Chapite 9 Le champ magnétique Objectif intemédiaie 4.1 Connaîte la notion de champ magnétique, puis l'employe pou calcule la foce magnétique su une paticule ou un couant continu et le moment de foce magnétique su une bobine. Foce magnétique su une paticule chagée Une chage électique en mouement dans un champ magnétique pependiculaie subit une foce magnétique qui fait déie la chage. La foce, la itesse et le champ magnétique sont pependiculaies ente eux. Leus diections especties sont données pa la ègle de la main gauche comme su la figue ci-jointe. Attention, si la chage est négatie, la diection de la foce est inesée. F (majeu) (pouce) F (index) La foce magnétique execée su une chage en mouement dans un champ magnétique pependiculaie est F q où F est la foce magnétique en newtons, q est la chage en coulombs, est la itesse en mètes pa seconde et est le champ magnétique pependiculaie en teslas. Si le champ magnétique n'est pas pependiculaie au mouement, c'est la composante pependiculaie du champ magnétique qui est employée; soit sin F q q sin où est le champ magnétique pependiculaie en teslas, est le champ magnétique en teslas, est l'angle ente et, F est la foce magnétique en newtons, q est la chage en coulombs et est la itesse en mètes pa seconde. Vectoiellement, on a F q x
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9- où F est le ecteu foce magnétique en newtons, q est la chage en coulombs, est le ecteu itesse en mètes pa seconde et est le ecteu champ magnétique pependiculaie en teslas. 1. Une paticule chagée de 50 µc se déplace à 30 m/s dans la diection des x positifs. Un champ magnétique unifome de 5 mt est pésent dans la diection des y positifs. a) Quelle est la gandeu de la foce magnétique? b) Quelle est la diection de la foce magnétique?. Une paticule chagée de -100 µc se déplace à 60 m/s dans la diection des x positifs. Un champ magnétique unifome de 50 mt est pésent dans le plan Oxy. Le champ magnétique est dans la diection à 30, mesué dans le sens tigonométique, pa appot à l'axe des x. a) Quelle est la gandeu de la foce magnétique? b) Quelle est la diection de la foce magnétique? Foce magnétique su un fil électique ectiligne (pouce) Un fil ectiligne tanspotant un couant pependiculaiement à un champ magnétique subit une foce magnétique. La foce, la diection du couant et le champ magnétique sont pependiculaies ente eux. Leus diections sont données pa la ègles de la main gauche comme su la figue ci-jointe. F (majeu) La foce magnétique execée su le fil dans un champ magnétique pependiculaie est F l (index) l F l où F est la foce magnétique en newtons, est le couant en ampèes, l est la longueu du fil en mètes est le champ magnétique pependiculaie en teslas. Les électons, ciculant dans le fil, sont à l'oigine de cette foce. En considéant la foce execée su les électons dans une potion de fil, on a
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-3 F q d q ( n A l ) e n A e d F q d ( n A l ) e l d où F est la foce magnétique en newtons, q est la chage en coulombs, d est la itesse de déie en mètes pa seconde, est le champ magnétique pependiculaie en teslas, n est la concentation d électons en mètes cubes ineses, A l est le olume du fil en mètes cubes, e est la gandeu de la chage élémentaie de l électon en coulombs et est le couant en ampèes. Si le champ magnétique n'est pas pependiculaie au mouement, c'est la composante pependiculaie du champ magnétique qui est employée; soit sin F l l sin où est le champ magnétique pependiculaie en teslas, est le champ magnétique en teslas, est l'angle ente l et, F est la foce magnétique en newtons, est le couant en ampèes et l est la longueu du fil en mètes. Vectoiellement, on a F l x où F est le ecteu foce magnétique en newtons, est le couant en ampèes, l est le ecteu longueu du fil en mètes et est le ecteu champ magnétique pependiculaie en teslas. Note: Le ecteu l est diigé dans la diection du couant. 3. Un fil électique de 40 cm tanspote un couant de 6 A dans la diection des y positifs. Un champ magnétique unifome de 40 mt est pésent dans la diection des z positifs. a) Quelle est la gandeu de la foce magnétique? b) Quelle est la diection de la foce magnétique?
