EXERCICE 1. Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 1.1. (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ). 1.. (5 )( + 6 ); ( + ) ( ). 1.. 1.. 1.5. 1+ ; 1 ; +. 1+ 7 + + + 1. 1+ α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β) R. 1) α + ( β + 1) 1.1. (5 ) ; ( + ) ; (1 5). 1.1.1. (5 ). 1.1.. ( + ). ( + ) (1 + ) 1.1.. (1 5). (5 ) 5 + 5 5 1 10 10 8 ( 1 + + + ) 8 ( 1 + ) 8 ( + ) 16 ( 1 + ) (5 ) 10 ( + ) 16 + 16 (1 5 ) 1 ( 5 ) + ( 5 ) ( 5 ) 1 5 75 + 5 5 (1 5 ) 7 + 5 1.. (5 )( + 6 ); ( + ) ( ). 1..1. (5 )( + 6 ). (5 )( + 6 ) 5 + 5 6 6 15 + 0 1 + (5 )( + 6 ) 9 + 18
1.. 1 + 1... ( + ) ( ). ( + ) ( ) [( + )( )] ; 1 ; 1 +. 1+ 1..1. 1 +. ( 9 ) (16 + 9) 5 1+ ( 1+ )( + ) ( )( + ) + + + 1 ( + ) ( ) 15 65 1+ 1... 1+ ( )( ) 1+ ( 1+ )( ). 1 + ( ) 1 1+
1 +. 1 + + 1... 1 1 1 + 1 1.. + + + 1 7. + + + 1 7 ( ) + ( + ) ( )( + ) 1 + + 1 + 1 ( ) 7 7 7 + + + 1 7 1.5. 1+ α α + ( α 1) ; ( α + β ) α + ( β + 1) ; (α,β) R. 1.5.1. 1+ α α + ( α 1) 1+ α ( α ) α + ( α 1) ( α α 1) α ( α ) 1 α α + ( α )( α + ). 1+ α α + ( α 1) α + α + 1 α β 1.5.. ( + ) α + ( β + 1) ( α + β ) ( α + β ) ( α ( β + 1) ) α + ( β + 1) ( α + ( β + 1) )( α ( β + 1) ).
( ) α + β ( α β ) α + ( β + 1) ( α + β )( α + β ( α + β )) α + ( β + 1) ( )( α + β α + β + β α ) α + ( β + 1) ( )( α β α β ) ( α β ) + + + α + ( β + 1) α α β β α β ( ) ( ) ( α β + + + ) + αβ α + ( β + 1) ( α + β ) α + ( β + 1) α α β αβ β α β ( ) ( ( ) α β + + + + + ) α + ( β + 1)
EXERCICE. Sot ϕ réel ; z cos ϕ + sn ϕ cos ϕ. 1 Détermner ϕ tel que z 0. S z 0, calculer z 1, z, z, z, z. 1 / Détermnaton de ϕ. L équaton z 0 s écrt, en foncton de ϕ : cos ϕ + sn ϕ cos ϕ 0 cos ϕ ( cos ϕ + sn ϕ ) 0 Il y a donc deux sorte de solutons possbles : cos ϕ 0, sot ϕ π + k π, k Z. cos ϕ + sn ϕ 0, sot e ϕ 0, ce qu est mpossble car e ϕ 1 et un nombre complexe de module 1 ne peut jamas être égal à 0. Les seules solutons du problème sont donc données par : / Pussances de z. ϕ π + k π, k Z. De la relaton : z cos ϕ e ϕ on tre mmédatement les résultats : z 1 e ϕ 1 tan ϕ cosϕ z cos ϕ e ϕ cos ϕ (cos ϕ sn ϕ) + sn ϕ cos ϕ z e ϕ cos ϕ (1 tan ϕ) tan ϕ z cos ϕ e ϕ cos ϕ (cos ϕ + sn ϕ) z e ϕ cos ϕ cos ϕ sn ϕ cos ϕ cos ϕ
EXERCICE. Sot α réel ; z (α )[(10 α) + ( + α) ]. Détermner α tel que z sot réel. Précser, dans ce cas, la valeur de z. Calculons la parte magnare de z : I (z ) (10 α) + α ( + α) α + α 10. Pour que z sot réel, l faut et l sufft que sa parte magnare sot nulle. Cette condton s exprme par l équaton: α + α 10 0. Les solutons de cette équaton sont données par : α ± 9 + 0 ou 5. Il y a donc deux solutons : α. Dans ce cas, z R (z) α (10 α) + + α α + 11 α + + + 0 α 5. Dans ce cas, z R (z) α + 11 α + 5 55 + 8.
