Universié Paris Descares UFR Mah-Info Licence MAE 6-7 Analyse 4 - Séries de Fourier; Foncions de plusieurs variables; Inégrales à paramère DM de préparaion au Pariel du avril 8 Les calcularices e les éléphones porables son inerdis, même à ire d horloge Les annoaions [c] e [*] désignen respecivemen une applicaion direce du cours e une quesion plus délicae Le barême donné ne l es qu à ire indicaif e non définiif Eercice Le reour de sinus hyperbolique Le bu de ce eercice es de démonrer l idenié admise lors du premier DM à savoir : " R, P = lim N + N Y + n!# = sh Ce problème compore paries indépendanes Une équaion différenielle e du cosinus hyperbolique [6 poins] Nous désirons rouver oues les foncions h : R R de classe C sur R qui saisfon le sysème suivan : h h,, = h, h, =, R, a [c] Nous définissons la foncion vecorielle :, R, ϕ, =, Monrer que ϕ es un C -difféomorphisme de R R dans R R b [c] Monrer que la foncion gu, v = h uv, v es définie e C sur R R Calculer alors g en foncion de h e h v c Vérifier que si h saisfai alors il eise G : R R de classe C sur R elle que : u, v R R, gu, v = Gu d [c] Calculer g u en foncion de h e [*] Si h saisfai en plus déerminer une équaion différenielle saisfaie par G sur R En déduire que A, A R,, R R, h, = A e + A e
f Déerminer alors la foncion h de classe C sur R qui saisfai, e pour laquelle h, = e h, = Du Fourier e des foncions hyperboliques [7 poins] Dans cee parie nous fions dans R e nous regardons la foncion [, ], que l on prolonge sur R par -périodicié h = ch a [c] Epliquer pourquoi h es égale à sa série de Fourier sur R b [c] Pour ou n de Z calculer le coefficien de Fourier c n h c [c] En déduire que R, [ + ] h = sh + n + n cosn d [c*] En prenan =, monrer que n Z + n = sh + sh 4 sh + e [*] On rappelle que U = ln + es C sur R avec U = n En donnan à une valeur pariculière, calculer U e en déduire que C R, R, sh U = ln + C + n f [*] Déerminer alors U puis conclure que : R, P = sh Soluion Le reour du sinus hyperbolique a Nous remarquons d abord que si R e alors φ, apparien bien à R R Pour que φ soi un C difféomorphisme de R R dans R R il fau que φ soi C sur R R : vrai car chacune de ses applicaions coordonnées son des polynômes e donc C sur R φ es bijecive de R R dans R R Soi u, v dans R R, alors u, v = φ, { u = v = { = v = u v Donc φ es bijecive sur R R avec : u, v R R, φ u, v = u v, v φ es C sur R R : vrai car ses applicaions coordonnées son un polynôme e une foncion raionnelle don le dénominaeur ne s annule pas sur R R e son donc C sur R R
φ es donc un C -difféomorphisme de R R dans R R b Nous voyons que g = h φ Or nous avons vu précédemmen que φ es C sur R R donc elle y es C e à valeurs dans R R h éan C sur R il vien par composiion que Nous pouvons alors calculer u, v R R, g es C sur R R g = u h u, v v v v + h u, v v c Supposons que h saisfai Nous essayons de rerouver dans l epression ci-dessus u, v R R, g v = u h u v v, v + h u v, v = v [ u h u v v, v v h ] u v, v = car on rerouve au poin, = u v, v Comme g es C sur R R cela nous indique que g ne dépend pas de v e donc il eise une foncion G définie sur R elle que gu, v = Gu Comme g es C sur R R il vien que G es C sur R Il eise G à valeurs réelles e C sur R elle que : u, v R R, gu, v = Gu d Comme g es C nous pouvons calculer : e donc u, v R R, u, v R R, g u u, v = h u v v, v g u u, v = v h u v, v e Mainenan rappelons que h saisfai e grâce au quesions c e e nous avons u, v R R, g u u, v = G u = h u v v, v = [ v u ] v h v, v = gu, v = Gu C es une équaion différenielle d ordre que nous savons résoudre e qui donne : A, A R, u R, Gu = A e u + A e u ce qui implique que gu, v = A e u + A e u Or g = h φ donc h = g φ ce qui donne pour ou, dans R R, h, = g, Il eise A e A dans R els que, R R, h, = A e + A e f Comme h es C sur R, elle es aussi coninue en, e, ce qui fai que nous pouvons uiliser la formule rouver en e en ces poins-là Ceci donne h, = = A + A e h, = = A A Ceci nous donne que A = A = e donc h, = e +e La foncion C sur R qui saisfai oues ces condiions es h, = ch Du Fourier e des foncions hyperboliques
