[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) Etablir. 1 t. 2 dt. t dt. b) Etablir

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1 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Calculs d inégrales Eercice 666 ] correcion] Calculer les inégrales suivanes : a d + + b e e e + e + ln + c ln + b Eablir c En facorisan + 4 déerminer la valeur de I. Eercice 6 67 ] correcion] Calculer ln d Eercice 667 ] correcion] Calculer les inégrales suivanes : a d g e π b d + 3 d + cos e h π/ π Eercice ] correcion] Eisence e valeur de sin lnsin d c + d + f sin 3 cos d + i + On pourra eploier le changemen de variable u /. Eercice ] correcion] a Eablir b En déduire la valeur de I. Eercice 5 67 ] correcion] a Calculer d d J + 4 ln + /3 d + /3 d Eercice 7 67 ] correcion] a Jusifier l eisence de b Eablir ln e e d c En séparan cee dernière inégrale en deu, observer puis donner la valeur de I. Eercice ] correcion] Inégrales d Euler] On pose π/ lim e lnsin e J d π/ lncos Monrer que les inégrales I e J son bien définies e égales. Calculer I + J e en déduire les valeurs de I e J. Eercice ] correcion] Soien p, q R el que p 4q <. Jusifier e calculer + p + q Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

2 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Eercice 675 ] correcion] Soi f : R R une foncion coninue elle que lim Jusifier l eisence e donner la valeur de f l R, lim f l R f + f Eercice 4 35 ] correcion] Calculer les inégrales suivanes : a d e + b + e Eercice 5 84 ] correcion] sh ln c ln + Eercice 677 ] correcion] Eisence e valeur de arcan arcan Eercice 334 ] correcion] Soien a, b R avec a < b e f C R, R admean une limie finie l en e elle que f eise. Jusifier l eisence, puis calculer : Eercice ] correcion] a Jusifier l eisence de Pour >, on pose d fa + fb + d I sin 3 sin 3 b On rappelle sin 3a 3 sin a 4 sin 3 a. Eablir que c En déduire la valeur de I. I sin Eisence e calcul de π/ an θ dθ Eercice 6 85 ] correcion] Eisence e calcul évenuel de + + ib Eercice ] correcion] Calculer d e d Eercice ] correcion] Soien P e Q dans R X], où Q ne s annule pas sur R e deg P deg Q. Eprimer P/Q à l aide des coefficiens inervenan dans la décomposiion en R élémens simple de P/Q. Eercice ] correcion] Soi f : CR, R inégrable. On pose g : R f / Monrer que g es inégrable sur R e R + e que g d + g d f d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

3 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 3 Eercice 333 ] correcion] Calculer d Eercice 55 ] correcion] Jusifier l eisence e calculer Eercice 377 ] correcion] Calculer /] en procédan au changemen de variable e. Eercice 3 59 ] correcion] a Calculer d en effecuan noammen le changemen de variable e. b En déduire la valeur de d + 4 Eercice 4 3 ] correcion] Pour a, b >, calculer Ia, b + a + b Eercice ] correcion] Jusifier e calculer + + i Eercice ] correcion] Soi f :, R de classe C e vérifian f. Eablir >, f en jusifian l eisence des inégrales écries. ff Eercice ] correcion] Pour quelles valeurs de a e b l inégrale suivane es-elle définie? La calculer lorsque c es le cas. + a + + b + Eercice ] correcion] Soi f :, ] R coninue e inégrable. Monrer que les foncions u e v suivanes son inégrables sur, e que leurs inégrales y son égales : u Eercice ] correcion] On considère f : f e v f ln + a Eudier l inégrabilié de f sur ], ] e,. b Calculer ln ln e + + Eercice ] correcion] Convergence e calcul de ln + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

4 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 4 Eercice ] correcion] a Monrer que R, e + En déduire R, e + b Soi n N. Eablir l eisence des inégrales suivanes puis éablir e, I n I n n e J n I n J n + n b Jusifier que pour a >, Ia a ep + a c En déduire la valeur de Ia pour a R. Eercice ] correcion] Eisence e calcul de + ln + a d c On pose Eablir W n π/ cos n d I n W n+ e J n+ W n d Trouver une relaion de récurrence enre W n e W n+. En déduire la consance de la suie de erme général u n n + W n W n+ e Donner un équivalen de W n e en déduire la valeur de I. Eercice ] correcion] Pour α R, éudier l eisence e déerminer l évenuelle valeur de d + α + Eercice ] correcion] a Monrer que eise pour ou a R. Ia ep + a d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