EXERCICE. A tout pont M (x,y) du plan rapporté au repère (O,u,v), on assoce le nombre complexe : z [( x y) + (x y) ][x + (x y) ]. Détermner et construre l ensemble des ponts M tels que z sot réel. Pour que z sot réel, l faut et l sufft que sa parte magnare sot nulle : (x y) x + ( x y)(x y) 0 (x y)( x y) 0 L ensemble de ponts M (x,y) tels que z sot réel est donc formé des deux drotes d équatons : y x. C est la premère bssectrce. y x.
EXERCICE 5. 1 Sot : α, β, réels fxés, z 1 cos α + sn α, z cos β + sn β. Détermner la représentaton cartésenne de : Sot j cos z 1 z ; z 1 ; z n 1 pour n N. z π π + sn. Calculer : j ; j ; j n ; 1 + j + j..1. Représentaton cartésenne de nombres complexes. z 1 cos α + sn α e α z cos β + sn β e β z 1 z e α e β e (α + β) cos (α + β) + sn (α + β) z 1 z cos (α + β) + sn (α + β) z1 z e α e β e (α β) cos (α β) + sn (α β) z1 z cos (α β) + sn (α β) z 1 n e n α cos n α + sn n α z 1 n cos n α + sn n α.. Pussances de j. j cos j e π π + sn e π cos π π + sn π j 1 (1 + ) j e 6π e π 1 n π j n e 1 + j + j 1 1 j j 0
EXERCICE 6. Sot z, nombre complexe, u, nombre complexe de module 1, u 1. Démontrer que z u z u est réel. z uz ( z uz )( u ) z uz uz + uuz u ( u)( u ) u u + uu Le dénomnateur est réel, c est le carré du module de 1 u. uz + u z est réel, c est deux fos la parte réelle de uz. Reste à montrer que z + u z est réel, ce qu est clar pusque, par hypothèse, u est de module 1, donc : z + u u z z + u z z + z R(z). z uz u R ( z uz) u est réel.
EXERCICE 7. Sot : z 1 + ; z 1. Détermner le module et un argument de : z 1, z 1 z, z 1, z 1 z, z z1. z 1 e π et z e π entraînent : z 1 e π. z 1 z 8 e π 1 π z 1 1 e z1 e 7 π 1 z z z1 e 7 π 1 et ces formules donnent nstantanément les modules et arguments des nombres complexes calculés.
EXERCICE 8. Détermner le module et un argument de z :.1. z a 1 tanα (a,α) R 1+ tanα.. z 5 + 11 7... z ( 1 ). ( ).1. tan α sn α cosα z a Le module de z est donc a. Un argument de z est : α s a est postf, π α s a est négatf. snα cosα snα 1+ cosα a cosα snα cosα + snα a e α + α e a e α.. z 5 + 11 7 ( 5+ 11 )( 7 + ) ( 7 )( 7 + ) 1 (5 1 + 97 ) 1 + e 97 π Le module de z est donc, et son argument est π, à un multple de π près... 1 e π 1 e π Le module de z est donc 8 z ( ) ( ) et son argument est 7π 1. e 1 π 16 e π 8 e 7π 1.
