Texte Pla F : Théoie du potefeuille F2 : Modèle biomial d évolutio d ue optio su actio F3 : Coubes de taux d itéêt A : Pocessus de isque A2 : Pobabilité de uie aléatoie temps v.a. lie ete v.a. poc. stoch. statique F A dy. discet F2 *** dy. cotiu A2 F3 - modèle biomial à péiode - modèle biomial à N péiodes - espéace coditioelle - matigale - fomule de picig isque-eute
Modèle biomial pou ue péiode Hypothèses - divisibilité du sous-jacet - même taux d itéêt sas isque pou le placemet et l emput - même pix du sous-jacet pou l achat et la vete (bid ask - sous-jacet sas dividede volutio du sous-jacet : à chaque époque, deux possibilités : U (p et D (q p (U u ( < p < (D d ( < d < u Abitage : statégie d ivestissemet qui cée de la valeu à pati de ie potefeuille de valeu V tel que V t > : P[V t < ] et P[V t > ] > AOA : absece d oppotuité d abitage
Abitage (suite AOA < d < < u si d e t, - emput de su Μ(M - achat du sous-jacet pou su Μ ( doc, V e t, si U, ( u [u ( ] > si D, ( d [d ( ] doc P[V > ] > si u, ivesio du potefeuille NB. Récipoque : su Μ (M,, < d < < u AOA
Déivé euopée : poduit dot la valeu e t déped de : V g( xemples : - futue : V K - call euopée : V ( K - put euopée : V (K v.a., dépedat du ésultat U ou D Valeu e t? o Costuie, e t, u potefeuille su Μ (M, dot la valeu e t est égale à V, quelle que soit le ésultat U ou D o La valeu e t de ce potefeuille est la valeu du déivé sous l hypothèse AOA potefeuille épliquat Justificatio si l émetteu peut vede le déivé à u pix >, il ivestit das le potefeuille épliquat et il place le solde das Μ(M sio, ivesio du potefeuille
Costuctio du potefeuille épliquat Touve le motat la épatitio de das Μ (M, das Μ ( le solde, pou compléte ou compese, das Μ (M tels que V (alos o aua V ( ( ( (U (D (U ( ( (D ( ( V (U V (D système de 2 équatios à 2 icoues
Costuctio du potefeuille épliquat (suite (U (D (U ( ( (D ( ( V (U V (D ( I ( II a ~ p ( I q~ ( II avec ~ p q ~ ~ ~ ~ ~ ( pu qd ( ( pv (U q (D V où p ~ et q ~ sot choisis tels que ~ p u qd ~, c-à-d et doc ~ ( d ~ u ( p q u d u d V [ ~ pv (U q~ (D] V ( ];[ valeu actualisée de la moyee des valeus futues pa appot à P ~ (Fomule de picig isque-eute
Costuctio du potefeuille épliquat (suite (U ( D (U ( ( (D ( ( V (U V (D ( I ( II b (I (II V (U V (D (U (D «delta-hedge»
Pobabilité isque-eute V [ ~ pv (U q~ (D] V Le pix du déivé déped des tajectoies de pix du sous-jacet, mais pas des pobabilités associées à ces tajectoies gééal, ( pu qd ( et même > ca, e vetu de l avesio au isque, o ivestiait que das Μ(M Mais, ~ ( ~ ~ pu qd ( l évolutio das Μ(M est la même que l évolutio moyee du sous-jacet, sous P ~ La loi de pobabilité P ~ est la loi de pobabilité «isque-eute»
Modèle biomial pou N péiodes Mêmes hypothèses Quate pocessus stochastiques ( 2 K,,, : évolutio du pix du sous-jacet (U u (p (D d (q ( 2 K avec < d < < u,,, : valeus du potefeuille épliquat ( 2 K,,, : popotio du sous-jacet ivestie das le potefeuille épliquat ( 2 K V, V, V, : valeus du déivé
Théoème de éplicatio i ~ p ( d u d q~ u ( u d V, V, V2,, VN K possèdet la popiété V [ ~ pv (U qv ~ (D],, K N V (U V (D, K, N (U (D le potefeuille épliquat évolue selo la ègle K N ( (,, alos, V V (,..., N
Peuve. O pocède pa écuece (U ( ( V ( V ( V ~ q ~ pv (U ~ ( ~ qv p q~ V (U V u ( ( (U V ( u ( (U V (U (D (D ( V (U V (D ( u ( u ( u d ( V (U V (D (D q~ ( V (U V (D Même aisoemet pou D V (D (
spéace coditioelle Défiitio La v.a. déped de ω, K, ω avec ( N U ( p ω k k, K, D ( q N L espéace coditioelle ( est ue v.a. dépedat de ω, K, ω défiie pa Cas paticulies α (U α (D ( K p q ( ω, K, ωn ω ω ω 2 N ( où α (U [esp. α (D] est le ombe de U [esp. D] pami ω, K, ω ( N ( ( N (
Popiétés Liéaité ( a a2 2 a ( a2( a2 2 i Y e déped que de ω, K, ω, alos ( ( Y ( Y e paticulie, ( Y Y i Y e déped que de ( ω, K, ωn, alos ( Y ( Y i m, alos e paticulie, ( m ( ( ( ( ( m
volutio du sous-jacet Pa défiitio de la pobabilité isque-eute, o a [ ~ p (U q ~ (D] [ ~ pu qd ~ ] ~ pu qd ~ et pa coséquet, ~ (
Matigale Défiitio Le pocessus stochastique M, M, M, est ue matigale si Popiété ( 2 K c est u pocessus adapté : M est costat (o aléatoie U ( p la v.a. M déped de ( ω, K, ω avec ω k k, 2, K D ( q M M pou tout ( i ( M, M, M 2, K est ue matigale, m M ( M m l espéace este costate au cous du temps : ( M M
Fomule de picig isque-eute Objectif Gééalise la fomule obteue pou péiode : V [ ~ pv (U q~ (D] V qui peut aussi s écie V ~ V volutio du pix du sous-jacet Pa appot à la PRN, la valeu actualisée du sous-jacet est ue matigale. Peuve. ~ ( doc ~ ( (
volutio du pix du sous-jacet (suite Peuve 2. La v.a. e ped que les valeus (U u et (D d et e déped doc que de ω. Doc, qd pu ( ~ ( ~ ( ~ ( ~ ( ( ~ ( ~
volutio de la valeu du potefeuille épliquat i,, cst, ( 2 K est u pocessus adapté qui epésete la popotio du sousjacet ivestie à chaque époque au sei du potefeuille épliquat défii pa ( ( ( alos la valeu actualisée du potefeuille épliquat est ue matigale sous PRN. Peuve. ( ( ( ( ( ~ ( ( ~ ( ~
Fomule de picig isque-eute Das le modèle biomial pou N péiodes, si ( V, V, V2, K, VN est u déivé tel que V g( (,,, N, alos les valeus du déivée pou les époques atéieues à N sot doées pa ~ VN V N ( et la valeu actualisée du déivé est ue matigale sous PRN. Rappel : V [ ~ pv (U q~ (D] V Peuve. D apès le théoème pécédet, si (,, 2, K, N est le potefeuille épliquat, ( ~ ( ~ ( 2 K 2 ~ N ( N d où le ésultat puisque, pa le théoème de éplicatio, V.
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