Su d physiqu 1 CCP PC 014 coigé pou l'ups poposé pa Philipp Bol (phibol@numicablf Sévin Mnsch (svinmnsch@wanadoof : mci d nous signal ou poblèm qui nous auai échappé! Poblèm I : un vol n ballon 11 Saiqu ds fluids incompssibls 111 qusion d cous : l équilib du fluid soumis à son poids aux focs d pssion impos apès calculs (1 gad P=μ g soi, n pocion su l'ax Oz (vical ascndan dp dz = μ g 11 l'inégaion d la laion pécédn dans l cas d'un fluid incompssibl s'éci : P (z=p o μ gz où P o =P (z=0 113 Enoncé du héoèm d'achimèd : la ésulan ds focs d pssion s'xçan su un cops solid oalmn immgé dans un fluid s l'opposé du poids du fluid déplacé La poussé d'achimèd s'appliqu au cn d gavié du liquid déplacé, l solid éan homogèn ainsi qu l fluid, c's n fai l cn géoméiqu du P a paallélépipèd Ls focs d pssion xcn un ésulan non null, la noion d coupl d osion n's pas appopié Fallai-il calcul l momn d c foc? Pa appo à qul poin? 1 Modèl d l'amosphè isohm 11 loi ds gaz pafais : PV=nR ou P=μ R Α ( 11 inégaion d l'équaion (1 avc (' μ=p Α R soi dp P = g Α dz d'où R P (z=p o xp( z R avc H = hauu caacéisiqu d la décoissanc H g Α d P AN : H = 8,31 80 3=8, km 9,8 910 13 AN P=1013 xp( 1,465/8,19=847 hpa
14 l ub d oiclli s un ub mpli d mcu nvsé su un cuv llmêm mpli d mcu La hauu d mcu san dans l ub donn la pssion local : h B A P B ~P sa P A =P am P A =P B +μ Hg ghμ Hg gh n négligan la pssion d vapu sauan du mcu, donc au Puy d Dôm h= P μ Hg g 847 10 AN : h= h= 9,8 1,35 10 =64cm 4 15 l'équaion (' donn dicmn μ(z=μ o xp( z H pou un colonn smi-infini d scion a la mass s m= μ(za dz=a μ o H =ap Α R o 0 R g Α = ap o ou nco mg=ap g o l poids d la colonn d'ai d scion a s égal à la foc d pssion xcé au nivau du sol su c sufac a, ésula qui adui la condiion d'équilib d l'ai n's donc pas supnan 16 On pu ainsi considé qu la couch d'amosphè a un mass M = SP o g où S=sufac d la S =4 π R AN : M =4 π(6380 10 3 1013 10 =5,3 10 18 kg négligabl dvan la mass d la 9,8 ( 6 10 4 kg 13 Poussé d'achimèd dans un pofil xponnil d pssion 131 l vcu z s consan, donc A z = A z =( P n ds z = P z ds : Σ Σ A z s bin l flux d P ( z z au avs S 13 d'où d'apès l héoèm d Gn Osogadsky d iv ( P z dxdydz où C s l volum limié pa la sufac xéiu du A z = C cops, donc finalmn l volum du cops 133 Dévloppmn limié d l'xponnill auou d z G : xp( z H xp ( z G H ( z z G H ( P o xp( z H o d iv( P z = z xp( z G H +(z z G H xp ( z G H = P o H xp( z H d'où d iv( P z P o H [xp( z G H (z z G H xp( z G H +( z z G xp( z G H H ] avc P o H xp( z G H = P o A R g xp( z G H =μ o xp( z G H g=μ(z G g
donc A z = g μ( z G (1 ( z z G C H +( z z G dxdydz H l pmi m vau M, pa définiion d G l duxièm m n (z-z G s nul, nfin pou l oisièm m on uilis la décomposiion poposé d (z-z G pou connaî J x +J y -J z finalmn on obin bin : A z =[M + J +J J x y z ] g 4H 134 L'applicaion simpl du héoèm d'achimèd consis à éci A z =Mg, Δ A l'u laiv commis s donc z = J + J J x y z donc pou un ballon A z 4MH sphéiqu pou lqul J x = J y = J z = MR Δ A z = R 5 A z 10H avc ls valus numéiqus poposés ou à fai négligabl 14 Ballon à ai chaud dans un amosphè isohm Δ A z 0 = A z 10(8, 10 3 =5,910 7 : l'u s 141 L