EXERCICE 9. Résoudre dans, ensemble des nombres complexes de module 1 : z + z' + z" 1 z z' z" 1 z, z, z sont solutons de l équaton (Z z )(Z z )(Z z ) 0 Z (z + z + z ) Z + (z z + z z + z z ) Z z z z 0 Z Z + (z z + z z + z z ) Z 1 0 z z + z z + z z zz ' + z ' z '' + z '' z zz ' + z ' z '' + z '' z 1 + 1 1 zz' z'' z'' z + 1 z' Mas, par hypothèse, z, z et z sont des nombres complexes de module 1 : leur conjugué est donc égal à leur nverse. 1 z z, 1 z, 1 z z' z'' z z + z z + z z z + z + z z + z' + z'' 1, pusque z + z + z 1. Ans, les nombres complexes z, z, z sont les solutons de l équaton : Z Z + Z 1 0 L équaton Z Z + Z 1 0 peut être écrte : Z (Z 1) + Z 1 0, sot (Z 1)(Z + 1) 0. D où les racnes : { z, z, z } { 1,, }
EXERCICE 10. Détermner z, complexe tel que z et z 6 soent conjugués. L équaton défnssant z s écrt : z 6 z. Les solutons réelles sont données par : x 6 x x (x 1) 0 x (x 1)(x + 1) 0 x (x 1)(x + 1)(x + 1) 0 Il y a donc tros solutons réelles : 0, 1, 1. Cherchons les solutons dans le plan complexe. La relaton z 6 z entraîne, en module : z 6 z. Comme z est réel postf, l y a deux solutons : z 0 et z 1. 1 er cas. z 0 entraîne z 0. z 0 e cas. z 1 entraîne z 1 z et la relaton z6 z, que l on peut écrre auss z 6 z s écrt z 6 1 z égal à 1, z ne peut pas être nul et la relaton z 6 1 z Les solutons de l équaton z 8 1, sont données par : z e est équvalente à z 8 1. kπ 8, k 0, 1,,,, 5, 6, 7.. Comme z est z e k π, k 0, 1,,,, 5, 6, 7. Les solutons réelles que nous avons trouvées sont comprses dans les neuf solutons complexes. La soluton x 0 correspond à z 0 (1 er cas), la soluton x 1 correspond à k 0 ( e cas), la soluton x 1 correspond à k ( e cas).
EXERCICE 11. 1 Sot z complexe, z 1, et S n Sot : Σ1 1+ cosθ+ cosθ+ h + cos nθ, Σ 0+ snθ+ sn θ+ h + sn nθ. p n p 0 Calculer Σ 1 + Σ. En dédure Σ 1 et Σ. z p. Exprmer S n en foncton de z et de n. 1 / Somme d une progresson géométrque. Consdérons la somme : S n 1 + z + z + + z n Mulplons les deux membres par z, nous obtenons : z S n z + z + z + + z n +1 Par soustracton membre à membre, l vent : S n z S n 1 z n +1 Comme, par hypothèse, z est dfférent de 1, 1 z est dfférent de 0, on peut dvser les deux membres par 1 z, l reste : D où la formule fnale : S n 1 1 n+ 1 z z 1 + z + z + + z n 1 1 n+ 1 z z / Applcaton à l exponentelle complexe. Consdérons les sommes : Σ 1 1 + cos θ + cos θ + + cos nθ Σ 0 + sn θ + sn θ + + sn nθ En prenant Σ 1 pour parte réelle et Σ pour parte magnare, nous obtenons le nombre complexe : Σ 1 + Σ (1 + cos θ + cos θ + + cos nθ) + (0 + sn θ + sn θ + + sn nθ) Σ 1 + Σ (1 + 0) + (cos θ + sn θ) + (cos θ + sn θ) + + (cos nθ + sn nθ) Σ 1 + Σ 1 + e θ + e θ + + e n θ 1 + z + z + + z n avec z e θ. La formule étable dans la queston 1 donne alors la soluton : Σ 1 + Σ 1 ( n+ 1) θ e θ e Pour séparer faclement la parte réelle et la parte magnare, nous allons transformer cette expresson en mettant en facteur : au numérateur e n +1 θ au dénomnateur e. Il vent : θ
