5 Propagation t réflxion d onds intrns dans l océan : l mystèr d l angl critiqu par Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS Laboratoir d physiqu d l ENS d Lyon UMR CNRS 567 69364 Lyon Cdx 7 Thirry.Dauxois@ns-lyon.fr RÉSUMÉ Nous présntons un phénomèn physiqu original où ls notions d vitsss d phas t d group sont clairmnt distingués, puisqu orthogonals : il s agit ds onds d gravité intrns s propagant à l intériur ds fluids stratifiés, comm ls océans mais aussi l atmosphèr ou ls étoils. Outr son aspct nouvau, il s avèr qu l procssus d réflxion d cs onds d dnsité, lui aussi particulir t paradoxal, st évoqué pour xpliqur ls procssus d mélang (d planctons notammnt) t ls échangs ntr ls ons prochs ds fonds marins t l intériur d l océan. Cci a été mis n évidnc récmmnt dans ls océans. 1. INTRODUCTION Il xist d nombrux domains d la physiqu où la dnsité ds fluids étudiés n st pas homogèn. Lorsqu ls variations s font slon un sul dirction, on parl d fluids stratifiés. L au ds océans st plus salé n profondur. L au ds océans t ds lacs st aussi plus froid, donc plus dns, au fur t à msur qu l on dscnd (la plongé sous-marin prmt d xpérimntr très vit c phénomèn!). L atmosphèr égalmnt dvint moins dns avc l altitud, t la portanc ds avions s n rssnt. Dans ls étoils, la dnsité augmnt n allant vrs l cntr. Enfin, au point critiqu ds corps purs, la divrgnc d la comprssibilité prmt d obsrvr un stratification à ptit échll du à la gravité. On put rtrouvr ds onds intrns dans touts cs situations physiqus, mais nous nous limitrons ici aux océans. Ls donnés physiqus définissant ls principals propriétés d l au d mr sont au nombr d trois : salinité, tmpératur t prssion. Considérons d abord ls domains d variation d cs paramètrs. La salinité st la quantité d ions dissout dans l au, généralmnt xprimé n gramms par kilogramm d au d mr (c qui n fait un nombr sans dimnsion) : ll vaut n moynn 34,7 dans l océan. Ell st du ssntillmnt au chlorur d sodium (à 8 %), puis vinnnt l chlorur d magnésium (1 %), l sulfat d magnésium (5 %), l sulfat d calcium (3 %) t l sulfat d potassium ( %). Ctt salinité vari rlativmnt pu sur l nsmbl ds océans puisqu 5 % d l au d mr a un salinité compris ntr 34,6 t 34,7 [9]. Si l on omt qulqus ons très particulièrs (Mr Mort ( 75), Grand Lac Salé d Utah ( 15), Mr Roug ( 41), ), la gamm d variation s situ ntr 34 t 37. La tmpératur moynn d l au d mr st-ll d 3,5 C, t pour 5 % d la mass ds océans rst ntr 1,3 t 3,8 C [9]. En rvanch, l influnc d la surfac donn un Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
6 plus grand plag d variation allant jusqu à 5 C n été sur nos plags. Quant à la prssion, on s limitra à rapplr qu ll augmnt tous ls dix mètrs d un atmosphèr t qu la profondur moynn ds océans st d 3 5 m. La tmpératur, la salinité t la prssion détrminnt la mass volumiqu 1 du fluid slon son équation d état. Un formul mpiriqu prmt ainsi d obtnir cs variations dans la gamm mis n ju à partir ds rlvés in situ ds grandurs précédnts [1]. On put ainsi msurr localmnt la stratification ds océans (cf. annx).. LA FRÉQUENCE DE BRUNT-VÄISÄLÄ Considérons un particul d fluid écarté d son altitud d équilibr d un distanc δ slon la vrtical (cf. figur 1). On s limitra à un problèm bidimnsionnl dans un plan vrtical (O, JJG x, JJG ). La particul s dilat adiabatiqumnt t acquirt un dnsité ρ 1 différnt d la dnsité ρ 1 du fluid nvironnant (la stratification st du n parti à la prssion, dont l fft disparaît ici avc la dilatation, mais égalmnt à la salinité t la tmpératur qui n s équilibrnt pas avc l fluid nvironnant). Ell subit donc, outr son poids un poussé d Archimèd proportionnll au gradint d dnsité (auqul on rtranch l fft d la comprssibilité du fluid, c qui définit un dnsité potntill ρ, cf. annx). La projction d l équation du mouvmnt d la particul slon la dirction vrtical s écrit alors n utilisant l approximation d Boussinsq : d( δ ) d ρ ρ = g ρ1 ρ1 = g δ (1) dt d Figur 1 : Déplacmnt adiabatiqu d un particul d fluid initialmnt à l altitud t d mass volumiqu ρ. Élvé d δ ll oppos à son poids la poussé d Archimèd. Comm la dnsité potntill st un fonction décroissant d l altitud (condition d stratification stabl), la forc total st du sign opposé à δ. La dynamiqu corrspond donc à ds oscillations harmoniqus autour d un position stabl, avc un pulsation caractéristiqu : 1 Il st fréqunt n océanographi d utilisr abusivmnt l trm dnsité pour mass volumiqu, notammnt dans l introduction d la dnsité potntill (l trm mass volumiqu potntill n xist pas). Nous nous prmttons ct usag dans la suit d l articl. Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
