Les mesures de tendance centrale

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CHAPITRE 7 Les mesures de tedace cetrale Les mesures de tedace cetrale servet à caractériser ue série statistique à l aide d ue valeur ou d ue modalité typique. Il existe trois mesures possibles : le mode, la médiae et la moyee. 1. Le mode 1.1. Itroductio au mode. Débutos par la défiitio du mode d ue distributio. Défiitio 7.1 (Le mode). Le mode d ue série de doées correspod à la valeur ou à la modalité la plus fréquete. O ote le mode par Mo. Cette mesure est valide pour les variables qualitatives et quatitatives et pour tous les types d échelle de mesure. Regardos u exemple. Exemple 7.1. Soit le tableau suivat : Ici, Mo est Carla Brui, Tab. 1. Répartitios, e pourcetage, des votes aux électios muicipales. Cadidat Pourcetage des votes (% ) Joël Allard 13 Carla Brui 45 Jules Vere 4 Richard Zetik 18 Total 100 car c est la modalité qui possède la plus grade fréquece. 1.. Variables regroupées e classes. Lorsque les doées sot regroupées e classe, il est plus difficile de parler du mode. O détermiera alors la classe modale. Celle-ci correspod à la classe possédat la plus grade fréquece. Il faut cepedat s assurer que toutes les classes sot de la même dimesio, sio la classe modale est pas représetative. Das le cas où il y a ue classe ouverte, il y a habituellemet aucu problème, car il s agit de cas margiaux. 7

8 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE Exemple 7.. Soit le tableau suivat : Tab.. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, 87-195. Durée du rège Nombre de moarques 0-10 10-0 16 0-30 11 30-40 7 40-50 1 50-60 3 60-... 1 Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. Ici, la classe modale est 0 10. Si l o est vraimet détermié à calculer le mode, o peut predre le milieu de la classe modale, c est-à-dire que Mo = 5 das le derier exemple. 1.3. Variables sas mode. Il faut cepedat faire attetio avec la représetativité du mode. L exemple suivat démotrera ce que ous voulos dire. Exemple 7.3. Soit les résultats suivats : Si l o se fie à la dé- Tab. 3. Répartitios des 135 étudiats du cours de Méthodes quatitatives H08 selo leur jour de aissace. Jours Nombre de moarques Ludi 18 Mardi 0 Mercredi Jeudi 19 Vedredi 0 Samedi 17 Dimache 19 Total 135 Source : La tête du prof!! fiitio du mode, ous avos que Mo = Mercredi. Par cotre, o e peut pas vraimet affirmer que c est la modalité qui reviet le plus

. LA MÉDIANE 9 souvet puisqu elle e se distigue pas des autres. O remarque que les fréqueces sot assez uiformémet distribuées. Das le cas où le mode est pas révélateur, o dit que la variable a pas de mode. 1.4. Distributio bimodale. Ue distributio est dite bimodale si sa variable possède deux modalités ou valeurs qui se distiguet des autres e terme de fréqueces. Exemple 7.4. Voici la distributio des étudiats d u cours selo la ote de leur devoir. O remarque que le ombre d étudiats ayat Répartitio des otes d u devoir de 50 étudiats du cours de méthodes quatitatives 15 Fréquece 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Note Fig. 1. Exemple de distributio bimodale. obteus u 9 est supérieur aux autres. Par cotre, le ombre d étudiats ayat obteus u 4 est sesiblemet le même. Ces deux valeurs se démarquet des autres otes. O a doc deux modes, soit 4 et 9.. La médiae Pour trouver la médiae, ous devos placer les valeurs ou les modalités e ordre croissat. Aisi, cette mesure est pas valide pour des variables à échelle omiale, car il y a pas d ordre das les modalités. La médiae correspod à la modalité ou la valeur qui divise la distributio e deux, c est-à-dire qu il y a la même fréquece à gauche et à droite de la médiae. Regardos commet détermier cette mesure.

30 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE.1. Médiae pour ue variable qualitative ordiale. Pour détermier la valeur de la médiae, il faut tout d abord placer les résultats e ordre croissat. Par la suite, o trouve la positio de la médiae. Celle-ci est +1 si est pair et si est impair ( état le ombre de doées). Exemple 7.5. O a demadé à 5 persoes la qualité de la ourriture servie à la cafétéria. Les ges utilisaiet ue échelle de 1 à 5, 5 état Excellete et 1 Médiocre. Voici la série de résultats :, 4, 3, 4,, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 3,,3, 4,5, 3,5, 4,3 Puisque = 5, la positio de la médiae se trouve à la positio 5+1 = 13 des doées placées e ordre croissat.,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 ßÞÐ 13e Aisi, la médiae, otée Me, est Me = 4., 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Exemple 7.6. Trouvos la médiae des doées suivates : Puisque Tab. 4. Répartitio des répodats, selo le iveau d aptitude à la lecture. Niveau Nombre de répodats Cumulatif des répodats 1 17 17 3 40 3 55 95 4 155 50 Total 50 = 50 est u ombre pair, la positio de la médiae est doc 50/ = 15. La doée à la positio 15 se trouve das la quatrième classe d où Me = 4... Médiae pour ue variable quatitative. Le calcul de la positio de la valeur de la médiae est légèremet différet que celui pour des variables qualitatives ordiales. Voici la règle : Si est impair: la positio de la valeur médiae est + 1. Si est pair: la valeur de la médiae correspod à la moitié de la somme des valeurs aux positios et + 1. Regardos quelques exemples. Exemple 7.7. Soit la série de 7 doées suivate : 1,, 4, 6, 7, 13, 18

