a Technologie de poduction à Cout teme Intoduction Au sens économiue, l entepise ou la fime est une unité techniue ui combine dives facteus de poduction ou «inputs» (capital, tavail, etc.) afin de poduie des biens et sevices ou «outputs» et pa la suite satisfaie le consommateu. e cout teme est défini comme étant la péiode duant lauelle un ou plusieus facteus sont fixes. Il s agit donc de détemine le facteu vaiable compatible avec les facteus fixes, il s agit donc d un poblème de combinaison optimale. A long teme, tous les inputs sont vaiables, c est donc un poblème de capacité de poduction optimale. On suppose ue le poducteu utilise deux inputs soit le capital noté et le tavail noté. Section I a fonction de Poduction 1- Notion de fonction de poduction : poductivité totale A cout teme on suppose ue le capital est constant, on le note uantité poduite f(, ) : poductivité totale de C est la uantité d output obtenue pa un poducteu en combinant un input fixe avec un input vaiable selon une techniue de poduction déjà choisie. Exemple Soit un atisan fabicant des chaussues, il dispose de 4 machines. Il est possible d obteni difféentes uantités de poduction en modifiant le facteu vaiable heue de tavail. 4 machines (facteu fixe) nombe d heues de tavail (facteu vaiable) la poduction obtenue. 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 6 11 19 25 28 28 26 Δ /Δ +2 +4 +5 +8 +6 +3 0-2 / 0 2 3 3.66 4,75 5 4.66 4 3.25 1
M Point d'inflexion C est l allue généale de la fonction de poduction. Il existe difféentes sotes de fonctions de poduction à popotion vaiable, la plus connue est celle de Cobb Douglass ui est de fome : A α β : output facteu tavail : facteu capital. A constante indiuant le niveau technologiue de la poduction. 2- Poductivité moyenne et poductivité maginale a- Définitions a poductivité moyenne c est la uantité d output obtenue en moyenne pa chaue unité d input vaiable PM f(, ) a poductivité maginale d un facteu c est l augmentation de la poduction totale ésultant de l accoissement de la uantité du facteu vaiable utilisé pa une unité. C est la déivée de la fonction de poduction pa appot à l input vaiable P d d m df(, ) 2
b- Analyse gaphiue M P I A PM A' P' PM >PM <PM <0 b1 Poductivité moyenne On peut etouve la valeu de la poductivité moyenne en chaue point de la coube de la poductivité totale. A PM au point A PM tgα A Donc étudie PM evient à étudie la tg α losue le point A se déplace le long de la coube, l angle α va s élagi ou se feme. Au point P il atteint son ouvetue maximale et au-delà il commence à se efeme donc la tg α va augmente jusu à atteinde son maximum au point P et là elle commence à diminue. a poductivité moyenne coît de 0 à PM ( p ) puis décoît. b2- Poductivité maginale d C est la déivée de la poductivité totale pa appot à. d 3
P m a poductivité totale est coissante jusu au point M puis elle est décoissante donc est positive jusu au point M puis devient négative. a poductivité maginale admet un maximum uand sa déivée s annule. Cette denièe est la déivée seconde de la fonction de poduction. Ceci coespond donc au point d inflexion de la coube de poductivité totale A. a P m s annule losue la PT est maximale. a coespond à la pente de la tg à la coube. P m b3- Relation ente P m et P M Pou ue la poductivité moyenne augmente il faut ue P m > P M. En n impote uel point de la coube de la poductivité totale on peut tace deux tangentes, celle de l angle à l oigine ui nous donne la poductivité moyenne et celle au point lui-même ui nous donne la poductivité maginale. Au point P, les deux tangentes sont confondues donc la poductivité maginale est égale à la poductivité moyenne. Ainsi la coube de P m passe pa le maximum de la coube de P M. On peut démonte ceci analytiuement : Si PM a un maximum (PM )' 0. d -.1 0 d 0 ² d - 0 d P PM m d d b4- Relation P m et P T oi des endements décoissants : la uantité d un facteu vaiable combiné à un facteu fixe coît. a poduction totale coît au début à un ythme coissant puis à un ythme décoissant.. P m PT avec un taux coissant. P m PT avec un taux décoissant. P m 0 PT max. P m < 0 PT b5- Relation PM et PT. PM PT plus apidement ue. PM PT moins apidement ue 4
