Lycée Thiers MPSI RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 L objectif de ce travail de vacaces est de vous permettre d aborder au mieux votre aée de MPSI. Il s agit, autour de thèmes précis, évitat aisi toute dispersio iutile, d effectuer u travail profod, de cosolider des coaissaces de Première et Termiale et de vous maiteir e "éveil mathématique". Ce travail a de ses que si vous le faites e allat au fod des choses, aussi bie pour le cours que pour les exercices : e laissez rie vous échapper, otez soigeusemet les questios qui restet e suspes pour la retrée... Il e s agit pas d expédier le tout e ue jourée! Au cotraire : preez le temps de la réflexio. Nous vous suggéros, après ue petite coupure bie méritée, d alterer le repos et les loisirs avec les révisios, c est de cette faço que vous préparerez le mieux la retrée. La première partie est u résumé de quelques otios de cours de Termiale qu il est idispesable de maîtriser à la retrée. La deuxième partie est ue série d exercices obligatoires e rapport avec ces otios. U corrigé sera mis e lige sur le site du Lycée Thiers à compter du 1er août. Attetio, utilisez-le correctemet! Ue iterrogatio écrite commue aux trois MPSI permettra de faire u bila de ces révisios. Elle aura lieu dès la retrée des classes. M. Clary, M. Dakhli, M. Adad, professeurs de mathématiques de MPSI Quelques primitives usuelles Das le tableau ci-dessous, o désige par I u itervalle de R et par F ue primitive particulière de la foctio f sur l itervalle I. Les autres primitives s e déduiset e ajoutat ue costate arbitraire. f (x F (x Coditio x x +1 + 1 x x +1 + 1 1 x l x I = R et N I R et etier égatif, 1 I R l (x x l (x x I ]0, + [ e x e x I = R si (x cos (x I = R cos (x si (x I = R
RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 Trigoométrie Pour les foctios cos et si, les propriétés de cotiuité, dérivabilité, variatios, parité / imparité, périodicité, etc... doivet être coues. E outre : (1 Formule fodametale de la trigoométrie circulaire : x R, cos (x + si (x = 1. Quelle est la sigificatio géométrique de cette formule? ( La foctio cos est π-périodique, paire, et pour tout x R : ( ( π π cos (π + x = cos(x; cos (π x = cos(x; cos + x = si(x; cos x = si(x ( La foctio si est π-périodique, impaire, et pour tout x R : ( ( π π si (π + x = si(x; si (π x = si(x; si + x = cos(x; si x = cos(x Sauriez-vous illustrer les formules des poits ( et ( à l aide du cercle trigoométrique? (4 Cas d égalité du cosius et du sius : a b mod π cos(a = cos(b ou a b mod π a b mod π si(a = si(b ou a π b mod π Ces propriétés sot otammet utiles pour résoudre certaies équatios (cf. par exemple l exercice. La otatio a b mod π sigifie qu il existe u etier k tel que a b = kπ. Sauriez-vous iterpréter ces propriétés à l aide du cercle trigoométrique? (5 Formules d additio. Elles sot à savoir par cœur : (a cos (a + b = cos(a cos(b si(a si(b (b si (a + b = si(a cos(b + cos(a si(b (c cos (a b = cos(a cos(b + si(a si(b (d si (a b = si(a cos(b cos(a si(b Sauriez-vous déduire (c et (d de (a et (b? (6 Les formules suivates sot à coaître : (a Formules de duplicatio : cos (a = cos (a si (a = cos (a 1 = 1 si (a si (a = si(a cos(a (b Formules de liéarisatio : cos (a = 1 (cos (a + 1 ; si (a = 1 (1 cos (a Sauriez-vous les déduire de ce qui précède?
RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 (7 Formules de trasformatio de produit e somme. Elles sot, tout comme les précédetes, à coaître par cœur : (a cos (a cos (b = 1 (cos (a + b + cos (a b (b si (a si (b = 1 (cos (a b cos (a + b (c si (a cos (b = 1 (si (a + b + si (a b Sauriez-vous établir ces formules? (8 Efi, pour tout (x, y R tel que x + y = 1, il existe u réel α (est-il uique? tel que : x = cos(α y = si(α Commet iterpréter graphiquemet cette propriété? (9 Les foctios cos et si sot dérivables sur R et : (10 Deux limites remarquables : si (x x Sauriez-vous les démotrer? cos = si; 1; si = cos cos (x 1 x 1 Nombres complexes (1 Si z = x + iy est u ombre complexe sous forme algébrique (x, y sot réels, o appelle cojugué de z le ombre complexe x iy ; il est oté z. ( Etat doé u ombre complexe z, zz est u réel positif et o appelle module de z le réel positif : z = zz ( Pour θ R, o ote e iθ le ombre complexe cos(θ + i si(θ. (a e iθ est u ombre complexe de module 1. (b e i0 = 1 (c Pour θ R : (d Pour tous θ, θ R : e iθ = cos(θ i si(θ = 1 e iθ e iθ e iθ = e i(θ+θ Sauriez-vous justifier chacue des quatre affirmatios ci-dessus? (4 Pour tout θ R o a les formules d Euler : cos(θ = 1 ( e iθ + e iθ si(θ = 1 ( e iθ e iθ i Sauriez-vous les établir?
