COURBES PLANES PARAMETREES. f est aussi appelé paramétrage de C (ou paramétrisation) de C. , Exemples : et C la droite D( M, u)

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1 COURBES PLANES PARAMETREES A DEFINITIONS ET PREMIERES PROPRIETES: Arc paraméré, courbe paramérée, Dans ou ce chapire on noera R ( O i j, un repère orhonormé du plan P soi I f : une foncion vecorielle C k définie sur un inervalle I de R f ( i + y( j ( I, f es appelé arc plan paraméré de classe C k de R / es appelé suppor de l arc paraméré ( I, f ( I, f es aussi appelé paramérage de C (ou paramérisaion de C le couple L ensemble C { M P OM f ( e I} le repère R dans Une courbe paramérée es une réunion d arcs paramérés noaion cinémaique C { M P OM f ( e I} le veceur f ( Soi es noé M e x, y R ( dm ou encore d OM d d u( α, β R / es appelé la rajecoire, Exemples : D ( M, u M E / M M u, R x, y R / x + y la parie C de R définie par ( e C la droie D( M, u, définie par : es un arc paraméré de R { } C es une courbe paramérée de Eude des Courbes planes paramérées : Dans oue la suie on noera C la coube définie x sin x + par e C par y cos y + Périodicié : Si x e y on une période commune T On éudie F sur un inervalle d'ampliude T Syméries Roaions s il exise une bijecion ψ : D D e s il exise une parie D D elle que D D ψ ( D s il exise une ransformaion géomérique T du plan P elle que D M ( ψ ( T( M ( R e Alors on limie l éude à la parie D D puis on complèe par la ransformaion géomérique T du plan P Exemple eude de C Tangene en un poin à une courbe e posiion de la courbe: ( p Définiion : la angene en M à la courbe C es la droie D M, f ( où p es le premier enier f ( p naurel el que ( Si p ( f '( ( M es di régulier, sinon M es di poin saionnaire Exemple : éqauion carésienne de la agnee aux poins saionnaires de C Posiion d'une courbe au voisinage d'un poin dans le plan affine: EIVL LG page / 9 courbes planes paramérées

2 Définiion soi n N * el que f es n ( p C sur I, D( M, f ( es la angene à C en M ( ( p Si q le plus pei enier naurel non nul el que ne soi pas colinéaire à alors (, f q ( p ( M f (, f q ( ( p ( M f (, f q ( ( p ( M f (, f q ( ( p ( q I M M X ( f ( + Y( f ( ( f ( es appelé repère fondamenal en M à la courbe C ( remarque on doi avoir nécessairemen p q n Théorème : si (, alors (, avec < es le repère fondamenal en M à la courbe C es appelé repère fondamenal en M e on peu écrire X ( ~ ( p! p e Y( ~ ( q q corollaire : définiion des quare ypes de poins, poin ordinaire, poin d'inflexion,poins de rebroussemens de ère e nde espèce G de( F' (, F"( M es di birégulier ( Si p e q ( Remarque si M es un poin d inflexion alors G de( f '(, f "( ( ( Exemple: naure des poins saionnaires e deerminaion des poins d inflexion de C? 4 Branches infinies d une courbe plane définie paramériquemen : C possède une branche infinie s'il exise D (fini ou non el que lim x( + ou lim y( + Le ableau suivan résume les différens ypes de branches infinies : lim x( x Si e lim y( ± lim x( ± e lim y( y lim x( + e si lim y( + e si y lim ( ± x( y( lim x( y( lim a R x( lim y( a R x( e si * * lim ( y( ax( b R ± lim ( y( ax( Alors la droie d'équaion x x es asympoe à C la droie d'équaion y y es asympoe à C branche parabolique dans la direcion (Oy branche parabolique dans la direcion (Ox direcion asympoique dans la direcion de la droie ax y la droie d'équaion! es asympoe y ax + b une branche parabolique dans la direcion y ax Exemple :Eude des branches infinies de C 5 Poins muliples de C: s il exise el que e f ( f ( (, D alors M ( es appelé poin muliple EIVL LG page / 9 courbes planes paramérées

3 Exemple : éude des poins muliples de ² f ( 6 Plan d'éude d'une courbe plane définie paramériquemen par: x y y( Déerminaion de l'ensemble de définiion D Déerminaion du domaine d'éude ; Périodicié ;ransformaions géomériques Eude des variaions e des poins saionnaires évenuels Eude des branches infinies : Résumer les résulas dans un ableau de variaion Tracé de la courbe:préciser les poins remarquables (poins saionnaires,poins d'inersecions avec les axes,avec les asympoes Poins muliples de C ( si l énoncé le précise 7 EXEMPLE : Eude de C EXEMPLE : Eude de C (courbes de Lissajous // lissajous -%pi::%pi;xsin(* ;ycos(*; xse("fon",,8 plo(x,y,"x","y","bonne FETE MAMAN ",xgrid(; y BONNE FETE MAMAN x B COURBES PLANES EN COORDONNEES POLAIRES Courbe définie par une équaion polaire: Définiion : R Soi f f ( définie sur D On appelle courbe d'équaion polaire r f ( la courbe (C d'équaions paramériques : x f y f ( ( cos sin EIVL LG page / 9 courbes planes paramérées