3- es phases de la poduction PM Phase I Phase II Phase III A' P' M' PM 1 ee phase Elle est caactéisée pa le fait ue la P m est toujous supéieue à la PM donc la poductivité d un ouvie additionnel est supéieue à la poductivité moyenne des ouvies déjà existants. Il est donc absude de s aête avant le point P. Jusu au point P le appot facteu fixe su facteu vaiable est top élevé pou ête économiuement valable. (Il y a une faible utilisation du facteu fixe). Cette phase est dite phase d incitation à la poduction. a- 2 ème phase Cette phase commence dès ue la P m est inféieue à la PM et s aête losue la P m est égale à zéo. Elle est caactéisée pa des P m et PM décoissantes. C est la phase ui est économiuement valable et acceptable pa un poducteu ationnel. A pati du point P si on continue à augmente, la poduction totale augmentea mais moins popotionnellement ue puisue chaue unité de tavail dispose d un nombe d unité de facteu fixe elativement moins élevé. Cette phase pemet d atteinde le maximum de la poduction au point M où la 0. P m b- 3 ème phase Elle coespond à la zone où la poductivité maginale est négative. a poductivité totale diminue même si on augmente. C est la zone de gaspillage ou d inefficience économiue ue tout poducteu ationnel cheche à évite. C est la phase non économiue. 4- Exemple Soit une unité de poduction agicole ayant 10 hectaes, Il est possible d obteni difféents niveaux de poduction en modifiant la uantité de expimée en nombe d ouvies. f(,) F() 1 2 3 4 5 6 7 8 10 24 39 52 61 65 65 64 / 10 5 10/3 10/4 10/5 10/6 10/1 10/8 PM 10 12 13 13 12,2 10,8 9,3 8 P - 14 15 13 9 4 0-1 m 5
a- Détemine les /, et PM pou les difféents niveaux de. b- Repésente gaphiuement, PM et P m et commente. PM. Phase I Phase II Phase III A' P' M' PM 3 4 7 a loi des endements maginaux décoissants commence à pati de la uantité de supéieue à 3.. a phase d incitation à la poduction pend fin à 4.. C est l utilisation du facteu fixe expimée pa le coefficient techniue ui expliue la coissance puis la décoissance de la P m. étape I et III sont à élimine, le poducteu choisia l étape II l éuilibe du poducteu à cout teme se touve dans cette zone. Section II es élasticités des outputs pa appot aux inputs 1- Définition élasticité de la poduction pa appot à un facteu de poduction est la vaiation elative de la poduction appotée à la vaiation elative de ce même facteu, les autes facteus étant constants. 6
Δ d e(/) ~ x Δ d e(/) PM élasticité de la poduction pa appot à un facteu est égale au appot de la P m de ce facteu à la PM. 2- Popiétés étape II est économiuement valable, elle commence uand la PM e( / ) 1. Elle s aête losue P m 0 e( / ) 0. Ainsi l élasticité de la poduction pa appot à un facteu pend des valeus ente un et zéo. Elle est pa conséuent toujous positive et décoissante su la seconde étape de la poduction. 3- Exemple : fonction Cobb-Douglass P β A α β-1 e(/) β m P m A α β-1 P m k α A α-1 β e(/) α PM PM A α-1 β Ainsi les deux constantes α et β de la fonction Cobb-Douglass nous indiuent les contibutions espectives des deux facteus de poduction ( et ) à la poduction totale, ce sont pécisément les élasticités de poduction de ces facteus. 4- Exemple Une poduction utilise deux facteus de poduction et pou poduie un output. Défini les intevalles de vaiation de coespondants aux difféentes étapes de poduction et tace les tois coubes de poductivité si 2. Sa fonction de poduction est 60 ² - 3 e 120 3² 60 ² PM P m 120-3 e 60 -. Si e > 1 120 3 > 60 60 > 2 < 30. Si e 1 30. Si e < 1 > 30. Si e 0 40 d d 7
64000 52000 PT 32000 PM 2400 1800 Phase I Phase II Phase III A' P' M' PM 20 30 40 8
