Donner une primiive sur un ensemble à préciser de f : +. Corrigé : La foncion f es définie sur R, ainsi on va en déerminer une primiive sur ], [ ou sur ], + [. On a : + d + d uu + du Ceci en posan u, on a du d d où d du, ce changemen de variable éan bien de classe C sur R. Pour ou u R, on a : On obien : uu + + u u uu + uu + u + + u u uu + u + u u + u + F : ln ln + + + définie sur R + ou sur R Donner une primiive sur un ensemble à préciser de g : h ch +. Corrigé : La foncion g es définie sur R. On pose u ch, on a du shd, ce changemen de variable éan bien de classe C sur R. Pour ou R, on a : h ch + d sh chch + d du + u u uu + uu + du u du lnch lnch + u + Une primiive de g es : G : lnch lnch + définie sur R 3 Calculer I ln + +. Corrigé : On pose Arcan, ce changemen de variable es de classe C sur [, ]. On a : d I π ln + and +. Ainsi : On pose ensuie u π on peu penser à ce changemen de variable car il préserve les bornes de l inervalle d inégraion. [ Ce changemen de variable es de classe C sur, π ] e du d. On obien : I π π π π π ln + an u du ln ln π ln I + anu + anu + anu du du ln ln + anu du
Au cours de ce calcul, nous avons uilisé la formule ana b I π 8 ln ana anb + ana anb. On en dédui que I π 8 ln. Arcsin Déerminer une primiive sur un ensemble à préciser de f :. 3 Corrigé : La foncion f es définie sur [, [ car Arcsin es définie sur [, ], ouefois lors du calcul qui sui, nous allons nous placer sur I ], [. On effecue une primiivaion par paries en posan : u Arcsin u v 3 v Les foncions u e v son de classe C sur ], [ car Arcsin es dérivable sur ], [. On obien : Arcsin Arcsin 3 Pour la seconde primiive, on pose y, ce changemen de variable es de classe C sur ], [ e comme y, on a ydy. On obien : y y ydy y dy + y + dy y Une primiive de f sur ], [ es : ln + y ln y ln + y car y ], [ y F : Arcsin + ln 5 Déerminer une primiive sur un ensemble à préciser de f : Arcan. Corrigé : La foncion f es définie sur R, nous pouvons chercher une primiive de f sur R + ou R. Noons I l un de ces deu inervalles. On effecue une primiivaion par paries pour faire disparaire la foncion Arcan. On pose : u Arcan u + v v
Les foncions u e v son de classe C sur I. On obien : Arcan Arcan + Arcan Arcan + + + + + + Une primiive de f sur I es : F Arcan : Arcan + ln ln + + ln ln + 6 Déerminer une primiive sur un ensemble à préciser de f : 3 + ln + ln. Corrigé : La foncion f es définie sur ], e [ e sur ]e, + [, noons I l un de ces deu inervalles. On pose u : e v : + ln, on remarque que la foncion à inégrer es de la forme u v uv v que l on sai inégrer en u v. Une primiive de f sur l inervalle I es : F : + ln 7 Trouver oues les foncions de R + dans R soluions de : E : y + y Arcan Corrigé : Comme R +, l équaion se réécri : L équaion homogène associée es : E : y + Arcan y EH : y + y La foncion a : es définie sur R + e une primiive de a sur R + es A : ln. Les soluions de l équaion homogène son les foncions définies sur R + par : y λe ln λ avec λ R. Les soluions de l équaion homogène son : S H { y : R + R λ, λ R } Pour rouver une soluion pariculière de E, on applique la méhode de la variaion de la consane en cherchan une soluion pariculière sous la forme y : λ définie sur R + avec λ une foncion dérivable sur R +. La foncion y es dérivable sur R + e : R +, y λ λ 3
Ainsi : y soluion de E R +, y + y Arcan R +, R +, λ λ λ + λ Arcan Arcan R +, λ Arcan Il rese à donner une primiive de la foncion Arcan, pour cela on uilise une inégraion par paries en posan : u u v Arcan v + Les foncions u e v son de classe C sur R +. On a : Arcan Arcan Ainsi on peu choisir λ Arcan ln + e par suie : Finalemen l ensemble des soluions de E : S H + Arcan ln + R +, y Arcan ln + { y : R + R λ + Arcan ln +, λ R } 8 Trouver oues les foncions de R + dans R soluions de : E : + ln y + lny Corrigé : On applique la méhode vue en cours e rédigée en déail dans l eercice précéden, allons un peu plus vie ici. Pour >, l équaion se réécri : E : y + ln + ln y + ln Ici a : ln u + ln es de la forme u avec u : + ln. Une primiive de a sur R + es donc A : ln + ln. Les soluions de l équaion homogène son les foncions : y : λe ln+ln λ + ln avec λ R On cherche une soluion avec la méhode de la variaion de la consane, on rouve : On peu choisir λ : ln. λ + ln eln+ln