Formules diverses (1 Pour (, p N et 0 p, o ote : RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 4 p =! p! ( p!, que l o lit p parmi. Ue aciee otatio (désormais iutilisée : C p. ( Soit (, p N tel que p. (a p = p. (b Si de plus 1 p 1, (c Les + utilisées : 0 p = = 1 p = 1 ; 1 = + 1 p 1 =. 1 = ( 1 = ( Formule du biôme de Newto. Soiet a, b C et N : (a + b = 0 a + 1 a 1 b +... + k a k b k +... + b (4 Soiet a, b C et N : a b = (a b ( a 1 + a b +... + ab + b 1 (5 Si a est u ombre complexe différet de 1 et u etier aturel, alors : (6 Si est u etier aturel o ul, alors : 1 + a +... + a = 1 a+1 1 a 1 + +... + = ( + 1
RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 5 EXERCICES OBLIGATOIRES Quelques recommadatios : (1 Ne vous servez pas de votre calculette i d u quelcoque formulaire lors de la phase de recherche des exercices. ( Utilisez évetuellemet votre calculette comme outil de cotrôle, à l issue de phase de recherche, après avoir vérifié et re-vérifié vos calculs à la mai. ( Rédigez avec soi, e essayat d être à la fois cocis et précis. (4 E cas de blocage, passez à ue autre questio puis repreez u peu plus tard l exercice récalcitrat... Le cerveau travaille bie souvet e arrière-pla. Exercice 1. Expliciter, e détaillat au maximum : ( ( ( ( π π 5π 7π cos, cos, cos, cos 8 8 8 8 ( 9π, cos 8 ( π, si 8 Exercice. Calculer de deux faços le cosius et le sius de π 1 : (1 avec ue formule d additio, e remarquat que π 1 = π π 4, ( avec ue formule de duplicatio, e remarquat que π 6 = π 1. Calculer alors cos ( ( 5π π puis cos. 1 4 Exercice. Résoudre das R chacue des ciq équatios suivates : si (x = 1 ( π ; cos (x = ; si (x = si 4 x ( π cos (x = cos 5 + x ; si (x = 1 cos (x Repredre esuite les trois premières équatios e les résolvat cette fois das [0, π]. Exercice 4. Voici ecore quelques formules de trigoométrie à coaître! O les appelle formules de trasformatio de sommes e produits. Sauriez-vous les établir? ( p q (1 si(p + si(q = si cos ( p q ( si(p si(q = cos si ( p q ( cos(p + cos(q = cos cos ( p q (4 cos(p cos(q = si si Exercice 5. Etudier, pour x [0, π], le sige de chacue des expressios suivates : f 1 (x = si (x + si (x f (x = cos (x cos (x f (x = si (x + 1 si (x Pour f 1 et f, o pourra utiliser l exercice précédet. Pour f, o pourra trasformer l expressio e u polyôme e si (x.
RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 6 Exercice 6. Etudier et représeter graphiquemet sur [0, π] les foctios g 1 et g défiies par : g 1 (x = si (x + 1 si (x si (x g (x = + cos (x Motrer que leurs graphes sot tous deux symétriques par rapport au poit de coordoées (π, 0. Exercice 7. Calculer la dérivée de chacue des foctios suivates, défiies sur R par : f 1 (x = si (x ; f (x = cos (x f (x = x si (x ; f 4 (x = si (x + cos (x f 5 (x = + si (x ; f 6 (x = si ( x Exercice 8. Détermier les sept limites suivates : lim si (x x l (1 x x si (x l (1 + x x + si (x l (1 + x lim x 1 + si (x l (1 + x x π si (x si (x ( 1 x si x + x Exercice 9. Ecrire sous forme algébrique chacu des ombres complexes suivats : A = 5 i ( 1 + i, B = ( i, C = 1 1 + i, D = 1 (1 + i1, z = A + B C + D Exercice 10. Calculer le module et u argumet de chacu des ombres complexes suivats : u = i; v = (1 + i 1 ; w = ( 1 + i 7 Exercice 11. O défiit les ombres réels A et B par les égalités : ( ( ( π π 5π A = cos + cos + cos 7 7 7 ( ( ( π π 5π B = si + si + si 7 7 7 (1 E cosidérat au préalable le ombre complexe A + ib, calculer explicitemet A. ( Retrouver le résultat précédemmet obteu e étudiat A si ( π 7. Exercice 1. Etablir les deux formules suivates (qui sot fodametales et à coaître par cœur. : Pour tout N et tout q C {1} : Pour tout N : k = k=1 ( + 1 k=0 q k = 1 q+1 1 q Exercice 1. Prouver, pour tout N, chacue des formules : k = k=1 ( + 1 ( + 1 ; 6 k = ( + 1 4 k=1
Exercice 14. (1 Etablir la formule de Moivre : ( Applicatio : RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 01 7 pour tout θ R et tout N, ( e iθ = e iθ (a Exprimer cos (θ e foctio de cos (θ. (b Exprimer si (θ e foctio de si (θ. (c Exprimer cos (4θ e foctio de cos (θ. (d Exprimer si (4θ e foctio de si (θ et de cos (θ. (e Retrouver directemet les formules obteues aux poits (a, (b, (c et (d à l aide des formules d additio. Exercice 15. Calculer toutes les primitives de chacue des foctios suivates, défiies par : v 1 (x = si (x ; v (x = cos (x v (x = x si (x ; v 4 (x = si (x cos 4 (x v 5 (x = si (x cos (x ; v 6 (x = si (x ] cos (x sur π, π [ T h aˆt'œš A l l, F o l kœš!