Maths 5 DUT Géie Idustriel et Maiteace ème aée Ae Pallarès ae.pallares@uha.fr
SUITES ET SERIES
SUITES
.Défiitio O appelle suite u esemble de ombres u, u,... défiis das l ordre croissat et vérifiat certaies règles de défiitio. Chaque ombre de la suite s appelle u terme, u est par exemple le ième terme ou terme de rag de la suite. La suite u, u,... est gééralemet otée u. La suite est fiie (si a u valeur fiale doée) ou ifiie selo qu elle a ou o u ombre fii de termes. O appelle suite umérique ue applicatio de N das R : f N R : a u f ( ) L image par f de l etier est le terme gééral de la suite oté : u f().
. Mootoie et bores Mootoie : Ue suite de terme gééral u est dite : croissate si u u +. décroissate si u u +. Ue suite de terme gééral u est mootoe si elle est croissate ou décroissate. Ue suite de terme gééral u : Bores est costate si u u +. est statioaire si u u + à partir d u certai rag. Ue suite de terme gééral u est dite : majorée si il existe u réel M tel que, u M. miorée si il existe u réel m tel que, u m. borée si elle est a la fois majorée et miorée.
3. Covergece Défiitio : O dit que la suite de terme gééral u a pour limite l si : ε > 0, p N : > p, u l < ε Si la limite d ue suite existe et est fiie, o dit que cette suite est covergete ; das les autres cas, o la qualifie de divergete. La limite d ue suite, si elle existe, est uique. Théorème : Toute suite ayat ue limite fiie est borée. Ue suite ayat pour limite + ou - est dite divergete.
3. Covergece Opératios sur les limites : Lim u lim v lim (u + v ) lim (u v ) lim (u / v ) L l L+l Ll L/l (si l 0) L (si L 0) 0 l (si l 0) 0 0 0 0 idétermiée 0 idétermiée 0 0 idétermiée + + + + idétermiée - - - + idétermiée + - idétermiée - idétermiée - + idétermiée - idétermiée
4. Suites récurretes Défiitio : Ue suite récurrete ou défiie par récurrece est ue suite ou chaque terme est calculé à partir des précédets. Le terme gééral est alors défii par ue relatio de la forme u f(u - ) ; la doée d u terme permet de costruire les termes successifs de la suite : u, u f(u ), u 3 f(u ) Covergece Soit la suite récurrete de terme gééral u f(u - ) avec u élémet de l itervalle [a,b]. Si tous les termes de la suite appartieet à l itervalle [a,b] et si la suite est covergete, alors : lim u l doc l f ( l), l [ a, b] lim u l
4. Suite récurrete Suite arithmétique : O appelle progressio (ou suite) arithmétique ue suite telle que chaque terme se déduit du précédet par additio d ue costate. Cette costate est appelée raiso de la progressio. Si u est so premier terme, u le terme de rag et r la raiso, o a par défiitio : u u - + r soit u u + (-) r La progressio est croissate si r > 0, décroissate si r < 0. O peut moter que la somme des termes d ue suite arithmétique est : S u + u ( u + u) +... + u [ u + ( ) r]
4. Suite récurrete Suite géométrique : O appelle suite géométrique (ou progressio), ue suite telle que chaque terme se déduit du précédet par multiplicatio par ue costate. La costate s appelle raiso de la suite. Si u est le premier terme de la progressio, u le terme de rag et q la raiso, o a : u q u - soit u u q - La ature de la progressio déped de la valeur de q et du sige de u. La somme d ue suite géométrique de raiso différete de est : u u+ q S u + u +... + u u q q
5. Applicatio : méthode de Newto Utilisatio : La méthode de Newto permet de trouver des valeurs approchées des racies d ue équatio de type f(x)0. Soit ue foctio f défiie sur u itervalle [a,b] telle que f et f e s aulet pas sur [a,b] et f(a) f(b) < 0. Par coséquet, la foctio f est strictemet mootoe et e s aule doc qu ue fois sur cet itervalle. O défiit la foctio φ(x) : φ(x) x - f(x) / f (x) La suite défiie par la relatio de récurrece : u φ(u - ) permet de détermier ue valeur approchée de la racie de l équatio f(x)0. O utilise ue valeur quelcoque pour u 0.
