Équations et racines

CHAPITRE III Équatons et racnes III.1. Quadratques et cubques Équatons quadratques. On dspose de formules pour la résoluton des équatons quadratques (c est à dre du second degré). En fat, la résoluton de ces équatons remonte à la Babylone antque, et est lée à dvers problèmes de carrés. Partons d un problème smple (et classque) : trouver deux nombres connassant leur somme et leur produt. On sat le résoudre a pror, en utlsant une des plus ancennes denttés remarquable : ( ) x + y 2 ( ) x y 2 = + xy. 2 2 Connassant la somme S = x + y et le produt P = xy, on tre la dfférence D = x y par la formule (S ) D 2 2 = P, 2 pus les valeurs de x = S 2 + D 2 et y = S 2 D 2 sot (III.1.1) x = S 2 + (S 2 ) 2 P et y = S 2 + (S ) 2 P. Notons qu l est tout auss facle de trouver deux nombres connassant leur dfférence et leur produt. Sot mantenant une équaton quadratque : 2 (III.1.2) ax 2 + bx + c = 0. On peut multpler (plutôt que dvser) par a, on obtent a 2 x 2 + bax + ca = 0. Posant y = ax, on se ramène alors à une équaton du type y 2 + by + ca = 0. En fat dans l Antquté, on ne consdère que des égaltés entre nombres postfs. Donc par exemple, une équaton du type carré plus nombre égal chose sot 21

22 III. ÉQUATIONS ET RACINES (III.1.3) y 2 + P = Sy. On vot le len avec le problème précédent : s S = x + y est la somme de deux nombres, et P = xy leur produt alors Sy = xy + y 2 = P + y 2. Trouver x et y dont on connaît la somme S et le produt P revent donc à résoudre l équaton III.1.3. De nos jours (et de manère équvalente), on présente les racnes de l équaton générale III.1.2 sous la forme x = b ± b 2 4ac. 2a Formules de Cardan. Les racnes d une équaton cubque (c est à dre de degré 3) séxprment de même par des formules publées par Cardan en 1545 (dtes formules de Cardan), découvertes plus tôt par Scpone Del Ferro pus par Tartagla (qu les avat montrées à Cardan sous la condton de ne pas les dvulguer!). On cherche à résoudre l équaton ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. On peut d abord multpler par a 2 et se ramener à l équaton a 3 x 3 + ba 2 x 2 + ca 2 x + da 2 = 0 pus noter que les deux premers termes a 3 x 3 +ba 2 x 2 sont ceux du développement de (ax + b/3) 3. S on fat le changement de varable y = ax + b/3 on obtent alors l équaton y 3 + (ca b 2 /3)y + da 2 + 2b 3 /27 (abc)/3 = 0. S on sat résoudre cette équaton en y on sat alors résoudre l équaton ntale, en revenant à x = y/a b/3a. Tout revent donc à résoudre une équaton sans terme carré, qu on écrra sous forme rédute (III.1.4) y 3 py q = 0. On cherche une soluton sous la forme y = u + v. On dot alors avor (III.1.5) (u + v) 3 p(u + v) q = 0. Rappelant l dentté remarquable (u + v) 3 = u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 = u 3 + v 3 + 3uv(u + v) et reportant dans l équaton III.1.5, on tre u 3 + v 3 + (u + v)(3uv p) q = 0.

III.1. QUADRATIQUES ET CUBIQUES 23 Mas alors l sufft que u et v vérfent les relatons 3uv = p Sot encore u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = (p/3) 3 u 3 + v 3 = q On retrouve le problème classque de trouver deux nombres connassant leur somme et leur produt! On pose ( q ) 2 ( p 3 = 2 3) c est le dscrmnant de l équaton. Des formules III.1.1 rappelées plus haut, on tre u 3 = q 2 + et v 3 = q 2. D où la formule qu donne la racne y = u + v de l équaton cubque : y = 3 q 2 + + 3 q 2. Remarques III.1.1. 1) En général, l y tros racnes cubques dans le corps des complexes donc tros chox pour u connassant u 3 = q 2 +. Ayant chos une racne cubque pour u, alors v est unquement détermné pusque u et v sont lés par la relaton 3uv = p. Aux tros racnes cubques pour u correspondent donc les tros racnes (dstnctes ou confondues) de l équaton de degré 3. 2) Une équaton de degré 4 peut se ramener à une cubque ans que l a montré Ludovco Ferrar, un dscple de Cardan. On dt que les équatons de degré 2, 3 et 4 sont résolubles par radcaux : les racnes s exprment par des formules fasant ntervenr des radcaux (racne carrées, cubques ou quatrèmes). Paolo Ruffn en 1799, pus le norvégen Nels Abel et enfn le franças Evarste Galos ont montré que de telles formules n exstaent pas pour les équatons de degré 5 ou plus. Apparton des nombres complexes. Cardan a noté que l équaton x 3 = 15x + 4 avat la racne évdente α = 4. Or les formules donnent u 3 v 3 = (p/3) 3 = 125 u 3 + v 3 = 4 sot = ( 4 2 ( 2) 15 ) 3 3 = 121. Le calcul de u 3 et v 3 état donc réputé mpossble. Notant que 121 = (11) 2, on serat amené à écrre u 3 = 2 + 11 1 et v 3 = 2 11 1.