ballon conin d l'ai, considéé comm un gaz pafai, à la pssion xéiu la mpéau c donc μ c =P (z Α alos qu pou l'ai à l'xéiu R c μ(z=p (z Α R donc μ c =μ(z c 14 l ballon s'élèv sponanémn si la poussé d'achimèd (ésulan ds focs d pssion xcés pa l'ai xéiu su l ballon s d nom supéiu au poids oal : nvlopp+nacll+ai chaud il fau donc μ o V =m o m+m ai avc m ai =μ c V =μ o c V =m o c la mpéau c minimum véifi m o =m+m o min d'où min = m o m o m 143 si l'ai à l'inéiu s poé à un mpéau supéiu à min l ballon va mon, il s'équiliba losqu la poussé d'achimèd compnsa xacmn l poids : μ( zv =m+μ c V =m+μ( z V d'où z max l qu μ( z max = m c c V ( c avc ouous μ( z=μ o xp( z H donc z (m, =H ln( m ( o c f max c m c m 144 on chch ici V : V = c μ(z ( c avc c = +60=340K AN μ(z =P oa /(R c xp( Z / H =10 5 9 10 3 /(8,31 80xp( 1/8,=1,10 kg m 3 V =500340/(601,10=,610 3 m 3 c qui cospond à un ballon sphéiqu d 8,5m d ayon 145 l pmi pincip appliqué à l'ai iniialmn connu dans l ballon los d
l'élévaion isoba d mpéau s'éci Q=Δ H =C p ( c avc C p =nc pm où n s la quanié d maiè d'ai iniialmn connu dans l ballon : n= m o A (q : un pai d c ai s'échapp du ballon los du chauffag puisqu la pssion s consan On obin ainsi Q 1 = m o A C p, m ( c 146 los d l'éap, si on ffcu ous ls éaps au sol, la laion éabli au 141 s'éci : μ =μ f o, la mass d'ai concné pa c éap s m =μ i V l pmi pincip pou c mass c éap s'éci δ Q =n C p, m ( +1 =μ V A C p, m ( +1 =μ o V A C p,m ( +1 147 si on considè qu chaqu éap s infiniésimal, Q s déminé n inégan la laion pécédn pou d= +1 - vaian n C Q = δq =μ o V A C c p, m d D'où Q =m o A C p,m ln( c q : ls xpssions d Q 1 Q son bin équivalns pou c poch d
Su d physiqu 1 CCP PC 014 coigé pou l'ups poposé pa Philipp Bol (phibol@numicablf Sévin Mnsch (svinmnsch@wanadoof : mci d nous signal ou poblèm qui nous auai échappé! Poblèm II : Qulqus poblèms d diffusion hmiqu II1 Gadin d mpéau -II11 Soi un élémn d volum d, d scion A d lagu dx Effcuons un bilan d éngi n n su c sysèm n ls insans +d : du d du( d d ( Q, x Q, xdx ( x, n l absnc d m d poducion inn, soi nco c A dx d d x En égim saionnai : A Q ( 0 dx d dx d ( x d ( x Avc la loi d Foui Q gad( x u x on obin 0 dx dx La soluion s (x=ax+b soi avc ls condiions aux limis i ( x x i -II1 d( x dx i Q u x u x, Q, x A d Q x dx A d Pa définiion ( A Q ds u x soi i i ( A ds ( A A A A L flux hmiqu s indépndan d la scion considéé, donc n x=/ ou aillus pu impo! C popiéé s confom à un égim saionnai, n l absnc d m d céaion [ ] L On pu éci l équaion aux dimnsions : [ ] [ Puissanc] L L ou n foncion ds dimnsions fondamnals [ ] M L 1 1 L 1 1 M L soi n Wm -1 K -1 -II13 En supposan qu l mancho possèd ds plums paou mêm su la ê ls fsss l ai à considé s l ai A 1 =(a +(4al=a(a+l AN A 1 =0,m 1 i O (x Pofil linéai x D où i -II14 En uilisan la coninuié du flux hmiqu n x=0, P1 ( A1 A1 P1 P1 AN =4,010 - Wm -1 K -1 A ( a( a ( 1 i i -II15 Pou l nsmbl ds nufs manchos A 9 = (9a +(43al=a(9a+6l AN A 9 =0,78m i Pa coninuié on calcul la puissanc oal méaboliqu nécssai P9 ( A9 A9 AN P 9 =177W Rappoé à un mancho, ll vau P =P 9 /9 L facu d éducion dû à c «compomn social hmoégulau vau alos P /P 1 =0,40!
