CAPITRE IV REGIME VARIABLE Euaions de Mawell I. PRINCIPE E CNERVATIN E LA CARGE : (Régime variable) upposons une surface fermée comprenan une charge à l inérieur, e un couran I soran. Principe de conservaion de la charge : Couran soran de diminuion de dans ; d où d I = ; d Comme I = J.d J.d = vu ue (héorème de Gauss) E.d = = E.d d donc J.d = ( E.d) d E soi J.d+.d = ou bien J +.d = Cee epression représene l éuaion de conservaion de la charge. d d Figure : urface fermée I. Forme inégrale J +.d = es la forme inégrale de l éuaion de conservaion de la charge.. Forme différenielle L inégrale de surface fermée ( J+ E).d peu êre ransposée en une inégrale de volume J +.d = div J + dv= Par conséuen, div( + ) dv= V J E ou bien auremen, sachan ue ( div ) = divj+ E ; ρ n dédui alors : divj + = ρ div E= :
Remarue : ρ Les ermes e E ne son considérés ue dans le cas du régime variable, ils son négligeables dans les aures régimes. C es-à-dire ue : ρ en R e RQ : e E (négligeables) onc, l éuaion d conservaion de la charge dans ces cas devien : J.d = ou div J= Remarue : La conservaion de la charge es respecée, car lorsu un élecron sor par la borne négaive, il prend la place d un élecron libre dans la maière ui relie les deu bornes (car les bornes doiven êre reliées par un conduceur pour ue le couran circule), l élecron ainsi chassé va voler à son our la place d un élecron siué un peu plus proche de la borne posiive, e ainsi de suie jusu à la borne posiive, dans lauelle le dernier élecron de la chaîne va renrer. onc, lorsu un élecron sor de la borne négaive, au même momen, un élecron renre dans la borne posiive. La baerie ainsi ue le conduceur ne se son donc pas chargés, ils son oujours neures, bien ue le couran circule! II. LI E MAWELL-AMPERE après le héorème d Ampère ro = J. n peu écrire : ro = J div( ro) = divj Comme div ro =, on obien : div J= Mais en régime variable nous avons ρ divj = e non pas div J=! Par conséuen, le héorème d Ampère ro = J n es plus valable dans le régime variable. Quesion : ue devien le héorème d Ampère dans ce cas? Réponse : Nous connaissons ue (en R. e R.Q.) : divj = ro = J () Par analogie en régime variable nous pouvons poser : E div J + = ro = J + Conclusion : Mawell a ransformé le héorème d Ampère en régime variable e a ajoué le erme E. Le héorème d Ampère devien dans ce cas : ro= J+ E (forme différenielle) Forme inégrale : ro = J+ E ro.d= ( J+ E).d L inégrale de surface ro.d peu êre ransposée en une inégrale linéiue fermée : ro.d =. dl n arrive alors à l epression différenielle suivane :.dl = J +.d (Forme inégrale)
III. EQUATIN E MAWELL Mawell a éabli uare éuaions fondamenales de l élecromagnéisme e ui son :. Euaion de Mawell-Gauss (MG) : Forme inégrale : E.d = Le flu élecriue passan à ravers une surface fermée es égal au rappor. ρ Forme différenielle : div E= C es la charge élecriue ui es à l origine (source) du champ élecriue.. Euaion de Mawell-flu magnéiue (MΦ) : Forme inégrale : B.d = Le flu magnéiue passan à ravers une surface fermée es nul. Forme différenielle : div B= Par analogie avec l éuaion MG, il n eise pas de "charge magnéiue" dans la naure. 3. Euaion de Mawell-Farada (MF) : Forme inégrale : E.dl = B.d Un conduceur raversé par un flu magnéiue variable es le siège d une f.e.m induie. Forme différenielle : roe = B Un champ magnéiue variable crée un champ élecriue variable. 