24 III. ÉQUATIONS ET RACINES Cardan a alors ntrodut la noton de nombre sophstque. S on pouvat calculer avec 1 on retrouverat ben u 3 v 3 = (2 + 11 1)(2 11 1) = 4 (11 1) 2 = 4 + 121 = 125 u 3 + v 3 = (2 + 11 1) + (2 11 1) = 4 Cette approche a été reprse par Rafaelle Bombell (1526-1573) dans l Algebra. Ans l serat faux de dre que les nombres complexes ont été créés pour nventer des racnes magnares : au contrare, ls sont apparus pour nterpréter des formules devant condure à des racnes ben réelles. III.2. Coeffcents et racnes On a vu le len entre somme et produt des racnes pour l équaton quadratque, l remonte à l Antquté. Cardan avat auss noté certanes relatons entre la somme des racnes d une cubque et ses coeffcents ; des résultats dans le même sens furent obtenus par Franços Vète qu fut l un des premers à consdérer les équatons avec paramètres, c est à dre dont les coeffcents eux-mêmes sont des lettres et non des nombres. Les théorèmes généraux sont pour une grande part dus à Isaac Newton. Fonctons symétrques élémentares des racnes. Défnton III.2.1. Soent (x 1,..., x n ) n éléments (dstncts ou confondus) d un corps K. On appelle fonctons symétrques élémentares de ces éléments les expressons σ 1 (x 1,..., x n ) = x, somme des x, σ 2 (x 1,..., x n ) = <j x x j, somme des produts deux à deux des x,... σ n (x 1,..., x n ) = x, produt des x. Consdérons mantenant les n racnes complexes (dstnctes ou répétées chacune autant de fos que leur multplcté) d un polynôme de degré n. Théorème III.2.2. Sot f = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 un polynôme complexe de degré n. Alors les fonctons symétrques élémentares de ses racnes sont lées aux coeffcents par les relatons : σ 1 = a n 1,..., σ k = ( 1) k a n k,...,, σ n = ( 1) n a 0. a n a n a n Démonstraton. S les racnes de f sont x 1,..., x n, on a f = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 = a n (x x ). Dvsant par a n on se ramène à un polynôme untare f = x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 = (x x ). a n a n On peut alors développer le produt et dentfer les coeffcents et pour se convancre des relatons, rasonner par récurrence sur n.

Pour n = 2, on a ben III.2. COEFFICIENTS ET RACINES 25 (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2. Notons σ 1,..., σ n 1 les fonctons symétrques élémentares des n 1 premères racnes x 1,..., x n 1. Par hypothèse de récurrence, on a (x x ) = x n 1 +... + ( 1) k 1 σ k 1 xn k + ( 1) k σ k xn k 1 +.... n 1 Multplant n 1 (x x ) par (x x n ) on obtent un polynôme dont le terme de degré n k à pour coeffcent ( x n )( 1) k 1 σ k 1 + ( 1)k σ k = ( 1)k ( x n σ k 1 + σ k). Il reste à vérfer qu on a ben σ k = x n σ k 1 + σ k. En effet, σ k est la somme des produts k à k des racnes, et donc des produts k à k des n 1 premères racnes (de somme σ k ) et des produts de x n avec les produts k 1 à k 1 des n 1 premères racnes (de somme σ k 1 ). Identtés de Newton. Les denttés de Newton permettent de calculer par récurrence les sommes des pussances des racnes. On note S k = xk la somme des pussances k-èmes des racnes. (On note en partculer qu on a S 0 = x0 = n.) Théorème III.2.3. Sot f = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 un polynôme complexe de degré n. Alors, pour k n, on a les relatons et pour k n, les relatons a n S k + a n 1 S k 1 +... + a n k+1 S 1 + ka n k = 0 a n S k + a n 1 S k 1 +... + a 0 S k n = 0. Démonstraton. 1) Pour k n, l sufft de noter que pour toute racne x on a a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 0. Multplant par x k n, on obtent a n x k + a n 1 x k 1 +... + a 0 x k n. Ajoutant terme à terme les n relatons (pour chacune des racnes), on obtent les relatons de Newton. 2) Pour k n, on exprme de deux manères dfférentes la dérvée f de f. On a d abord (III.2.1) f = na n x n 1 +... + (n k)a n k x n k 1 +.... Ensute, écrvant f = a n (x x ), on montre par récurrence sur n, en applquant la formule de la dérvée d un produt, qu on a f = f où f = f. x x