n +1 θ n + 1 n + 1 θ θ Σ 1 + Σ e θ e e θ θ e e e Les formules d Euler donnent : sn n+1 θ e n + 1 e n + 1 θ θ θ θ et sn θ e e d où : Σ 1 + Σ e n +1 θ θ sn n +1 θ θ e sn Σ 1 + Σ e n θ sn n +1 θ (cos n θ + sn n θ ) sn n +1 θ θ sn sn En séparant parte réelle et parte magnare, l vent : Σ 1 cos n θ sn n +1 θ θ sn Σ sn n θ sn n +1 θ θ sn D où les formules : 1 + cos θ + cos θ + + cos nθ cos n sn θ + sn θ + + sn nθ sn n θ sn n +1 θ θ sn θ sn n +1 θ θ sn θ
EXERCICE 1. Sot z 1, z, z, nombres complexes dans le produt est, dont les arguments respectfs θ 1, θ, θ, forment une progresson arthmétque de rason π, et les modules respectfs ρ 1, ρ, ρ, une sute géométrque de rason. Détermner z 1, z, z, et construre leurs mages dans un plan complexe. Les données de l énoncé se tradusent par les relatons : z 1 z z θ θ θ θ 1 π ρ ρ ρ ρ1 z 1 z z ρ 1 ρ ρ e ( θ1 + θ + θ) e π La dernère égalté montre que les modules et arguments de z 1, z, z vérfent : ρ 1 ρ ρ. et θ 1 + θ + θ π + k π (k Z). Le système : θ θ π θ θ 1 π θ 1 + θ + θ π + k π s écrt auss : θ θ π θ θ 1 π θ + θ (θ 1 + θ + θ ) + (θ θ 1 ) π + k π 5 6 Sa soluton est : θ 1 (( θ + θ ) ( θ θ )) π 6 + k π θ θ + π π + k π. θ 1 θ π π 6 + k π Les relatons : ρ ρ 1 ; ρ ρ ; ρ 1 ρ ρ donnent 8 ρ 1, d où ρ 1, ρ. Les solutons cherchées sont donc : Pour k 0 z 1 e π 6 (cos π sn π ) 6 6 z e π 6 (cos π + sn π ) 6 6 z e π. + ( ) ( + ), ρ
Pour k 1 z e z e π π + 6 π π + z 1 z 1 ( ) z ( + ) z. π π + e 6 (cos π + sn π ) ( cos π + sn π ) 6 6 + π ( cos sn π ) 6 6 ( ) ( + ). z 1 z ( ) z ( + ). Pour k z 1 π π + e 6 6 6 π π + 6 z e π π + z e π (cos sn π ) 6 6 ( + ) ( ). z 1 ( + ) z z ( ). Les tros groupes de solutons peuvent être représentés dans le plan complexe : par exemple, le groupe marqué z 1, z, z, est celu pour lequel 0 < θ 1 < π. z z 1 z
EXERCICE 1. Sot a R, n N, et sot, dans C : E 1, équaton en Z : Z n 1 + a. a 1+ z n 1+ a E, équaton en z :. z a 1 Démontrer que toute soluton de E 1 a pour module 1, et que toute soluton de E est réelle. Sot a 0, n. Résoudre E. 1 / Cas général. Comme a est réel, 1 + a est le rapport de deux nombres complexes conjugués : c est donc un nombre complexe a de module 1, pusque son module est le rapport des modules de deux nombres de même module. On a alors : 1+ a Z n Z n 1 Z 1. a La