4. Euaion de Mawell-Ampère (MA) : Forme inégrale :.dl= J+ E Forme différenielle : ro= J+ E Un champ élecriue variable ( E ) crée au même ire u un couran (J) un champ magnéiue variable. Remarues : Les éuaions de Mawell son valables dans les rois régimes. Pour obenir les éuaions dans le régime saionnaire, il suffi de poser =. Pour obenir les éuaions dans le régime dépendan du emps (uasi-saionnaire), il suffi de poser : E e ρ. Les éuaions de MA e MF monren ue les champs E e son liés enre eu C es le champ élecromagnéiue. EERCICE. n considère dans le vide un champ élecriue E E m ( ω β z) u éerminer le champ magnéiue associé à E. = sin.. n considère dans le vide un champ magnéiue = m ep j( ω + β z) u éerminer le champ élecriue E associé à. 3. Que peu-on conclure? 3
oluion : ) M.A : roe = = B µ u u uu = = = E roe u z z z E E Ez E oi roe = β Em cos ( ω β z) u + = µ βem βem = cosω β z d u = sin ω β z u + µ µ ω d où ( ) ( ) Ce ) = m ep j( ω + β z) u M.A : ro= J+ E dans le vide : J = d où ro= E u u u u soi ro ( = = = u ) z z z ro= jβ ep j( + z) = m ω β u E jβm jβm E= ep j( ω βz) d u ep j( z) u j ω β + = + ω βm onc E= ep j( ω+ βz) u+ Ce ω 3) n peu conclure ue : Un champ élecriue E variable crée un champ magnéiue variable ; Un champ magnéiue variable crée un champ élecriue E variable ; E. IV. LI M LCALIEE La loi d hm localisée es eprimée par la relaion suivane : J = σ E où σ conducivié élecriue ( Ω m) σ= ρ avec ρ résisivié ( Ω m) Eemples : - Cuivre : σ = 5,8. 7 Ω m ; ρ =,7. 8 Ωm - Aluminium : σ = 3,54. 7 Ω m ; ρ =,8. 9 Ωm - ilicium (semi-conduceur) : σ =,6.. 5 Ω m ; ρ = 6,5. 3 Ωm - Verre : σ. Ω m ; ρ. Ωm 4
émonsraion : oi un conduceur clindriue de secion e de longueur L, soumis à une ension U La loi d hm généralisée s écri comme sui : U= RI () R : résisance du conduceur L I Comme R= ρ dl, I = J d, e U = Edl nous obenons en subsiuan dans l éuaion : ρ ρ Edl= dl J d E= J oi J= E ρ u bien J= σe U E Figure Cee égalié es égalemen valable en noaion vecorielle : J= σe V. CNITIN LIMITE oien deu milieu diélecriues différens (air e verre par eemple) séparés par une inerface fronière ficive de séparaion- siuée dans le plan par eemple. Quesion : Que devien le champ élecromagnéiue uan il passe d un milieu à un aure? Posons E = E + E n E : composane angenielle par rappor à la surface de séparaion (plan ). E n : composane perpendiculaire par rappor à la surface de séparaion.. CAMP ELECTRIQUE a) Composanes angenielles : La forme inégrale de l éuaion de MF es : E.dl= B.d E E Milieu (air) (, µ ) E n u n E Milieu (verre) (, µ ) u E Figure 3 E n Le conour fermé considéré es un recangle ABC siué de par e d aure de la fronière. E.dl = E.dl = E n.n + E.NC+ E.CB+ E.BM + E.MA E. A n n n + ABCA Ean donné u on veu éudier le champ à la fronière des deu maériau, c es-à-dire les condiions limies du champ élecriue, on pose : AM = MB= N= NC, 5
n obien alors : E.dl= E.CB+ E.A= CB E ABCA ( E ), Par ailleurs, vu ue : AB, donc = ABBC n dédui ue : B. d Milieu Milieu A E n E n M B E E E En oure sachan ue : A=-CB on arrive à ABCA E.dl = ( ) = CB E E E E n N E n C oi donc E = E Figure 4 Conclusion : les composanes angenielles du champ élecriue son égales. b) Composanes normales : La forme inégrale de l éuaion de MG es : E.d = Milieu Milieu n considère comme surface fermée un clindre de longueur L. E.d= E.d=.d= oi.d = n.d+ n.d + n3 3.d d (, µ ) n L ρ s n (, µ ) d n suppose le cas général où la surface de séparaion pore une charge = ρs. d 3 Par ailleurs, vu ue l on éudie les condiions limies, on pose alors L, soi donc 3. où :.d = n. d+ n. d= n + Comme = = : n n s.d = = ρ oi donc n n= ρs [ ] n Figure 5 i ρ s= ui es le cas le plus fréuen, on aboui alors à : u bien E n = En E n = En n= n 6
