13 ERREURS, MOYENNES ET AJUSTEMENTS

3 ERREURS, MOYEES ET AJUSTEMETS Dans ce chaptre on propose un ensemble d nformatons essentelles sur la manère d analyser les erreurs de mesures, et de trater un grand nombre de données. On présente tout d abord une dscusson sur les «erreurs» et ensute la manère d estmer la probablté que le résultat fnal est juste. 3. ERREURS Dans les dctonnares, le mot erreur est défn comme la dfférence entre une valeur approxmatve résultat d une observaton ou d une mesure, ou d un calcul et la valeur réelle. Le problème est qu en général nous ne connassons pas la vra valeur, dans la mesure où l s agt généralement du résultat d une mesure ou d un calcul. C est pourquo, l faut trouver une manère d estmer la «fablté» de notre résultat. Le terme erreurs n est pas très précs en tant que tel. ous devons donc être plus explcte sur sa défnton. Les erreurs peuvent être classés de la manère suvante: ) Les bévues ou fautes de mesure ou de calcul sont généralement évdentes car elles produsent des résultats élognés de ce qu est attendu. Elles dovent être corrgées en repentant la mesure ou le calcul. ) Les erreurs systématques sont plus dffcles à détecter. Ce sont des dfférences reproductbles, souvent le résultat d un mauvas fonctonnement du matérel ou d une nsuffsance mathématque conséquente. Elles dovent être détectées (et corrgées en conséquence) en répétant la mesure avec un matérel dfférent ou en refasant le calcul (avec l ade d un collègue ou avec une méthode dfférente). 3) Les erreurs aléatores sont les plus fréquentes. Elles sont le résultat de la qualté névtablement lmtée de nos nstruments. Elles peuvent être seulement partellement corrgées en perfectonnant le matérel ou la méthode analytque, et en répétant les mesures (comme la lecture de la température ou du ph) ou en augmentant la durée de l observaton (par exemple, de la radoactvté). 3. PRECISIO ET EXACTITUDE 3.. DEFIITIOS Il est mportant de dstnguer précson et exacttude. 43

Chaptre 3 ) La précson d un résultat est la mesure de la reproductblté d une observaton, dans quelle mesure un résultat peut être détermné correctement, ndépendamment d une référence à la vrae valeur. L erreur assocée correspond meux à l ncerttude d un résultat. ) L exacttude est l estmaton de la justesse d une observaton, dans quelle mesure le résultat est proche de la vrae valeur. Les deux défntons que nous avons données sont lées. La précson est une estmaton de l mportance des erreurs aléatores. S on est capable de rédure les erreurs aléatores, par exemple, avec un melleur matérel ou une melleure procédure, la précson de la mesure sera melleure, le résultat sera plus précs, et l analyse sera davantage reproductble. Augmenter la précson en rédusant les erreurs aléatores est l objectf de tous les laboratores. D autre part, une erreur systématque a un effet drect sur l exacttude de la mesure; évter ou élmner les erreurs systématques permet d obtenr des résultats plus précs et dgnes de confance. Augmenter l exacttude des résultats est souvent l objectf des nter comparasons nternatonales entre pluseurs laboratores qu analysent le même jeu d échantllons, et en utlsant régulèrement des standards. Pour étuder et éventuellement rédure les erreurs systématques l est mportant de dsposer de données avec des erreurs aléatores fables, avec une précson relatvement forte. D autre part, l est nutle de fare beaucoup d efforts pour augmenter la précson, s l erreur systématque est forte. La Fg.3. llustre la dfférence entre précson et exacttude. 3.. OMBRES ET CHIFFRES SIGIFICATIFS Quand on présente des valeurs numérques on a l habtude d ndquer l ncerttude sous forme de nombres et de chffres. S on ndque une dstance de 5000 km, l est habtuel de ne consdérer que les chffres les plus à gauche. Cependant, s on est sur du chffre suvant (le O le plus à gauche), l vaut meux écrre 5.0 0 3 km. En général, l est préférable d écrre les nombres en notaton scentfque,.e. une présentaton en notaton décmale avec pluseurs chffres, multplés par une pussance de 0. Le chffre le plus à drote renferme l ncerttude. En règle générale la précson de l ncerttude (.e. le degré de certtude de l ncerttude ne dépasse pas 0% de l ncerttude. Par exemple, s la radoactvté d un échantllon est mesurée à 3.56 Bq, on peut avor une ncerttude de 3.56±0. ou 3.56±0.08, mas ndquer un chffre supplémentare comme 3.56±0.08 exagérerat la «certtude de l ncerttude». L ncerttude détermne auss le nombre de chffres ndqués. Par exemple, l est correct de noter 3.56±0. Bq, mas ça n a pas de sens d écrre 3.564±0. Bq. Lors des calculs avec l ordnateur tous les chffres dovent être conservés; on arrondt seulement le résultat fnal. éanmons, les résultats obtenus au cours d un calcul 44