4 + π v( u + sin i + cos j ( Noaions : pour ou R si on noe u( cos i sin j e π appelé veceur uniaire d angle polaire + on a par conséquen OM F( u es appelé veceur uniaire d angle polaire e v ( f ( u, ce qui signifie que f ( es l'abscisse du poin M dans le repère ( O, u sur la droie définie par ce repère On appelle: l'origine O le pôle, r le rayon polaire, l' angle polaire équaion polaire d'une droie, équaion polaire d'un cercle passan par le pôle (voir TD droie ne passan pas par le pole équaion polaire : A r cos( ϕ ce r Acos( ϕ droie passan pas par le pole équaion polaire : cercle passan par le pôle équaion polaire : syméries e Roaions: (On noera dans la suie indifféremmen la foncion f par r ou par f soit un réel posiif, α R e k Z on noe C k { M C / [ α + kt; α + ( k + T[ } Si pou ou D Alors Conséquences r ( + T r( C k es l'image de C par la éude pour α, α + T donne roaion de cenre O e d'angle C puis C Ck k Z kt r( + T r( C es l'image de C par la éude pour α, α + T donne roaion de cenre O e d'angle C T + π e on se ramène au cas précéden grâce à ( a - r( r r ( a - r( CAS LES PLUS FREQUENTS : ( + T r( r C es symérique par rappor à la droie D (O, u éude sur a D a ;+ ou sur D ; a alors C es symérique par rappor à la droie D (O, u a + π a éude sur D ;+ ou sur D ; a r (- r( ; r( - r( r ( π - r( ; r( π - r( ; ( π + r( r ( π + r( EXEMPLES: branches infinies r ; f ( an ; f ( + cos lim r Branche infinie avec direcion asympoique : ( ± Branches infinies spirales : r( ± ± lim EXEMPLE: f ( EXEMPLE: f ( an EIVL LG page 4/ 9 courbes planes paramérées

5 R Cercle (ou poin asympoe lim r( ( évenullemen ± Exemple : f ( 4 Tangene en un poin: le seul poin saionnaire possible de C es le pôle Tangene en un poin disinc du pôle: En ou poin alors on a : + M de C la angene es la droie D( M, F ( e si l on pose V ( u, F ( anv f ( f ( ( si f ( alors V π ' Poins à angene horizonale (resp vericale caracérisés par [ π ] π V (resp V π Tangene au pôle : la angene en O à C es la droie D( O, u 5 EXEMPLE : r an EXEMPLE : r + cos C Longueur d'un arc, Abscisse curviligne changemen de paramère admissible : C I, F un arc de classes C k, Φ un Soi ( (, G J es appelé paramérage k Φ e k C -difféomorphismeφ de I sur J (I C admissible de C ( I, F On di alors que (, F G G Φ I e (, G J C k - équivalens Si de plus Φ es sricemen croissane alors ( I, F e ( J, G son dis C k -équivalens e de même orienaion Abscisse curviligne: Théorème e définiions: C I, F un arc de classe C sans poins saionnaires, on appelle abscisse curviligne dans le Soi ( sens de croissans sur C oue applicaion σ : de classe s σ ( I σ ( F ( Pour ou I l'applicaion : σ ( F ( u C vérifian σ es une abscisse curviligne sur C Une abscisse curviligne es un changemen de paramère admissible de C ( J ( I, F σ σ b ( ( ( a, F ( ( r cos, r sin Longueur d'un arc: si F es C alors L σ b σ a F d es appelée longueur de l'arc M [,π ] a M b Calculs de longueurs de courbes: paramérisaion de la courbe du Longueur de la courbe b F( i + y( j + z( k [ a; b] L x' ( y' ( z' ( d équaion carésienne y f (x [ a; b] x coordonnées polaires x ρcos ; y ρsin L + + a b a b σ '(xdx + f ' ( x dx L ρ ( + ρ' ( d a EIVL LG page 5/ 9 courbes planes paramérées

6 TD COURBES PLANES PARAMETREES O, i, j Le plan affine P es rapporé à un repére orhonormé ( EXERCICE Eudier les courbes définies paramériquemen par : OM F( i + y( j a x ( cos + cos e y( sin sin b x( e ( ( + ( y COURBES EN COORDONNEES POLAIRES : Le plan affine P es rapporé à un repére orhonormé ( O, i, j EXERCICE Soi C la courbe d équaion polaire r f ( On noe F( f ( u( ( k Soi p N *, monrer que si pour ou enier k<p F ( Alors pour ou enier k<p ( k f ( En déduire que la angene au pôle es porée par le rayon veceur EXERCICE Soi C définie par son équaion polaire r f (, a un réel Monrer que D r ( a - r( alors C es symérique par rappor à la droie D (O, u a Si pou ou EXERCICE 4 Eudier e représener les courbes d équaions polaires suivanes cos a r cos( (lemniscae de Bernoulli b r π sin EXERCICE 5 : Calculer les longueurs des arcs de courbes suivans : Calculer la longueur de l'arc de courbe ( *+ a R Γ défini par : x +, y + 6 Quelle es la longeur de la cardioïde d'équaion ρ + cos [, π ] EXERCICE 6 : repère de Frêne, courbure, paramère angulaire, développée repère de Fréne : un arc de classe C régulier du plan affine E Soi C ( I, F On noe M ( le poin de C défini par I OM ( F(, [, a] avec EIVL LG page 6/ 9 courbes planes paramérées

