Chpitre 2 Les nombres complexes Certines équtions polynomiles à coefficients réels n ont ps de solution dns R ; c est le cs de l éqution du second degré x 2 +1 = 0 puisque tout crré de réel est positif. D où l idée de construire un nouvel ensemble, l ensemble des nombres complexes noté C contennt les nombres réels et les solutions de ces équtions. On pourrit penser que cet ensemble est difficile à décrire, mis il n en est rien puisqu il suffit d djoindre à R le nombre i, rcine de l éqution x 2 + 1 = 0. Les nombres complexes, que l on v étudier mintennt, sont très employés en mthémtique et en physique (électromgnétisme, mécnique quntique). L éqution de Schrödinger, étudiée en cours de Chimie, utilise explicitement le nombre i. 2.1 Définition et propriétés de C On définit l ensemble C comme l ensemble des nombres z = +ib vec (, b) R 2 et i 2 = 1. Cet ensemble est muni d une ddition et d une multipliction, notées + et respectivement, définies à prtir de l ddition et de l multipliction de R de l fçon suivnte : ( + ib) + ( + ib ) = ( + ) + i(b + b ) ( + ib) ( + ib ) = + ib + i b + i 2 bb = ( bb ) + i(b + b ) Soit z = + ib. On écrit = Rez et b = Im z qui s ppellent respectivement l prtie réelle et l prtie imginire de z. On donc b = Im z = 0 si est seulement si z est un nombre réel. Si = 0, c est-àdire z = Im z, on dit que z est un nombre imginire pur. C est un corps commuttif ; en prticulier tout complexe + ib 0 c est-à-dire (, b) (0, 0) un inverse + ib vec ( + ib)( + ib ) = 1 donc 14 = 2 + b 2 b = b 2 + b 2
z est représenté pr le point M ou pr le vecteur OM = (, b). z est l ffixe de M, M est l imge de z. b O M(z) ρ θ S(z + z') M'(z') FIG. 2.1: Représenttion d un nombre z = +ib dns le pln (dit pln de Cuchy) Exemples de clcul dns C : (1 + 2i) + (2 + 5i) = 3 + 7i, (1 + 2i)(2 + 5i) = 8 + 9i et 1 1 + 2i = 1 5 2 5 i 2.2 Complexes conjugués On note z le conjugué de z : si z = + ib z = ib. Géométriquement l imge M de z est symétrique de l imge M de z pr rpport à l xe ox. Propriétés. O z = + bi z = bi z = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ( z1 ) z 1 z 2 = z 1.z 2 = z 1 z 2 z 2 z + z = 2 Rez z z = 2i Im z zz = 2 + b 2 1 si z = + ib z = z (z 0) 2 + b 2 Exemple. Clcul de z = 1 1 + 2i. Solution. On multiplie numérteur et dénominteur pr l expression conjuguée de 1 + 2i, soit 1 2i. z = 1 2i (1 + 2i)(1 2i) = 1 2i 1 + 4 = 1 2i = 1 5 5 2 5 i. 2.3 Forme trigonométrique des nombres complexes 2.3.1 Module de z Soit z = + ib. Le module de z, noté z ou ρ, est défini pr z = ρ = 2 + b 2 = zz 15
Remrquons que z = ρ > 0. Propriétés. z = 0 z = 0 = b = 0 z = z Rez z Imz z z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 Remrque. Les complexes z tels que z = ρ ont leur imge située sur un cercle de centre 0, de ryon ρ. 2.3.2 Argument de z Soit z = + ib. Alors, on z 0 (, b) (0, 0). Soit M(z) l imge de z. θ = ( Ox, OM) : ngle défini à 2π près, des demidroites Ox et OM dns le pln orienté. θ est un rgument de z. ρ = OM = 2 + b 2 est O θ M(z) ρ = 2 + b 2 le module de z. Pour tout z 0, θ est défini pr : x cosθ = sin θ = 2 + b 2 = ρ cosθ, b 2 + b 2 b = ρ sin θ. On ppelle Argument principl de z l rgument θ de z tel que π < θ < π. On le note Arg z. 2.3.3 Forme trigonométrique et forme exponentielle ρ et θ étnt le module et l gument de z, on peut écrire l forme trigonométrique : z = + ib = ρ cosθ + iρ sin θ = ρ(cosθ + i sin θ) Clculons mintennt le produit : zz = ρρ ( cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) ) Ce résultt, qui rppelle l propriété fondmentle de l exponentielle, suggère l nottion dite exponentielle de z : 16 z = ρe iθ vec e iθ = cos θ + i sin θ.
