Chapitre : Équilibre général de Walras

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Marie-Josèphe Lapierre
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1 Écoome et maagemet Lcece Mcroécoome 3 Aée Chaptre : Équbre gééra de Waras Robert Jorda

2 Agets de 'écoome : aucue fuece dvdueemet Système de prx : permettat de réaser des échages Codusat à u état réasabe de 'écoome Augmetato de a tae de 'écoome : dmuto des cotrats Écoome pus cocurretee Théore du oyau : brache de a théore des jeux (jeux coopératfs Ré-aocato (x : remse e cause par aucue aace de 'écoome Équbre e cocurrece pure et parfate Lmte de a courbe des cotrats orsque e ombre des agets devet grad Processus d'échagé réasé à des prx aocés et doés pour tout es cosommateurs Agets : prce-takers Prx doés par u commssare-prseur Équbre de Waras : aocato des ressources socaemet effcace Équbre gééra de Waras : défto {(x h = h } h = et {(p = } = formet u équbre de Waras : deux codtos (x h : état réasabe de 'écoome x h h = h = e h =,, (x h : équbre pour e cosommateur h = à (x h (x h (x h B h (p, (e h

3 Appcato : deux cosommateurs et deux bes Préféreces covexes et mootoes avec (e = (e, e (e = (e, e x = {(x p = (p,, x, ( x, x } p Pete de a drote jogat x à e : Drote représetat ue cotrate de budget pour chaque cosommateur p x + p x = p e + p e p x + p x = p e + p e Réasato de 'échage : deux codtos Échage d'u état réasabe vers u autre état réasabe Ré-aocato des ressources réasabe Vérfat es cotrates de budget x : tous es cosommateurs sot au mos auss be qu'au pot de dotato tae

4 Écoome décetrasé : rasoemet e terme de veau d'échage (et o de veau de satsfacto Demade ette de chaque cosommateur : z h Par défto : z h = x h e h Tros possbtés z h > 0 : demadeur et de be sur e marché z h > 0 : o-cosommato ou dotato tae coveabe z h < 0 : offreur et de be sur e marché Appcato précédete z < 0 z > 0 et z > 0 z < 0 p z + z = 0 Motat des dépeses effectuées e aat sur e marché du be Ne pouvat excéder a recette de a vete sur e marché du be z et z : écessaremet de sge aterés p z h = 0 h = Proprétés : demades ettes z h (p, (e h = Χ h (p, R h e h Or, das ue écoome d'échage : z h (p, (e h = Χ h (p, p e h e h = R h = p e h = dz h dp j : redéfto de a proprété de substtuabté j dz h = dx h + dx h e dp j dp j dr hj h Proprété : bes et j substtuts bruts S : dz h dp j 0 Be orma : dx h dz h dp j 0 > 0 ; dp j Récproque fausse dx h > 0 et e dr hj 0 h

5 Demade excédetare de be : Z (p = z h = 0 x h = e h =,, h = h = Codto géérae d'u état réasabe : Z (p 0 =,, <=> z h 0 h = h = Trouver e système de prx meat à 'équbre de Waras Vérfcato des prx : vérfat Z (p 0 Système de tâtoemet Proprétés fodametaes de Z (p : deux Homogèe de degré 0 par rapport aux prx : Z (p = Z (λ p λ > 0 Lo de Waras : p Z (p = 0 = Homogèe de degré 0 par rapport aux prx : Z (p = Z (λ p λ > 0 Démostrato : Z (p = z h (p h = Z (p = [Χ h (p, R h e h ] Z (p = h = h = [Χ h (p, h = Z (p 0 =,, Préféreces mootoes : Z (p = 0 p e h e h ] Système pas totaemet détermé : p Z (p = 0 = équatos dépedates : format e système d'équato p z + z + + p z = 0 S =,, codto vérfée Aors : derère codto forcémet vérfée Z (λ p = 0 λ > 0 Système de prx d'équbre : à ue mutpcato λ près Vra du fat de 'homogéété de degré 0 par rapport aux prx Z (p,, p,, p = Z (λ p,, λ p,, λ p λ = p Expresso e prx reatfs : Z ( p,, p,, p p Résouto du probème de Waras : possbe

6 À 'équbre : deux possbtés S Z (p = 0 : aors p > 0 Be rare S Z (p < 0 : aors p = 0 Be bre Démostrato : par a o de Waras = p x = 0

7 Appcato Deux cosommateurs : mêmes préféreces Deux bes a U h = x h a x h h = {, } 0 < a < Dotatos : (e h = (e h, e h Demades de be : x h = a R h p x h = ( a R h Max U = x a a h h x h S/ C p x h + x h R h Préféreces mootoes : p e h + e h = R h Demades de be : x h = a p e h + e h p x h = ( a p e h + e h Demades ettes : z h = a p e + p e h h e p h z h = ( a p e h + e h e p h Demades excédetares : Z (p, = z + z Z (p, = z + z Z (p, = a p E + p E E p 0 Z (p, = ( a p E + E E 0 avec E = e + e E = e + e Z (p, = a p E ( a p E 0 p Z (p, = ( a p E a E 0 À 'équbre gééra de Waras : Trouver e prx reatf ( p Z = 0 Z = 0 Be : umérare : ( p = a E ( a E Z et Z homogèes de degré 0 par rapport aux prx : Z ( p, = 0 Z ( p, = 0