Chapite II a théoie de la Poduction à long teme Intoduction e long teme est la péiode duant lauelle tous les facteus de poduction sont vaiables. Ainsi duant ce chapite nous allons suppose ue l entepeneu a deux sotes de poblème : 1- entepeneu n a pas encoe d usine, il doit pa conséuent pende des décisions impotantes telle ue la poduction totale, la technologie, le nombe d usine, la localisation, etc. 2- entepeneu essaye de change la capacité de poduction de son usine existante. Il doit savoi s il doit gade la même techniue de poduction (/) ou la change. Section I Isouants, isocoûts et substitution Il existe une tès gande analogie ente la théoie de la poduction à long teme et la théoie du consommateu. En effet : - A la coube d indifféence coespond l isouant. - A la containte budgétaie coespond l isocoût. - Au TMS coespond le taux maginal de substitution techniue (TMST). 1- es isouants a- Définition C est le lieu géométiue de l ensemble des combinaisons de et techniuement efficaces donnant le même niveau d output. Donc un isouant est une coube dans l espace des facteus (,) montant toutes les combinaisons possibles de et capables de donne lieu à un cetain niveau de poduction. Son éuation est de la fome f(, ) Ainsi tout déplacement su un même isouant éuivaut à un changement techniue (/) pa conte un déplacement su un même segment d un isouant à un aute éuivaut à un changement de niveau de poduction avec la même techniue. b- Popiétés es isouant ont les mêmes popiétés ue les coubes d indifféence : 1- es isouants se touvent patout dans l espace des facteus. 2- es isouants ne s entecoupent pas 3- es isouants sont convexes 4- es isouants ont une pente négative c- es fonctions de poduction à popotions fixes 9
Il existe des fonctions de poduction ui ne compotent u une seule techniue de poduction, les isouants pennent la fome d un point. A B D Q3 C Q2 Q1 2 3 1 4 6 2 6 9 3 * impotant * impotant 2 1 3 1 4 2 6 1 6 3 9 3 e appot / est toujous constant l entepeneu ne dispose ue d une seule techniue, il ne peut pas substitue du capital au tavail ou vice vesa. Conclusion a fome des isouants infome donc su le niveau de substituablité des facteus : Isouant est une doite et sont pafaitement substituables Isouant en coude aucune substituabilité a coube convexe est le cas le plus poche de la éalité (cas généal). c- es égions de poduction Zone de poduction efficace B1 B2 B3 10 igne cête elative à igne cête elative à
0 à A 1, A 2 et A 3 0 à B 1, B 2 et B 3. Pou etouve la zone de poduction efficace il faut connaîte la fome des isouants los des difféentes étapes de poduction. Contaiement aux coubes d indifféence, les isouants peuvent avoi dans cetaines égions des pentes positives au point A 1 0. Si on continue à augmente alos va diminue < 0 ce ui coespond à l étape de gaspillage économiue dans la égion A1A2 on a < 0. Pa un aisonnement identiue, on démonte ue la zone B1B2 n est pas valable économiuement. 2- TMST C est la uantité de tavail ue le poducteu doit abandonne pou utilise une unité supplémentaie du capital tout en estant su le même isouant. C est l opposé de la valeu de d la pente de la tangente à l isouant TMST -. d C est aussi le appot de la poductivité maginale de et de la poductivité maginale de. TMST Démonstation f f constante d 0 d d + d 0 P d TMST, m - (même isouant) P d m 3- es isocoûts Soit un poducteu en face de 2 inputs et poduisant un output. Il dispose d un budget, détemine pou l achat des deux facteus et dont il connaît les pix : C : budget du poducteu w : coût unitaie du tavail : coût unitaie du capital 11
C w + C/ C/ω isocoût a les mêmes popiétés ue la doite du budget chez le consommateu. Fome explicite : c/ω - c/ d - : la pente de l isocoût d w Section II - éuilibe du poducteu e poducteu dispose de deux facteus de poduction vaiable et en vue de poduie un output. Sa fonction de poduction est connue f(,). Il connaît les pix unitaies du capital et du tavail ui sont espectivement et w. Cet entepeneu peut avoi tois objectifs difféents : - Maximise sa poduction avec un cetain budget - Minimise son coût C pou poduie une cetaine uantité - Maximise son pofit en supposant u il connaît le pix de vente de son output. 1- a maximisation de la poduction avec un budget donné (poblème analogue à celui du consommateu). a- Gaphiuement C / * A E 2 3 B 1 * C/ω entepeneu connaît son budget pévisionnel u il doit entièement utilise et jamais Max f(, ) dépasse. C w + Cet entepeneu ne peut atteinde le niveau 3 avec son budget. Il n a pas intéêt à poduie 1 (A ou B) puisu il peut atteinde un niveau de poduction supéieu avec son budget. Ainsi l éuilibe est atteint au point E, point où l isocoût est tangent à l isouant. 12
