc égal au rayon (1). 28

29 2. Les fonctions circulaires a) Fonction sinus : y = sin α α π/2 π 3 π/2 2π y = cos α y = sin α 1-1 Tracer le graphe de la fonction 29

30 b) Fonction cosinus α π/2 π 3 π/2 2 π y = - sin α -1 1 y = cos α Tracer le graphe de la fonction 3

31 II - CINEMATIQUE «Etude du déplacement d un corps en fonction du temps» A-LE MOUVEMENT RECTILIGNE Trajectoire Vitesse Accélération droite v= dx/dt γ = dv/dt Mouvement rectiligne uniforme v = cte si x = x = v t 31

32 B-MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME Trajectoire cercle Vitesse rectiligne v = ds dt (m/s) Abscisse curviligne S = v t si S o = (m) Angle α α = S R (rd) Vitesse angulaire ω = V R (rd/s) Fréquence f = ω 2Π (Hz) Période T 2Π = ω = 1 f (s) 32

33 C-LE MOUVEMENT SINUSOIDAL 1) Définition x = a sin (ω t + ϕ ) 2) x = a sin ω t a π/2 π 3 π/2 2 π t T / 4 T / 2 3 T / 4 T x a -a T période du mouvement circulaire uniforme 3) Courbe A tracer 33

34 3) La vitesse linéaire v = a ω sin (ω t + π/2) t T/4 T2 3 T / 4 T ω t π / 2 π 3 π / 2 2 π Cos ω t v a ω -a ω a ω 34

35 4) Cas où x = a sin (ω t + ϕ) 3Π a + sin(φ ) 2 2 Π x a sin ϕ) sin( φ ) a sin (ϕ + π) a + a sin (ϕ+2 π) t T / 4 T / 2 3 T / 4 T Courbe à tracer 35

36 5) Déphasage entre 2 vibrations sinusoïdales de même période Décalage horaire θ : temps que met un mobile à partir de t = pour se trouver dans la position du mobile en avance lorsqu il était à t = ϕ ϕ θ = t t = ω a) Opposition de phase ω 1 - ω 2 = π ϑ = T / 2 Sin ω 1 = - sin ω 2 36

37 b) Vibrations en quadrature ϕ 1 ϕ 2 = Π/2 θ = T / 4 sin ϕ 1 = sin (ϕ 2 + Π/2) A tracer c) Vibrations en phase ϕ 1 ϕ 2 = 2 Π θ = T A tracer 37

38 D-LE MOUVEMENT PERIODIQUE QUELCONQUE 1) Définition Au bout du temps T le mobile M se retrouve pour la première fois au même endroit qu au départ. x (t) = x (t + T) = x (t + 2T) = = x (t + kt) 2) Théorème de Fourier x = a 1 sin (2 Π ft + ϕ 1 ) + a 2 sin (4 Π ft + ϕ 2 ) + 3) Harmoniques Harmonique 1 ou fondamentale : fréquence f Harmonique 2 : fréquence 2 f Harmonique 3 : fréquence 3 f Harmonique 4 : fréquence 4 f 38