BANQUE D EPREUVES DUT-BTS - SESSION - EPREUVE DE MECANIQUE CODE EPREUVE : BE-MECA CALCULATRICE INTERDITE DUREE : h3
Question 1 On considèe une poute de Benouilli, en matéiau homogène, isotope de module d Young E. Le poids pope de la poute est négligeable. Sa section doite est ectangulaie et la longueu de la poute est L. Elle est encastée en A et soumise à effots ponctuels en B et C tels que : FB = P1 x (P 1 > ) = P x (P > ) FC Les positions des difféents points ainsi que les dimensions de la section sont données su le schéma. A B F B F C C x L L z h b (A) La éaction de l encastement en A est : = (P - P ) x R A 1 (B) Quelles que soient les valeus de P 1 et P (toujous positives), le tonçon B - C est toujous soumis à des containtes de compession. (C) Si P 1 = P, le tonçon A B n est pas containt. (D) Si P 1 < P, la containte de compession maximum en valeu absolue a lieu dans le tonçon A B et est égale à : P1 P σ = b h (E) La défomation dans le tonçon B C est égale à : P ε = E b h Question On considèe un coude de vilebequin fomé de touillons T1 et T, de bas B3 et B4, et d un maneton M5 (voi schéma ci-dessous). Les masses espectives de ces éléments sont notées m 1, m, m 3, m 4 et m 5. Leus centes d inetie espectifs sont notés G 1, G, G 3, G 4 et G 5. On suppose que les touillons et le maneton sont des clindes pafaits de section ciculaie.
Les bas sont des paallélépipèdes supposés pafaits. Les dimensions, points et axes sont pécisés su le schéma. On note Σ l ensemble T1 + T + B3 + B4 + M5. B3 M5 B4 T1 T d D O x z (A) L équilibage statique du coude de vilebequin pa appot à l axe (, x) otation du vilebequin) est éalisé. (B) La matice d inetie de l ensemble Σ au point O dans la base ( x,, z) fome : I Σ ( O, x,,z) A = B C O (axe de est de la (C) Le maneton M5 étant un clinde de aon R 5, de hauteu h 5, de masse m 5, de cente d inetie noté G 5, son moment d inetie pa appot à l axe (, x) est : (D) L axe (, x) m5 ( G, x) = ( 3R h ) I M5 5 5 + 1 O est axe pincipal d inetie pou l ensemble Σ. (E) Le moment d inetie du maneton M5 pa appot à l axe (, x) 5 O est : G 5 3
m5 R 5 I M5( O, x) = + m5 D Question 3 On considèe toujous le coude de vilebequin de la question pécédente. (A) Le cente d inetie de l ensemble Σ est le point G tel que : OG = m d + m 4 d + m m + m + m 3 4 5 D 3 5 (B) L équilibage dnamique du coude de vilebequin pa appot à l axe (, x) éalisé. O est On considèe maintenant un coude «allégé», où les touillons, les bas et le maneton ont été alésés (voi schéma ci-dessous). On suppose les alésages pafaits, de aons 1 et pou les bas, et de aon 5 pou le maneton. B3 M5 B4 T1 O T d D x z (C) Le cente d inetie este inchangé pou chacun des solides. (D) La fome de la matice d inetie du coude allégé au point O dans la base ( x,, z) modifiée pa appot à celle du coude «plein». (E) Le moment d inetie du touillon T1 pa appot à l axe (, x) G 1 est maintenant : est 4
I T1 m1 ( G, x) = ( R ) 1 1 1 Question 4 On considèe le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous. Ce mécanisme est constitué : - d un bâti S - d un bas coudé S 1 en liaison glissièe avec le bâti S. - d une oue munie d un bas S en liaison pivot avec le bas coudé S 1 et en contact ponctuel en I avec le bâti S - d un galet S 3 en liaison pivot glissant avec le bas lié à S. i schéma) : - soit vetical ascendant. - ( O, ) : axe de la liaison glissièe 1. - ( O, z ) = ( O 1, z 1 ) : axe de la liaison pivot 1. - ( O, ) : axe de la liaison pivot glissant 3. A chaque solide S i (pou i =, 1, ), on lie un epèe noté R ( O, x,, z ) x i i i tels que (voi Le galet S 3 est considéé comme une masse ponctuelle au point O 3. On ne lui attache donc aucun epèe. Les dimensions, points et axes sont pécisés su le schéma cinématique. Éléments de géométie des masses : - S 1 a pou masse m 1, pou cente d inetie G 1 tel que : O1G1 = a x1 + b 1 (a, b >) - S a pou masse m, pou cente d inetie G tel que O G = c x (c > ) et pou matice d inetie en G dans la base : A IS ( G, x,,z ) = B C - S 3 est une masse ponctuelle m 3 en O 3. Hpothèses : - Le epèe lié au bâti est supposé galiléen. - Les liaisons - 1, 1 - et - 3 du mécanisme sont supposées pafaites. Notation : dans tout le poblème, le toseu des Actions Mécaniques Tansmissibles pa un solide S i su un solide S j en un point quelconque P sea noté : 5