8 Rège de ormasato : p = cst p j Z (α p = Z (p α > 0 : car homogèe de degré 0 par rapport aux prx α = p = p Z (p, = Z (, p + p + Codto suppémetare : Z (p,, p,, p avec p = = Numérare : étao composte compreat ue uté de chaque be Z (p, 0 Z (p, 0 p + = : sot Z (p, p = Z (p Z (, = Z ( Demades excédetares : foctos cotues Rapport des prx : dépedat uquemet (das ce cas des quattés totaes de bes dspobes ( p = a E ( a E Dfféretes règes de ormasato p = p = a E ( a E p + = a E p = a E +( a E ( a E p = a E +( a E

9 Échage au prx : ( p = a E ( a E x = a (e +( p e p x = ( a (( p e + e Prx d'équbre : dépedat de a répartto tae des ressources etre es cosommateurs

10 Appcato Deux cosommateurs : préféreces dfféretes Deux bes a a U = x x U = x b b x a b 0 < a < 0 < b < Rapport des prx : dépedat des quattés taes

11 Appcato Deux cosommateurs : préféreces dfféretes Deux bes U = x + x U = x + x TMS = TMS = (e = (0, 0 (e = (0, 0 U = x + x = 30 U = x + x = 30 x = 30 x x = 30 x Équbre de Waras : ( p Premer théorème de 'écoome du be être S : cosommateurs ot des préféreces ocaemet o-saturées Aors : tout équbre gééra au ses de Waras codut à ue aocato optmae au ses de Pareto

12 Appcato Deux cosommateurs : préféreces dfféretes (dot u saturés Deux bes U = x / 3 /3 x U = (6 x (6 x Avec : (e = (, 0 (e = (0, Préféreces saturées au pot (6, 6 : U (6, 6 > U (x, x x = a R h = p 3 x = ( a R h = 3 p p = 4 p = 8 p ( p = 3 4 Z (p, p = 0 Z (p, p < 0 : p Z + p Z < 0 Équbre de Waras o vérfé : aocato des ressources pas Pareto optmae x = (4, 6 x = (6, 6 Exstece d'u état réasabe de 'écoome : où Satsfacto du cosommateur supéreure Satsfacto du cosommateur chagée x Sot : = (6, 6 x = (6, 6 Pour 'attedre : trasfert des ressources etre deux cosommateurs

13 Premère théorème de 'écoome du be être S : préféreces ocaemet o-saturées Aors : tout équbre de Waras est ue aocato Pareto optmae Démostrato {x }, p Préféreces ocaemet o-saturées {x } x pour p vérfe : h = = p x h = h = = p e h État réasabe : x h h = h = e h Deux codtos pour que {x } sot socaemet préféré à {x } (x h (x h =,, Au mos u cosommateur préfère {x } à {x } Coséquece : h = = p x h h = = p x h Or : au mos u cosommateur préfère {x } à {x } h = = p x h > h= = p x h Cepedat : codto d'état réasabe Doc : h = = h = = p x h = p x h Cotradcto h = = h = = p e h p x h

14 Équbre avec trasferts : codtos État réasabe : x h h = x h h = e h B h (p, R h = {( x h / = x h h (x h ( x h B h (p, R h h = p x h R h } R h = p e h h = = : T h = 0 p h = e h + T h R h = = Appcato : à 'équbre précédet Codtos pour ue stuato d'équbre gééra et u état réasabe de 'écoome p + = R + R x = R = p + T 3 p 3 p x = R = + T 3 3 et x = 6 x = 6 6 p + 6 = R h = + T : T = 6 p 6 Or : T + T = 0 x = 4 + T 3 p = 6 x = 8 p + T 3 = 6 ( p P = : avec p = 3 et = 3 T = = (e Dépacemet de a dotato tae (e au pot : = {, } (e = {0, 0} Redstrbuto écessare pour attedre ue aocato socaemet effcace Deuxème théorème de 'écoome du be-être Toujours possbe de décetraser ue aocato des ressources Pareto optmae E procédat à ue redstrbuto équbrée : tat que es préféreces des cosommateurs sot covexes Chagemet des reveus : résorber 'offre excédetare de be Effet sur a demade Effet sur es prx reatfs : ( p P = ; p

15 Appcato u = x u = x / 3 / 3 x / 3 / 3 x avec (e = (0, 0 (e = (0, 0 Esembe de Pareto de cette écoome? x État réasabe : + x = 30 x + x = 30 Chaque cosommateur est à so équbre : TMS = p = TMS x x = x x : P : x = 40x 0 + x x = (30 x x 30 x Équbre gééra de cette écoome Chaque cosommateur : vérfe sa cotrate de budget Chaque cosommateur : à so équbre : TMS h = p x = 3 0p + 0 p x = 3 x = 3 0p + 0 p et x + x = 30 <=> Z (p, = 0 x + x = 30 <=> Z (p, = 0 0p + 0 x = 3 0p + 0 Préféreces mootoes et o de Waras vérfée Focto de demade : homogèe de degré 0 par rapport aux prx 0p p + 0 = 30 3 p 3 p p Z + Z = 0 : ( p 3 0p = 4 5 avec x = 5 = 4 et x = 5 = 6 x x 0p + 0 = 30 Préféreces covexes : possbe de chosr ue aocato Pareto optmae Attedre cette aocato, sot a décetraser : e réasat des trasferts Te que : h = T h = 0 Passage de (e à (x : ga e effcacté, mas pas e équté Objectf : attedre {(0 ; 0 ; (0 ; 0} ( p TMS = x x = avec x = 0 = : doc p = 0 + T = 40 + T : T = 0 T = 0 x = 0 et TMS = x = avec x = 0 x x = 0

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