Chapitre A1 - Nombres - récurreces - Sommes Table des matières 1 Esembles de ombres 2 1.1 Déitios................................................... 2 1.2 Itervalles d'etiers.............................................. 2 1.3 Nombres réels.................................................. 2 1.3.1 Propriété caractéristique........................................ 2 1.3.2 Esemble des réels étedus...................................... 2 1.3.3 Lie avec les ratioels........................................ 3 1.4 Nombres complexes............................................... 3 1.4.1 Rappels................................................. 3 1.4.2 Trigoométrie.............................................. 3 2 Pricipe de récurrece 3 2.1 Pricipe.................................................... 3 2.2 Rédactio type................................................. 3 2.3 Cojecture................................................... 4 2.4 Récurrece double............................................... 4 2.5 Récurrece forte................................................ 4 3 Calculs avec Σ et Π 4 3.1 Sommes et produits classiques........................................ 4 3.1.1 Déitios............................................... 4 3.1.2 Formulaire............................................... 5 3.2 Chagemets d'idices............................................ 5 3.2.1 Traslatio............................................... 5 3.2.2 Permutatio.............................................. 5 3.3 Pricipe des domios............................................. 5 3.4 Somme à doubles idices........................................... 5 4 Combiaisos et formule du biôme 6 4.1 Rappels sur les factoriels........................................... 6 4.2 Combiaisos................................................. 6 4.2.1 Déitio................................................ 6 4.2.2 Propriétés................................................ 6 4.3 Formule de Pascal............................................... 6 4.4 Formule de Pascal gééralisée........................................ 6 4.5 Triagle de Pascal............................................... 7 4.6 Formule du biôme.............................................. 7 4.7 Formule de Vadermode........................................... 7
1 Esembles de ombres 1.1 Déitios N est l'esemble des etiers aturels : Z est l'esemble des etiers relatifs : D est l'esemble des ombres décimaux : Q est l'esemble des ombres ratioels : R est l'esemble des ombres réels C est l'esemble des ombres complexes : Remarques N Z D Q R C et R est 'immergé' das C Certais irratioels sot algébriques, c.a.d. solutio d'ue équatio polyomiale à coéciets etiers. Aisi 2 est irratioel et π e l'est pas, o dit que c'est u ombre trascedat. 1.2 Itervalles d'etiers Soiet et p deux etiers relatifs tels que p L'esemble des etiers compris etre et p se ote : {, + 1,..., p} [, p]] L'esemble des etiers supérieurs ou égaux à se ote : {, + 1,... } [[, + [[ 1.3 Nombres réels 1.3.1 Propriété caractéristique Tout sous-esemble o vide et majoré (resp. mioré de R admet u plus petit majorat (resp. u plus grad miorat Il est appelé bore supérieure de A (resp. iférieure et oté sup A (resp. if A. Remarques Das le cas où A est o vide et majoré sup A 'est pas forcémet u élémet de A. à la diérece de max A qui, s'il existe, est écessairemet u élémet de A sup A est uique, il y a par cotre ue iité de majorats. 1.3.2 Esemble des réels étedus O appelle droite umérique achevée, otée R, l'esemble R { } {+ }
1.3.3 Lie avec les ratioels Tout réel est la limite d'ue suite de ratioels ( ( 1 Exemple Costate de Neper : e lim +! 1.4 Nombres complexes 1.4.1 Rappels + 1! Si z C alors il existe u uique (a, b R 2 t.q z a + ib avec a Re (z et b Im (z Écriture polaire : si z C alors il existe u uique (ρ, θ R + [0; 2π[ z ρe iθ avece iθ cos θ + i si θ t.q Cojugué : z a ib Module : z ρ a 2 + b 2 zz Formule d'euler : pour tout θ R cos θ eiθ + e iθ 2 et si θ eiθ e iθ 2i Formule de Moivre : pour tout (θ, R N (cos θ + i si θ ( e iθ e iθ cos θ + i si θ 1.4.2 Trigoométrie Soit (a, b, θ R 3, formule d'additio : e i(a+b e ia + e ib et formule de duplicatio : e i2θ ( e iθ 2 2 Pricipe de récurrece 2.1 Pricipe Soit 0 Z. O cosidère, pour tout I [[ 0, + [[, ue propositio P (. Démotrer que cette propositio est vraie pour tout I, par récurrece sur reviet à : démotrer qu'elle est vraie pour le plus etier de l'itervalle I, c.a.d. pour 0 (c'est l'iitialisatio, puis prouver que si la propositio P ( est vraie pour u certai I alors P ( + 1 est écessairemet vraie (c'est l'hérédité. Le pricipe de récurrece permet alors de coclure que la propositio est vraie pour tout I. 2.2 Rédactio type Cosidéros, par exemple, I [[4, + [[ et pour tout I la propositio P ( suivate : 2! Motros par récurrece que cette propositio est vraie pour tout I : Iitialisatio : Pour 4, le membre de gauche vaut 2 4 16 et celui de droite 4! 24. Comme 16 24, la P (4 est vraie. Hérédité : Supposos que, pour ue certai I, P ( est vraie. Cela sigie que 2!, doc 2 2 2!, puis comme 2 + 1, o a 2 +1 ( + 1!. Aisi P ( + 1 est vraie.
