II MOMENTS - TORSEURS

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1 II OENTS - TORSEURS Le torseur est l'outl prvlégé de la mécanque. Il sert à représenter le mouvement d'un solde, à caractérser une acton mécanque et à formuler le PFD (prncpe fondamental de la dynamque), entre autres. 1. oments a). Vecteur lé ou glsseur On appelle vecteur lé ou glsseur le couple d'un vecteur V de (E) et d'un pont P de (ε) assocé à (E). On le note (P,V ). Le glsseur (P,V ) dont PN est un représentant est donc défn par : - un vecteur V de (E) - un pont quelconque P de son support (D) Exemple : La force F qu'exerce un système matérel sur un pont matérel peut être représenté par un glsseur (,F) b). oment en un pont d'un glsseur On appelle moment au pont du glsseur (P,V) le vecteur : (V) = P V écanque - II - 1 / 8

2 Proprétés : Le moment au pont du glsseur ( P, V ) est ndépendant du pont P chos sur son support (D) Relaton fondamentale de changement de pont du moment d'un glsseur : (V) = (V) + V (V) = 0 s V est nul ou s (D) passe par L'ensemble des vecteurs moment du glsseur (P,V), défnt en tout pont de l espace (ε), consttue un champ de vecteurs, appelé champ de moments du glsseur (P,V) c). oment d'un glsseur par rapport à un axe étant un pont d'un axe de vecteur untare e, on appelle moment du glsseur ( P, V ) par rapport à l'axe le réel suvant : (V) = e. (V) = ( e, P,V ) (projecton de (V) sur l axe de ) Proprétés : - Le moment (V ) du glsseur (P,V) par rapport à l'axe (,e ) est ndépendant du pont chos sur l'axe - (V ) = 0 s V est nul, s la drote (D) rencontre l'axe (,e ) ou encore s (D) est parallèle à (,e ). d). Ensemble de glsseurs Sot un ensemble de glsseurs {(P,V )} suvants : - R = V : la résultante de l'ensemble de glsseurs - = ( P V ), on peut assocer à cet ensemble les deux vecteurs : le moment au pont de l'ensemble de glsseurs écanque - II - / 8

3 Proprété : Le champ des moments de l'ensemble de glsseurs vérfe la relaton suvante : = + R Remarques : - Le fat de fare "glsser" les vecteurs sur leur support (D) ne modfe n la résultante, n le moment de départ, d'où le concept de vecteur glssant ou glsseur. - Dans le cas d'un nombre nfn de glsseurs (charge réparte par exemple), on a: R = F(P)dµ et P E = P F(P) dµ (Intégrales de Steljes) P E où F (P) est une densté de force (lnéque, surfacque ou volumque) défne sur le domane (E), relatvement à la mesure µ (L, S ou V). Champs de vecteurs On appelle champ de vecteurs l'applcaton qu fat correspondre à tout pont de (ε) un vecteur V de l'espace vectorel (E) de même dmenson que (ε). Exemples : Champ électrque E, champ magnétque, champ gravtatonnel g... Un champ de vecteurs F est dt affne s l exste une applcaton lnéare L L(E) telle que (,) ε : F () = F() + L() L est la parte lnéare de F. Un champ de vecteurs F est dt équprojectf s : (,) ε : F(). = F(). Proprété : S un champ de vecteurs équprojectf est connu en 3 ponts, et C non algnés, l est connu en tout pont P de ε. écanque - II - 3 / 8

4 L'applcaton lnéare L : ε E est antsymétrque s : ( u,v) E L(u).v = u.l(v) : ( ) Théorème Sot F : ε E un champ de vecteurs, alors les deux proprétés suvantes sont équvalentes : () F est équprojectf () F est un champ affne, et sa parte lnéare est antsymétrque. Remarque : Le champ des moments E d'un glsseur (P,V) est équprojectf. 3. Torseurs a). Défnton Tout champ de vecteurs équprojectf T : ε E est appelé torseur. Pour tout E, la valeur T () est le moment du torseur au pont, noté. On note le torseur assocé à T sous la forme [ T ]. Théorème : Sot un torseur T : ε E, l exste un vecteur unque R tel que : (,) ε : T() = T() + R R est la résultante du torseur [ T ] Proprété : Dans l'espace vectorel (E) assocé à l'espace affne (ε), un torseur [ T ] manère unque par sa résultante R et son moment en un pont vérfant : (,) ε : = + R le torseur [ T ] se note au pont : [ T ] = R et R sont appelés éléments de réducton (ou coordonnées vectorelles) de [ T ] : ε E est défn de écanque - II - 4 / 8