SERIES
. Défiitio Soit ue suite de terme gééral u. La série de terme gééral u ou, par abus de lagage, série u est défiie par la somme ifiie : Cette série est doc défiie par ue suite S de terme : 0 u k S u k 0 u u u u S u u u S u u S u S + + + + + + + K KK 0 0 0 0 0
. Covergece Défiitio : O dit que la série de terme gééral u est covergete si la suite S a ue limite fiie. Das les autres cas, c est a dire lorsque a pas de limite ou ue limite ifiie, o dit que la série est divergete. Théorème de Cauchy : Ue série u est covergete si et seulemet si : ε > 0, N : u k k m+ < ε pour > m N Coditio écessaire de covergece : Si la série est covergete so terme gééral ted vers 0 lorsque ted vers l ifii. Il est à remarquer que la réciproque est fausse : ue série dot le terme gééral ted vers 0 peut être divergete.
ANALYSE DE FOURIER (768-830)
ANALYSE DE FOURIER Séries
.Défiitio Série de Fourier: Soit f ue foctio périodique de période T π/ω, so développemet e série de Fourier est doé par: Les coefficiets a et b dépedet de f selo: + + + 0 0 si cos si cos x b x a a x b x a ω ω ω ω + + + T T T dx x x f T b dx x x f T a dx x f T a α α α α α α ω ω )si ( )cos ( ) ( 0
. Défiitio Série de Fourier complexe: Les formules d Euler permettet de trasposer l écriture précédete sous forme complexe cos ωx exp i [ exp( iωx) + exp( iωx) ] si ωx [ exp( iωx) ( iωx) ] L écriture complexe de la série de Fourier est: 0 a cos ωx + b si ωx c exp ( iωx) O peut motrer que c ( a ib )
. Propriétés Théorème de covergece: Soit ue foctio f périodique de période T π / ω vérifiat les hypothèses suivates : f est cotiue sur tout itervalle [a, a+t] sauf évetuellemet e u ombre fii de poits de discotiuité. f admet e tout poit de cet itervalle ue dérivée à droite et ue dérivée à gauche Das ce cas, la série de Fourier de f est covergete sur R et a pour somme, e tout poit où f est cotiue : ( a cos ωx + b ωx) f ( x) a0 + si
. Propriétés f est alors décomposée e la somme : d u terme costat, valeur moyee de f sur l itervalle cosidéré. d ue ifiité de termes siusoïdaux appelés harmoiques. Pour les poits de discotiuité, la série de Fourier coverge vers : f ( x + 0) + f ( x 0) Les quatités f(x±0) correspodet aux limites à droite et à gauche du poit x.
. Propriétés Propriétés des coefficiets: Soit f ue foctio développable e série de Fourier : 0 O vérifie alors les propriétés suivates : les limites de suites de terme gééral a et b tedet vers 0 quad ted vers l ifii. les coefficiets de Fourier sot idépedats de l itervalle [a, a+t] choisi. + f ( x) a cos ωx + b si ωx c exp( iωx)
. Propriétés das le cas où f est paire, la série de Fourier est ue série de cosius. f ( x) 0 a cos ωx Si f est impaire, la série de Fourier est ue série de sius. a a 0 4 T T T 0 f T 0 f ( x) ( x) dx cos ωx dx 4 f ( x) b si ωx b f T ω T 0 ( x) si x dx
3. Formule de Bessel-Parseval Aspects d algèbre liéaire: Soit f ue foctio de période T développable e série de Fourier + f ( x) c exp( iωx) Cette écriture peut s iterpréter comme l expressio de f e combiaiso liéaire ifiie de foctios ϕ : ϕ( x) exp( iωx) avec T Le développemet de Fourier de f représete la décompositio de f selo la base orthoormée exp( iωx), Z T
3. Formule de Bessel-Parseval Coséqueces: Le coefficiet c est la composate de f selo soit c f ) T ( x) exp( iωx dx ϕ exp( iωx) E associat le produit scalaire gééralisé, o motre que: f + c soit T f + ( x) dx a0 + a + b
4. Sigificatio physique U sigal temporel de période T π/ω est développable e série de Fourier: ( a cosωt + b ωt) f ( t) a0 + si Il s agit de la somme : d u terme costat a 0 qui correspod à la valeur moyee de f sur ue période D u ombre ifii de termes siusoïdaux de périodes T,T/,, T/ Le terme de période T est appelé le fodametal, les termes suivats harmoiques