Erreurs, Moyennes et Ajustements ntermédare dovent être écrts avec un nombre de chffres qu se justfe. Le calcul complet dot, cependant, être effectué sans arronds ntermédares. Fg.3. Exemple pour llustrer la précson et l exacttude, montrant deus séres de résultats à partr de 9 mesures de la même radoactvté. A. Les données sont mprécses mas exactes, donnant la valeur moyenne correcte de 3.56 Bq. La zone grsée correspond à de nveau de confance;.e. 68% odes données devraent se trouver dans cet ntervalle (exemple dans la Part.3.5.). B. Les données sont précses, mas nexactes probablement du fat d une erreur systématque, la valeur moyenne étant mantenant 3.50 Bq, au leu de la «vra» valeur de 3.56 Bq. 3..3 ICERTITUDES Il y a deux catégores dfférentes d ncerttudes. ) Les ncerttude nstrumentales, dues à la fluctuaton du résultat de toute observaton nstrumentale, que ce sot la mesure de la température extéreure, la mesure du pods d une lettre sur une balance, ou l utlsaton d un équpement spécal pour mesurer le temps le temps en laboratore. Une estmaton de l mportance de l ncerttude peut être obtenue à partr d une «supposton éclarée», ou en renouvelant la mesure et en observant la dstrbuton des résultats. 45

Chaptre 3 ) Les ncerttudes statstques, dues au fat que certans processus, même théorquement montrent des fluctuatons. La décrossance radoactve est un exemple caractérstque. Même un équpement déal (qu n exste pas) observerat des fluctuatons dans la mesure de l actvté, ou une dsperson «statstque des résultats». Dans de tels cas, des procédures exstent pour détermner l ncerttude au-delà du doute. 3.3 ICERTITUDES ISTRUMETALES 3.3. VALEURS MOYEES La valeur moyenne résultant d un grand nombre de mesures est défne comme la somme des résultats dvsé par le nombre de mesures: x x (x + x + x 3 + L + x ) / (3.) = est le nombre de mesures, représente le nombre de séres d une mesure quelconque et x le paramètre mesuré. On gnore souvent et =, pour écrre smplement Σx. Le nombre de mesures est toujours lmté. Cependant, s on peut augmenter ce nombre à l nfn, on obtendra une melleure valeur de la moyenne, défne alors ans µ lm ( x ) (3.) La médane est mantenant défne comme la valeur d un jeu de données en dessous de laquelle se stuent la moté des mesures, l autre moté étant plus élevée que la médane. Dans le cas d une dstrbuton symétrque la moyenne et la médane sont équvalentes. ous utlserons un peu plus lon la dévaton (écart) d un résultat par rapport à la moyenne (ou la médane), x x ; par défnton l écart moyen des résultats par rapport à la valeur moyenne est égal à zéro : x x = (x = x) = x x = x x = 0 (3.3) 3.3. DISTRIBUTIO DES DOÉES Les résultats d un grand nombre de mesures peuvent être présentés sous forme d un hstogramme, graphe ndquant le nombre de fos (axe des y) que les résultats ndqués sur l axe des x ont été obtenus (Fg.3.). 46