Une soluion pariculière es y : ln + ln. Les soluions de E sur R + son les foncions : ln + ln + λ + ln avec λ R 9 Trouver oues les foncions de R dans R soluions de : E : y + y Corrigé : On se place sur l inervalle I qui es égal à ], [, ], [ ou ], + [. Sur I la foncion ne s annule pas donc l équaion différenielle E es équivalene à : E : y + y On commence par résoudre l équaion homogène. On a a :, on peu choisir comme primiive sur I : A : ln. Les soluions de l équaion homogène son les foncions : λe ln λ avec λ R On remarque que la foncion consane égale à es une soluion évidene de E. Finalemen les soluions de E sur I son les foncions : λ + avec λ R On peu d ailleurs préciser la forme des soluions selon l inervalle : Sur ], [, on a : λ + avec λ R. Sur ], [, on a : λ + avec λ R. Sur ], + [, on a : λ + avec λ R Pour rouver d évenuelles soluions définies sur R, on procède par analyse-synhèse. Analyse. Soi f définie e dérivable sur R soluion de E. En évaluan l équaion en puis en, on rouve f e f. D aure par, f éan soluion de E sur R, c es en pariculier une soluion de E sur ], [, ], [ e ], + [. D après l éude précédene, on sai que f s écri : f : R R λ + si < si λ si < < si λ 3 si > avec λ, λ, λ 3 R 3. La foncion f éan dérivable sur R, elle es en pariculier coninue sur R. La coninuié en e se radui par : lim f lim f f e lim + ceci es vérifié quelque soien les consanes λ, λ e λ 3. f lim f f + Eaminons la dérivablié. La foncion f es clairemen dérivable sur R \ {, }, il rese à éudier la dérivabilié en e. On doi avoir : f f f f lim lim f + 5
En enan compe des différenes epressions de f selon l inervalle cela donne : λ lim lim + λ 3 f Déaillons ces limies. Pour ], [, on a : λ λ + λ + On a uilise car ], [. Quand end vers ce quoien end vers ± sauf si λ. De même pour ], + [, on a : λ 3 Quand end vers ce quoien end vers ± sauf si λ 3. λ + + λ 3 L éude en es similaire e nous donne les condiions λ λ. Finalemen la condiion f dérivable sur R impose λ λ λ 3, c es-à-dire que f es la foncion consane égale à. Synhèse La foncion consane égale à es clairemen une soluion de E sur R. es la seule soluion de E définie sur R Donner une formule pour une primiive n-ième de la foncion f : ln. Corrigé : La foncion f e oues les foncions que nous allons considérer son définies sur R +. Nous avons vu dans le cours l epression d une primiive de f que l on peu rouver en inégran par paries, on peu choisir F : ln. Poursuivons la démarche afin de pouvoir inuier la formule générale, on cherche une primiive de F en inégran par paries : ln d lnd d [ ] ln Une primiive de F es F : ln. Cherchons une primiive de F : ln d ln [ 3 ] d lnd d d 6 ln 6 d 3 3 6 3 3 ln 6 8 3 3 6 Ces quelques calculs suffisen à avoir une idée de la formule générale car : F : ln, F : Démonrons par récurrence sur n : ln, F 3 : 3 ln 6 3 H n : une primiive n-ième de ln sur R + es F n : n ln n! n Iniialisaion. Nous avons vu que la formule es vraie pour n, n e n 3. Hérédié. On suppose que la formule es vraie au rang n N. Pour R + : 6
F n+ F n d n n! ln n d n n n! lnd n n! d [ n+ ] n +! ln n n n +! d n+ n +! n+ n +! ln n+ n n + n +! d n+ n +! n+ ln n n +! n + n+ n+ ln n +! Ce qui démonre la formule au rang n + e achève la récurrence. Une primiive n-ième de F n : n ln n! n Calculer I π sin + cos d. Corrigé : Ici la règle de Bioche ne s applique pas à cause du faceur devan le sinus. On va poser u π, ce changemen de variable es de classe C sur [, π] e du d. On a : I π sin + cos u π sinπ u π + cos π u du π π π sinu + cos u u sinu sinu + cos du π u + cos u du I }{{} J Il rese à calculer J e on aura I π J. L inégrande de J es de la forme v avec v : u cosu. Ainsi : + v π sinu [ ] π J + cos u du Arcancosu π I π On noe Fn la primiive sur R qui s annule en de f n :. Calculer F.. Calculer F. 3. Pour n N, donner une relaion enre F n e F n+.. Calculer F 3. + n. 7
Corrigé :. Si n, on cherche la primiive qui s annule en de f : +, c es F : Arcan.. Cherchons une primiive de + en effecuan le changemen de variable u Arcan, ce changemen de ] variable éan bien de classe C sur R e u π, π [. On a du d, on en dédui que : + d + + d + + an u du cos udu + cosu u + sinu Une primiive de f sur R es F : Arcan + sin Arcan, cee primiive s annule bien comme demandé. 3. On effecue une inégraion par paries en inégran la foncion consane égale à e en dérivan la fracion raionnelle, ces foncions éan bien de classe C sur R. On a : + n d + n + n + d n+ + n + n + + d n+ + n + n + d n n + d n+ On en dédui que pour ou R : F n + n + nf n F n+ Ceci en remarquan que oues les primiives mises en jeu s annulen en. En réorganisan les ermes, il vien : R, F n+ n + n + F n n. On uilise l epression de F e la relaion de la quesion précédene pour obenir : R, F 3 + + 3 8 + + 3Arcan 8 3 Calculer I ln 3 ch. Corrigé : On pose e, ce changemen de variable es de classe C sur [, ln 3]. On a d e ou encore d. Cela nous donne : I ln 3 3 ch d + 3 [ ] + 3 π Arcan 3 π π 6 I π 6 Déerminer une primiive de f : ch 3 8
Corrigé : La foncion f es définie sur R. On pose sh, ce changemen de variable es de classe C sur R e d ch. On a : ch ch 3 ch ch + sh s inègre sans problème en Arcan. se calcule en effecuan une inégraion par parie : Ce qui donne : Finalemen : ch 3 Arcan + d + + + d u u v + v + + d }{{} + d + + + d + + Arcan + Arcansh + + d } {{ } sh + sh Arcansh + sh ch 9