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-4 4. Un cade caé et conducteu est pacouu pa un couant de 3 A. Le cade est dans le plan hoizontal et possède des côtés de 4 cm de longueu. Un champ magnétique unifome et hoizontal de 50 mt est pésent. Le sens du couant et la diection du champ magnétique, selon la diagonale du cade, sont illustés su la figue cijointe. z y x a a a) Quelle est la gandeu de la foce magnétique execée su chaque côté du cade? b) Quelle est la diection de la foce magnétique su le côté doit du cade? c) Quelle est la diection de la foce magnétique su le côté gauche du cade? d) Quelle est la diection de la foce magnétique su le côté de deant du cade? e) Quelle est la diection de la foce magnétique su le côté de deièe du cade? f) Quelle est la foce ésultante su le cade? Foce magnétique su un fil électique coubé La foce magnétique execée su chaque potion infinitésimale de fil n'est pas dans la même diection losque le fil électique est coubé. Pou une longueu infinitésimale de fil, on a d F dl x où d F est le ecteu foce magnétique infinitésimale en newtons, est le couant en ampèes, d l est le ecteu longueu infinitésimale de fil en mètes et est le ecteu champ magnétique pependiculaie en teslas. La foce magnétique ésultante execée su le fil se calcule aec F d F ( dl x ) où F est le ecteu foce magnétique en newtons, d F est le ecteu foce magnétique infinitésimale en newtons, est le couant en ampèes, d l est le ecteu longueu infinitésimale de fil en mètes et est le ecteu champ magnétique pependiculaie en teslas. Si le champ magnétique est unifome, on a F ( dl x ) ( dl ) x l x
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-5 où F est le ecteu foce magnétique en newtons, est le couant en ampèes, d l et l' est le ecteu longueu infinitésimale de fil en mètes, est le ecteu champ magnétique pependiculaie en teslas est le ecteu déplacement ente les extémités du fil en mètes. Note: L oigine du ecteu l' est au point d entée du couant dans le fil et l extémité du ecteu son point de sotie. 5. Un fil, coubé hoizontalement en demicecle, est pacouu pa un couant de 4,5 A. La longueu du fil est de 36 cm. Un champ magnétique unifome de 7 mt est diigé es le haut. Le sens du couant et la diection du champ magnétique sont illustés su la figue ci-jointe. z y x l' est à a) Quelle est la gandeu de la foce magnétique? b) Quelle est la diection de la foce magnétique? Moment de foce magnétique su une boucle de fil électique a La foce magnétique ésultante execée su une F1 boucle de fil pacouue pa un couant est nulle. La foce magnétique execée su une patie du fil c s'annule aec la foce magnétique execée su la 1 patie du fil située de l'aute côté de la boucle. z F y axe de otation x Même si la foce magnétique ésultante est nulle, il existe un moment de foce magnétique qui tend à faie toune une boucle pacouue pa un couant. Si le champ magnétique est paallèle au plan de la boucle, la foce magnétique est nulle su les côtés paallèles au champ magnétique. Les foces magnétiques execées su les côtés pependiculaies au champ magnétique sont données pa - i F1 l1 x l1 c j ( c ) k et - i F l x l - c j - ( c ) k
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-6 où est le ecteu champ magnétique en teslas, est le champ magnétique en tesla, i, j, k sont les ecteus unitaies pou les axes Ox, Oy et Oz, l 1, l sont les ecteus longueus des fils n o 1 et n o (pependiculaies à ) en mètes, c est la longueu de la boucle (pependiculaiement à ) en mètes, F 1, F sont les ecteus foces magnétiques su les côtés n o 1 et n o (pependiculaies à ) en newtons et est le couant dans la boucle en ampèes. Pou une boucle inclinée pa appot au champ magnétique, l'angle ente et F est le même pou chaque côté. Cet angle est également l'angle ente la nomale au plan de la boucle et le champ magnétique. boucle F 1 1 Couant entant Couant sotant Maintenant, si l angle se toue ente la nomale et le champ magnétique, les moments de foce execés su les côtés pependiculaies au champ magnétique sont donnés pa nomale A F et 1 F1 F a ( c ) a ( i sin + k cos) k ( + i sin k cos ) ( c ) k τ 1 τ 1 x F a 1 x F a ( c ) ( c ) sin j sin j ()z<0 ( 1 ) x <0 1 ()x >0 ( 1 ) z >0 où 1, sont les ecteus positions des côtés n o 1 et n o (pependiculaies à ) en mètes, a est la longueu de la boucle (paallèlement à ) en mètes, i, j, k sont les ecteus unitaies pou les axes Ox, Oy et Oz, F 1, F sont les ecteus foces magnétiques su les côtés n o 1 et n o (pependiculaies à ) en c τ 1, τ newtons, est le couant dans la boucle en ampèes, est la longueu des fils n o 1 et n o (pependiculaies à ) en mètes, est le champ magnétique en tesla, sont les ecteus moments de foce su les côtés n o 1 et n o (pependiculaies à ) en newtons-mètes et est l'angle ente et F pou chaque côté.