Erreurs, Moyennes et Ajustements Fg.3. Hstogramme (en forme de bloc), ndquant la dstrbuton rrégulère des résultats de mesures dans x ( x).e. entre x et x + x autour d une valeur moyenne; on donne les écarts autour de la valeur moyenne ( x ) plutôt que la valeur réelle en foncton du nombre d observatons (axe des y) pour des valeurs comprses dans un certan ntervalle. La courbe régulère représente la dstrbuton gaussenne, qu est le résultat supposé d un nombre nfn de mesures. Elle représente auss la dstrbuton de probablté (P) des données autour de la valeur moyenne. Les écarts à la moyenne sont donnés en terme de dévaton standard (). En haut du graphe on a ndqué l ntégrale ou la somme des probabltés: la probablté d observer des valeurs entre x + et x est de 68 %, entre x + et x de 95 % et enfn entre x + 3 et x 3 de 99.7 %. Il est évdent que la probablté d obtenr, par la sute, des résultats élognés du résultat le plus fréquent est de mons en mons forte. L hstogramme (ou bloc dagramme) consttué de colonnes représentant le nombre de fos ( ) que les résultats x ( x) dans un certan ntervalle x et x + x a été observé, correspond à la dstrbuton des échantllons. La valeur moyenne est: x = x ( x) et (3.4) = Σ 47

Chaptre 3 S lorsqu on construt l hstogramme, on donne à x ou la largeur de la classe une talle trop forte, Presque toutes les données peuvent se trouver sur une seule colonne, suggérant une bonne certtude statstque, mas une mauvase résoluton; s x est chos trop pett on augmentera la résoluton, mas peu de données tomberont dans la même colonne et la fablté sera fable (hstogramme dspersé). Plus on aura de mesures, melleure sera l mpresson de dstrbuton des données autour d une certane valeur moyenne. Pour un nombre nfn de résultats avec des erreurs aléatores la dstrbuton des échantllons est représentée par une dstrbuton en forme de cloche normale ou Gaussenne, sur laquelle la probablté d observer une valeur de y = y à x = x est: y f (x ) P = exp (3.5) π y est la valeur mesurée de la varable dépendante y, f(x ) est la valeur de y calculée pour la valeur de la varable dépendante x, est la dévaton standard de y, que l on défnra plus lon. La valeur la plus probable que l on observera, le mode, correspond au pc de dstrbuton,.e. le haut de la courbe lssée. Pour les données avec des erreurs aléatores la dstrbuton est symétrque autour du sommet. La Fg.3. montre la courbe de Gauss avec l hstogramme ssu d un nombre lmté de mesures. 3.3.3 DÉVIATIO STADARD 3.3.3. PRÉCISIO DES DOÉES Il est évdent que s les erreurs aléatores sont fables, les valeurs de la dévaton (x x) sont pettes et la dstrbuton des résultats autour de la moyenne sera plus resserrée. La dévaton moyenne est une mesure de l étendue des données autour de la moyenne, ce que l on appelle la dsperson du jeu de données. L Eq.3.3 a montré que l on ne peut pas utlser la smple moyenne de toutes les dévatons, une conséquence de la défnton de la moyenne. La moyenne des valeurs absolues des dévatons,.e. ndépendamment de leur sgne, caractérse meux la dsperson : d x x (3.6) Pour des rasons mathématques cependant, utlser les valeurs absolues n est pas appropré. C est pourquo, on prend les carrés des dévatons pour caractérser la dstrbuton. La valeur ans obtenue est appelée la varance: lm (x ) lm x µ µ = (3.7) 48