Coclusio : Par pricipe de récurrece, pour tout 4, 2! Remarque Sur la écessité d'iitialiser : O cosidère pour tout N la propositio P ( : 3 Cette propositio est héréditaire, e eet, si ous supposos que pour u certai, 3 alors clairemet + 1 3 Il est pourtat évidet que la propositio est fausse pour tout N. 2.3 Cojecture Raisoer par récurrece écessite de coaître le résultat, il faut doc parfois cojecturer : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 57 et pour tout N, u +1 10u 63 2.4 Récurrece double Pour coaître u terme, il est parfois écessaire de coaître les deux précédets : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 1, u 1 3 et pour tout N, u +2 2u +1 + 3u 2.5 Récurrece forte Pour coaître u terme, il est parfois écessaire de coaître tous les précédets : Détermier le terme gééral de la suite (u N déie par : u 0 1 et pour tout N, u +1 1 + 1 (u 0 + u 1 + + u 3 Calculs avec Σ et Π 3.1 Sommes et produits classiques 3.1.1 Déitios Soit (u N ue suite de réels ou de complexes. S u 0 + u 1 + + u P u 0 u 1 u u u ( + 1 termes ( + 1 facteurs Remarques Pour les récurreces :S +1 S + u +1 et ( P +1 P u +1 Si pour tout [0, ]], u > 0 alors l u l (u ( exp u exp (u
La somme q u où p q cotiet q p + 1 termes. p 3.1.2 Formulaire 3.2 Chagemets d'idices 3.2.1 Traslatio 1 + 2 + + 1 + 4 + + 2 1 + 8 + + 3 2 ( + 1 2 ( + 1 (2 + 1 6 ( ( + 1 3 2 Soit q R \ {1}, 1 + q + + q 2 q 1 q+1 1 q Soit N et (u [0,]] ue suite de réels ou de complexes, pour tout p [0, ]] p u p i0 u i 3.2.2 Permutatio Soit N et (u [0,]] ue suite de réels ou de complexes, u i0 u i Il est iterdit de sauter des idices, par exemple e predre que les termes pairs. Il faut des etiers cosécutifs et le même ombre de termes das les deux sommes. 3.3 Pricipe des domios Soit (u N ue suite de réels ou de complexes. pour tout N, (u +1 u u +1 u 0 si de plus pour tout [0, ]], u 0 alors u +1 u u +1 u 0 3.4 Somme à doubles idices Soit ( (i,j N 2 ue suite de réels ou complexes doublemet idicée par i et j. 0 i,j i0 j0 j0 0 i j i0 ji j0 ( i0 ( j i0
4 Combiaisos et formule du biôme 4.1 Rappels sur les factoriels pour tout N,! 1 2 et ( + 1! ( + 1! de plus par covetio, 0! 1 1 4.2 Combiaisos 4.2.1 Déitio Soiet N et Z, parmi est le ombre oté si 0 alors si < 0 ou > alors!! (! 0 déi par : 4.2.2 Propriétés pour tout (, N Z, 0 1 ( ( 1 1 pour tout (, N Z, ( ( 1 1 ( ( (Formule sas om 4.3 Formule de Pascal pour tout (, N Z, ( ( + + 1 + 1 + 1 Applicatio pour tout (, N Z, N 4.4 Formule de Pascal gééralisée pour tout N, pour tout p [0, ]], p + 1 p + 1
4.5 Triagle de Pascal \ 0 1 2 3 4 5 6 8... 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1......... 4.6 Formule du biôme pour tout N, pour tout (a, b R 2, (a + b a b 4.7 Formule de Vadermode pour tout (, p, q N 3, ( ( ( p q p + q e particulier pour tout N, ( 2 ( 2