PSI Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29 CHAPITRE DF3 D DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS

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1 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 9 CHAPITRE DF3 D DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS Dans ce chapite, nous allons elie l écoulement d un fluide aux actions qu il subit. Nous pivilégions le point de vue euléien, c est-à-die la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant de champs tels que v (M, t), P(M, t) et ρ(m, t). Nous établions des elations difféentielles ou de consevation ente ces gandeus et les actions subies : il s agit bien d une dynamique locale. Remaquons dès à pésent que le poblème compote donc 5 inconnues scalaies et nécessite 5 équations pou sa ésolution Nous nous limiteons enfin dans ce chapite à l étude de fluides pafaits où n intevient donc aucune foce de viscosité. 1. EQUATION D EULER - APPLICATIONS 1.1. Expession Appliquons la elation de la ésultante cinétique à une paticule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : Dv dm = d f Dt Dv où epésente l'accéléation de la paticule et d f la ésultante des foces subies pa l'élément dm. Dt En pivilégiant la desciption volumique des foces et en faisant appaaîte le ôle spécifique des foces de pession, d f s écit : d f = ( f v - gadp) dτ En écivant dm = ρ dτ, il vient : ρ[ ( v.gad) v + v t ]= f v - gadp Cette équation, qui n'est aute que la elation locale de la ésultante cinétique, est appelée équation d'eule. Une division pa ρ fait appaaîte les foces massiques f m et une deuxième fome de l équation d Eule. Nous etiendons : ρ[ v t + ( v.gad) v ] = f v - gadp v t + Equation d Eule ( v.gad) v = f m - gadp

2 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits Equation locale de la statique des fluides Le cas paticulie d un fluide au epos dans un éféentiel R s obtient tès facilement comme un cas paticulie de l équation d Eule : Pou un fluide en équilibe : 0 = Rq. Dans un éféentiel non galiléen, f v inclut les foces volumiques d inetie... Pa exemple, si l on suppose le fluide seulement soumis aux foces de pesanteu telles que f v = ρ g = - ρg e z, avec un axe vetical z ascendant,cette elation edonne la fome scalaie simple en pojection su z : dp = - ρg dz f v - gadp Il est impotant de emaque que la épatition de pession n est pas la même dans un fluide au epos,où on pale de pession hydostatique, et dans le même fluide en mouvement. En paticulie, le théoème d Achimède, qui utilise la pession hydostatique pou calcule la ésultante des foces pessantes execées pa un fluide su un objet immegé, n est plus valable dans un fluide en mouvement 1.3. Détemination des gandeus locales associées à un fluide en écoulement : echeche d un système complet d équations L'équation d'eule, vectoielle, founit 3 équations scalaies et la elation locale de consevation de la masse 1 équation scalaie : d apès la emaque faite en intoduction, il «manque» alos une équation pou pouvoi ésoude le poblème. Le poblème est évidemment immédiatement ésolu si le fluide est homogène incompessible : la masse volumique devient alos une constante ρ 0 connue dans tout l écoulement. Les équations locales deviennent alos : div v = 0 ( v.gad) v + v t = (On notea le passage de la constante ρ 0 à l intéieu du gadient ) Dans le cas où la masse volumique este une inconnue du poblème, nous pouions pense ajoute une équation en intoduisant une équation d état du fluide. Cependant, c est une équation de type themodynamique qui intoduit en généal une nouvelle gandeu a pioi également inconnue : le champ de tempéatue T(M, t). Il appaaît donc qu une nouvelle équation est nécessaie. Cette équation sea en fait une équation de compotement du fluide au cous de l écoulement (équation souvent de natue themodynamique). f m - # P & gad % ( $ ' La lenteu des échanges themiques pemet souvent de considée que ces échanges sont négligeables ente paticules de fluide. Le compotement du fluide est alos adiabatique. Si de plus on néglige toute iévesibilité due à une diffusion themique ou à la viscosité, l hypothèse isentopique peut alos ête envisagée. Ainsi, pou un fluide tel qu un gaz pafait en évolution isentopique, la loi de Laplace founit alos une elation supplémentaie ente P et ρ, de la fome : Pρ -γ = cste 0