a Par définiion, h es C sur ], [ e es donc C par morceau sur [, ] Par périodicié nous avons donc que h es C par morceau sur R De plus, h = ch = ch = h ce qui implique que h es coninue en e h es -périodique, coninue e C par morceau sur R donc es somme de sa série de Fourier b Nous commençons par c h e comme nous inégrons par parie c h = ch d = Puis de la même façon nous calculons c n h pour n : c n h = ch e in d = 4 = [ e in d + 4 = 4 En conclusion = n 4 [ ] sh = sh sh sh = e + e e in d ] e in d = e in 4 in + e in e +in in + e in e +in in e e in + e e + in = sh n + n sh n Z, c n h = si n = n sh sinon +n e in in c D après la quesion e, h es somme de sa série de Fourier sur R Soi on connai la formule rigonomérique de la série de Fourier soi on la rerouve rapidemen : h = n= = c h + = sh c n h e in = c h + + n= c n h e in + cn h e in + c n h e in n sh e in + e in + n [ Pour ou réel, h = sh + n d Nous appliquons l équalié de Parseval à h ce qui donne h d = n= = sh c n h = sh + sh c n h e in ] cosn +n + sh n Z 4 + n n Z + n = sh n Z + n
E nous calculons h d = ch d = e + e e + e = sh sh sh + 4 = + 8 4 En combinan les deu égaliés nous concluons : 4 +n = sh d = [ e e ] + 8 +sh e Nous appliquons la quesion c au poin = e comme cos n = n nous obenons h = ch = sh [ + ] + [ ] = sh + n + U Ainsi pour ou réel, U = ch sh Comme U es C sur R la formule ci-dessous es valide en = en prenan la limie Nous reconnaissons alors la dérivée de lnsh ln ce qui implique qu il eise un réel C el que R, U = lnsh ln + C Nous venons de monrer que C R, R, U = ln sh + C f En = nous avons par définiion U = mais égalemen par développemen limié : sh = +o Nous remarquons alors que ln P = ln + Nous obenons donc C = ln sh Nous obenons, U = ln + n sh = ln + U = ln + ln = lnsh Nous venons de démonrer que pour ou réel, P = sh 4 Eercice Une méhode de calcul de Soi f la foncion de R dans R définie par Soi alors la foncion suivane :, R, f, = R +, F = sin d cos e si f, d = si : = cos e d
Le bu de ce eercice es d éudier les foncions f e F e d en déduire sin d = Éude de la foncion de plusieurs variables f [4 poins] a [c] Nous posons φ = cos pour ou Monrer que φ es prolongeable par coninuié en e préciser φ Puis monrer que φ eise sur R e es égalemen prolongeable par coninuié en e préciser φ b [c] Monrer que f es C sur R e que, R, f, = φ e avec φ une foncion coninue sur R que l on précisera c [c] Monrer que f adme une seconde dérivée parielle en e qu il eise une foncion φ coninue sur R à préciser elle que, R, f, = φ e Éude de l inégrale à paramère F [8 poins] a [c] Monrer que φ es inégrable sur ], + [ e en déduire que F es bien définie pour ou de R + b [c] Monrer que F es coninue sur R + c [c] Vérifier que cos es bornée sur [, + [ e en déduire que pour ou a >, F es C sur [a, + [ Précisez alors, sans calculer l inégrale, F sur ], + [ d [c*] Monrer que F es de classe C sur ], + [ e éablissez que On pourra s aider du fai que >, F = + [ cos e d = Re e i e ] e Vérifier que pour ou réels A e B, G A,B = ln ln + arcan + A + B es C sur ], + [ e saisfai : G = + f [*] Calculer pour ou >, e d En déduire que lim F = lim F = + + g [*] Déduire des deu quesions précédenes que F = G,/ sur R + e conclure sin quan à la valeur de d Soluion Éude de la foncion de plusieurs variables