Erreurs, Moyennes et Ajustements La varance est ans la moyenne des carrés mons la carré des moyennes. La mesure quanttatve des erreurs aléatores,.e. de la dsperson statstque des données autour de la moyenne, ou en d autres termes de la précson est alors donnée par la dévaton standard, qu est la racne carré de la varance. Plus la dévaton standard est pette, melleure est la précson, et plus la courbe de Gauss est resserrée. S nous consdérons mantenant le jeu réel des mesures, la dévaton standard de ce jeu est: (x x) (3.8) Le fat que l on mette au leu en dénomnateur est dscuté dans les textes classques sur l analyse statstque. Cette nécessté peut être évaluée en consdérant le cas extrême d une seule mesure. Une seule mesure ne peut pas donner une dée de la précson de la mesure. C est pourquo, la fracton ne peut pas être un nombre réel. Les calculateurs de poche récents peuvent calculer x. Des nveaux de confance varés sont ndqués sur la Fg.3.. La probablté qu un résultat aléatore d une mesure se stue entre x + x est calculée à 68%. Cec revent à dre qu une nouvelle mesure fournra un résultat comprs entre ± de la moyenne : la dévaton standard est le nveau de confance 68%, est le nveau de confance 95%, et 99.7% correspond au nveau de confance 3. 3.3.3. PRÉCISIO SUR LA MOYEE La dscusson précédente a porté sur la précson des données, caractérsée par la dévaton standard. Il est également mportant de reporter l ncerttude dans le résultat fnal d un grand nombre de mesures. C est pourquo, on dot calculer la précson de la valeur moyenne ou, plus spécfquement, la dévaton standard de la moyenne. C-dessous nous allons dscuter brèvement de la propagaton des erreurs;.e. l ncerttude globale obtenue à partr de nombreux résultats, chacun ayant sa propre ncerttude. La concluson est que la varance de la moyenne est la varance du jeu de données dvsée par le nombre de mesures : x x = = (x x) (3.9) ( ) La dévaton standard de la moyenne est alors: x x = = (x x) (3.0) ( ) 49

Chaptre 3 A ttre d exemple nous calculerons la moyenne et les dévatons standards pour les données ndquées sur la Fg.3.A et le Tableau 3.. On suppose que toutes les données ont la même ncerttude/précson. Tableau 3.Jeu de données correspondant à la Fg.3.A. r. x x x r. x x x r. x x x 3.55 0.0 8 3.40 0.6 5 3.45 0. 3.45 0. 9 3.56 +0.00 6 3.6 +0.06 3 3.57 +0.0 0 3.5 0.04 7 3.74 +0.8 4 3.68 +0. 3.5 0.05 8 3.65 +0.09 5 3.63 +0.07 3.63 +0.07 9 3.45 0. 6 3.47 0.09 3 3.5 0.04 7 3.69 +0.3 4 3.55 0.0 Moyenne x = 3.56 Dévaton standard x = {Σ(x 3.56) }/8 = ±0.095 de la moyenne = x / 9 = ±0.0 3.4 ICERTITUDES STATISTIQUES Les ncerttudes statstques, défnes dans la Part.3..3, provennent des fluctuatons aléatores du nombre d événements, par exemple le nombre de désntégratons radoactves par untés de temps, plutôt que d une précson lmtée des nstruments de mesure. Pour ces fluctuatons statstques la théore des statstque fournt une technque mathématque pour décrre la dstrbuton des données et la dévaton standard. Le résultat est que la dévaton standard de pluseurs comptages M détectés durant un ntervalle de temps t est smplement : = M (3.) Pour un taux de comptage R,.e. le nombre de coups par seconde, la dévaton standard est alors: R R = M = Rt = (3.) t t t L ncerttude relatve du taux de comptage est donnée par: 50