3 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 31 Enfin, dans la ésolution des équations difféentielles de l écoulement, la echeche des solutions deva en oute teni compte des conditions aux limites que nous avons déjà évoquées, tant au niveau de la vitesse que de la pession Une conséquence impotante de l équation d Eule pou les écoulements unidiectionnels Pa définition, un écoulement unidiectionnel est tel que le vecteu vitesse gade une diection fixe constante. Le champ des vitesses peut alos ête modélisé pa une loi du type : v = v(x, y, z, t) v v L accéléation paticulaie s écit alos a = e x + v e x. Si on pojette alos l équation d Eule t x su un axe othogonal à l écoulement ( y ou z pa exemple), on obtient : Ce qui conduit au ésultat : e x 0 = ( f v - gadp). Dans un écoulement unidiectionnel, la épatition de pession est hydostatique dans une diection othogonale à l écoulement e y 1.5. Intégation de l équation d Eule le long d une ligne de couant L équation d Eule est également souvent utilisée en l intégant le long d une ligne de couant. Remaquons tout d abod qu une identité mathématique affime que : ( v.gad) v v = gad( ) + ot v v En utilisant cette identité l équation d Eule devient : v gad ( ) + v ot v v + t = f m - gadp Multiplions alos scalaiement tous les temes de l équation pa un élément de la ligne de couant qui s écit nécessaiement d = v dt. Cette opéation pemet d annule le teme en ot v v, ce qui est justement l intéêt de choisi un élément d une ligne de couant. Il este : gad ( v ). d + v t. d = Tès souvent,les foces massiques f m déivent d une énegie potentielle e pm (elle-même massique) de sote que nous puissions écie : f m = - gade pm f m. d - gadp. d

4 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 3 Penons pa exemple les foces de pesanteu, pou lesquelles f m = g. Dans le cas d un champ de pesanteu unifome, et avec le choix d un axe vetical ascendant z, dont l oigine est également celle des énegies potentielles, on a : f m = - gad(gz) Rassemblons les deux gadients et l équation devient : v t. d + gad(e pm + En intégant ente deux points A et B d une ligne de couant : B v t. d B B % + $ e pm + v gadp ' + # &. d = 0 A v ). A d + gadp. d = 0 Cette elation sea utilisée dans des écoulements non pemanents : elle pemet, dans des cas à géométie simple, de calcule l accéléation locale. Nous allons voi un polongement tès utile de cette intégation de l équation d Eule, en ajoutant des hypothèses simplificatices supplémentaies : A. RELATION DE BERNOULLI.1. Expession et intepétation En ajoutant des caactéistiques paticulièes à l écoulement d un fluide pafait, nous pouvons obteni un polongement intéessant de l équation d Eule. La elation obtenue, qui expimea la consevation d une cetaine gandeu su tout ou patie du fluide, et appelée équation de Benoulli, peut pende en fait difféentes fomes suivant les caactéistiques de l écoulement, l ensemble fomant «les» elations de Benoulli. Nous n envisageons cependant que les fomes les plus simples de cette elation. Rappelons que, los de l intégation de l équation d Eule, nous avons déjà supposé que les foces autes que les foces de pession déivent d une énegie potentielle qu on peut écie sous fome massique e pm Nous ajoutons deux hypothèses supplémentaies : - L écoulement est homogène incompessible ρ = ρ 0 = cste dans tout l écoulement - Le égime est pemanent La pemièe hypothèse pemet de passe la constante ρ 0 dans le gadient si bien que La deuxième hypothèse suppime évidemment le teme L intégation pécédente de l équation d Eule se simplifie alos en : Ce qui peut encoe s énonce : v t gadp # e pm + v + P & % ( $ 0 ' B A # = gad P & % (, $ 0 ' = 0