. CAMP MAGNETIQUE a) Composanes perpendiculaires : La forme inégrale de l éuaion de MΦ es : B.d = Considérons comme pour le cas précéden une surface clindriue de longueur L. B (, µ ) L (, µ ) B L applicaion de cee éuaion à cee surface donne : B.d = B + + n.d Bn.d Bn3.d 3 = d B n B n d À la fronière enre les deu milieu (condiions limies) on doi poser : L, soi donc 3. n obien alors : B.d = B.d n + Bn.d = n + n = B B d 3 Figure 6 Comme = = : ( Bn Bn) = oi B n= Bn µ u bien : µ n = µ n n = n µ Conclusion : les composanes perpendiculaires de l inducion B son égales. b) Composanes angenielles La forme inégrale de l éuaion de MA es :.dl = J.d+ E. d A n n M B Choisissons comme conour fermé un cadre ABC siué de par e d aure de la fronière enre les deu milieu. L applicaion de l éuaion de M.A à ce cadre donne :.dl.dl n.n n.nc.cb n.bm n.ma = = + + + + +.A ABCA A la fronière enre les deu milieu (condiions limies), on doi poser : AM = MB= N= NC. n obien alors :.dl=.cb+.a Par ailleurs, vu ue : A=-CB n peu écrire: 7 n N n C Figure 7
.dl CB.( = ) () aure par, comme AB, = ABBC E. d Calculons mainenan J.d. n considérera le cas général où la surface de séparaion enre les deu milieu es une nappe de couran, uoi ue ce cas es peu probable en praiue. Couran volumiue: le couran I circule dans un conduceur volumiue de secion (figure 8). La densié de couran dans ce cas es : Js= I C es une densié de couran surfaciue. Nappe de couran : Le couran I circule dans une nappe (plan) de largeur L (figure 9). La densié de couran dans ce cas es : J L I l = C es une densié de couran linéiue. I I L Figure 8 : Couran volumiue Figure 9 : Nappe de couran Par conséuen I= J L l ans le cas donc où un couran surfaciue circule dans la surface de séparaion, le couran ui passe à ravers le cadre ABC es : A M B J J J n J J n I= J n BC n ne considère ue la parie du couran raversan le cadre, c es-à-dire la composane perpendiculaire au cadre. Cee condiion es dicée par le héorème d Ampère lui même. N C J = J n + J Comme J n= J z e ue J z=j., on obien ce ui sui : I = J.u BC = J. u u BC = u. J u BC = J u. ( z) ( ) ( ) ( ) BCu I J. (). soi = ( u ) CB Figure En éablissan l égalié des éuaions () e (), on obien : CB. = CB. J u ( ) ( ) 8
oi = J u En posan n comme éan le veceur uniaire dirigé du milieu vers le milieu, on arrive à : = J n REUME : E = E ; E n E n = ρ (en général ρ s = ) ; s µ = µ ; n n = J n (en général J = ). EERCICE oien deu milieu isolans différens. La surface de séparaion enre les deu milieu es siuée dans le plan. n donne B =,u +,8u, 4u. + éerminer l inducion B régnan dans le milieu. z oluion : B,u +,8u +, 4 = B,,8,4 = u + u + µ µ 5 5 5 =,8u +,5u +, 3 µ = soi ( ) Milieu ( =, µ =5µ ) Milieu ( =, µ =µ ) B B B B aure par, nous avons = J n comme J = on pose = B n Figure B n Les composanes angenielles son : u e u. d où = = (,8u+, 5u) µ e donc B= µ = µ =,8u+, 5 u La composane normale éan suivan u z, alors : Bn =, 4 vu ue B n = Bn, il vien: B n =,4 d où B,8,5 +, 4 = B+ Bn= u+ u 9