Remrque. ) Tout complexe de module 1 s écrit : cos θ + i sin θ ou e iθ. b) Deux complexes sont égux s ils ont même module et si leurs rguments diffèrent d un multiple de 2π. 2.3.4 Formule de Moivre { u1 C u 1 = 1 u 1 = cosθ 1 + i sin θ 1, Soient u 2 C u 2 = 1 u 2 = cosθ 2 + i sin θ 2. Clculons le produit : u 1 u 2 = (cos θ 1 cosθ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cosθ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ) = cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ) que l on peut écrire simplement : e iθ1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ) En fisnt θ 1 = θ 2 et un risonnement pr récurence sur n on obtient l Formule de Moivre : (cosθ + i sin θ) n = cosnθ + i sin nθ, n Z 2.3.5 Formules d Euler Pr ddition et soustrction e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ i sin θ donne cosθ = eiθ + e iθ 2 sin θ = eiθ e iθ 2i APPLICATIONS : Expressions de cos nθ, sin nθ sous forme de polynômes en sin θ et cos θ. Linéristion de cos n θ et sin n θ. 2.4 Equtions dns C 2.4.1 Rcines crrées d un complexe Exemple. Trouver z tel que z 2 = vec C donné. 17
Solution. ) Si = ρe iθ vec ρ > 0, posons z = re iϕ lors { r 2 z 2 = r 2 e 2iϕ = ρe iθ = ρ 2ϕ = θ + 2kπ qui donne r = ρ ϕ = θ 2 + kπ On donc deux solutions : z 1 = ρe iθ/2, d où r = ρ ϕ 1 = θ 2 (k Z). ϕ 2 = θ 2 + π z 2 = ρe i(θ/2+π) = ρe +iθ/2 = z 1. b) Si = α + iβ, posons z = x + iy ; lors : { x 2 y 2 = α 2xy = β On ussi z 2 = x 2 + y 2 = α 2 + β 2 =, ce qui donne : x 2 = α + α 2 + β 2 2 y 2 = α + on obtient 2 solutions cr sgn(xy) = sgn(β). α 2 + β 2 2 2.4.2 Equtions du second degré dns C Ce sont des équtions de l forme : z 2 + bz + c = 0 (, b, c) C 3 0 soit près division pr z 2 + b z + c = 0 ( puis z + b ) 2 b2 2 4 + c 2 = 0 ( et z + b ) 2 b2 4c = 0. 2 4 2 On pose = b 2 4c et on cherche les rcines crrées de dns C pr l une des méthodes précédentes. Soient δ et δ (imges symétriques pr rpport à 0) ces deux rcines opposées. On obtient lors z 1 = b + δ et z 2 = b δ 2 2 Il y toujours deux rcines (distinctes ou confondues). 18
2.4.3 Equtions z n = vec n Z et C donné. Exemple. Résoudre dns C l éqution z 5 = 1.. Posons z = ρe iϕ ; l éqution s écrit lors : (ρe iϕ ) 5 = e 2ikπ qui se scinde en : { ρ 5 =1 ρ =1 puis 5ϕ =2kπ ϕ k = 2kπ (k Z) 5 Explicitons les solutions z k = e 2ikπ/5 k = 0, 1, 2, 3, 4 : z 0 = 1, z 1 = e i2π 5, z2 = e i4π 5, z3 = e i6π 5 et z 4 = e i8π 5. En effet, ϕ 5 = 10π 5 = 2π, donc z 5 même imge que z 0. Il en est de même pour z k, k 5 ou k < 0. Ci-dessous on trcé les imges des rcines dns le pln de Cuchy : i ϕ 1 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 0 1 Il y 5 rcines équiréprties sur le cercle unité. i ϕ 4 Plus générlement, dns C, toute éqution polynomile de degré n n rcines (distinctes ou confondues). 2.4.4 Réduction de l expression E = cosωt + b sin ωt ( 0) Si l on pose lors Puisque z = ib, z = re iϕ b vec sin ϕ = 2 + b, cosϕ = 2 2 + b 2 et r = 2 + b 2. e iωt = cosωt + i sin ωt, ze iωt = cosωt + b sin ωt + i( sin ωt b cosωt) et l on reconnit E = Re(ze iωt ) mis ussi : E = rre[e i(ωt+ϕ) ] = rre[cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ)] = r cos(ωt + ϕ). On obtient finlement l forme réduite : b E = r cos(ωt+ϕ) vec sin ϕ = 2 + b, cosϕ = 2 2 + b 2 et r = 2 + b 2. 19