Erreurs, Moyennes et Ajustements R = R Rt (3.3) Il est évdent que la précson relatve est melleure s le taux de comptage est plus élevé et le temps de mesure plus long. Le cas des nveaux de confance lorsqu on observe les données avec les ncerttudes statstques est smlare à celu des ncerttudes nstrumentales comme nous en avons dscuté dans la parte précédente. La probablté pour qu une valeur réelle observée sur une pérode de temps nfne se stue entre x + et x de la valeur mesurée est de 68%: la dévaton standard est le nveau de confance 68%, est le nveau de confance 95%, et 99.7% correspond au nveau de confance 3. 3.5 PROPAGATIO DE L ERREUR 3.5. DÉVIATIO STADARD On veut souvent détermner une quantté A qu est une foncton d une ou pluseurs varables, chacune avec sa propre ncerttude. L ncerttude de chacune de ces varables contrbue à l ncerttude totale. ous nous lmterons à donner les expressons mathématques pour dans dfférents cas. Les équatons repose sur la relaton générale de la foncton : A = f (x, y, z) Dans le cas des ncerttudes statstques la dévaton standard de A dépend des varables ndépendantes x, y et z de la manère suvante: A A A A = x + y + z (3.4) x y z S les ncerttudes sont consdérées comme nstrumentales, des équatons smlares dovent être utlsées pour calculer l ncerttude du résultat fnal. Pour la relaton générale: A = f(x, y, z) avec les ncerttudes nstrumentales x, y et z, l ncerttude en A est : A A A A = x + y + z (3.5) x y z débouchant sur les équatons équvalentes pour A et A (Eqs.3.6-3.9). Dans ces exemples a et b sont des coeffcents, x et y sont des varables ndépendantes, A la varable dépendante. 5

Chaptre 3 ) A = ax + by et A = ax by avec les ncerttudes x et y ; dans les deux cas: A = a x + b y (3.6) ) A = ± a xy et A = ± a x/y A A = x x + y y (3.7) 3) A = a e ± bx A /A = ± b x (3.8) 4) A = a ln(± bx) A = a x /x (3.9) 3.5. MOYEE PODÉRÉE Jusqu à présent lorsqu on a calculé les valeurs moyennes, nous avons consdéré que tous les nombres avaent la même précson et ans qu ls avaent le même pods. S on affecte à chaque à chaque nombre sa propre dévaton standard, la moyenne dot alors être calculée de la façon suvante: x x = (3.0) tands que la dévaton standard de la moyenne est obtenue à partr de : x = ce qu donne: x = (/ ) (3.) Le pods de chaque résultat est nversement proportonnel au carré de la dévaton standard; / est appelé le facteur de pondératon. S les dévatons standard sont égales, l expresson pour de la moyenne se rédut à l Eq.3.0: 5

Erreurs, Moyennes et Ajustements x = / Σ(/ ) = / [(/ ) ] = / or x = / 3.6 AJUSTEMET PAR LES MOIDRES CARRES Une quantté mesurée est souvent relée à une autre varable, par exemple y = f(x). Cette foncton peut être de n mporte qu'elle forme, lnéare, quadratque, harmonque, arbtrare, et cetera. L objet de cette parte est de dscuter brèvement des méthodes pour obtenr l ajustement graphque et algébrque le plus probable d une foncton aux données. Le plus ntéressant est l ajustement des données à drote d un grand nombre de données que l on suppose relées lnéarement. 3.6. AJUSTEMET LIÉAIRE. Le prncpe de l ajustement par les mondres carrés est de mnmser la somme des carrés des dévatons des varables dépendantes (y) (l ncerttude en x est supposée néglgeable) à partr d une drote présentant des coeffcents a et b: y = a + bx (3.) La dévaton de toute valeur de y (y ) à la drote est donnée par y = y f(x ) = y a bx (3.3) En mnmsant la somme de ces dévatons on obtent: Σ y = 0 (3.4) Tands qu utlser les valeurs absolues de y ne fournt pas une approche mathématque utle. C est pourquo, nous recherchons une démarche pour trouver les coeffcents a et b, caractérsant la drote, par laquelle la somme des carrés des dévatons: Σ( y ) = Σ(y a bx ) (3.5) est mnmsée. Les condtons d ajustement sont: Σ(y a bx ) = 0 a (y a bx ) = 0 b et (3.6) Les valeurs de a et de b obtenues ont: 53