d E 2 d d w E Isocoût - d w TMST b- Analytiuement Max f(, ) C w + (λ,,) f(,) + λ ( C - w ). Condition du 1 e ode ' λ ' ' 0 0 0 C - w - 0 wλ 0 - λ 0 w P m w w. Condition du 2 ème ode det(matice hessienne) H > 0 multiplicateu de agange. 2. a minimisation du coût total pou la poduction d une uantité donnée. a- Gaphiuement A D E B C1 C2 C3 entepeneu n a pas intéêt à poduie au poduie A et B puisu il y a la possibilité de poduie au point E à un coût total inféieu ca C 1 < C 2. 13
C1/ ENIB 2010 même condition d éuilibe TMST w b- analytiuement Min C w + f(, ) (λ,,) w + + λ ( - f(,) ' λ f(, ) 0 ' - λ 0 P w ' m w - λ 0 3- a maximisation du pofit π RT CT p w - pf(,) w Maximise le pofit evient à maximise une fonction à deux vaiables sans containte. Max π Max pf(,) w. Condition du 1 e ode ' π 0 ' π 0 P P w. Condition du 2 ème ode π " " ² - w 0-0 P P w π π " 2 < 0 > 0 π ² < 0 π π " " " 2 Conclusions : Deux conclusions impotantes sont à considée : 1- a condition d éuilibe du poducteu est indépendante de son objectif. Ainsi une bonne gestion de l entepise est celle ui minimise le gaspillage des facteus de poduction et vise l allocation optimale des essouces. 2- P P w P est la valeu de la poductivité maginale du tavail, die ue P w signifie ue l entepeneu engage du tavail jusu au point où la valeu de est égale au pix du tavail pou maximise son bénéfice. 4- a notion du sentie d expansion C3/ C2/ Sentie d'expansion 14
C est le lieu de tous les points d éuilibe losue le coût total vaie, les coûts unitaies des facteus w et étant constants. C est le chemin ue l entepise va suive si elle décide de modifie sa capacité de poduction. Section III es endements à l échelle 1- Définition Soit un entepeneu disposant d une menuiseie compenant 5 machines et 10 ouvies poduisant 50 tables pa semaine. Que se passe-t-il au niveau de la poduction losue les uantités utilisées de tous les facteus vaient simultanément dans la même popotion (dans cet exemple et sont multipliés pa 2)? 5 10 10 20 ' 120 50 > ' 100 ' 80 1- a poduction augmente dans une popotion supéieue à 2. Dans ce cas l entepeneu bénéficie d «économie d échelle» et ses endements sont «coissantes à l échelle», le coût moyen pa table a diminué. 2- a poduction est multipliée pa 2, l entepeneu connaît alos des endements «constants à l échelle» et ce ca ses inputs et son output ont le même taux de coissance. e coût moyen pa table est constant. 3- a poduction augmente dans une popotion moinde. Dans ce cas les endements sont «décoissants à l échelle». entepeneu subit des «déséconomies d échelle». e coût moyen pa table est coissant. Conclusion a notion des endements à l échelle nous indiue l effet d une vaiation simultanée de tous les facteus de poduction dans la même popotion su le niveau de poduction. e poducteu peut connaîte des endements coissants, décoissants ou constants à l échelle en fonction de l impotance du taux de coissance de sa poduction pa appot à celui de tous les inputs. 2- Fomulation mathématiue a- es fonctions de poduction homogènes Soit une fonction z f(x.y), on dit ue cette fonction est homogène de degé t si on a la elation suivante : λ > 0 f(λ x, λ y) λ t f(x,y) 15
Nous allons étudie la notion de endements d échelle pou les fonctions de poduction homogènes λ > 0 f(λ, λ ) λ t f(,). Si t 1 : c est une fonction de poduction homogène linéaie ou de degé 1 c est le cas des endements constants à l échelle.. Si t < 1 : endements à l échelle décoissants. Si t > 1 : endements à l échelle coissants b- e coefficient de la fonction (ou élasticité d échelle) C est le appot de deux vaiations elatives ui pemet de mesue la vaiation de la uantité de l output suite à la vaiation de et de 1 % pou le biais de leus facteus multiplicatif λ Cette élasticité monte de degé des endements à l échelle. Δ ε Δλ λ Δ Δλ. ε > 1 > endements à l échelle coissants λ Δ Δλ. ε < 1 < endements à l échelle décoissants λ Δ Δλ. ε 1 endements à l échelle constants λ c- Relation ente coefficient de la fonction et les élasticités de la poduction Soit f(,) es élasticités de la poduction pa appot à et sont : Δ Δ e( / ) e( / ) Δ Δ Calculons la difféentielle totale de f f d d+ d d f d f d + Supposons ue les deux inputs et vaient dans la même poposition d d dλ λ d f f dλ + λ d d df df + ε + dλ d d d λ ε e( / ) + e( / ) 16