5 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 33 Pou un écoulement homogène incompessible, pemanent, soumis aux seules foces de pession et à des foces déivant d une énegie potentielle : La gandeu e pm + v + P 0 est consevée le long d une ligne de couant Il est impotant de emaque que cette expession peut en evanche vaie d une ligne de couant à une aute. Cependant, si on ajoute enfin une denièe hypothèse disant que l écoulement est non toubillonnaie, le teme ot v v dispaaît de lui-même si bien que nous n avons plus à intége le long d une ligne de couant, mais ente deux points quelconques. Pou un écoulement homogène incompessible, pemanent,non toubillonnaie et soumis aux seules foces de pession et à des foces déivant d une énegie potentielle : La gandeu e pm + v + P 0 est consevée dans tout l écoulement L équation de Benoulli n est aute qu une équation locale de consevation de l énegie : l expessione pm + v + P epésente en effet l énegie mécanique massique associée à une paticule de 0 fluide : v - est l énegie cinétique massique - e pm est l énegie potentielle massique des foces autes que celles de pession P - epésente une énegie potentielle massique associée aux foces de pession 0 Remaque : on peut évidemment aussi écie : 0 v + P + e pv = cste Nous appelleons pession dynamique le teme 0 v (évidemment homogène à P) et pession totale ou pession de stagnation la somme 0 v + P. Pou mieux compende la signification de ces temes, penons l exemple d un écoulement unifome hoizontal aivant su un obstacle. P0 V 0 PA Ecivons la consevation de l obstacle, ente l infini et A : 0 v + P + e pm su la ligne de couant hoizontale aivant en A su - A l infini, on etouve l écoulement unifome, de pession P 0 et de vitesse v 0. - en A, la vitesse est nécessaiement nulle et la pession est notée P A

6 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 34 La ligne de couant étant hoizontale, si nous considéons les seules foces de pesanteu, e pm est identique su tous les points de la ligne. On a alos : 0 v + P = P A D où le vocable de pession totale ou pession de stagnation en A..... Applications de la elation de Benoulli..1. Jet homocinétique à l ai libe Considéons l écoulement stationnaie d un fluide incompessible sous fome d un jet libe, de vitesse v = v e x : on pale de jet homocinétique. P 0 v Supposons en oute que les seules foces intevenant sont les foces de pession (les foces de pesanteu étant en fait considéées comme négligeables)), si bien que la elation de Benoulli s écit : v + P = cste dans tout le jet 0 La vitesse étant la même en tout point du jet, nous pouvons en die autant de la pession. Aux bods du jet, au contact de l atmosphèe, la pession vaut P 0. C est donc la pession en tout point du jet : Dans un jet homocinétique à l ai libe, la pession, unifome, est égale à celle de l atmosphèe. P 0... Effet Ventui Nous considéons ici un écoulement stationnaie homogène incompessible, soumis aux seules foces de pession, dans une conduite de section vaiable Le poblème sea en oute supposé unidimensionnel : toutes les gandeus ont une valeu unifome su une section doite de la conduite. La consevation du débit volumique ente les sections d'aies S 1 et S donne : S 1 v 1 = S v

7 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 35 S1 V 1 S V L'application de la elation de Benoulli ente deux points de ces sections donne alos : P v 1 = P 0 + v Si S 1 > S => v 1 < v => P 1 > P. Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Ventui : Effet Ventui : Les égions de faible section, donc de gande vitesse, sont aussi des égions de basse pession. Nous etouvons une fome de l effet Ventui dans «l effet de sol» : l écoulement d un fluide comme l ai sous une plaque inclinée, a tendance à la plaque au sol (Cet effet a pafois été utilisé pou augmente la tenue de oute des voitues de compétition). L expéience peut ête facilement éalisée en soufflant de l ai sous une feuille de papie L expéience de la balle de ping-pong, aspiée ves une égion de faible section (le sommet de l entonnoi) donc également de faible pession, constitue une aute illustation spectaculaie de l effet Ventui. Souffleie écoulement d'ai sotie de l'écoulement pa un entonnoi (conduite de section coissante) balle de ping-pong