résoluton de l équaton E 1 ramène la résoluton de l équaton E à la résoluton de : 1 + z Z z Lorsque Z est soluton de l équaton E 1, la soluton de l équaton E est donnée par : Z 1 z ( Z + 1) 1 Z 1+ Z ( Z )( 1+ Z ) ( 1+ Z )( 1+ Z ) 1 Z + Z ZZ 1+ Z + Z + ZZ Z + Z pusque ZZ Z 1. + Z + Z I( Z ) z ( 1+ R( Z )) z I ( Z ), 1+ R( Z ) z est un nombre réel, pusque c est le rapport de deux nombres réels. / Cas partculer. Pour a 0 et n, l équaton E 1 s écrt : Z 1. Ses solutons sont { 1, e π π, e }. A chacune de ces 1 + z I( Z ) solutons correspond une soluton de l équaton E : 1. La formule z donne les z 1+ R( Z ) solutons : π π π sn sn cos z 1 0 ; z tan π π π 1+ cos 1+ cos 1 ; z z Les solutons z et z sont opposées car les solutons e π π et e sont conjuguées, et elles donc la même parte réelle et des partes magnares opposées. 1 + z Les solutons de l équaton 1 sont { 0,, } z
EXERCICE 1. On se propose de résoudre dans C : z 6 (1 + ) z + z 11 16 0. Sot H l homothéte de rapport 1, dont le centre est I d affxe ( 1 ). Pour tout pont m, d affxe z, H (m) M, d affxe Z. 1 Calculer Z en foncton de z, pus z en foncton de Z. Démontrer que z est soluton de l équaton proposée s, et seulement s, Z est soluton de : Z 1. Résoudre la seconde équaton. En dédure les solutons de la premère. 1 Etude de l homothéte H. L homothéte H est défne par la relaton : IM 1 par les relatons : Im. Sur les composantes, cette égalté vectorelle se tradut X ( 1) 1 (x ( 1)) et Y ( 1) 1 (y ( 1)) X 1 + 1 (x + 1) et Y 1 + 1 (y + 1) X + Y 1 + 1 + 1 (x + y + 1 + ) sot, en posant h 1, affxe du centre d homothéte I : Z h 1 (z h) Un vecteur est représenté par la dfférence entre l affxe de l extrémté, mons l affxe de l orgne. Z z + h z (1 + ) Z z (1 + ) La relaton récproque donne z en foncton de Z : z Z + (1 + ) Transformaton de l équaton proposée. Pour aboutr à Z 1, calculons le cube de Z z (1 + ) ( Z) (z (1 + )) On a (1 + ). ( Z) z (1 + ) z + (1 + ) ( Z) z (1 + ) z + 8 ( Z) (z (1 + ) z + 8 )(z (1 + )) ( Z) z (1 + ) z + 8 z (1 + ) z + 8 (1 + ) z 16 (1 + ) ( Z) z 6 (1 + ) z + z + 16 16 ( Z) (z 6 (1 + ) z + z 11 16 ) + 7 z 6 (1 + ) z + z 11 16 7 (Z 1) L équaton : z 6 (1 + ) z + z 11 16 0 est donc équvalente à l équaton : Z 1.
Résoluton de l équaton proposée. Les solutons de l équaton Z 1 sont les e k π, k 0, 1,. Les solutons z correspondantes de l équaton : z 6 (1 + ) z + z 11 16 0, sont donc données par : z Z + (1 + ) e k π + (1 + ) cos k π k π + + ( sn + ), avec k 0, 1,. Pour k 0 : z 0 5 +. Pour k 1 : z 1 1 + ( + ). Pour k : z 1 + ( ). L équaton z 6 (1 + ) z + z 11 16 0 admet tros solutons : 1 5 +, + ( + ), 1 + ( ).