4. Sigificatio physique L harmoique de rag s écrit: A correspod à l amplitude π/ω est la période ω est la pulsatio u u ϕ la phase a A cos ωt + b cos ( ωt ϕ ) si ωt avec A a taϕ Das la pratique, la somme des premiers harmoiques suffit à représeter la foctio de maière satisfaisate + b b a
4. Sigificatio physique Applicatio de la formule de Bessel-Parseval: Si f représete u sigal périodique, l éergie de f est équivalete à: L éergie au rag est doc: La formule de Bessel-Parseval peut doc s écrire: ( ) ( )dt t f T f E ( ) [ ] ( ) si cos b a u E dt t b t a T u E + + ω ω ( ) [ ] K +K + + + + + 0 0 A A A a E a f E
4. Sigificatio physique f ( t) ( a cos ωt + b ωt) a0 + si
4. Sigificatio physique f ( t) ( a cos ωt + b ωt) a0 + si
4. Sigificatio physique Aspect spectral:
4. Sigificatio physique Aspect spectral:
ANALYSE DE FOURIER Trasformées
.Défiitio Trasformée de Fourier: Soit f ue foctio défiie sur R vérifiat: f cotiue et dérivable sur tout [-a,+a] f absolumet itégrable sur R Sa trasformée de Fourier est: TF : f ( x) a TF [ f ( x) ] R C TF( ν ) f ( x)exp( iπνx) dx Différetes écritures sot possibles selo la spécialité: TF [ f ( x) ] TF[ f ( x)] TF f ( k) π + + + f ( x) exp( ikx) dx f ( x) exp( ikx) dx
. Défiitio Sigificatio physique: La trasformée de Fourier correspod au spectre bilatéral de la foctio Il s agit de la gééralisatio du développemet e série de Fourier pour des foctios quelcoques
. Défiitio Sigificatio physique: Il s agit du passage d ue représetatio spatiale e ue représetatio fréquetielle
. Défiitio Trasformée de Fourier iverse: La TF peut être iversée c est à dire qu il existe ue trasformatio otée TF - telle que: + f ( x) TF [ TF( ν )] ( x) exp( iπν ) xdx f ( x) TF( ν ) exp( i πνx) dν TF( ν ) f O passe doc de TF à TF - e échageat f e TF, x e ν et i e i. Toute propriété vérifiée par la TF l est égalemet pour la TF - +
. Propriétés TF + ( ν ) f ( x) exp( iπνx) dx f ( x) cos( πνx) isi( πνx) Foctio paire: La TF d ue foctio paire est ue foctio réelle: TF Foctio impaire: + 0 [ ]dx La TF d ue foctio impaire est ue foctio imagiaire: + ( ν ) f ( x) cos( πνx)dx TF + 0 ( ν ) i f ( x) si( πνx )dx
. Propriétés Liéarité: L itégrale état liéaire, o a: TF λ f x + µ g x λtf f x + µ TF Traslatio: Propriété très simple aux multiples applicatios TF f Modulatio: [ ( ) ( )] [ ( )] [ g( x) ] [ ( x a) ] exp( iπνa ) TF[ f ( x) ] Ue modulatio das l espace direct reviet à ue traslatio das l espace réciproque TF [ exp( iπν x) f ( x) ] TF f ( ν ν ) 0 0
. Propriétés Chagemet d échelle: U chagemet d échelle das l espace direct correspod égalemet à u chagemet d échelle das le ses iverse das l espace réciproque Dérivatio: TF λ [ f ( λx) ] TF f Il existe u lie direct etre la TF d ue foctio et celle de ses dérivées. Cette propriété est utilisée pour la résolutio de système d équatios différetielles liéaires. TF f x iπν TF f x TF ν λ [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] f x ( iπν ) TF[ f ( x) ]
. Propriétés TF de x m f(x): O motre que: TF m [ x f ( x) ] Covolutio: i ( m) TF[ f ( x) ] Produit de covolutio: o défiit la covolutio de foctios f et g par l opératio suivate: TF du produit de covolutio m d dν + f ( * g)( x) f ( x ) g( x x ) dx m [( f * g)( x) ] TF[ f ( x) ] TF[ g( x) ] TF
3. Aspects physiques Formule de Parseval: Elle traduit la coservatio de l éergie à travers la TF + f + ( x) dx TF( ν ) dν L itrégrale temporelle représete doc l éergie totale. L itégrale au secod membre de l équatio correspod à ue décompositio e vibratios harmoiques. Elle exprime le fait que l éergie totale est la somme des éergies de chacue des composates. Cette relatio a été utilisée pour la première fois par u physicie (Lord Rayleigh, 889).