8 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 36 Une dépession est donc obsevée au niveau du étécissement d une conduite : cet effet a de nombeuses applications. Citons pa exemple la tompe à eau où un étanglement d'une conduite d'eau est elié à un écipient où l'on souhaite faie le vide. Le tube de Ventui constitue une aute application pemettant de mesue des débits : A h A A 1 B h B B 1 A B S Le tube possède un étécissement au niveau du point B, si bien que v B = A v A > v A. S B En oute, on a disposé des tubes latéaux, ouvets à l ai libe : dans ces tubes, qui ne petubent que tès peu l écoulement, le fluide est au epos, et nous pouons monte qu il y a continuité de la pession en A 1 (Ceci n est d ailleus pas évident, puisque nous admettons au contaie une discontinuité de la vitesse : la elation de Benoulli ne peut donc s applique su une ligne qui passeait pa A 1 : nous devons en fait emette en cause le caactèe «pafait» du fluide. Ce point sea discuté dans un pochain chapite...). L écoulement en A et B est unidiectionnel et la vaiation de pession ente A 1 et A, ou B 1 et B, est puement hydostatique. Il en est de même ente A 1 et A, ou B 1 et B, le fluide étant au epos dans les tubes. D où : P A - P A = P 0 - P A = ρgh A et P B - P B = P 0 - P B = ρgh B Enfin, su la ligne de couant allant de A à B, on écit la elation de Benoulli en égime stationnaie pou un fluide incompessible : P A + v A = P B + v B D où h A + v A g = h B + => v A = g Le tube peut donc mesue le débit volumique D v du fluide : D V = S A v A = S A v B g(h A h B ) # S A & % ( 1 $ ' S B g(h A h B ) # S % A & ( 1 $ ' S B..3. Effet Magnus : potance Nous nous plaçons ici dans le cas d un écoulement stationnaie homogène incompessible : on peut alos applique la elation de Benoulli su une ligne de couant.

9 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 37 L écoulement, supposé unifome à l infini, est petubé pa un obstacle bidimensionnel. Cette dénomination n implique pas nécessaiement que l obstacle soit plan, mais qu on puisse se amene à une étude dans le plan : ce sea pa exemple le cas pou un cylinde placé dans un écoulement dont les lignes de couant sont contenues dans des plans othogonaux à l axe du cylinde, de sote que le poblème soit identique dans chacun de ces plans. Plus généalement tout obstacle de type cylindique, dont la section doite a une fome quelconque, éponda à cette définition. Penons pou exemple le cas de l écoulement autou d un cylinde à base ciculaie : la symétie de la figue implique l égalité des vitesses et des pessions aux points A et B : v A = v B = v, P A = P B. V 0 P0 A0 B0 autou de son axe. Nous admettons que le Supposons à pésent le cylinde en otation de vecteu caactèe éel (c est à die visqueux) du fluide entaîne sa otation au contact du cylinde. On peut alos pocéde pa supeposition : l écoulement ésultant est la somme de l écoulement pécédent et d un écoulement de type votex dû à la otation du cylinde. Il en ésulte qu en A et B, les vitesses sont à pésent : v A = v + RΩ e x et v B = v - RΩ e x. La elation de Benoulli peut ête écite su les lignes de couant allant de A 0 à A et B 0 à B. A 0 et B 0, tès éloignés de l obstacle, sont caactéisés pa des mêmes valeus de v et P : v A > v B entaîne alos P A < P B. Cette difféence de pession engende une foce veticale (donc pependiculaie à l écoulement en l absence d obstacle) ici ascendante étant donné le sens de otation supposé : ce phénomène est appelé effet Magnus.(Pou une étude plus complète du phénomène, voi l execice...) Nous le etouvons quand on suppose l obstacle mobile dans un fluide au epos loin de l obstacle (il suffit de se place dans le éféentiel lié à l obstacle pou etouve le cas pécédent) : l obstacle subit alos une foce othogonale à son déplacement pincipal. L effet Magnus explique alos les tajectoies incuvées de balles qu on a fappées en leu impimant un mouvement de otation : balles «bossées» au football, balles «liftées» ou «coupées» (suivant le sens de otation) au tennis Plus généalement, ce peut ête la fome même de l obstacle qui, pa sa dissymétie, engende des valeus difféentes de la vitesse et donc de la pession en des points situés «en dessous» et «en dessus» de l obstacle. C est le cas des ailes d avion dont le pofil est à l oigine de la foce qui s exece ves le haut (diigée de «l intados» ves «l extados» de l aile) : cette foce est appelée foce de potance. Nous en étudieons plus pécisément le calcul dans un chapite ultéieu. Retenons cependant dès à pésent que l existence d une foce de potance est subodonnée à celle d une ciculation de fluide non nulle autou de l obstacle (comme c est le cas pou le cylinde en otation...).