EXERCICE 15. 1 / Quel est l ensemble (C) des ponts z du plan complexe vérfant : / Applcaton : k. Défnr (C). z 1 z + 1 k, k constante réelle postve. / On pose Z 1 z + 1 z. Calculer Z 1 Z + 1 en foncton de z. / Quel est l ensemble (C ) décrt par les ponts Z du plan complexe lorsque z décrt le cercle (C )? 5 / Applcaton : k. Défnr (C ). 1 / Ensemble (C). z 1 La relaton k, k constante réelle postve, défnt l ensemble (C) comme l ensemble des ponts dont la z + 1 dstance aux ponts fxes 1 et 1 du plan complexe est une constante. Cet ensemble (C) est donc un cercle du fasceau de cercles à ponts lmtes 1 et 1. On peut le défnr de façon plus précse en établssant son équaton : z 1 ( x 1) + y ; z + 1 ( x + 1) + y ; z 1 z + 1 k (x 1) + y k [ (x + 1) + y ] (k 1) x + (k + 1) x + (k 1) y k. Lorsque k est dfférent de 1, cette relaton équvaut à : k x + k + 1 1 + y k k + 1 1 1 k 1 k ( k 1 ) C est l équaton d un cercle (C) de centre x 1 + k ; y 0 et de rayon r k k k 1 Lorsque k 1, c est-à-dre lorsque k 1 pusque k est une constante postve, l équaton : (k 1) x + (k + 1) x + (k 1) y k se rédut à : x 0 C est l équaton d une dote qu est la médatrce du segment jognant les ponts 1 et +1, c est l axe magnare pur.. / Cas partculer. Dans le cas où k, l équaton du cercle (C ) est : x + 5 + y 16 9
C est l équaton d un cercle de centre x 5 ; y 0 et de rayon r. / Calcul de Z 1 Z + 1 Z 1 Z + 1. 1 1 z + 1 z 1 1 z + + 1 z z z + 1 z + z + 1 ( z 1 ) ( z + 1) z 1 z + 1 / Ensemble (C ). Lorsque z décrt le cercle (C), on a : z 1 z + 1 k, d où Z 1 Z + 1 que les ponts Z sont, lorsque k est dfférent de 1, sur le cercle (C ) de centre R k k 1. Récproquement, s Z est un pont de ce cercle, la relaton Z 1 k. D après la premère queston, cec montre z + 1 z X 1+ k ; Y 0 et de rayon k montre que Z est l mage d un pont z vérfant z z Z +1 0. Dans C, cette équaton a deux racnes z 1 et z vérfant toutes deux la relaton : z 1 z + 1 Z 1 k Z + 1 et l applcaton z Z est une surjecton de (C ) sur (C ). Cec montre que lorsque z décrt le cercle (C), Z décrt le cercle (C ) tout enter. Z 1 Dans le cas partculer où k 1, on a auss 1 et (C ) est auss la médatrce du segment jognant les Z + 1 ponts 1 et +1, c est-à-dre l axe des y. On peut dre que la transformaton Z 1 z + 1 lasse nvarant z dans son ensemble l axe des y. 5 / Applcaton : k. Le cercle (C ) est le cercle de centre X 9 7 ; Y 0 et de rayon R 8 7. 6 / Remarque. Les ponts d ntersecton du cercle (C ) avec l axe des x sont défns par la relaton Y 0 sur le cercle (C ). Ils vérfent donc : Ce sont les ponts : (k 1) X + (k + 1) X k sot, pour k dfférent de 1, X + k k X k k + 1 1 ± k + 1 k 1 1 ; Y 0 sot : X k + 1 k 1 ± k k 1 + 1 1 X + 1 0 ; Y 0
ou X ( k ± 1) ( k 1)( k + 1) ; Y 0 ou encore X k k + 1 1 ; Y 0 et X k k On vot donc que le cercle (C ) passe par le centre du cercle (C) défn par x 1 + k ; y 0. k 1 + 1 ; Y 0