26 III. ÉQUATIONS ET RACINES Comme f(x ) = 0, on peut écrre, pour tout f = f(x) f(x ) x x = a n x n x n x x Applquant les denttés remarquables x n 1 x n 1 + a n 1 x x +... + a 1 x x x x. on obtent x k x k = (x x )(x k 1 + x x k 2 +... + x k 1 ) f = a n x n 1 +... + [a n x k + a n 1 x k 1 +... + a n k ]x n k 1 +.... Ajoutant entre-eux tous les f, on arrve à (III.2.2) f = na n x n 1 +...+[a n S k +a n 1 S k 1 +...+na n k ]x n k 1 +.... Identfant les coeffcents de degré n k 1 entre III.2.1 et III.2.2, on obtent (n k)a n k = a n S k + a n 1 S k 1 +... + na n k dont on tre les relatons de Newton. Coeffcents enters, solutons entères. Proposton III.2.4. Sot f = x n + a n 1 x n 1 +... + a 0, un polynôme untare à coeffcents enters. S f admet une racne ratonnelle α, alors α est un enter et l dvse le terme constant a 0. Démonstraton. Sot α = a/b une racne ratonnelle qu on peut supposer sous forme rréductble (et de dénomnateur postf). On a multplant par b n on tre f(α) = (a/b) n + a n 1 (a/b) n 1 +... + a 0 = 0 a n = b ( a n 1 a n 1 +... + a 0 b n 1). Tout facteur premer p de b dvse a n donc dvse auss a. Ayant supposé la fracton sous forme rréductble, b n admet aucun tel facteur p. Autrement dt, b = 1 et α = a est un enter (relatf). Par alleurs on peut auss écrre a 0 = a ( a n 1 + a n 1 a n 2 +... + a 1 ) donc α = a dvse a 0. Exemple III.2.5. Le polynôme f = x 3 2 n admet aucune racne ratonnelle. En effet une telle racne serat un enter dvseur de 2. Il sufft de vérfer que 1, 1, 2, 2 ne sont pas racnes de f. Comme l est de degré 3, ce polynôme est donc rréductble sur Q [Proposton II.2.3].

III.3. LA RÈGLE ET LE COMPAS 27 III.3. La règle et le compas Constructons géométrques. Avec une règle et un compas, on peut réalser des constructons géométrques. On connaît les plus classques : médatrce d un segment, bssectrce d un angle, parallèle à une drote, etc. on peut auss cter la constructon du pentagone réguler (dont on dt que les pythagorcens avaent fat leur emblème). Tros problèmes fameux ont été posés dès l Antquté : La trsecton de l angle : donné un angle θ, le partager en tros angles égaux (chacun de valeur θ/3). La duplcaton du cube : donné un cube, construre un segment qu sot le côté du cube de volume double (de même que le carré construt sur la dagonale d un carré a une surface double que le carré donné). La quadrature du cercle : donné un cercle, construre un carré de même surface que le dsque ans consdéré. Pour résoudre certans de ces problèmes, les grecs ont parfos utlsé d autres outls que la règle (la drote) et le compas (le cercle). Ans, au IVème sècle avant Jésus Chrst, Menechme avat déjà montré comment réalser la duplcaton du cube par ntersecton de deux conques : à l ntersecton d une parabole (d équaton y = x 2 ) et d une hyperbole (d équaton y = 2/x) est le pont A d abcsse 3 2. Cette approche a été systématquement développée par le mathématcen et poète Omar Khayyam au XIIème sècle pour la résoluton des équatons cubques. Néanmons, on cherche c à détermner quels problèmes ont une soluton à la règle et au compas seuls : partant d un ensemble de ponts qu défnssent la fgure ntale, on ne s autorse qu à jondre deux de ces ponts par une drote ou à tracer un cercle de centre un pont donné et passant par un autre de ces ponts. L ntersecton de deux drotes, de deux cercles ou d un cercle et d une drote est alors un pont obtenu par constructon à la règle et au compas. Ce nouveau pont peut ensute être utlsé dans une étape suvante, selon les mêmes prncpes. Usage de coordonnées et nombres constructbles. René Descartes, dans le célèbre Dscours de la Méthode, ramène les problèmes géométrques de constructon à la détermnaton des nombres qu peuvent mesurer les lgnes construtes (par lgne l désgne ce qu on appelle aujourd hu un segment de drote). Il explque comment, à partr de segments de longueur α et β, on peut (faclement) construre à la règle et au compas des segments de longueur α + β, α β, αβ, α/β. Il explque auss comment passer de x à x. En fat, partant d un segment OA de longueur unté, on peut mener la drote portant O et A et construre la perpendculare en O, autrement dt, on peut consdérer un système d axes orthonormé.