X ij Fi / j = Yij Z ij F b i/j le numéo de la base étant pécisé en indice. L ij M i / j( P) = M ij N ij b On paamète le sstème de la façon suivante (voi schéma ci-dessous) : - mouvement de S 1 / S : = OO1?, 1 - mouvement de S / S 1 : ψ = ( x, x 1 ) - mouvement de S 3 / S : x = O O3? x 1 x 3 = O? O1,1 A 1 I O 1 = O ψ O 3 x 1 1 x ψ x 1 O R x = O? O3 x x 1 (A) La vitesse de glissement au point I de pa appot à est : V ( I) = (& R ψ& ) 6
On détemine la vitesse du point O 3 pa appot à pa la méthode de composition des mouvements en considéant le mouvement de S 3 pa appot à S. (B) La vitesse elative est alos : V O = x& x ( 3) (C) La vitesse d entaînement est : V O = x ψ& ( 3) Pou calcule l accéléation du point O 3 pa appot au bâti, on utilise à nouveau la méthode de composition des mouvements en considéant le mouvement de S 3 pa appot à S. (D) L accéléation d entaînement expimée dans la base est alos : γ ( O ) 3 x ψ& = x& ψ & + x ψ& (E) L accéléation de Coiolis expimée dans la base est égale à : γ O = x& ψ& Co ( 3) Question 5 On considèe toujous le mécanisme de la question pécédente. (A) Le toseu des actions mécaniques execées pa le solide S su le solide S 3 au point O dans la base est de la fome : F /3 M F / 3 / 3 = Y3 Z 3 ( O ) = M N 3 3 (B) Le théoème de la Résultante Dnamique appliqué à l ensemble (S + S 3 ) s écit : o o m γ G + m γ O = (m + m )g + F + F + ( ) 3 ( 3) 1 1/ / 3 / F (g : accéléation de la pesanteu). 7
On suppose qu un actionneu monté ente S et S 1 exece su S 1 le toseu d actions mécaniques suivant : FA /1 = F F A/1 M ( A )= A /1 1 (C) La ésultante de tous les effots extéieus s exeçant su S 1 est : F ext /1 X 1 = F m1 g Z 1 X 1 et Z 1 : composantes de la ésultante des actions mécaniques de su 1 expimée dans la base. (D) Le moment dnamique du solide S 1 dans son mouvement pa appot à est nul. (E) Le moment dnamique du solide S en O dans son mouvement pa appot à est : δ O = C ψ&& ( ) z Question 6 On considèe toujous le mécanisme des questions pécédentes. (A) Le moment dnamique de S 3 au point O dans son mouvement pa appot à se calcule pa : δ O = O O m γ ( ) ( ) 3 3 3 O3 On suppose qu il a glissement au contact ponctuel en I ente et et que le fottement sec n est pas négligeable (coefficient de fottement f). Le toseu des actions mécaniques de su est alos de la fome : X F / = Y F / Z M ( I)= / (B) La Loi de Coulomb appliquée aux effots au contact en I implique d une pat : Z = (C) et d aute pat : X = f Y 8
Si on suppose qu il n a pas glissement au contact en I : (D) Les paamètes de mouvement x, ψ et ne sont plus indépendants. (E) La condition pou que l hpothèse de non-glissement soit véifiée est : X > f Y 9
Question 7 On considèe un sstème vis-écou, comme tansfomateu de mouvement. Le mouvement d entée est la otation, sa féquence est de n tous/ min et le mouvement de sotie est la tanslation, de x mm : (A) La loi entée-sotie est de la fome x = (p.n)/z, où z est le nombe de filet de la vis et p le pas en mm/tou. (B) La loi entée-sotie peut aussi s expime pa x = z.(p/π).θ, où p est le pas en mm. (C) Un sstème vis-écou ne peut fonctionne comme tansfomateu de mouvement que si les mouvements sont conjugués. (D) Pou assue la tansfomation de mouvement, si la vis possède le mouvement de tanslation, alos l écou doit ête immobilisé en tanslation. (E) Pou assue la tansfomation de mouvement, si l écou possède le mouvement de otation et le mouvement de tanslation, alos la vis doit ête immobile. Question 8 On considèe un sstème bielle-manivelle, qui tansfome un mouvement de tanslation en otation, comme dans le cas d un moteu themique. On appelle OA = R = excentation su le vilebequin. On appelle AB = L = la longueu de la bielle. On note ω la vitesse angulaie du vilebequin, déivée de l angle θ pa appot au temps, et x B la position, pa appot à un epèe considéé comme fixe, du point B point commun à la