10 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 38 F Po tan ce V 0 extados F Tainée..4. Vidange d un ésevoi : fomule de Toicelli intados On considèe ici un ésevoi muni d un oifice pa lequel un fluide incompessible peut s écoule et on cheche à détemine la vitesse v d éjection du fluide au niveau de cet oifice. L écoulement étudié n est pas igoueusement stationnaie, mais si la section s de l'oifice est petite devant la suface libe S, nous pouons néglige l accéléation locale devant l accéléation convective dans la plus gande patie de l écoulement et donc applique la elation de Benoulli des écoulements stationnaies. S A h v s B Nous avons vu pécédemment que la pession du jet libe en B est égale à la pession atmosphéique. L'application ente A et B, points d'une même ligne de couant, de la elation de Benoulli donne diectement : v gh A + A = gh v B + La consevation du débit volumique implique Sv A = sv. L hypothèse S >> s implique donc également v A << v. D où, avec h = h A - h B : fomule de Toicelli : v = gh vitesse d éjection d un fluide au niveau d un oifice sumonté d une hauteu h de fluide

11 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits Ondes de gavitation à l inteface de deux fluides ( modèle de la houle) Considéons un fluide pafait incompessible (l océan pa exemple), de masse volumique ρ, en contact avec l atmosphèe selon le plan z = 0 losqu il est au epos. Nous supposeons que ce fluide s étend jusqu à l infini ves les z négatifs (océan de pofondeu «infinie»). P = P 0 z suface libe au epos x océan pofondeu infinie Nous supposons le fluide mis en mouvement (sous l action du vent pa exemple). Nous étudions son mouvement avec les hypothèses simplificatices suivantes : - Le mouvement des paticules est plan : en un point M (x, z) du fluide, la vitesse est : v (M, t) = v x (x, z, t) e x + v z (x, z, t) e z - Nous nous intéessons à des petits mouvements : seuls seont gadés les temes de pemie ode en v - L écoulement du fluide est potentiel : v (M, t) = gadφ(m, t) - Nous chechons le potentiel sous la fome : φ = f(z) g(x - ct) : il s agit donc d une onde se popageant à la céléité c dans la diection x, avec une amplitude dépendant de z... - à la suface libe du fluide, en contact avec l atmosphèe, la pession est unifome et égale à P 0 Nous chechons à détemine la fome des fonctions f et g, la valeu de c, les tajectoies des paticules de fluide et la fome de la suface libe... 1) L écoulement étant potentiel, Δφ = 0, soit : # x + # = 0. Avec la fome supposée de φ, il vient : z f(z) g (x - ct) + f (z)g(x - ct) = 0 => f''(z) f(z) = - g''(x ct) g(x ct) = A où A est une constante. D où f (z) - Af(z) = 0. La fonction f(z) est donc de la fome e kz, exponentielle éelle ou complexe. Cependant le fluide doit ête au epos loin de la suface libe, c est à die quand z tend ves -. Ceci impose à l exponentielle d ête éelle, c est à die d avoi A = + k et donc : f(z) = f 0 e kz