28 III. ÉQUATIONS ET RACINES Lemme III.3.1. A partr d un système orthonormé, on peut construre le pont B de coordonnées (x, y) à la règle et au compas s et seulement s on peut construre des segments de longueurs x et y. Démonstraton. Ayant B on peut construre ses projectons H et Q sur les axes et les segments OH et OK sont respectvement de longueur x et y. Inversement, on peut reporter les grandeurs x et y sur les axes, donc obtenr H et Q et construre B (à l ntersecton de perpendculares à chacun des axes). Défnton III.3.2. On dt qu un nombre réel x est constructble s, étant donné un système orthonormé (son orgne, ses axes et l unté), on peut construre un pont à la règle et au compas dont x est une coordonnée. Il résulte des travaux de Descartes que les nombres constructbles forment une parte de R qu est fermée pour les quatre opératons arthmétques (somme, dfférence, produt, quotent). On dt qu ls forment un corps. En outre ce corps est fermé pour la racne carrée : s x est constructble, x l est auss. En partculer, se donnant l unté, on obtent tous les enters, mas auss tous les ratonnels et auss les racnes carrées de ratonnels, et ans de sute, on peut ajouter, multpler, dvser et prendre des racnes carrées de 1 nombres constructbles pour en obtenr de nouveaux. Par exemple 2 + 3 est constructble. Corps quadratques, extensons quadratques. Étendant la noton aux complexes, on dt qu une parte K de C est un sous-corps de C s elle est fermée pour les quatre opératons arthmétques : s α et β sont dans K, alors α + β, α β, αβ sont dans K ans que α/β pour β 0. On en connaît déjà tros exemples : la parte formée par l ensemble Q des ratonnels, la parte formée par l ensemble R des réels ans que C lu-même (la parte toute entère). On peut obtenr d autres sous-corps par adjoncton d une racne carrée. S d est un complexe, l résulte du théorème de d Alembert [Théorème II.4.1] que l équaton x 2 = d a toujours au mons une racne dans C. Notant d une racne, on dt que c est une racne carrée de d. Proposton III.3.3. Soent K un sous corps de C, d K et d une racne carrée de d dans C. La parte L de C défne par L = {α + β d α K, β K} est un sous corps de C contenant K et d. Démonstraton. L content K : pour x K, on a x = α + β d en prenant α = x et β = 0. L content d : on a d = α + β d en prenant α = 0 et β = 1. S d est dans K, autrement dt s d est un carré dans K, alors L = K et L est ben un sous corps de C contenant K.