. LA MÉDIANE 31 Trouvos la médiae. Puisque est impair, la positio de la médiae est + 1 = 4. La valeur à la 4 e positio est 6, d où Me = 6. Ajoutos ue doée à cette série et trouvos la médiae. Exemple 7.8. Soit la série de 8 doées suivate : 1,, 4, 6, 7, 9, 13, 18 Puisque est pair, la médiae correspod à la moitié de la somme des valeurs aux positios / et / + 1. Preos doc les valeurs aux positios 4 et 5, c est-a-dire 6 et 7. D où, Me = 6 + 7 = 6.5.3. Médiae pour des variables regroupées e classes. La techique pour détermier la médiae lorsque les doées sot regroupées e classes écessite u peu de réflexio. Étudios la méthode à l aide d u exemple. Exemple 7.9. Trouvos la médiae des doées suivates : Tab. 5. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, 87-195. Durée du rège Nombre de moarques Fréqueces cumulées 0-10 10-0 16 38 0-30 11 49 30-40 7 56 40-50 1 57 50-60 3 60 60-... 1 61 Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. La première étape est de calculer la fréquece cumulée afi de détermier la classe médiae, c est-à-dire la classe qui cotiet la médiae. Ici, il y a 61 doées. Aisi, la médiae se trouve à la positio +1 = 31. Cette positio se trouve das la classe 10 0 que l o omme classe médiae. Il reste à détermier la médiae qui se trouve etre 10 et 0. Pour se faire, il faut utiliser les proportios. O sait que la positio de la valeur 10 est plus petite que. De même, celle de la valeur de 0 est iférieur 38. O cherche la valeur de la doée de la positio

3 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE 31. O cherche à garder le même rapport de valeurs etre les positios pour toute la classe. Aisi, 0 10 Me 10 = 38 31. E isolat Me, o obtiet Me = 15.6. 3. La moyee La moyee est la mesure de tedace cetrale la plus coue. O la ote x ou µ selo si les doées correspodet à u échatillo ou ue populatio. Regardos la défiitio géérale de la moyee. Défiitio 7. (Moyee). Soit ue série de doées x 1, x, x 3,..., x. La moyee de cette distributio est doée par la formule x = x 1 + x + x 3 +... + x. O écrit souvet la moyee sous ue forme abrégée x = 1 Exemple 7.10. Trouver la moyee de la série de 5 doées suivate : k=1 x k., 4, 3, 4,, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 5,4, 3,, 3,4, 5,3, 5,4, 3. x = x 1 + x + x 3 +... + x = x 1 + x + x 3 +... + x 5 5 = 1 5 ( + 4 + 3 + 4 + + 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 5 + 4 + 3 + + 3 + 4 + 5 + 3 + 5 + 4 + 3) = 95 5 =3.76

3. LA MOYENNE 33 3.1. Moyee de doées regroupées par valeurs. Lorsque les doées sot groupées par valeurs, o calcule la moyee à l aide de la formule suivate : où x = 1 k i=1 v i f i = v 1f 1 + v f +... + v k f k, v i est la i-ème valeur f i est la fréquece de la i-ème valeur k est le ombre de valeurs possibles est le ombre de doées Exemple 7.11. Trouvos la moyee des résultats présetés das le tableau suivat : Note obteue à u mii-test Fréqueces 3 3 7 4 8 5 7 Total 5 x = v 1f 1 + v f +... + v k f k = 3 + 3 7 + 4 8 + 5 7 5 = 3.76 3.. Moyee de doées regroupées par classes. Lorsque les doées sot regroupées e classes, o e coaît pas la valeur de la variable pour chaque fréquece. O pred alors le milieu de la classe. La moyee est obteue avec la formule suivate : où x = 1 k i=1 m i f i = m 1f 1 + m f +... + m k f k, m i est le milieu de la i-ème classe f i est la fréquece de la i-ème classe k est le ombre de classes est le ombre de doées Exemple 7.1. Trouvos le temps moye de rège des moarques de l Agleterre. O cherche µ, car c est ue populatio.

34 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE Tab. 6. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, 87-195. Durée du rège Nombre de moarques 0-10 10-0 16 0-30 11 30-40 7 40-50 1 50-60 3 60-70 1 Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. µ = m 1f 1 + m f +... + m 7 f 7 N 5 + 15 16 + 5 11 + 35 7 + 45 1 + 55 3 + 65 1 = 61 = 1145 61 = 18.8 as