5 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 Correcions Eercice : énoncé] On noera f la foncion inégrée e I l inervalle d éude, à chaque fois f s avère coninue par morceau sur I. a,, f, donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge ln + ] ln + b,, f converge., donc f es inégrable e l inégrale éudiée e + e + c ],, f e f éudiée converge. ln + ue du u + ln + / ] + IP P donc f es inégrable e l inégrale + π L inégraion par paries es jusifiée par deu convergences. d,, f, donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. e u ue u du ue u ] + IP P e u du L inégraion par paries es jusifiée par deu convergences. e ],, f e 3/ f donc f es inégrable e + l inégrale éudiée converge. ln + ln /u u/ u + /u du ln u u + du donc Eercice : énoncé] ln + a f : e es définie e coninue sur ],, f e f donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable u e u du b f : sin lnsin es définie e coninue sur ], π/] e f donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable cos ln d ln + ln + d ln c f : ln es définie e coninue sur ],, f f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable u ln u du Or ln u du ln udu + d f : f + 3 4/3 4 ln 4 ln u du e f ln + udu ln, donc es définie e coninue sur ],, f + /3 donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable 3, 3, d 3. puis e f : + + f 3/ d + 3 d + 3 ln arcan ] 3 e π 3 es définie e coninue sur ],, f + e donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable +,, d. + d + + ln donc Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

6 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 f f : +/3 + /3 f 4/3 es définie e coninue sur ],, f + 3 e donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Via le changemen de variable + /3, 3, d 3. or donc g Par π périodicié, + /3 + /3 d arcan + ] π π + /3 + /3 d π 3 d π + cos d π + cos Sur ] π, π, on peu réaliser le changemen de variable an /. π d + cos π 3 h Sur, π/, ]π/, 3π/ ou ]3π/, π] on a sin 3 cos + d an an arcan + C e 3 Par recollemen, on déermine une primiive sur, π] e on conclu π sin 3 cos + d π 3 i f : es définie e coninue sur ],, f e f + donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge On écri 4 On pose alors sin e on a cos. Par changemen de variable d π/ π/ sin + cos cos π Eercice 3 : énoncé] f : + es définie e coninue sur, e f 4 Via le changemen de variable u / : d où puis π 4. u du + u + π donc I eise. Eercice 4 : énoncé] a Les deu inégrales convergen. Le changemen de variable u / ransforme l une en l aure. b donc + d 3 + d + π 3 3 d Eercice 5 : énoncé] a f : + es définie e coninue sur,, f 4 inégrable e l inégrale J converge. b + 4 e ] arcan π arcan ] 3 donc f es donc les deu inégrales inroduies convergen. Le changemen de variable / ransforme l une en l aure. c On a la facorisaion donc I J ] arcan + π Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

7 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 puis π + π π Eercice 6 : énoncé] f : ln es définie e coninue sur ],. Quand + : f ce qui perme de prolonger f par coninuié en. Quand : h avec h + e f h lnh h h h ln h Nous allons calculer l inégrale en procédan par inégraion par paries en primiivan en qui s annule en. ln d ln ] + d L inégraion par paries car le croche converge. On en dédui ln Eercice 7 : énoncé] a f : ], R définie par f ln donc f es prolongeable par coninuié à, ]. b Via le changemen de variable e, d d ln + ln es coninue. f + e e d c Par linéarié avec eisence des inégrales inroduies lim e e Par le changemen de variable d lim e d e e d e f e d puis par la relaion de Chasles Puisque on a puis à la limie : ln. Eercice 8 : énoncé] Puisque e e ln lim d e e e d d e d e ln lnsin l inégrale I converge. Par le changemen de variable π/ h, I es ransformée en J donc J converge e J. puis Cependan e donc π/ π Par suie π/ I + J I + J π/ π/ lnsin lnsin + lncos lnsin ln u π lnsin u du uπ/+v lnsin u du π/ π/ π/ π/ π/ lnsinv + π/ dv lnsin I + J J π ln d ln sin lnsin π ln π lnsin u du + lnsin u du π/ π/ lncos v dv Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