7 g dρ N =, () ρ d applé fréqunc d Brunt-Väisälä. L énrgi potntill associé s écrit : 1 g dρ p = δ. (3) ρ d Dans l cas d l océan, l gradint d dnsité potntill st d l ordr d 1,. 1 4 4 kg. m 3 c qui corrspond à un fréqunc d Brunt-Väisälä d l ordr d 1 H : la périod d oscillation ds masss d fluid st d l ordr d vingt minuts! On put comparr ctt périod au tmps caractéristiqu d équilibr thrmiqu t salin, défini à partir ds constants d diffusion thrmiqu t salin qui sont du mêm ordr d 4 1 grandur : κ =.1 m.s. Ctt valur st un diffusivité ffctiv qui prnd n compt l mélang par turbulnc aux ptits échlls, dominant par rapport au procssus d diffusion classiqu. En vingt minuts, l fluid st homogénéisé sur 8 cm, alors qu dans l océan ls masss déplacés font plusiurs kilomètrs cubs... L approximation d Boussinsq st par conséqunt validé a postriori (cf. annx). 3. PROPAGATION DES ONDES INTERNES Un fluid stratifié put donc êtr considéré comm un miliu continu dont chaqu élémnt st suscptibl d vibrr autour d sa position d équilibr. Il st par conséqunt légitim d étudir la propagation d onds dans c miliu t, comm nous allons l voir, cla conduit à ds résultats étonnants. Considérons donc un fluid caractérisé à l équilibr par un stratification vrtical ρ ( ) t un prssion P ( ). On considérra l cas d un stratification uniform, c st-àdir N = cst. La prssion P t la dnsité ρ puvnt alors s xprimr [] n introduisant ls prturbations, supposés faibls, d prssion P, t d dnsité ρ, dus à l ond : P = P ( ) (,, ) + P x t, (4) ρ = ρ ( ) (,, ) + ρ x t. (5) L champ d vitss s écrit : G JJG JJG v = v ( x,, t) + v ( x,, t). (6) x x 3.1. L équation d ond L équation d Eulr put s écrir sous la form approché : G Dv JG JG ρ = P + ρ g. (7) Dt n utilisant [] l approximation d Boussinsq (on néglig ρ dvant ρ dans l trm inrtil mais on l laiss n factur d g pour traduir la poussé d Archimèd). Au prmir ordr, on rtrouv l équilibr hydrostatiqu : dp + ρg =. (8) d Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
8 On obtint à l ordr 1 ls dux équations suivants : v x P ρ =, (9) x v P ρ = ρg. (1) La consrvation d la dnsité potntill (cf. annx) l long ds ligns d courant s écrit quant à ll : ρ dρ + v =, (11) d t nfin l incomprssibilité conduit dans l cadr d l approximation d Boussinsq à : vx v + =. (1) x Nous avons donc ls quatr équations (9), (1), (11) t (1), pour ls quatr inconnus v x, v, ρ t P. La dérivé tmporll d l équation (1), combiné à la dérivé par rapport à x d l équation (9), conduit à : v vx 1 P = =. (13) t t x ρ x La dérivé tmporll d l équation (1) combiné à l équation (11), donn : v P ρ P dρ ρ = g = + gv. (14) d En introduisant la pulsation d Väisälä, on put réécrir ctt équation sous la form : v P ρ = N ρ v. (15) L opératur x appliqué à l équation (15) conduit à : 4 4 v P v ρ = N ρ, (16) x x x alors qu l opératur t appliqué à l équation (13) donn : 4 4 v 1 P = ρ x. (17) En rgroupant finalmnt ls équations (16) t (17), on aboutit à : 4 4 v v v + = N. (18) x x On néglig ici la dérivé d ρ par rapport à, c qui rvint à supposr k >> N / g (voir ci-après pour la définition d k ). L approximation st tout à fait légitim n miliu faiblmnt stratifié. Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