EXERCICE 16. 1 / Détermnez les nombres complexes solutons de l équaton : z 1. / Détermnez sous forme trgonométrque les solutons de l'équaton : z 8 ( 1 ). 6 6 + / Sot a +. Vérfez : a 8 ( 1 ). En dédure sous forme algébrque les résultats du /. / Des questons / et /, dédure les valeurs exactes de cos 11 π 11 π et sn. 1 1 1 / Solutons de l'équaton z 1. L'équaton z 1 s'écrt auss z 1 0, sot ( z 1 ) ( z + 1 ) 0, ou ( z 1 ) ( z + 1 ) ( z ) ( z + ) 0. Ses solutons sont : z 1 z 1 z z / Résoluton de l'équaton z 8 ( 1 ) sous forme trgonométrque. Posons z ρ e θ. L'équaton z 8 ( 1 ) s'écrt ρ e θ 16 ( 1 ) 16 ( cos π sn π ), sot ρ 16 e π. Elle équvaut donc à : Ses solutons sont données par : ρ 16 et e θ e π. ρ et θ π 1 + k π Ces solutons correspondent à quatre nombres complexes. Pour avor les solutons avec un argument comprs entre 0 et π, l faut prendre k 1, k, k, k. D'où les solutons : / Calcul du nombre complexe a. z 1 ( cos 5 π 5 π + sn ) 1 1 z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) z 1 z ( cos ( 5 π 5 π + π ) + sn ( + π ) ) z1 1 1 z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) z 1 a 6 6 + + 6 6 + 6 1 + 6 + 6 6 + 1 + 6 + + 6 + + 6 +
1 + ( ) a ( ) ( + ) ( ) 8 ( 1 ) a 8 ( 1 ) Cette relaton montre que le nombre complexe a est soluton de l'équaton z 8 ( 1 ). C'est donc l'une des quatre solutons trouvées plus haut. Comme le nombre complexe a possède une parte réelle postve et une parte magnare postve, l est stué dans le premer quadrant, c'est donc la soluton z 1. Les solutons de l'équaton z 8 ( 1 ) peuvent alors être écrtes sous forme algébrque : z 1 ( cos 5 π 5 π 6 6 + + sn ) a + 1 1 z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) a 6 + 6 + z ( cos ( 5 π 5 π 6 6 + + π ) + sn ( + π ) ) a 1 1 z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) a 6 + 6 / Valeurs exactes de certans cosnus ou snus. La valeur de z 1 permet d'écrre : cos 5 1 π 6 et sn 5 π 6 + 1 La valeur de z permet d'écrre : cos 11 1 π 6 + et sn 11 π 6 1
EXERCICE 17. λ, α, β étant tros constantes données réelles ou complexes, montrez que les solutons de l'équaton : λ n ( z α ) n ( z β ) n 0 sont toutes sur une même crconférence. Calculez la poston du centre et le rayon de cette crconférence. Exprmer l affxe z c du centre et le rayon t de cette crconférence en foncton de α, β et λ. Remarques prélmnares. Pour n < 0, on peut poser m n et l équaton devent : λ m ( z α ) m ( z β ) m 0 λ m ( z α ) m ( z β ) m λ m ( z α ) m ( z β ) m λ m ( z α ) m ( z β ) m 0 On peut donc supposer n 0, snon on remplacera n par n. Pour n 0, avec λ 0, l équaton s écrt 1 1 0 lorsque z est dfférent de α et de β. La soluton est donc donnée par z α et z β. Le cas n 0 et λ 0 est ndétermné : on l élmne d offce. On supposera désormas n > 0. S λ 0, l équaton se rédut à ( z β ) n 0. Sa seule soluton est z β. Nous supposerons désormas λ 0. k S α β, l équaton se rédut à (z α) n (λ n 1) 0. S λ est racne n-ème de l unté, donc de la forme e n, l équaton est toujours vérfée, quel que sot z : tout nombre complexe z est soluton. S λ n est pas racne n-ème de l unté, la seule soluton est z α β. Dans la sute, nous supposerons donc n enter > 0, λ 0, α β. 1 Résoluton de l équaton. n z β L équaton λ n ( z α ) n ( z β ) n 0 s écrt 1. Sa soluton est donnée par l ensemble des λ( z α ) π z β k racnes n-èmes de l unté : λ( z α ) e n, k 0, 1,, n 1. On en dédut : π z β λ (z α)e k n k k z (1 λ e n ) β α λ e n Deux cas sont alors à envsager : ou ben λ est l une des racnes n-èmes de l unté, et dans ce cas, λ n 1. L équaton de départ est : (z α) n (z β) n π Ses solutons sont données par z β k z α e n : π k z β α e n, π k e n avec k 1,,, n 1. La soluton qu correspondrat à k 0 est exclue par la condton α β. π π π