8 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 8 Eercice 9 : énoncé] La foncion +p+q la foncion +p+q On a avec a 4q p donc es définie e coninue par morceau sur R. Puisque + p + q ± es inégrable sur R e + p + q Eercice : énoncé] On a + p + q converge + p + 4q p + p + q arcan u ] a a f + f + 4 f π 4q p Eudions la limie de + f quand. + + f l f l f du u + a Pour >, il eise A R +, el que pour A, f l. Pour ou, + ], on a alors f l puis par inégraion + + f l f l Ainsi + f Finalemen f + f converge e vau l f. Une éude semblable donne f + f converge e vau f l. Finalemen f + f converge e vau l l. l Eercice : énoncé] La foncion f : arcan arcan es définie e coninue par morceau sur ],. Quand +, + o f Quand, f Ainsi f es inégrable sur ],. Pour A, A arcan arcan π arcan π + arcan d A arcan avec convergence des deu nouvelles inégrale. Par changemen de variable u sur la première, A arcan arcan d A Par la croissance de la foncion arcan, A arcana A d A A la limie quand A, on conclu A arcan arcan arcan arcan O A arcan d d A arcan A arcan d d d A A d arcana A d π ln Eercice : énoncé] Puisque l inégrale f converge, il en es de même de avec fa + d fa + d e a f d e fb + d fb + d b d f d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

9 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 9 On en dédui la convergence de l inégrale suivane e sa valeur fa + fb + d D aure par, on a par découpage e pour ou A Or avec A fa + fb + d b a min A+a, A+b] f A+b A+a A+b A+a b a f d f d b a f d f d b a ma f A+a, A+b] min f l e ma f l A+a, A+b] A A+a, A+b] A car f converge vers l en. On en dédui la convergence e la valeur de l inégrale suivane fa + fb + d b al b a f d e finalemen on obien la convergence e la valeur de l inégrale suivane fa + fb + d b al Eercice 3 : énoncé] a f : sin3 es définie e coninue par morceau sur ],. Quand, f e quand, f O/. On en dédui que f es inégrable sur I ce qui assure l eisence de I. b On a sin 3 3 sin 4 sin 3 donc 4I Par convergence des inégrales écries, on a 4I 3 Or sin 3 sin sin3 sin3 sin3 sin u 3 u3 3 u du donc I sin c lim I. Or sin + avec donc Puisque 3 3 sin ln 3 +, on obien 3 4 ln 3 3 Eercice 4 : énoncé] On noera f la foncion inégrée e I l inervalle d éude, à chaque fois f s avère coninue par morceau sur I. a,, f, donc f es inégrable e e + u e + e + converge. du u ln u ] + ln ln + u + b,, f, donc f es inégrable e sh converge. sh c ],, f ln + converge. e e ue e e f ln + u/ donc du u ln u ] ln e + u + e e donc f es inégrable e ln /u u 3 + /u du ln + d,, f, donc f es inégrable e + sh argsh d sh argsh u ln u u + du + 4 d e e ue + converge. 4 du uu /u Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

10 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions donc + + 4u du u u ] + + e ], ], /3 f donc f es inégrable e ln + converge. ln u 4 ln u du 4u ln u 4u] 4 Eercice 5 : énoncé] On a sinπ/ h cos h an θ θπ/ h cosπ/ h sin h h donc l inégrale es bien définie. après calculs... π/ u an θ dθ u an θ + u 4 du π Eercice 6 : énoncé] Considérons un pôle a α + iβ avec α R e β >. On peu écrire + + ib Pour les élémens simples de la forme X a avec m >, on a + ib + + ib m ] Si b ± la foncion n es pas inégrable sur R à cause d une singularié en. R a m m a. m Si b ± alors la foncion f : ++ib es coninue par morceau sur R e f O Pour les élémens simples de la forme X a on a quand ± donc f es inégrable sur R. A A a En procédan à une décomposiion en élémens simples : ] A A α+iβ α A α +β ln a + i arcan β. Quand A, on A A A + + ib i ] A ln + b + + arcan b + A i obien A A a ] iπ. A ln + b Puisque P + arcanr Q b lim A P A A Q, on obien P R Q Reσπ avec σ la somme A des coefficiens faceurs des élémens simples X a avec a de paries imaginaires Si b > alors sricemen posiive. + + ib Si b < alors + + ib π Eercice 7 : énoncé] On procède au changemen de variable + sin avec π/, π/]. On obien d π avec convergence de l inégrale e d π 8 Eercice 8 : énoncé] La foncion P /Q es définie e coninue sur R. Pour, P /Q O / car degp/q. Par suie l inégrale P R Q converge. Les pôles de la fracion P/Q son complees conjugués non réels e les paries polaires correspondanes son deu à deu conjuguées. On en dédui que P/Q ReF où F es la fracion raionnelle obenue en somman les paries polaires relaives au pôles de parie imaginaire sricemen posiive. Eercice 9 : énoncé] Considérons l applicaion coninue ϕ : /. Par éude des variaions de ϕ, on peu affirmer que ϕ réalise une bijecion ϕ + de ], vers R e une bijecion ϕ de ], vers R. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