e coefficient de la poduction est égal à la somme des élasticités de poduction pa appot à tous les facteus de poduction losue ces denies vaient simultanément et dans la même popotion. Exemple A α β e( / ) α e( / ) β ε α + β. si α + β ε > 1 Rendements coissants à l échelle. si α + β ε < 1 Rendements décoissants à l échelle. si α + β ε 1 Rendements constants à l échelle 3- Oigine et impotance des économies et déséconomies d échelle es économies d échelle touvent leus oigines dans des facteus d ode technologiue et oganisationnel, elles se taduisent pou une baisse du coût moyen (à T). Quand la taille de l entepise augmente et la poduction coît, on peut éalise des économies gâce à une meilleue techniue de poduction, une plus gande division du tavail, une plus impotante spécialisation et une plus ationnelle utilisation des éuipements. es déséconomies d échelle se taduisent pa une hausse du coût moyen losue l activité de l entepise devient top impotante, elles touvent leus oigines dans la hausse du coût de contôle ca l entepise devenant top gande est difficilement contôlable. Toutes les entepises passent au début pa une phase d économie d échelle pou atteinde pa la suite une phase de déséconomie d échelle. CMT A C B Economie d'échelle Déséconomie d'échelle * de A à B CM T phase d économie d échelle de B à C CM T phase déséconomie d échelle atteinte de la phase de déséconomie d échelle dépend de la taille de l entepise et de son type d industie (industies loudes : impotant, petites industies : faible). Ainsi la notion d économie ou déséconomie d échelle est impotante, elle pemet au poducteu de décide d accoîte la poduction ou de cée une nouvelle unité de poduction, elle l aide à choisi la taille économiue et techniue optimale de son activité. Cette notion est aussi impotante su un plan maco-économiue sutout en économie de développement. (choix des secteus d investissement, choix des techniues de poduction 17
et des statégies de développement). Cette notion sea epise dans la théoie des coûts à long teme. Section IV a substitution des facteus de poduction 1- élasticité de substitution C est le appot de deux vaiations elatives ui pemet de mesue la modification de / (la technologie) suite à une vaiation de w/ de 1%. Un poducteu choisit sa technologie / en fonction des pix et w des facteus de poduction. Si l un change / vaie, l'objectif est de gade une technologie optimale pa appot aux coûts des facteus. Λ(/) σ / Δ(w/) w/ w. si σ 1 a modification de est aisonnable w. si σ > 1 a modification de est plus impotante ue celle de. entepeneu anticipe l augmentation / pou ête en mesue de faie face à une éventuelle nouvelle modification de w.. σ < 1 C est le cas des paadis fiscaux, l entepeneu modifie d une manièe faible sa technologie pace u il juge la situation est toujous favoable pa appot à son pays d oigine. Plus σ est faible, plus la technologie de poduction est igide et moins elle autoise la substitution des facteus de poduction. σ pemet de gade une technologie optimale en fonction des vaiations des pix des facteus de poduction. Exemple : la fonction Cobb Douglass A α β à l éuilibe TMST à l éuilibe Soit α β-1 BA w α-1 β αa Δ(/) σ / Δ(TMST) TMST t TMST v w β α w 18
Δt σ t Δv o β TMST α v v α β t t β α v dt v σ x dv t α v σ 1 β α v β dt α dv β Ainsi l élasticité de substitution dans le cas de la fonction Cobb Douglass est toujous égale à 1. 2- Effet de substitution et de poduction Supposons ue taux de salaie augmente w v w w > w S E T T S E T S E Exactement comme pou le consommateu : - De E S : effet substitution ( ) - De S T : effet de poduction entepise n aive plus à poduie la même uantité à cause de l augmentation du taux de salaie - De E à T : effet total de l augmentation du taux de salaie. entepeneu a besoin d une subvention pou etouve l isouant initial. Remaue Comme pou le consommateu on pale de poduits nomaux, inféieus ou supéieus, on pale pou le poducteu de facteus de poduction inféieus, supéieus ou nomaux. 19