bielle et au coulisseau. L oigine pou mesue x B est le cente de otation du vilebequin. (A) La position du point B est donnée pa la elation x B.R.x B.cos(θ) = L R. (B) La position du point B est donnée pa la elation x B = L R. (C) On choisit de constuie un appot L/R = 3 pou évite deux extemums d accéléations. (D) On choisit de constuie un appot L/R = _ pou évite les chocs dans les liaisons. (E) On obtient une loi de sotie, x B = f(θ), pafaitement sinusoïdale si la bielle a une longueu telle que L/R = 5. Question 9 On considèe un abe clindique dans un moeu. On appelle l la longueu commune et d le diamète commun, en contact ente l abe et l alésage du moeu. (A) Si l abe est seé dans le moeu, comme dans une boche de tou et que l/d >,6, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison complète. 1
(B) Si l abe est seé dans le moeu, comme dans une boche de tou et que l/d <,, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison otule. (C) Si l abe est guidé en otation dans l alésage, comme dans un palie lisse, alos la loi d évolution de la tangente de l angle de otulage ente l abe et l alésage, angle ente l axe de l abe et l axe de l alésage, en fonction du appot l/d a une allue hpebolique. (D) Si l abe est guidé en otation dans l alésage, comme dans un palie lisse, et que l/d <,5, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison otule. (E) La difféence d appéciation, les valeus limites pou l/d sont difféentes ente les items (B) et (D), ente le cas seé et le cas guidé, ci dessus, est due à la pise en compte du jeu. Question 1 Si on considèe un sstème vis-écou comme sstème de tansfomation de mouvement, (A) Si la vis est à filet tapézoïdal, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente 5 et 3 µm. (B) Si la vis est à filet tapézoïdal, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente mm et 5 mm. (C) Si la vis est une vis à billes, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu de mm. (D) Si la vis est une vis à billes, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente 5 et µm. (E) L ode de gandeu du jeu axial est divisé pa dix pou une vis à bille pa appot à une vis à filet tapézoïdal. Question 11 Considéons le sstème à came de la distibution d un moteu themique automobile à essence. Ce sstème tansfome la otation de l abe à came en tanslation des soupapes, afin d assue, d une pat, l admission du mélange ai-essence et d aute pat l échappement des gaz bûlés. (A) Dans le cas d un abe à came en tête, la vitesse de otation de l abe à came, pa appot au bâti considéé comme fixe, est le double de celle du vilebequin. (B) Dans le cas d un abe à came en tête, la vitesse de otation de l abe à came, pa appot au bâti considéé comme fixe, est la moitié de celle du vilebequin. (C) Pou une même loi de levée, le pofil de la came n aua pas la même fome selon que le suiveu, c est-à-die la pièce en contact avec la came, est un plateau ou un galet. 11
(D) Dans le cas d une came dont le suiveu est un plateau, le pofil de came est difféent de la loi de levée. (E) Les cames d un abe à came sont cémentées puis nituées, avant d ête tempées. Question 1 On considèe l abe d un éducteu de vitesse à engenage, guidé en otation su deux oulements. Un pignon est centé ente les oulements et un aute en pote-à-faux à doite du montage, selon la figue ci-dessous. On modélise de la façon suivante, en considéant tous les éléments indéfomables et un jeu adial dans les oulements notés j et j. j j δ α L a (A) Dans la configuation du schéma ci-dessus, on obtient la déflexion en bout d abe δ, qui vaut δ = j.(1+a/l), en considéant que j = j. (B) Dans la configuation du schéma ci-dessus, on obtient la déflexion en bout d abe δ, qui vaut δ = j.(1+a/l), en considéant que j = j. (C) Les jeux adiaux seont plus impotants si les oulements sont à billes à contact adial que si les oulements sont à ouleaux coniques. (D) Un oulement à ouleaux coniques peut admette un otulage maximum de 1. (E) L angle de otulage α, qui va ête imposé aux oulements dans la configuation de la figue, est calculable pa la elation tanα = j/l. 1