k ou ben λ n est pas racne n-ème de l unté, et, dans ce cas, 1 λ e n est toujours dfférent de 0. Les solutons sont données par : π k z β α λ e n, k 0, 1,, n 1. π k λ e n Sous cette forme, on n est guère rensegné sur la poston des solutons de l équaton dans le plan complexe. Nous verrons que, dans certans cas, ces solutons sont algnées, dans d autres cas, elles sont sur un même cercle. Les solutons sont sur un même cercle ou sur une même drote. Soent M, A, B, les ponts d affxes respectves z, α, β. n z β z β La relaton 1 entraîne 1, sot z β λ z α. λ( z α ) λ( z α ) 1 er cas : λ 1. La relaton s écrt : z β z α ou encore BM AM. e cas : λ 1. Les solutons sont sur la médatrce du segment AB. Comme les modules sont nombres réels postfs, cette relaton est équvalente à z β λ z α. Sous forme géométrque, cette relaton s exprme par : BM λ AM BM λ AM 0 ( BM + λ AM ).( BM λ AM ) 0 Introdusons le barycentre I des ponts B et A affectés respectvement des coeffcents 1 et λ. Il est défn par : (1 + λ ) OI OB + λ OA Son affxe z I vérfe donc : (1 + λ ) z I β + λ α z I β + λ α 1 + λ et pont tout pont M du plan, la proprété suvante est vrae : (1 + λ ) IM BM + λ AM Consdérons mantenant le barycentre J des ponts B et A affectés respectvement des coeffcents 1 et λ. Il est défn par : Son affxe z I vérfe donc : Pour λ 1, l vent : et, pour tout pont M du plan : (1 λ ) OJ OB λ OA (1 λ ) z J β λ α z J β λ α 1 λ (1 λ ) JM BM λ AM π
La proprété : ( BM + λ AM ).( BM λ AM ) 0 s écrt alors : (1 λ ) IM. JM 0 Pour λ 1, cette relaton est équvalente à IM. JM 0. Cette dernère relaton montre que les vecteurs IM et JM sont perpendculares, donc : Les solutons de l équaton sont, pour λ 1, sur le cercle de damètre IJ. Le centre C du cercle est le mleu du segment IJ. Le rayon r du cercle est la moté du damètre IJ. L affxe de C est donnée par : z C 1 (z I + z J ) 1 β + λ α + β λ α 1 + λ 1 λ z C β λ α 1 λ Le rayon r est donné par : r 1 z I z J 1 β + λ α β λ α 1 + λ 1 λ Remarques fnales. r α β λ 1 λ Mantenant que l affxe du centre est connue, nous pouvons envsager de modfer la forme des solutons : π k z β α λ e n, k 0, 1,, n 1. π k λ e n π π k k z z C β α λ e n β λ α β α + α α λ e n β α α λ + α π π k 1 λ k 1 λ λ e n λ e n 1 1 z z C (β α) π k 1 λ λ e n kπ kπ λ 1+ λ e n z z C (β α) ( α β ) λ 1 kπ λ e n e n. kπ kπ λ ( λ ) λ e n λ e n kπ Comme le rapport 1 λ e n est le rapport de deux nombres complexes conjugués, son module est 1. Le kπ λ e n kπ α β λ module de e n est 1 auss. Donc le module de z z C est, l ne dépend pas de k, c est le même pour 1 λ toutes les solutons de l équaton. Cette proprété montre ben que les solutons sont sur un même cercle de centre α β λ z C et de rayon. 1 λ