11 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions Après résoluion de l équaion ϕ y d inconnue, on obien ϕ + y y + y + 4 e ϕ y y y + 4 Formellemen, par le changemen de variable y ϕ + avec ϕ + bijecion de classe C g d fy y + dy y + 4 Puisque f es inégrable e que y + y + 4 la foncion y fy + y y + 4 es inégrable sur R. Par le changemen de variable précéden, on peu alors affirmer que g es inégrable sur ],. ce qui donne L éude sur ], es semblable. Au final, on obien g d+ g d y fy dy+ Or y fy + dy y + 4 y + 4 Eercice : énoncé] On a + X 4 + X 8 X4 X Les pôles de cee fracion raionnelle son les élémens de U \U 4 e ils son simples. On peu donc écrire en combinan les paries polaires conjuguées α α α4 +Re +Re + X 4 + X 8 Re X ω X ω X ω 4 +Re α5 X ω 5 avec ω k epikπ/, les ω, ω, ω 4 e ω 5 de paries imaginaires sricemen posiives. α k X4 X ω 5 Xωk k ω k Soi ω a + ib C avec a R e b >. On a A A ω A A ω ωfy dyi sin π 3 i 3 e ω 4 ω 8 i sin π 3 i 3 a + ib a + b ln a + b + i arcan a b la limie de l arc angene éan obenue sachan b >. Soi de plus α C. A α lim Re Re lim A A ω α A A Puisque la convergence de l inégrale que nous éudions es assurée e on en dédui e finalemen d lim A A A A d d πim α + α + α 4 + α 5 d π 6 Im ω ω + ω 4 ω 8 d π 3 ] A A πimα ω Eercice : énoncé] La foncion f : /] es définie e coninue par morceau sur ],. Pour >, /] e donc f. Ainsi f es inégrable sur,. Pour >, / /] / e donc f + ], ]. On a Or /n n f k lim f n /n /k /k+ n /]. Ainsi f es inégrable sur k /k /k+ k A iπ Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

12 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions puis /n f Par décomposiion en élémens simples e après réorganisaion On en dédui /n f k n k k + kk + n k k + + k + /n f π Eercice : énoncé] Par le changemen de variable proposé qui es une bijecion de classe C, on obien + e + e 4 e d qui se réécri e donc n k k ch ch ch + sh arcan ] sh π Eercice 3 : énoncé] a L inégrale de dépar es bien définie. En effe, la foncion f : + / + 4 es définie e coninue par morceau sur, e on vérifie f / ce qui donne un argumen d inégrabilié. Par le changemen de variable C sricemen croissan e, d e + ch e 4 + e ch Or ch ch + sh Par le nouveau changemen de variable C sricemen croissan u sh d du + u arcan ] u π b Par le changemen de variable C sricemen monoone /, on obien e donc d + 4 d + 4 d + 4 π Eercice 4 : énoncé] La foncion +a +b es définie e coninue par morceau sur ],. Quand, f donc f es inégrable sur,. 4 Quand, f donc f es inégrable sur ], ] 4 On remarque Pour a b Ia, b + a + b b a + a + b b a + a avec convergence des deu inégrales inroduies. Ainsi π Ia, b aba + b Pour a b, Ia, a a + a + a a Par inégraion par paries avec deu convergences donc + a + a Ia, a ] + π a 3 + b + a + a π a + a Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

13 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 Eercice 5 : énoncé] La foncion inégrée es définie e coninue par morceau sur R e es dominée par / 3 quand, donc elle es inégrable e l inégrale éudiée eise. Par découpage e changemen de variable + + i donc Or + + i i i + Une inégraion par paries jusifiée par deu convergences donne e donc + Eercice 6 : énoncé] Quand +, + ] i + π f f f f + La foncion f/ peu donc se prolonger par coninuié en ce qui perme d assurer l eisence des inégrales écries. Par inégraion par paries Quand +, on obien f f f f e l inégalié affirmée es désormais évidene. ] ff + ff + Eercice 7 : énoncé] La foncion f : + a + + b + es définie e coninue par morceau sur,. Par développemens limiés f + a + b + a + b Si + a + b alors f + O 3/ quand ou e l inégrale n es assurémen pas convergene. Si + a + b e a + b alors f λ avec λ. Par équivalence de / foncion de signe consan au voisinage de, on peu affirmer que l inégrale diverge. Si + a + b e a + b i.e. a, b, alors f O / 3/ e donc f es inégrable. Finalemen, l inégrale éudiée converge si, e seulemen si, a, b,. Supposons que el soi le cas / + 3/ + + 3/] 3 Par développemens limiés 3/ + 3/ + + 3/ 3 4 e donc + a + + b Eercice 8 : énoncé] Les foncions u e v son définies e coninues par morceau sur,. Puisque l inégrale de f sur, converge, on a u O quand e donc u es inégrable sur,. Puisque /, on a v o f quand e donc v aussi es inégrable sur,. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