a Tou d abord noons que φ es C sur R car cos l es e que égalemen e ne s annule pas sur R Faisons ensuie un DL en : φ = + o3 = + o φ es coninue sur R e prolongeable par coninuié en en posan φ = Nous avons déjà vu que φ es C donc C sur R donc nous calculons, Nous faisons à nouveau un DL en = : φ = 4 [ sin cos ] = sin + cos 4 φ = + o + + o3 = o4 4 4 φ es coninue sur R e φ prolongeable par coninuié en en posan φ = b Nous remarquons que pour ou, de R nous avons f, = φ e avec le prolongemen par coninuié de φ rouvé en a, à savoir φ = Toujours d après a, φ es C sur R mais comme lim φ = cela monre que φ es dérivable en e que sa dérivée es aussi coninue en Dès lors,, φ es une foncion C sur R Enfin,, es un polynôme donc C sur R e comme l eponenielle es C sur R il vien que, e es C sur R Par muliplicaion, f es C sur R e nous rouvons :, R, f, = φ e Nous avons donc φ = φ e φ es clairemen coninue sur R puisque φ l es c, φ adme une dérivée parielle en en ou poin de R e comme nous avons déjà vu,, e es C sur R donc adme une dérivée parielle en en ou poin de R Par muliplicaion, f es adme une seconde dérivée parielle en sur R e nous rouvons :, R, f, = φ e Nous avons donc φ = φ = φ = cos e φ es clairemen coninue sur R Éude de l inégrale à paramère F a On regarde l inégrabilié de φ sur rois ensemble : φ es coninue sur R + e es donc inégrable sur ou [m, M] ], + [ ; en zéro : D après a, lim φ = e donc φ inégrable en en l infini : Nous avons :, φ e comme es inégrable en + > il vien que φ es aussi inégrable en + φ es donc inégrable sur ], + [ Fions dans R + Nous bornons f, par une foncion inégrable en : R +, f, φ e comme φ es inégrable sur R + d après la quesion précédene cela implique que f, es inégrable en sur R +
F es bien définie pour ou de R + b Pour que F soi coninue sur R + il suffi que f soi coninue sur R + R + ce qui es vrai puisque f es C sur R d après b ;, R + R +, f, φ e φ es indépendane de e inégrable sur R + F es coninue sur [, + [ c Nous reconnaisons la foncion φ = cos de la quesion b pour laquelle nous avons déjà vu que φ es coninue sur R Nous avons donc φ coninue sur [, + [ e lim = ce + qui implique que φ es bornée sur R + cos es bornée sur R +, appelons M une borne Soi a >, pour que F soi C sur [a, + [ il suffi que f soi C sur R + [a, + [ ce qui es le cas d après b ;, R + [a, + [, f, φ e φ es indépendane de e inégrable sur R + ;, R + R +, f, φ e M e a e M e a es indépendane de e inégrable sur R + Donc F es C sur [a, + [ pour ou a > e sa dérivée e l inégrale de la dérivée parielle de f en F es C sur R + avec : >, F = f, d = cos e d d Pour que F soi C sur R + nous monrons que F es C sur ], + [, donc sur ou [a, + [ avec a > Pour que F soi C sur [a, + [ il suffi que f soi C sur R + [a, + [ ce qui es le cas d après c ; d après la quesion précédene :, R + R +, f, φ e M e a e M e a es indépendane de e inégrable sur R + ; enfin,, R + R +, f, = cos e e e a e e a es indépendane de e inégrable sur R + Dès lors, F es C sur [a, + [ pour ou a > ce qui indique que F es bien C sur R + De plus nous calculons >, F = = [ ] e + = cos e d = i + i e d cos e d e i + e i e d = [ e i i + e i i = + F es C sur R + avec : >, F = + e La foncion G A,B es bien définie e C sur R + par composiion e addiion Nous calculons alors >, G A,B = + ln ln + + + + A = ln ln + + A G A,B = + ] +
f Soi >, nous calculons [ ] + e e + d = = Grâce à c nous savons que φ es bornée sur R + De plus, φ es coninue sur [, + [ d après a e comme lim φ = il vien que φ es égalemen bornée sur [, + [ Dès + lors, >, F F En faisan endre vers + nous obenons φ e d M φ e d M e d = M e d = M lim F = lim F = + + g D après les quesions d e e il eise A e B deu réels els que pour ou >, F = G A,B Or la quesion précédene nous donne des limies en + e nous voyons que F = ln + e comme lim F = il vien A = + Mainenan revenons à F e nous obenons avec un DL F Or comme + A + A = ln arcan + B = ln + = ln + o = + o + + B lim + F = il vien B = arcan + B + arcan + B = + o Nous avons donc pour ou >, F = G,/ arcan + B arcan + B Nous avons vu en b que F es coninue en e nous pouvons donc calculer en inégran par parie F = [ cos d = cos ] + Mais comme F = G,/ nous rouvons égalemen + sin + d = lim F = lim G,/ = lim arcan + = Nous concluons sin d = sin d