5 Exemples : Dans le cadre de l'étude des soldes rgdes : - Champs des vtesses Torseur cnématque - Champs de quanttés de mouvement Torseur cnétque - Champs de forces Torseur force - Champs de quanttés d'accélératon Torseur dynamque b). Proprétés d'un torseur () Opératons Égalté : Deux torseurs [ T et [ ] T sont égaux s et seulement s leurs éléments de réducton sont égaux R 1 = R et 1, =, Somme : La somme de deux torseurs [ T et [ ] T est le torseur dont les éléments de réducton sont la somme des éléments de réducton de chacun des deux torseurs : R = R 1 + R et = 1, +, Remarque : Pour addtonner deux torseurs, l faut d'abord les écrre au même pont. Cec est valable pour toutes les opératons entre torseurs. ultplcaton par un scalare : Sot R λ T = λ T = λ R, λ λ, [ ] [ ] { } Torseur nul : [ 0 ] = { 0, 0} C'est l'élément neutre pour la somme. un torseur est nul s ses éléments de réducton sont nuls : R = 0 et = 0 écanque - II - 5 / 8

6 () In varants d'un torseur Sot [ T ] un torseur, les nvarants d'un torseur sont les grandeurs qu sont conservées entre deux ponts et de l'espace (ε). La résultante R du torseur L'nvarant scalare : projecton du moment du torseur sur sa résultante (,) ε : R. = R. Relaton d'équprojectvté :. =. c). xe central d'un torseur Un pont central est un pont où le moment d'un torseur [ T ] a même drecton que la résultante. pont central R = 0 (ou = λ R ) L'ensemble [ T ] des ponts centraux de [ T ] est appelé axe central. Proprétés : - L'axe central [ T ] d'un torseur [ T ] est une drote, qu admet R comme vecteur drecteur - Le moment d'un torseur est le même en tout pont de l'axe central - La norme du moment d'un torseur est mnmum pour les ponts centraux : = 0 [ T ] d). Produt (ou comoment) de deux torseurs Soent deux torseurs [ T et [ T défns au même pont : [ T1 ] R = 1 1, et [ T ] R =, Le produt ou comoment des deux torseurs [ T et [ [ T1 ][. T ] = R1., + R. 1, T est le réel suvant : écanque - II - 6 / 8

7 Remarque : Cette noton sert par exemple à exprmer la pussance d'une acton mécanque extéreure à un solde. Proprétés : - Le produt de torseurs est commutatf - Le produt de deux torseurs est ndépendant du pont chos c'est un nvarant Torseurs partculers a). Torseur couple On appelle couple ou torseur couple tout torseur [ T ] qu est constant, donc tout torseur, noté [ C ], dont la résultante est nulle : : C = 0 [ ], avec 0 Remarques : - Le moment d'un torseur couple est e même en tout pont de l'espace : - Un couple n'admet pas d'axe central b). Glsseur (,) ε : = On appelle glsseur ou torseur à résultante un torseur [ G ] dont le moment est nul en au mons un pont. L'ensemble des ponts où le moment est nul n'est autre que l'axe central, auss appelé dans ce cas support du glsseur : [ G ] =, avec G, R 0 R écanque - II - 7 / 8

8 Remarques : T avec R 0 et 0 est un glsseur s ses deux éléments de réducton sont - Le torseur [ ] orthogonaux - La somme de deux glsseurs dont les axes centraux sont quelconques n'est en général pas un glsseur - Pour qu'un torseur non nul sot un glsseur l faut et l sufft que son nvarant scalare sot nul c). Décomposton d'un torseur Théorème : Tout torseur [ T ] peut être décomposé de façon unque en la somme d'un couple [ C ] et d'un glsseur [ G ]: R 0 0 [ T ] = = + R = [ C] + [ G] [ G ] est le glsseur de vecteur R et de support l'axe central de [ T ] et [ C ] est le couple de valeur le moment central de [ T ] On appelle cette opératon décomposton centrale, [ T ], R et de [ T ]. 5. Torseur assocé à un ensemble de glsseurs [ T sont les éléments centraux ] Les ensembles de glsseurs ou vecteurs lés {(,V ) } répondent à la défnton d'un torseur (équprojectvté des moments). On peut donc leur assocer un torseur, qu s'écrt au pont : V [ T (V )] = ( ) P V On appelle torseur à structure un torseur dont les éléments de réducton sont les deux ntégrales de Steljes : µ [ ( )] = F(P)d T F(P) P E P F(P)dµ P E écanque - II - 8 / 8