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-7 Le moment de foce magnétique ésultant est la somme des moments de foces execés su les côtés pependiculaies au champ magnétique. Ce moment de foce est popotionnel à la suface de la boucle; soit A a c τ τ1 + τ a τ ( c ) sin j + ( c ) ( a c ) a sin j A sin j sin j où A est la suface de la boucle en mètes caés, a est la longueu de la boucle (paallèlement à ) en mètes, c est la longueu de la boucle (pependiculaiement à ) en mètes, τ est le ecteu moment de foce su la boucle en newtons-mètes, τ 1, τ sont les ecteus moments de foce su les côtés n o 1 et n o (pependiculaies à ) en newtons-mètes, est le couant en ampèes, est le champ magnétique en tesla, est l'angle ente et F pou chaque côté et j est le ecteu unitaie pou l axe Oy. La suface de la boucle est considéée comme un ecteu paallèle à la nomale. La diection de ce ecteu est donnée pa le pouce de la main doite losque les doigts de la main doite tounent dans le sens du couant. Vectoiellement, la suface d'une boucle est A A un bobine µ A z y entant x où A est le ecteu suface en mètes caés et u est le ecteu unitaie pou la nomale. n De plus, le moment magnétique dipolaie est un ecteu dans la même diection. Le moment magnétique dipolaie d'une bobine compenant plusieus boucles est défini ectoiellement pa µ u ( N A ) N A n où µ est le ecteu moment magnétique dipolaie en ampèes mètes caés, N est le nombe de boucles de la bobine en spies, est le couant en ampèes, A est la suface en mètes caés, u est le ecteu unitaie pou la nomale n et A est le ecteu suface en mètes caés.
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-8 Le moment de foce magnétique execé su une bobine est plus gand que celui d'une boucle. Pou une bobine, il y a un moment de foce execé su chaque boucle, appelée spie. Vectoiellement, on a - i τ ( N A ) sin j un - cos i - sin k µ sin j µ µ ( ) un N A un µ x où est le ecteu champ magnétique en teslas, est le champ magnétique en tesla, i, j, k sont les ecteus unitaies pou les axes Ox, Oy et Oz, u n est le ecteu unitaie pou la nomale, est l'angle ente µ et pou chaque côté, µ est le ecteu moment magnétique en ampèes mètes caés, µ est le moment magnétique en ampèes mètes caés, N est le nombe de boucles de la bobine, est le couant en ampèes, A est la suface en mètes caés et τ est le ecteu moment de foce su la boucle en newtons-mètes. Note: Cette elation est alide pou des boucles de fil compises dans un plan. 6. Une bobine de 100 spies possède une section de 65 cm. La bobine est placée dans un champ magnétique unifome de 300 mt. L'axe de la bobine fait un angle de 1 pa appot à la diection du champ magnétique. La bobine est pacouue pa un couant de 150 ma. a) Quelle est la gandeu du moment magnétique de la bobine? b) Quelle est la gandeu du moment de foce magnétique? 7. Une bobine de 5 spies possède un moment magnétique de 0, A m dans la diection des z positifs losqu'elle est taesée pa un couant de 50 ma. Un champ magnétique unifome de 15 T dans la diection des y négatifs ègne autou de la bobine. a) Quelle est la section de la bobine? b) Quelle est la gandeu du moment de foce magnétique? c) Quelle est la diection du moment de foce magnétique? Mouement dans un champ magnétique La foce magnétique est pependiculaie à la diection du mouement et du champ magnétique à cause de F q. La foce magnétique poduit donc une déiation de la diection du mouement. La tajectoie d'une paticule chagée en mouement dans un champ magnétique pependiculaie unifome est ciculaie.
