Intervalles Cours. Intervalles Cours. SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

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1 Intervalles Cours CHAPITRE 1 : Notion d intervalle 1) Définition 2) Représentations d intervalles 3) Vocabulaire 4) Notations d ensembles CHAPITRE 2 : Intersection d intervalles 1) Définition 2) Intervalles disjoints 3) Exemples CHAPITRE 3 : Réunion d intervalles 1) Définition 2) Exemples 1

2 CHAPITRE 1 : Notion d intervalle Rappel : L ensemble des réels est l ensemble des abscisses des points d une droite. 1) DEFINITION Un INTERVALLE est un ensemble, éventuellement vide, de nombre réels. Remarque : De manière imagée, un intervalle correspond à une partie sans trou de la droite numérique. Ainsi, l ensemble des entiers naturels n est pas un intervalle car il y a beaucoup de trous entre deux entiers. 2) REPRESENTATIONS D INTERVALLES Soient deux réels et tels que. L intervalle noté est l ensemble des nombres réels tels que et il est représenté sur l axe des réels par : [ ] [ [ ] ] ] [ [ [ ] [ ] ] ] [ 2

3 Remarque : L intervalle [ ] a pour centre et pour rayon. 3) VOCABULAIRE L intervalle [ ] est un INTERVALLE FERMÉ en ce sens que les crochets sont tournés/fermés vers l intérieur. L intervalle ] [ est un INTERVALLE OUVERT en ce sens que les crochets sont tournés/ouverts vers l extérieur. Les intervalles [ [ et ] ] sont des INTERVALLES SEMI-OUVERTS. Par exemple, on dit que l intervalle [ [ est fermé à gauche et ouvert à droite et que l intervalle ] ] est ouvert à gauche et fermé à droite. Les réels et sont appelés les BORNES de l intervalle. Lorsque l une des bornes est (qu on lit «moins l infini») ou (qu on lit «plus l infini»), on dit que l intervalle est NON BORNÉ. Remarques : et ne désignent pas des réels. Les bornes infinies sont toujours ouvertes et il ne faut jamais noter [ ] ni [ [ ni [ ] ni ] ]. Les intervalles fermés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés SEGMENTS. 4) NOTATIONS D ENSEMBLES L intervalle noté et plus simplement noté désigne l ensemble : ] [ des réels ] ] des réels négatifs (ou nuls) ] [ des réels strictement négatifs [ [ des réels positifs (ou nuls) ] [ des réels strictement positifs ] [ ] [ des réels non nuls vide [ ] contenant uniquement le réel 3

4 Remarques : L'ensemble vide, noté, est l'ensemble ne contenant aucun élément. L ensemble est appelé «SINGLETON». n est pas un intervalle car il y a un trou en zéro. L ensemble des réels non nuls est en fait la réunion de deux intervalles. On note également l ensemble des réels non nuls ou. 4

5 Intersection d intervalles 1) DEFINITION Soient deux intervalles et. L INTERSECTION des intervalles et, notée (qu on lit «inter»), désigne l ensemble des réels qui appartiennent à la fois à ET à. Remarque : L intersection de deux intervalles est toujours un intervalle. 2) INTERVALLES DISJOINTS Deux intervalles sont dits DISJOINTS s'ils n'ont aucun élément en commun. Autrement dit, deux intervalles et sont disjoints si. 3) EXEMPLES Point méthode : Pour déterminer l intersection de deux intervalles, 1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en : a. repérant à l aide d une première couleur les réels appartenant au premier intervalle b. repérant à l aide d une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle 2- on repère enfin l intersection des deux intervalles ; cette intersection correspond à l ensemble des réels repérés/coloriés à l aide des deux couleurs Exemple 1 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. ET à sont les réels de l intervalle [ ]. Ils sont ici en effet à la fois en bleu ET en vert. Ainsi, [ ] ] ] [ ]. 5

6 Exemple 2 : Déterminons sachant que [ [ et ] ]. Il n existe pas de réel appartenant à ET à. L intersection est donc l ensemble vide, que l on note. Ainsi, [ [ ] ]. Les ensembles et sont donc disjoints. Exemple 3 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. ET à sont les réels de l intervalle ] ]. Ils sont ici en effet à la fois en bleu ET en vert. Ainsi, [ ] ] ] ] ]. L intervalle ] ] est INCLUS dans l intervalle [ ] et on note ] ] [ ]. Exemple 4 : Déterminons sachant que [ [ et ] ]. Il n existe qu un réel appartenant à la fois à ET à. Il s agit du réel. L intersection est donc le singleton. Ainsi, [ [ ] ]. 6

7 Réunion d intervalles 1) DEFINITION Soient deux intervalles et. La REUNION des intervalles et, notée l ensemble des réels qui appartiennent à OU à (ou à et ). (qu on lit «union»), désigne Remarques : La réunion de deux intervalles n est pas toujours un intervalle car elle peut contenir des trous. Le «OU» de la définition ci-dessus est un «OU INCLUSIF», c est-à-dire qu un élément de peut appartenir à ou à ou à la fois à et. Il ne faut pas confondre le «OU inclusif» et le «OU exclusif», ce dernier excluant que l élément puisse appartenir également à et. La réunion est aussi appelée UNION. L'ensemble des nombres réels est constitué par la réunion de l'ensemble des nombres RATIONNELS et de l'ensemble des IRRATIONNELS, y compris des NOMBRES TRANSCENDANTS comme. 2) EXEMPLES Point méthode : Pour déterminer la réunion de deux intervalles, 1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en : a. repérant à l aide d une première couleur les réels appartenant au premier intervalle b. repérant à l aide d une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle 2- on repère enfin la réunion des deux intervalles ; cette réunion correspond à l ensemble des réels repérés/coloriés à l aide d au moins une des deux couleurs Exemple 1 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. OU à sont les réels de l intervalle ] ]. Ils sont ici en effet en bleu OU en vert, OU en bleu et en vert. Ainsi, [ ] ] ] ] ]. 7

8 Exemple 2 : Déterminons sachant que [ [ et ] ]. OU à sont les réels de l intervalle ] [. En effet, TOUS les réels sont ici en bleu OU en vert, OU en vert et en bleu. Ainsi,. Exemple 3 : Déterminons sachant que [ [ et ] ]. Il n existe pas de réel appartenant à ET à. sont donc en vert OU en bleu. Ainsi, [ [ ] ] ] ] [ [ (on ne peut pas simplifier ici l écriture). La réunion des ensembles et (ici disjoints) n est pas un intervalle car il y a des trous entre et. Exemple 4 : Déterminons sachant que ] ] et ] [. OU à, OU à et sont les réels de l intervalle ] ]. Ils sont ici en bleu OU en vert, OU en vert et en bleu. Ainsi, ] ] ] [ ] ]. Attention! Il faut ici bien remarquer que le réel appartient à la réunion des intervalles et puisque, même s il est exclu de l intervalle (intervalle ouvert en ), il est inclus dans l intervalle (intervalle fermé en ). Autrement dit, le réel 4 appartient au moins à l un des deux intervalles et donc il appartient à. Remarque : on peut alors noter que ou bien que. 8