III.3. LA RÈGLE ET LE COMPAS 29 S d n est pas dans K, l faut vérfer que L est fermé pour les quatre opératons arthmétques. Par exemple que l nverse d un élément non nul de L est dans L. C est clar s l s agt d un élément de K, consdérons donc l nverse de α + β d où β 0. On a 1 α + β d = α β d α 2 dβ 2 = α 1 + β 1 d où α 1 = α et β α 2 dβ 2 1 = β sont ben dans K s toutefos ces expressons α 2 dβ 2 ont un sens, c est à dre s le dénomnateur α 2 dβ 2 n est pas nul. Mas c est le cas, snon α 2 = dβ 2 et d = ( α β ) 2 serat un carré dans K. Défntons III.3.4. Soent K un sous corps de C, d un élément de K qu n est pas un carré dans K et d une racne carrée de d dans C. On note K[ d] le sous corps de C défn par K[ d] = {α + β d α K, β K}. On dt que K[ d] est une extenson quadratque de K. On dt en partculer qu une extenson quadratque de Q est un corps quadratque. Exemples III.3.5. Il est d usage de noter (plutôt que 1) une racne carrée de ( 1) dans C. Le corps C des complexes n est ren d autre que l extenson quadratque R[] des réels : C = R[] = {α + β α R, β R}. On peut de même consdérer le corps quadratque Q[] : Q[] = {α + β α Q, β Q}. On a auss le corps quadratque Q[ 2] : Q[ 2] = {α + β 2 α Q, β Q}. Sute d extensons quadratques. On a vu que les ratonnels sont des nombres constructbles. La racne carrée d un nombre ratonnel est constructble, donc les éléments un corps quadratque réel (contenu dans R) sont constructbles. Plus généralement, comme la racne carrée d un nombre constructble est constructble, s on a une sute de sous-corps de R Q = K 0 K 1... K n tels que chacun est une extenson quadratque du précédent, alors les éléments de K n sont constructbles. En fat, l s agt d une caractérsaton des nombres constructbles : Théorème III.3.6. Un nombre x est constructble s et seulement s l exste une sute de sous-corps de R : Q = K 0 K 1... K n tels que chacun est une extenson quadratque du précédent et x K n.

30 III. ÉQUATIONS ET RACINES Démonstraton. S l exste une telle sute, on a vu que les éléments de K n sont constructbles, l nous reste à montrer que s x est constructble alors l exste une telle sute. La fgure dont on part est formée de l orgne O et du pont A d abcsse 1 sur l axe des x. Leurs coordonnées sont des éléments de Q (en fat, 0 et 1). Supposons, par récurrence, qu après un certan nombre de constructons (ntersectons de drotes et de cercles), tous les ponts qu on a obtenu ont leur coordonnées dans un corps K = K n 1 obtenu par n 1 extensons quadratques successves. Fasons une nouvelle constructon, à partr de ces ponts, en dstnguant les cas : 1) Intersecton de deux drotes. Jognant deux ponts A 1 et A 1 de coordonnées respectves (a 1, b 1 ) et (a 1, b 1 ), on consdère une drote d équaton (x a 1 )(b 1 b 1 ) (y b 1 )(a 1 a 1 ) = 0. De même la drote jognant A 2 et A 2 de coordonnées (a 2, b 2 ) et (a 2, b 2 ) a pour équaton (x a 2 )(b 2 b 2 ) (y b 2 )(a 2 a 2 ) = 0. Par hypothèse les coordonnées des ponts donnés sont dans K n 1. Trouver les coordonnées de l ntersecton de ces drotes revent donc à résoudre un système d équatons lnéares à coeffcents dans K n 1 de la forme α 1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 Les solutons s obtennent par des opératons arthmétques élémentares sur les coeffcents, elles sont donc encore dans K = K n 1. 2) Intersecton d une drote et d un cercle. Supposons construts le pont Ω de coordonnées (p, q), ans qu un segment de longueur r. Par hypothèse de récurrence, p, q et r sont dans K. Le cercle de centre Ω et de rayon r a pour équaton (x p) 2 + (y q) 2 r 2 = 0. Trouver les coordonnées de l ntersecton de ce cercle et d une drote passant par deux ponts déjà construts, c est résoudre un système de la forme αx + βy = γ x 2 + y 2 + α x + β y + γ = 0 Élmnant y, on arrve à une équaton quadratque ax 2 + bx + c = 0 où a, b et c sont dans K, car ls s obtennent par des opératons arthmétques élémentares sur les coeffcents des équatons de la drote et du cercle. Dre que la drote coupe le cercle, c est dre que cette équaton a des solutons réelles, donc que son dscrmnant = b 2 4ac est postf. Les solutons de l équaton, à savor b± 2a appartennent alors à l extenson quadratque K n = K[ ] de K = K n 1.

III.3. LA RÈGLE ET LE COMPAS 31 3) Intersecton de deux cercles. Cette fos on dot résoudre le système x 2 + y 2 + αx + βy + γ = 0 x 2 + y 2 + α x + β y + γ = 0 Soustrayant les deux équatons, on se ramène au problème de l ntersecton d un cercle et de la drote d équaton Constructons mpossbles. (α α )x + (β β )y + (γ γ ) = 0. Proposton III.3.7. S x est un nombre constructble et racne d une équaton cubque à coeffcents ratonnels, alors cette équaton admet au mons une racne ratonnelle. Démonstraton. On rasonne sur une équaton cubque rédute, c est à dre qu on suppose x racne d un polynôme f de la forme f = x 3 px q. D après le théorème III.3.6, comme x est constructble, l exste une sute de sous-corps de R : Q = K 0 K 1... K n tels que chacun est une extenson quadratque du précédent et x K n. On montre que f admet au mons une racne dans K n 1. On montrerat de même que f admet une racne dans K n 2 et ans de sute, jusqu à K 0 = Q. Pour smplfer, on note K = K n 1. Alors K n = K[ d] où d K n est pas un carré dans K et x = α + β d, avec α, β dans K. S β = 0, alors la racne x = α est elle même dans K. S β 0, montrons que y = α β d est une autre racne de l équaton. Comme x est racne de f on a f(x) = (α + β d) 3 p(α + β d) q = α 1 + β 1 d = 0 où α 1 = α 3 + 3dαβ 2 pα q, et β 1 = 3α 2 β + dβ 3 pβ sont dans K. En fat ( ) 2 β 1 = 0. Snon α 1 + β 1 d = 0 et d = α 1 β 1, sot d = α1 β 1 et d serat un carré dans K. Mas alors on a auss α 1 = 0 (pusque α 1 + β 1 d = 0). On peut donc conclure qu on a f(y) = (α β d) 3 p(α β d) q = α 1 β 1 d = 0. Par alleurs, comme le polynôme f n a pas de terme de degré 2, la somme de ses racnes est nulle [Théorème III.2.2]. Dans C, le polynôme f admet tros racnes : x, y et une trosème racne z. Pour fnr, on peut vor que cette trosème racne est en fat dans le corps K, en effet z = (x + y) = ( (α + β d) + (α β d) ) = 2α.

32 III. ÉQUATIONS ET RACINES On peut mantenant conclure à l mpossblté des constructons fameuses de l Antquté : La trsecton de l angle : l est par exemple mpossble de réalser la trsecton des angles d un trangle équlatéral. Donné un segment OA de longueur unté, on sat construre un trangle équlatéral de côté OA, ce qu revent, étant donné le cercle trgonométrque (de centre 0 de rayon 1), à construre la drote qu fat avec l axe des x l angle π 3. Réalser la trsecton revendrat à construre la drote qu fat avec l axe des x l angle π 9. Les coordonnées du pont correspondant sur le cercle, soent cos( π 9 ), sn( π 9 ), seraent alors des nombres constructbles. On rappelle la relaton cos(3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ). Comme cos( π 3 ) = 1 2, on vot que cos( π 9 ) est racne de l équaton cubque 8x 3 6x 1 = 0. Posons ξ = 2 cos( π 9 ), ξ est racne du polynôme f = x 3 3x 1. S ξ état constructble, f devrat avor une racne ratonnelle, mas l résulte de la proposton III.2.4 que ce n est pas le cas (l sufft de vérfer que n 1 n 1 ne sont racnes de f). La duplcaton du cube : s la duplcaton du cube état possble, le nombre 3 2 serat constructble. Le polynôme x 3 2 devrat alors avor une racne ratonnelle. On a vu que ce n état pas le cas [Exemple III.2.5]. La quadrature du cercle : C est à Perre-Laurent Wantzel qu on dot d avor montré l mpossblté de la trsecton de l angle et de la duplcaton du cube dans la Recherche sur les moyens de reconnaître s un problème de géométre peut se résoudre à la règle et au compas publée en 1837. L mpossblté de la quadrature du cercle est plus dffcle. Donné un cercle de rayon 1, l faut construre un carré de même are donc de côté π. Cela revent à dre que π est un nombre constructble. S c état le cas, π serat également constructble. Johann Henrch Lambert (1728-1777), collègue d Euler et Lagrange à l académe des scences de Berln, avat montré que π n est pas un nombre ratonnel, n la racne carrée d un nombre ratonnel. En fat π n est pas d avantage une racne carrée de racne carrée n une racne cubque, n même la racne d aucune équaton algébrque à coeffcents ratonnels, on dt que c est un nombre transcendant. Ce résultat à été établ par Ferdnand von Lndemann (1852-1939) en 1882. On peut en dédure que π n est pas constructble et mettre ans fn à une quête de près de 25 sècles!