7 s une abscisse curviligne sur C dans le sens des croissans d origine a s ( F ( u du Dans oue la suie on noe par s le poin s ( On noe G l applicaion définie sur J par G( s F( ( J, G es alors appelé paramérage de C ( I, F On a : s J G ( s F ( Le veceur T ( s G ( s F ( veceur uniaire (s par l abscisse curviligne a (on di que l abscisse curviligne es un paramère normal de C es appelé veceur uniaire de la angene orienée l unique N direcemen orhogonal à T (s es appelé veceur uniaire normal M ( s; T ( s; N( s es appelé repère de Fréne en M (s à la courbe C oriené ( Paramère angulaire : On noe α ( s ( i, T ( s l angle que fai la angene avec ( O i, Le héorème de relèvemen assure que si F es C sur I alors α es e on a : G ( s T ( s cos( α ( s i + sin( α( s j α es appelé paramère angulaire Courbure : on appelle courbure de C au poin M le réel On a alors C sur I dα γ ( s ds dt dn G ( s γ N, γ (s de ( i, j ( G' ( s; G ( s e de plus ds ds R( s γ ( s es appelé rayon de courbure en M (s si γ ( s le nombre 4 Cenre de courbure e développée γ es appelé cenre de courbure en M (s Le poin C(s défini par M ( s C( s R( s N( s L ensemble des cenres de courbures, lorsque s décri J es appelé développée de C 5 Calculs praiques Dans la praique, la courbe es donnée par un paramérage quelconque I F : F( i + y( j G( s ξ ( s i + η( s j pour calculer ( M ( s; T ( s; N( s exprime oues ces quaniés au poin s( en uilisan la relaion (s Exemple il n es pas besoin de calculer le paramérage par l abscisse curviligne γ ; ; (s R( s γ ( s T ( ; ( s i, T ( s α on s en uilisan le paramère x' ( y"( x"( y' ( γ de ( i, j ( G' ( s; G ( s on a γ ( s( x'²( + y'²( ( EIVL LG page 7/ 9 courbes planes paramérées

8 Déerminer le repère de Fréne, la courbure, le cenre de courbure, la développée de la racrice d équaion * R + x( h( y( ch( Déerminaion de α ( s( : On a I cos( α( s( x' ( s' ( sin( α( s( y' ( s' ( Dans le cas où une déerminaion direce n es pas possible e si '( On a alors Calcul de (s x y' ( anα ( s ( (écriure pouvan conduire à la déerminaion de ( s( x' ( γ en uilisan le paramère angulaire dα( s( γ ( s( s' ( d On a Exemple I α Déerminer le repère de Fréne, le paramère angulaire, la courbure, le cenre de courbure, la développée, de la cycloïde d équaion ] ;π [ r f ( Arc défini par une équaion polaire x( sin y( cos Ici le paramère es compe enu des définiions des angles ( α s ( + V ( ( D aure par on a : Eude de la cardioïde r + cos γ ( s( V e α( s ( on a alors f ²( + f '²( f '( f "( ( f ²( + f '²( Pour s exercer : EXERCICE A Théorème de relèvemen Soi B ( e, e une base orhonormale direce de R, I un inervalle de R e I V : une foncion C sur I, vérifian : V ( e + + y( e I V ( I On suppose qu il exise deux foncions ϕ e ψ elles que : ϕ : e ψ : C sur I, e vérifian : ϕ( ψ ( I V ( cosϕ ( e + sinϕ( e cosψ ( e + sinψ ( e Monrer qu alors il exise k Z el que I ϕ( ψ ( + kπ II On noe f l affixe complexe de la foncion V c es à dire la foncion définie par : C f : f ( + i y( où i² Monrer que R I f ( i f ( EIVL LG page 8/ 9 courbes planes paramérées

9 Soi a I monrer que l applicaion ϕ définie sur I par : I sur I on noe i ϕ( l applicaion définie sur I par I ( e f ( monrer que es consane sur I ϕ : ϕ( V ( cosϕ ( e + sinϕ( e 4 En déduire qu il exise une foncion I EXERCICE B : - éude de x( e e y( EXERCICE C: Eude des courbes d équaions polaires : a sin r b r ln sin + cos C sur I, vérifian : ( i a f ( u du f ( u ϕ es ( l éude des poins doubles n es pas demandée C EIVL LG page 9/ 9 courbes planes paramérées