II Equaion d la chalu -II1 L phénomèn d ansf hmiqu pa conducion s un phénomèn d anspo d éngi sans déplacmn d maiè appan à l échll macoscopiqu Naullmn à l échll micoscopiqu, pa chocs, ls paiculs ls plus agiés ds zons chauds cèdn d l éngi aux paiculs ls moins agiés ds zons foids andis qu l phénomèn d ansf hmiqu pa convcion povin du déplacmn d nsmbl d maiè, à l échll macoscopiqu Losqu cs dux phénomèns xisn comm dans un fluid, alos l ansf pa convcion s n généal considéé l plus fficac -II On mplac la soluion G (, dans l équaion d la chalu : G D G G(, Ls difféns ms donnn apès calculs : G 3 / 5 / 3 ( C xp C C 5 / 5 / G 3 / ( C xp G C C ; 3 / ( C 1 xp C C C Pa idnificaion : C=4D donc avc la définiion du x n=4 1 -II3 Au voisinag d O, O ( G (0, ; lim 3 / O ( 0 la mpéau n O (4 D décoî n -3/ s annul aux gands valus d On chch l ayon R( d la sphè don la mpéau s supéiu à O (/ gâc à l inégalié ( O 3 / R 1 3 / G ( R, ( 4 D xp ( 4 D R( 4 D Ln( 4 D D apès la laion pécédn, on pu di qu la diffusion hmiqu s ffcu su un disanc d l od d R( soi d l od d D ( D avc =1/ II3 Diffusion n pésnc d convcion -II31 L inoducion d un nouvll condiion aux limis n =R s n modifi pas l équaion «local» d la chalu à l inéiu d la sphè : D 0 -II3 En =R s, la coninuié du flux hmiqu assu l égalié n l flux diffusif n =R s - flux convcif n =R s + soi : Q(, 4 s ( 4 soi h( s ( l -II33 L changmn d vaiabl consis à un anslaion d mpéau, l équaion d la (, chalu, équaion aux déivés paills, s d la mêm fom : D (, 0 L équaion (, d coninuié dvin : h s( -II34 On mplac la soluion (,=f(g( dans l équaion d la chalu : f ( g'( D f '( g( f ''( g( 0
D g'( soi n divisan pa l podui f(g(, la laion chché f '( f ''( f ( g( Dans l équaion pécédn, l mmb d doi s un foncion d uniqumn clui d gauch d uniqumn, dux vaiabls indépndans Pou qu cs dux foncions sn égals qulqu D g'( soin, lls doivn ê égals à un mêm consan éll K : f '( f ''( K f ( g( La soluion s éci g(=axp(k avc K négaif pou évi ou phénomèn d divgnc dans l mps Posons K=-1/ A=g(0 : g( g(0 xp sin( ' -II35 On chch un soluion du yp f ( J no ici l cofficin, la noaion ayan déà éé uilisé n II3 'cos( ' sin( ' On calcul f '( ' sin( ' 'cos( ' sin( ' f ''( 3 1 E on mplac dans l équaion D f '( f ''( K f ( f (, il vin apès simplificaion sin( ' sin( ' D ' laion valabl qulqu soi à condiion qu D ' 1 sin( ' ' Au voisinag d =0 f ( ' donc lim f ( ' 0 (, -II36 La condiion h s( s éci apès simplificaion f '( R h f ( R soi s s En muliplian pa sin( ' R cos( x h R chché 1 x s Nu sin( x s 'cos( ' R s sin( ' sin( ' h R s n posan x= R s on obin bin la laion -II37 Au voisinag d 0 : x cos( x 1 3 x x On sin( x x x 1 6 6 3 x x x f ( x 1 xcog( x 1 1 1 6 3 L acé d f(x donn su [0,4], naullmn qulqu soi la valu d Nu posiiv il xis un voi un infinié d acin à la qusion pécédn -II38 Pou x ' D On n considè ici qu la plus pi valu d x soi su l invall [0,] x Si Nu<<1 alos f(x nd vs 0 ; soi f ( x ou 3 N u Nu la laion chché 3 D R ṣ 3 D Nu
Si Nu>>1 alos f(x nd vs ; soi x pou la plus pi valu la laion chché D -II39 AN Nu=1,6610 - <<1 donc =8,4310 3 s=h0 R ṣ