3. Aspects physiques Fréquece d échatilloage: Elle doit être telle égale ou supérieure à F M avec F M tel que: ν TF( ν ) 0 F M Iversemet, o peut recostituer ue foctio à partir de ses échatillos pourvu que la fréquece d échatilloage soit supérieure ou égale à fois la plus haute fréquece cotiue das le spectre
LOIS DE PROBABILITES CONTINUES
. Variables aléatoires Ue variable aléatoire X est ue variable qui pred des valeurs umériques foctio du résultat d ue épreuve Uivers des évéemets Ω ω, ω,..., ω i Ω ω ω i R X( ) x i i R x i X sert à caractériser le résultat de l expériece aléatoire
. Variables aléatoires Variable aléatoire discrète : e peut predre que certaies valeurs X «face du dé» : pred les valeurs x,, 3, 4, 5, 6 (déombrables) Variable aléatoire cotiue : peut predre toutes les valeurs das u itervalle doé X «poids d u ouveau-é» : x toutes les valeurs, (gééralemet comprises etre kg et 6)
. Variables aléatoires Lois de probabilités : p i v.a. discrète [ 0, ] R x i i p i p(x x i ) p i v.a. cotiue Desité de probabilité f(x) telle que : + f (x)dx P(a < X < b) b a f (x)dx P(X<b) - P(X<a) x i x a b
. Variables aléatoires Foctio de répartitio : F(x) P(X x) v.a. discrète v.a. cotiue F(k) P(X k) k i p i F ( x) x f ( x) dx 0 F(x) 0
. Variables aléatoires Espérace (moyee, barycetre) : E( X) v.a. discrète i x i p i i xi N i E(X) v.a. cotiue + xf (x)dx Variace (iertie) : V(X) v.a. discrète i (x i E(X)) p i V ( X) ( x E( X)) f ( x) dx + v.a. cotiue
. Loi uiforme Cette loi modélise u phéomèe uiforme sur u itervalle doé La v.a. X suit ue loi uiforme sur l itervalle boré [a,b] si elle a ue desité f costate sur cet itervalle et ulle e dehors Elle est otée U([a,b] ) Sa desité est : f ( x) b a 0 si x [ a, b] ailleurs
. Loi uiforme Espérace : E( X) b + a Variace : V( X) ( b a)
3. Loi expoetielle Les lois expoetielles sot souvet utilisées pour modéliser des temps d attete ou des durées de vie Le paramètre λ désige l iverse du temps d attete moye La v.a X suit ue loi expoetielle de paramètre λ otée E(λ), si elle admet pour desité : f ( x) λ exp 0 ( λx) si si x 0 x < 0
3. Loi expoetielle Espérace : E( X) λ Variace : V( X) λ
3. Loi ormale C est la loi la plus coue des probabilités, la loi de Laplace-Gauss et caractérisée par la célèbre courbe e cloche La v.a X suit ue loi expoetielle de paramètre µ et σ, otée N(µ,σ), si elle admet pour desité : f x µ ( ) σ ( x) e σ π
3. Loi ormale Espérace : E(X) µ Max e μ Variace : V( X) σ f symétrique/μ
4. Loi ormale cetrée réduite C est ue versio ormalisée de la loi ormale O utilise u chagemet de variable : t ( ) X µ σ La v.a t suit alors ue loi ormale N(,0) f ( x) e π t
4. Loi ormale cetrée réduite Espérace : E( X) 0 Max e μ Variace : V( X) f symétrique/μ
4. Loi ormale cetrée réduite Probabilités Lecture sur tableau A la calculatrice
4. Loi ormale cetrée réduite Probabilités
5. Echatilloage O appelle échatillo de taille la série statistique formée des résultats obteus lorsqu o répète fois ue expériece das les mêmes coditios Les distributios de fréqueces variet d u échatillo à l autre pour la même expériece fluctuatio d échatilloage Même pour des échatillo de même taille, la distributio de fréqueces peut varier Si augmete, les distributios de fréqueces ot tedace à se stabiliser
5. Echatilloage Lorsque la gradeur observée est ue proportio d'idividus satisfaisat certais critères das l'échatillo, l'itervalle de fluctuatio est détermié par la loi biomiale Si la taille de l'échatillo est 30 et la p 5 proportio p vérifiet : ( p) 5 alors cette loi est approchée par la loi ormale e vertu du théorème cetral limite.
5. Echatilloage Il e découle ue formulatio explicite de l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, pour u échatillo de taille cesé satisfaire les propriétés avec ue proportio p : I [ p,96 p( p) ; p +,96 p( p) ]