12 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 40 Il en découle g (x- ct) + k g(x- ct) = 0 => g(x -ct) = g 0 cos(kx - ωt) Nous obtenons une onde sinusoïdale de pulsation ω = kc et de longueu d onde λ = est de la fome φ(x, z, t) = φ 0 e kz cos(kx - ωt). Le potentiel φ k ) Le teme d accéléation locale peut s écie : v t = (gad#) t = $ gad # ' & ) % t ( Il appaaît encoe comme déivant d un gadient. Comme de plus l écoulement est non toubillonnaie et incompessible, ceci conduit à une extension de la elation de Benoulli sous la fome ; φ t + v + gz + P = cste dans tout le fluide soit, en négligeant v d ode : # t + gz + P = cste dans tout le fluide Cette constante dépend en fait du temps : elle est de la fome A(t). Cependant, sa valeu ne changea en ien la desciption des vitesses du fluide. En effet : # t + gz + P = A(t) => #' t + gz + P = 0 avec φ = φ - B(t) où B(t) est une pimitive de A(t). o v (M, t) = gadφ = gadφ : le potentiel φ donne le même champ des vitesses. Nous pouvons donc en paticulie choisi la constante qui coespond au fluide au epos, pou lequel z = 0 avec P = P 0. Nous etiendons : # P + gz + t = P 0 En déivant cette elation pa appot à t et en emaquant que # t + g # z + 1 P = 0 t dz dt = v z = #, il vient : z Cette elation est véifiée en paticulie au niveau de la suface libe où P = P 0 = cste. Dans l hypothèse des petits mouvements, cette suface libe este voisine du plan z = 0. D où : # t + g # z = 0 en z = 0 soit - ω φ(x, 0, t) +kg φ(x, 0, t) = 0 => ω = kg => c = Nous obtenons des ondes de gavité décivant le phénomène de houle. La longueu d onde λ epésente la péiode spatiale des vagues de houle dans la diection x. L équation de la suface libe est donnée pa : g k = ωφ 0 e kz sin(kx - ωt) + gz = 0 g #

13 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 41 Si l amplitude des mouvements des paticules de fluide este faible devant la longueu d onde λ (qui epésente la péiode spatiale des vagues de houle dans la diection x), le teme e kz vaie peu pou une paticule. En paticulie, pou les paticules de fluide au voisinage de la suface libe e kz 0 et la suface libe a pou équation : Z(x, t) = - φ 0 c sin(kx - ωt) D où l allue de la suface libe epésentée su le document. Nous pouvons évalue numéiquement la céléité c pou des vagues de houle dont la distance cête à cête (longueu d onde) seait de 80m : nous touvons une céléité d envion 11m.s -1 houle z suface libe au epos x La vitesse d une paticule de fluide est donnée pa les composantes : v x = # x = - k φ 0 e kz sin(kx - ωt) v z = # z = kφ 0 e kz cos(kx - ωt) Les tajectoies s obtiennent pa intégation de : dx dt = - k φ 0 e kz sin(kx - ωt) dz dt = kφ 0 e kz cos(kx - ωt) Repenant une emaque pécédente, nous pouvons die que, pou les paticules de fluide estant au voisinage de sa position de epos, les temes d espace vaient peu. Les tajectoies de telles paticules sont alos données pa une simple intégation vis à vis du temps, à x et z constants : x - x 0 = - k φ 0 e kz cos(kx - ωt) z - z 0 = - où x 0 et z 0 sont des constantes d intégation. Ces tajectoies sont des cecles d équation : (x - x 0 ) + (z - z 0 ) = ( k φ 0 e kz sin(kx - ωt) Ainsi les paticules de la suface libe décivent des cecles de ayon R = 0 c. Nous avons epésenté su le document suivant l allue de cette suface à des instants successifs. 0 c ekz )

14 PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 4 sens de popagation sens de otation t 0 t 0 + T/4 t 0 + T/ Le ayon des tajectoies décoît avec la pofondeu. Ainsi, pou des «ceux» de m en suface (ce qui coespond à un ayon de 1m), les tajectoies ont des ayons de 40 cm et 4,7 cm à des pofondeus espectivement égales à 3 et 30m : à cette denièe pofondeu la houle est patiquement insensible...