Exercices 2.1. ) Clculer sous l forme crtésienne + ib le nombre complexe 1 z schnt que z = 1 3 + 4 5 i. b) Simplifier l expression Z = (1 + i)9 (1 i) 7. 2.2. Résoudre l éqution (1 + i)z = 3 + i. 2.3. ) Trouver les nombres z C tels que Z = (z + 1) 1 soit réel. z b) Trouver les nombres z C tels que Z = (z 2)(z i) soit imginire pur. 2.4. Clculer les modules des nombres complexes suivnts : ) 1 + i 1 i b) (2 + 3i)(1 5i) (4 + i 10)( 12 i) c) (cosθ + i sin θ) R d) 1 + cosθ + i sin θ 2.5. Montrer que si λ R, lors 1 + λi 1 λi = 1. 2.6. Développer cos 3θ et sin 3θ sous forme d un polynôme en cos θ ou sin θ. 2.7. Linériser cos 2 θ, sin 3 θ et cos 4 θ. 2.8. Ecrire sous forme trigonométrique ou exponentielle les nombres complexes suivnts : ) z 1 = 1 + i 3 b) z 2 = 1 + i c) z 3 = 1 + cosθ + i sin θ θ [0, 2π[ d) Z = (1 i 3) 2 2.9. Résoudre dns C l éqution z 3 = 1. (1 + i) 3 2.10. Clculer le module et l rgument de 4 2(1 i) ; en déduire s forme exponentielle et les solutions dns C de l éqution z 3 = 4 2(1 i) ; représenter ces dernières dns le pln complexe. (Extrit SV) 2.11. (Extrit SV) Ecrire sin t et cos t sous forme exponentielle et clculer les coefficients de l expression sin 3 t cos 2 t = sin 5t + b sin 3t + c sin t t R. 2.12. ) Clculer sous forme lgébrique les rcines crrées du nombre complexe 35 12i. 20
b) Résoudre dns C l éqution z 2 (10 + 3i)z + 14 + 18i = 0. (Extrit SVL1) 2.13. (Extrit SVL1 P1 06-07) 1. Résoudre dns C l éqution : δ 2 = 24 + 10i 2. Résoudre dns C l éqution : z 2 + (1 i)z 6 3i = 0. 2.14. (Extrit SVL1 P1 06-07) Il s git de résoudre dns C l éqution : z 4 + 4 = 0 (E) 1. Combien cette éqution dmet-elle de solutions dns C? 2. Donner le module et l rgument de 4. 3. Résoudre l éqution (E) et donner les solutions sous forme exponentielle, puis sous l forme lgébrique. 4. Plcer les solutions de (E) dns le pln complexe. 2.15. (Extrit SVL1 P1 07-08). 1. Clculer le module z 1 et l rgument θ 1 du nombre complexe z 1 = 6 2 2 i 2 2. Clculer le module z 2 et l rgument θ 2 du nombre complexe z 2 = 1 i. 3. Clculer le module et l rgument de z 1 z 2. 4. A prtir de l forme lgébrique de z 1 et de z 2, clculer les prties réelle et imginire de z 1 z 2 et déduire l vleur de cos π 12 et de sin π 12. 2.16. (Extrit SVL1 P1 07-08) 3.1. Clculer le module et l rgument de i, puis résoudre dns C l éqution : z 6 = i. 3.2 Utiliser les résultts de 2.4 pour donner les solutions sous l forme lgébrique + ib. 2.17. (Extrit SVL1 P1 07-08) 1. Résoudre dns C l éqution : δ 2 = 8 + 6i 1.b Déterminer les solutions de l éqution : x 2 + 4x + 3 = 0 et montrer que les deux équtions : x 2 + 4x + 3 = 0 et x 3 + 2x 2 x + 6 ont une solution commune unique que l on déterminer. On considère dns C le polynôme P(z) = iz 3 + (2i 1)z 2 (i + 4)z + 3(2i 1). 2. On suppose d bord z = x R ; séprer prties réelle et imginire et montrer que P dmet une rcine réelle que l on déterminer. 3. Développer l expression (z+3)(z 2 +bz+c) puis pr identifiction, déterminer les coefficients, b et c tels que (z + 3)(z 2 + bz + c) = P(z). 4. Résoudre dns C l éqution P(z) = 0 et plcer les solutions dns le pln complexe. 21