Chaptre 3 x y x x y a = et (3.7a) x y x y = b (3.7b) tands que x x = (3.7c) S les dévatons standards de y sont égales, les valeurs de a et de b sont: a = (Σx Σy Σx Σx y ) / b = ( Σx y Σx Σy ) / = Σx (Σx ) (3.8a) (3.8b) (3.8c) Beaucoup de calculateurs de poche récents ont la possblté de calculer l ajustement des mondres carrés à une drote. Un exemple se trouve sur la Fg.3.3. Les dévatons standard des coeffcents a et b sont: a = x (3.9a) et b = (3.9b) 3.6. AJUSTEMET O LIÉAIRE L ajustement des mondres carrés, par exemple, les courbes quadratques ou polynomales de second degré, exponentelles et arbtrares, ne seront pas tratées quanttatvement. Elles peuvent être calculées analytquement, mas la démarche normale consste à utlser les programmes nformatques approprés. Ils exstent également pour les courbes combnes, consstant en la superposton de plus d une courbe. Même à partr des ponts, qu ne sont pas relés théorquement à une varable ndépendante, les courbes peuvent être ajustées. Le splne cubque en est un exemple. En prncpe les ajustements cubques (3ème ordre) à partr de groupes successfs de données, sont ajustés les uns aux autres. La courbe résultante peut être chose pour ajuster tous les ponts, ou chose pour lsser les rrégulartés autant que désré. 54

Erreurs, Moyennes et Ajustements 3.7 TEST DU CHI-CARRÉ L ajustement des mondres carrés est basé sur la mnmsaton de l exponentelle de la foncton de probablté de Gauss de l Eq.3.5,.e. de la somme des dévatons (quadratques) entre les valeurs y observées (y ) et les valeurs y calculées à partr de la relaton entre y et x : y = f(x ). Fg.3.3 Ajustement lnéare des mondres carrés sur de nombreuses données (x,y), à partr desquelles les varables ndépendantes et dépendantes sont relées par l équaton y =.5 + 0.5x. Toutes les valeurs y ont la même précson. Pour l ajustement lnéare cec revent à calculer les coeffcents de la relaton lnéare y = a + bx pour laquelle la somme Σ(y a bx ) est mnmale (Eq.3.5). En consdérant la défnton de la probablté, P, l est logque de prendre la même somme t logcal to take the same sum of the square devatons en relaton avec la dévaton standard to the standard devaton as a measure for the goodness of ft: χ = = y a bx (3.30) Pour le jeu de données de la Fg.3.3 et du Tableau 3. le χ est calculé. En résumé l ajustement optmum aux données est celu qu mnmse χ. La méthode qu permet de mnmser χ est la méthode des mondres carrés. Le résultat du test du χ est rassurant s le χ dvsé par le nombre de données (=9) mons le degré de lberté (= le nombre de paramètres à détermner, c = ) est envron égal à un (dans ce cas =/8). 55

Chaptre 3 Table 3. Séres de données (x, y ) suvant la relaton y = a + bx, donnant une valeur de χ. Le graphe correspondent à ces données se trouve sur la Fg.3.3. L ajustement optmum des données est celu qu mnmse χ. x y ± y =.5 + 0.5x [y f(x )] /.9 ± 0.8 3.0 0.06.4 ± 0.8 3.5.89 3 4. ± 0.8 4.0 0.06 4 5.7 ± 0.8 4.5.50 5 5.7 ± 0.8 5.0 0.766 6 4.6 ± 0.8 5.5.66 7 7.3 ± 0.8 6.0.64 8 4.9 ± 0.8 6.5 4.000 9 7.0 ± 0.8 7.0 0.000 0 7. ± 0.8 7.5 0.50 7.5 ± 0.8 8.0 0.39 9. ± 0.8 8.5 0.766 3 8.6 ± 0.8 9.0 0.50 4 9.4 ± 0.8 9.5 0.06 5 8.9 ± 0.8 0.0.89 6. ± 0.8 0.5 0.563 7.8 ± 0.8.0 5.063 8.4 ± 0.8.5.66 9 0.9 ± 0.8.0.89 χ.094 56