14 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 4 Par inégraion par paries A u d e donc A on obien u d ] A f + A v d v d Eercice 9 : énoncé] a La foncion f es coninue par morceau sur ],. Quand +, f e quand, 3/ f donc f es inégrable sur ], ] e,. b Par une inégraion par paries où l on choisi judicieusemen une primiive s annulan en ln + Par le changemen de variable u / ln ] + ln + ln + ln u du ln u + Eercice 3 : énoncé] La foncion f : ln + / es définie e coninue par morceau sur ],. Quand, on a f / en eploian ln + u u. u Quand, f ln + ln e donc f o / On en dédui que f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Par inégraion par paries A ln + ln + / ] A A + + Par des argumens asympoiques semblables à ceu uilisés ci-dessus, on monre e A ln + /A A ln + / + On en dédui ln + + π Noons que le calcul ici réalisé peu aussi êre uilisé pour jusifier la convergence de l inégrale. Eercice 3 : énoncé] a Il suffi d éudier la variaion de la foncion e + pour obenir cee inégalié de conveié classique. On en dédui e e + b La foncion e es définie e coninue par morceau sur,. Puisque e, cee foncion es inégrable sur, ce qui assure l eisence de I. La foncion n es définie e coninue par morceau sur le segmen, ], donc l inégrale définissan I n eise. La foncion / + n es définie e coninue par morceau sur,. Puisque / + n /n avec n >, cee foncion es inégrable sur, ce qui assure l eisence de J n. On a n e n + n donc e I n I n n e n n e y dy I n n e y dy e n d J n c Le changemen de variable sin donne I n W n+. Le changemen de variable an donne J n+ W n. d Par inégraion par paries W n+ n + n + W n On en dédui u n+ u n donc la suie u n es consane égale à u π/ Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

15 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 e Puisque on obien en inégran Or donc par encadremen On en dédui puis Par suie, π/], cos n+ cos n cos n W n+ W n+ W n W n I n L encadremen du b donne alors n n + W n W n W n+ W n u n nw n W n π n π π n e J n n π Eercice 3 : énoncé] Le discriminan du rinôme + α + vau α 4. Cas α < On a <, le rinôme ne s annule pas e la foncion / + α + es définie e coninue par morceau sur,. La foncion es inégrable car équivalene à / en. Cas α, le rinôme ne s annule pas sur, car il es somme de ermes posiifs. A nouveau la foncion / + α + es inégrable sur,. Cas α, le rinôme + α + présene deu racines posiives e la foncion / + α + n es pas définie sur l inégralié de l inervalle ],. Même en découpan l inégrale au poins singuliers, on peu observer que les inégrales inroduies ne son pas définies. On ne parvien donc pas à donner un sens à l inégrale éudiée dans ce cas. Rese à calculer l inégrale. Cas α < Le rinôme + α + s écri peu se réécrire On a alors puis Cas α + α + a avec a α 4 d + α + α + a arcan a ] d + α + π α a arcan a d + + ] + Cas α > Le rinôme + α + à deu racines, disinces sricemen négaives. Par décomposiion en élémens avec a α e α + + α + a + b e b a On a alors d + α + ln ] ln α + α Eercice 33 : énoncé] a La foncion définissan l inégrande es définie e coninue par morceau sur ],. Elle es prolongeable par coninuié en e négligeable devan / en. Elle es donc inégrable. b Procédons au changemen de variable u a/ sur l inégrale de a à a ep + a d a a a ep u + u u du Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

16 hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 En renomman la variable d inégraion e en regroupan les inégrales sur ], a] e a,, on obien Ia a ep + a c On peu écrire + a a + a avec d a + a d ce qui moive le changemen de variable a/ Ia e a + a d π e a Par parié Ia π e a pour a R Eercice 34 : énoncé] La foncion f : ln + / es définie e coninue sur ],. On a f e f + donc f es inégrable e l inégrale éudiée converge. Par inégraion par paries jusifiée par la convergence des deu inégrales écries ln + ln + / ] + + π Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd