NOMRES OMPLEXES RPPELS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Ensemble N : ensemble des enters naturels. L addton et la multplcaton de enters naturels donnent un enter naturel. La soustracton et la dvson de enters naturels ne donnent pas toujours un enter naturel. Ensemble : ensemble des enters relatfs. L addton, la soustracton et la multplcatons de enters relatfs donnent un enter relatf. La dvson de enters relatfs ne donne pas toujours un enter relatf. a Ensemble Q : ensemble des nombres ratonnels ( a et b * b L addton, la soustracton, la multplcaton et la dvson de nombres ratonnels donnent un nombre ratonnel (*. ( * Pour la dvson, le dvseur dot être dfférent de 0 ( b0 Ensemble D : ensemble des nombres décmaux. est un sous ensemble de Q. Les décmaux sont des nombres de Q dont b est un multple de 5 ou de. Ensemble R : ensemble des nombres réels. Dans tous les ensembles précédents, les racnes d un nombre n est pas toujours dans cet ensemble. Dans R on peut fare tous les calculs sauf les racnes d ordre par d un nombre négatf. Ensemble : ensemble des nombres complexes.
Dans on peut fare tous les calculs comprs les racnes d ordre par d un nombre négatf. On ntrodut un nombre dt magnare noté tel que = - On notera alors un nombre complexe z = x + x est dte parte réelle et la parte magnare ( x et sont des nombres réels. Le nombre complexe z correspond alors sur le plan à un pont M de coordonnées x et. On dt que le pont M a pour affxe z et que le nombre complexe z a pour mage le pont M. FORMES D UN NOMRE OMPLEXE Forme algébrque L écrture z = x+ est appelée forme algébrque du nombre complexe z. ( x et sont des nombres réels. x et représentent respectvement l abscsse et l ordonnée du pont M. Forme trgonométrque La dem-drote OM détermne avec l axe des abscsses, un angle θ appelé argument du nombre complexe z. La dstance OM est appelée module du nombre complexe z. On le notera z ou r Le théorème de Pthagore applqué dans le trangle OHM ( fgure c-dessous : x + = r
D où r x Par alleurs, toujours dans le trangle OHM : cos x r et sn r On peut alors écrre z sous la forme suvante, dte trgonométrque. z= r ( cosθ + snθ Forme exponentelle Le nombre complexe z s écrt z =x+ ( forme algébrque ; z= r ( cosθ+ snθ ( forme trgonométrque ou encore z = r e θ ( forme dte exponentelle. Remarque : On peut passer d une forme à une autre en utlsant les relatons précédentes. Exemple : Le nombre complexe z a pour module
r et pour argument θ défn par : cos et sn sot (à k près Le nombre complexe z s écrt alors : z ( cos sn ou z e ONJUGUE D UN NOMRE OMPLEXE On appelle conjugué du nombre complexe z = x+ le nombre complexe qu on note z x. Les ponts M et N d affxes respectves z et l axe des abscsses (axe des cosnus. sont smétrques par rapport à OPERTIONS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Somme de nombre complexes Soent = x + et = x + deux nombres complexes. Le nombre complexe z = z + z = x + + x + + = (x + x + ( + Produt de nombre complexes Soent = x + et = x + deux nombres complexes.
Le nombre complexe = = ( x + ( x + = x x + x + x - = (x x + ( x + x Quotent de nombre complexes Soent = x + et = x + deux nombres complexes. Le nombre complexe = / = ( x + / ( x + s écrt, en multplant par le nombre complexe conjugué de, on obtent : z z ( x ( x ( x Exemples : S = + et = + alors : + = 5+4 - = - ( x x ( x ( x x = (+(+=6 + 9 + + 9 = - + z z ( ( ( ( ( 9 7 partr des écrtures des nombres complexes et sous leurs formes trgonométrques ou exponentelles, on dédut les résultats suvants : Produt de deux nombres complexes : Le module du produt de deux nombres complexes est égal au produt de leurs modules respectfs. L argument du produt de deux nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments respectfs. Quotent de deux nombres complexes : Le module du quotent de deux nombres complexes est égal au quotent de leurs modules respectfs.
L argument du quotent de deux nombres complexes est égal à la dfférence de leurs arguments respectfs. OPERTIONS SUR LES NOMRES OMPLEXES ONJUGUES onséquences mmédates de la défnton z x z z x z z et z Re( z x Im( z z z rg( z rg( z k On peut auss vérfer que : Le conjugué d une somme de nombres complexes et égale à la somme des conjugués. Le conjugué d un produt de nombres complexes et égal au produt des conjugués. Le conjugué d un quotent de nombres complexes et égale à au quotent des conjugués. FORMUES DE MOIVRE ET D EULER En utlsant les proprétés de la foncton exponentelle : x p px e e x n nx Sot e e ou encore n cos x sn x cosnx sn nx ( formule de Movre Par alleurs, des égaltés suvantes e e x x cos x sn x cos x sn x
La somme et la dfférence membre à membre donnent les deux formules suvantes dtes Formules d Euler : cos x e x e x sn x e x e x pplcaton de la formule de Movre à la lnéarsaton des fonctons crculares Exemple : Lnéarser cos x La méthode consste à développer ( cosx + snx d une part par le bnôme de Newton et d autre part par la formule de Movre. On Obtent alors une égalté de deux nombres complexes. Développement par la formule du bnôme cos x snx cos x cos x snx sn x cos x snx cos x sn x cos x snx (* Formule Movre cos x snx cos x snx (** L égalté de (* et (** donne, pour les partes réelles : cos x cos x sn x (*** Sachant que cos x sn x on a alors : cos x cos x Sot : cos x cos x Remarque : On aurat pu remplacer dans (*** le cosnus en foncton du snus Sachant que sn x cos x on a alors : cos x sn x
Sot : sn x cos x Exemple : Lnéarser cos x Développement : cos x snx cos x cos x ( snx cos xsnx ( snx cosx snx cos x cosx sn x (cos x snx sn x (* Formule de Movre cosx snx cosx snx (** L égalté de deux nombres complexes (* et (** réelles respectves donne, pour leurs partes cos x cosx sn x cosx (*** Dans cette dernère égalté (***, on remplace sn x par -cos x cos cos x cosx ( cos x cosx cos 4cos x cosx cosx x cosx x cosx sot cos x cosx cosx 4 RINES D UN NOMRE OMPLEXES Racnes carrées ( En utlsant la forme algébrque : Sot = a+b hercher les racnes carrées de consste à trouver un nombre complexe + tel que (+ = a+b En développant, on trouve
a ( Egalté des partes réelles b ( Egalté des partes magnares Pour faclter la résoluton de ce sstème, on ntrodut l égalté des modules ( deux nombres complexes égaux ont leurs modules égaux a ( Egalté des partes réelles a b b ( Egalté des partes magnares L addton membre des deux premères équatons permet de trouver. Exemple : Trouver les racnes carrées de -4 Le sstème précédent s écrt : ( Egalté des partes réelles 4 5 ( Egalté des mod ules 4 ( Egalté des partes magnares On trouve = 4 sot = ce qu donne = Ou =- ce qu donne =- Les racnes carrées de -4 sont : + et --. Exemple : Trouver les racnes carrées de Par le même procédé, on obtent : 0 0 ( Egalté ( Egalté des partes réelles ( Egalté des mod ules des partes magnares On trouve = / sot =/ Ou = -/ ce qu donne =/ ce qu donne = -/ Les racnes carrées de sont (/ ( + et (- / ( + Racnes carrées ( En utlsant la forme trgonométrque :
Exemple : Racne carrée de + On écrt + sous la forme trgonométrque On cherche un nombre complexe ρ(cosθ + snθ que : (cos sn (cos sn ou On trouve : k k 6 et(cos cos sn sn( Pour x 6 on a : ère racne donnée par (cos sn 6 6 Pour 7 x 6 on a : ème racne donnée par 7 7 (cos sn 6 6 EQUTIONS DU SEOND DEGRE Dans l ensemble des nombres complexes, toutes les équatons ont des solutons. ns, les trnômes du second degré ont des racnes même s le dscrmnant est négatf. La résoluton des équatons du second degré se fat de la même manère que dans les nombres réels. Exemple Résoudre dans : z + z +=0 Le dscrmnant de ce trnôme est égal à - ou Les solutons s écrvent alors : et Exemple : z (+4 z + 5- =0 Le dscrmnant de cette équaton est égal à
[ ( 4] 4(( 5 4 Les solutons sont données par : 4 4 4 4 et On calcule alors les racnes de -+4 ( Egalté des partes réelles ( 4 5 ( Egalté des mod ules 4 ( Egalté des partes magnares On obtent : = sot = et = c'est-à-dre + Ou =- et =- c'est-à-dre -- Il sufft de prendre une de ces deux racnes carrées et les remplacer dans les solutons de l équaton. Les solutons de l équaton sont alors : 4 4 4 4 et 4 ( 4 6 et 4 ( NOMRES OMPLEXES ET GEOMETRIE On onsdère un repère orthonormé (O,,j Soent et les mages des nombres complexes = x + et = x +
La longueur est égale au module du nombre complexe ( - = x ( ( x (x x ( et (x x ( L angle formé par et l axe des abscsses est égale à l argument de ( - Sot M le pont tel que les vecteurs et Om soent égaux. On a : OI,OM OI,,OM OI, Or OI,OM rg( rg( M ar les vecteurs OM et O sont égaux et ( M ( OI, rg( L angle formé par les vecteurs et d est égal à l argument du D nombre complexe
onsdérons 4 ponts,, et D à dstncts d affxes respectves,, et D. On a : (, D (, OI (OI, D (OI, (OI, D rg( D rg, rg( D (, D rg D Transformatons ponctuelles et nombres complexes La transformaton ponctuelle assocée à a+ où a est un nombre complexe donné est la translaton de vecteur O, étant le pont d affxe a. Récproquement, s t est une translaton de vecteur U d affxe a et s le pont M d affxe est transformé en son mage M d affxe par la translaton t alors on a = + a
La transformaton ponctuelle assocée à e centre O ( orgne du repère et d angle. est la rotaton de Récproquement, s r est une rotaton de centre O ( orgne du repère et d angle ; s le pont M d affxe est transformé par r en un pont M d affxe alors on a : = e.
Quelques consels d utlsaton des nombres complexes en géométre L égalté sgnfe M = M et donc M est sur la médatrce de. ( et sont les affxes respectves de et L égalté r sgnfe que M est sur le cercle de centre et de raon r ( étant l affxe de Pour démontrer que ponts, et dstncts d affxes respectves, et, sont algnés, on peut utlser 0 rg 4 Pour démontrer que et D sont perpendculares,,, et D d affxes respectves,, et D, on peut utlser ou rg D 5 Pour démontrer que le trangle est équlatéral,,, d affxes respectves,,, on peut utlser et ou rg Exemple On consdère dans un repère orthonormé les ponts, et d affxes respectves ; ; On veut montrer que les drotes et sont perpendculares. On calcule rg rg rg rg Les drotes et sont ben perpendculares.