Chapitre A1 - Nombres - récurrences - Sommes. Table des matières
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- Christian Marion
- il y a 7 ans
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1 Chapitre A1 - Nombres - récurreces - Sommes Table des matières 1 Esembles de ombres Déitios Itervalles d'etiers Nombres réels Propriété caractéristique Esemble des réels étedus Lie avec les ratioels Nombres complexes Rappels Trigoométrie Pricipe de récurrece Pricipe Rédactio type Cojecture Récurrece double Récurrece forte Calculs avec Σ et Π Sommes et produits classiques Déitios Formulaire Chagemets d'idices Traslatio Permutatio Pricipe des domios Somme à doubles idices Combiaisos et formule du biôme Rappels sur les factoriels Combiaisos Déitio Propriétés Formule de Pascal Formule de Pascal gééralisée Triagle de Pascal Formule du biôme Formule de Vadermode
2 1 Esembles de ombres 1.1 Déitios N est l'esemble des etiers aturels : Z est l'esemble des etiers relatifs : D est l'esemble des ombres décimaux : Q est l'esemble des ombres ratioels : R est l'esemble des ombres réels C est l'esemble des ombres complexes : Remarques N Z D Q R C et R est 'immergé' das C Certais irratioels sot algébriques, c.a.d. solutio d'ue équatio polyomiale à coéciets etiers. Aisi 2 est irratioel et π e l'est pas, o dit que c'est u ombre trascedat. 1.2 Itervalles d'etiers Soiet et p deux etiers relatifs tels que p L'esemble des etiers compris etre et p se ote : {, + 1,..., p} [, p]] L'esemble des etiers supérieurs ou égaux à se ote : {, + 1,... } [[, + [[ 1.3 Nombres réels Propriété caractéristique Tout sous-esemble o vide et majoré (resp. mioré de R admet u plus petit majorat (resp. u plus grad miorat Il est appelé bore supérieure de A (resp. iférieure et oté sup A (resp. if A. Remarques Das le cas où A est o vide et majoré sup A 'est pas forcémet u élémet de A. à la diérece de max A qui, s'il existe, est écessairemet u élémet de A sup A est uique, il y a par cotre ue iité de majorats Esemble des réels étedus O appelle droite umérique achevée, otée R, l'esemble R { } {+ }
3 1.3.3 Lie avec les ratioels Tout réel est la limite d'ue suite de ratioels ( ( 1 Exemple Costate de Neper : e lim +! 1.4 Nombres complexes Rappels + 1! Si z C alors il existe u uique (a, b R 2 t.q z a + ib avec a Re (z et b Im (z Écriture polaire : si z C alors il existe u uique (ρ, θ R + [0; 2π[ z ρe iθ avece iθ cos θ + i si θ t.q Cojugué : z a ib Module : z ρ a 2 + b 2 zz Formule d'euler : pour tout θ R cos θ eiθ + e iθ 2 et si θ eiθ e iθ 2i Formule de Moivre : pour tout (θ, R N (cos θ + i si θ ( e iθ e iθ cos θ + i si θ Trigoométrie Soit (a, b, θ R 3, formule d'additio : e i(a+b e ia + e ib et formule de duplicatio : e i2θ ( e iθ 2 2 Pricipe de récurrece 2.1 Pricipe Soit 0 Z. O cosidère, pour tout I [[ 0, + [[, ue propositio P (. Démotrer que cette propositio est vraie pour tout I, par récurrece sur reviet à : démotrer qu'elle est vraie pour le plus etier de l'itervalle I, c.a.d. pour 0 (c'est l'iitialisatio, puis prouver que si la propositio P ( est vraie pour u certai I alors P ( + 1 est écessairemet vraie (c'est l'hérédité. Le pricipe de récurrece permet alors de coclure que la propositio est vraie pour tout I. 2.2 Rédactio type Cosidéros, par exemple, I [[4, + [[ et pour tout I la propositio P ( suivate : 2! Motros par récurrece que cette propositio est vraie pour tout I : Iitialisatio : Pour 4, le membre de gauche vaut et celui de droite 4! 24. Comme 16 24, la P (4 est vraie. Hérédité : Supposos que, pour ue certai I, P ( est vraie. Cela sigie que 2!, doc 2 2 2!, puis comme 2 + 1, o a 2 +1 ( + 1!. Aisi P ( + 1 est vraie.
4 Coclusio : Par pricipe de récurrece, pour tout 4, 2! Remarque Sur la écessité d'iitialiser : O cosidère pour tout N la propositio P ( : 3 Cette propositio est héréditaire, e eet, si ous supposos que pour u certai, 3 alors clairemet Il est pourtat évidet que la propositio est fausse pour tout N. 2.3 Cojecture Raisoer par récurrece écessite de coaître le résultat, il faut doc parfois cojecturer : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 57 et pour tout N, u +1 10u Récurrece double Pour coaître u terme, il est parfois écessaire de coaître les deux précédets : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 1, u 1 3 et pour tout N, u +2 2u u 2.5 Récurrece forte Pour coaître u terme, il est parfois écessaire de coaître tous les précédets : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 1 et pour tout N, u (u 0 + u u 3 Calculs avec Σ et Π 3.1 Sommes et produits classiques Déitios Soit (u N ue suite de réels ou de complexes. S u 0 + u u P u 0 u 1 u u u ( + 1 termes ( + 1 facteurs Remarques Pour les récurreces :S +1 S + u +1 et ( P +1 P u +1 Si pour tout [0, ]], u > 0 alors l u l (u ( exp u exp (u
5 La somme q u où p q cotiet q p + 1 termes. p Formulaire 3.2 Chagemets d'idices Traslatio ( ( + 1 ( ( ( Soit q R \ {1}, 1 + q + + q 2 q 1 q+1 1 q Soit N et (u [0,]] ue suite de réels ou de complexes, pour tout p [0, ]] p u p i0 u i Permutatio Soit N et (u [0,]] ue suite de réels ou de complexes, u i0 u i Il est iterdit de sauter des idices, par exemple e predre que les termes pairs. Il faut des etiers cosécutifs et le même ombre de termes das les deux sommes. 3.3 Pricipe des domios Soit (u N ue suite de réels ou de complexes. pour tout N, (u +1 u u +1 u 0 si de plus pour tout [0, ]], u 0 alors u +1 u u +1 u Somme à doubles idices Soit ( (i,j N 2 ue suite de réels ou complexes doublemet idicée par i et j. 0 i,j i0 j0 j0 0 i j i0 ji j0 ( i0 ( j i0
6 4 Combiaisos et formule du biôme 4.1 Rappels sur les factoriels pour tout N,! 1 2 et ( + 1! ( + 1! de plus par covetio, 0! Combiaisos Déitio Soiet N et Z, parmi est le ombre oté si 0 alors si < 0 ou > alors!! (! 0 déi par : Propriétés pour tout (, N Z, 0 1 ( ( 1 1 pour tout (, N Z, ( ( 1 1 ( ( (Formule sas om 4.3 Formule de Pascal pour tout (, N Z, ( ( Applicatio pour tout (, N Z, N 4.4 Formule de Pascal gééralisée pour tout N, pour tout p [0, ]], p + 1 p + 1
7 4.5 Triagle de Pascal \ Formule du biôme pour tout N, pour tout (a, b R 2, (a + b a b 4.7 Formule de Vadermode pour tout (, p, q N 3, ( ( ( p q p + q e particulier pour tout N, ( 2 ( 2
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