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-9 La foce centipète qui maintient la paticule su sa tajectoie est la foce magnétique; soit q m m q F q (entant) où q est la chage en coulombs, est la composante pependiculaie itesse en mètes pa seconde, est le champ magnétique en teslas, m est la masse de la paticule en kilogammes et est le ayon de l'obite ciculaie en mètes. Aec les définitions de la péiode et la féquence, on a π m π m π T T q q 1 q 1 f c f c π m π m T q où T est la péiode du mouement ciculaie en secondes, est le ayon de l'obite ciculaie en mètes, est la composante pependiculaie itesse en mètes pa seconde, f c est la féquence du mouement ciculaie en éolutions pa seconde, m est la masse de la paticule en kilogammes, q est la chage en coulombs et est le champ magnétique en teslas. Si le champ magnétique n'est pas pependiculaie au mouement, la paticule tounea autou des lignes de champ magnétique en aançant. La tajectoie est le ésultat d'un mouement ciculaie et d'un mouement ectiligne supeposé. À chaque éolution, la paticule se déplace paallèlement au champ magnétique. Ce mouement est appelé hélicoïdal. q F (sotant) // d (entant) F
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-10 La composante pependiculaie de la itesse pa appot au champ magnétique set au calcul du mouement ciculaie; soit sin m m sin q q où est la composante pependiculaie de la itesse en mètes pa seconde, est la itesse en mètes pa seconde, est l'angle ente et, est le ayon de l'obite ciculaie en mètes, m est la masse de la paticule en kilogammes, q est la chage en coulombs et est le champ magnétique en teslas. La composante paallèle de la itesse pa appot au champ magnétique set au calcul du mouement ectiligne; soit // cos d // T π m π m cos T q q où // est la composante paallèle de la itesse en mètes pa seconde, est la itesse en mètes pa seconde, est l'angle ente et, T est la péiode du mouement ciculaie en secondes, m est la masse de la paticule en kilogammes, q est la chage en coulombs, est le champ magnétique en teslas et d est la déplacement apès une éolution en mètes. 8. Une paticule de 0 mc toune pependiculaiement dans un champ magnétique unifome de 45 T. La masse de la paticule est de 8,6 g. Le ayon de la tajectoie est de 70 cm. a) Quelle est la itesse de la paticule? b) Quelle est la péiode du mouement ciculaie? 9. Une paticule de 0 mc possède un mouement hélicoïdal dans un champ magnétique unifome. La masse de la paticule est de 8,6 g. La féquence du mouement ciculaie est de 5 é./s et le ayon est de 70 cm. La paticule se déplace de 1,5 m à chaque éolution. a) Quelle est la composante pependiculaie de la itesse pa appot au champ magnétique? b) Quelle est la composante paallèle de la itesse pa appot au champ magnétique? 10. Une paticule de 8,6 g potant une chage de 0 mc se déplace dans un champ magnétique unifome de 45 T. La diection du champ magnétique est es les x positifs. À un instant donné, la itesse de la paticule est donnée pa
Chapite 9: Le champ magnétique Page C9-11 ( 7, 5 i - j )m/s a) Quelle est la péiode du mouement ciculaie? b) Quel est le déplacement de la paticule à chaque éolution? Réponses 1. a) 37,5 µn b) dans la diection des z positifs. a) 150 µn b) dans la diection des z négatifs 3. a) 96 mn b) dans la diection des x positifs 4. a) 4,43 mn 4. b) dans la diection des z négatifs 4. c) dans la diection des z positifs 4. d) dans la diection des z positifs 4. e) dans la diection des z négatifs 4. f) 0 N 5. a) 7, mn b) dans la diection des y négatifs 6. a) 0,937 5 A m b) 0,100 8 N m 7. a) 0,8 m b) 3 N m c) dans la diection des x positifs 8. a) m/s b) 0, s 9. a) m/s b) 7,5 m/s 10. a) 0, s b) 1,5 m Tous doits éseés, Richad Fadette