9 Il st important d notr qu l on aboutit à la mêm équation pour ls trois autrs variabls, u, P t ρ après un nombr d étaps idntiqus. 3.. Onds progrssivs Si l on rchrch ds solutions progrssivs d l équation (18) sous la form : ˆ ˆ ˆ i t kxx k v, v, P, ρ v, v, P, ˆ ρ ω =, (19) [ ] ( ) x x on obtint la rlation d disprsion : ω k + k N k =, () ( ) x x k x soit ncor : ω =± N =± N sin β (1) k n notant β l angl du vctur d ond avc la vrtical t k = k + k. Ctt formul st ass surprnant car l modul du vctur d ond k = JG k n y figur plus : il n rst qu la dirction du vctur d ond, β. La prmièr propriété étonnant ds onds intrns st donc d s propagr slon un dirction fix lorsqu la fréqunc st fixé ; la longuur d ond st n rvanch qulconqu. On put déduir d l équation (1) qulqus conséquncs immédiats : si ω =, il n y a pas d variation horiontal t k x =. Il n put y avoir d rcirculation t l fluid st bloqué ; touts ls pulsations < ω < N puvnt s propagr ; pour ω = N, kx t k =, chaqu colonn oscill complètmnt indépndammnt G JJG d ss voisins, par conséqunt v = v( x). Tous ls vcturs d onds parallèls à x sont donc autorisés ; pour ω > N, l vctur d ond JG k a un parti imaginair t l ond st amorti. On rtindra donc qu l anisotropi du miliu impos qu cs onds soint disprsivs, d rlation d disprsion anisotrop t d pulsation infériur à N (un particul d fluid déplacé horiontalmnt n oscillra pas). La vitss d phas put êtr calculé à partir d la rlation d disprsion : JJG ω JG vϕ = k () k JJG N JJG JJG vϕ = ± sin β sin β x + cos β k. (3) En différntiant la rlation d disprsion Nkx / ( kx k) vitss d group : JJG ω JJG ω JJG v = + g x kx k x ω = +, on obtint égalmnt la (4) Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
3 JJG Nk v g = ± k x kx ( k ) 3/ x + k JJG N JJG JJG v g = ± cos β cos β x sin β k (5) En ffctuant l produit scalair ds xprssions (3) t (4), on montr qu la vitss d group st donc prpndiculair à la vitss d phas ds onds intrns : par conséqunt, un rayon d onds intrns s propag parallèlmnt à ss plans d ond! Notons nfin qu l équation d continuité (1) conduit à l xprssion : vˆ x = cotan β. (6) vˆ Ls dux vitsss étant n phas, ls particuls s déplacnt prpndiculairmnt au vctur d ond, c qu l on résum sur la figur. Nous omttrons donc par la suit ls notations complxs v ˆx, v ˆ. Un étud tnant compt d la forc d Coriolis rnd néanmoins ctt notation prtinnt, ls trajctoirs dvnant alors ds llipss... JJG JJG Figur : Rprésntation ds plans d onds, d la vitss d phas, d la vitss d group, t d la trajctoir ds particuls d fluid. L xpérinc d MOWBRAY t RARITY (1967) conçu pour vérifir la rlation d disprsion st à c stad particulièrmnt intérssant pour bin comprndr ls conséquncs d résultats inhabituls. Il s agit d obsrvr dans un cuv rctangulair ls onds générés par un barrau oscillant vrticalmnt à un fréqunc donné ω. La cuv st rmpli d au salé d manièr à obtnir un stratification linéair (l au plus salé t donc plus dns s situ par conséqunt n bas) t ls onds sont obsrvés par ombroscopi, n utilisant l fait qu l indic optiqu dépnd d la concntration n sl. Si ds mouvmnts sont forcés à la pulsation ω dans un fluid d gradint d mass volumiqu constant, tout ond d vctur d ond faisant un angl β = arcsin ( ω f / N) avc la vrtical st théoriqumnt xcité. Comm ls rayons sont donnés par ls dirctions d la vitss d group, on voit donc apparaîtr un croix (cf. figur 3), avc quatr branchs, chacun faisant un angl β avc l horiontal. On st donc bin loin d l ond circulair qu donnrait un émission acoustiqu localisé par xmpl. f Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
31 Figur 3 : Visualisation par ombroscopi ds mouvmnts d un fluid stratifié lorsqu il st xcité par un barrau oscillant vrticalmnt [1]. Ls onds xcités s propagnt avc un angl β par rapport à la vrtical n formant un croix (d après [1]). La rlation d disprsion (1) montr égalmnt qu aucun échll caractéristiqu n st associé aux onds intrns. Notons qu cci n préjug pas ds phénomèns physiqus sélctionnant l nombr d ond d l ond, puisqu ctt rlation a été obtnu n l absnc d sourc. La réalité montr qu un longuur d ond, d l ordr d un grand échll caractéristiqu d l xpérinc, st généralmnt sélctionné : ici, cla sra la taill d l objt immrgé oscillant. C sont néanmoins ds qustions toujours d actualité [7]. 4. ASPECTS ENERGETIQUES En rpartant ds équations (9) t (1), qu l on multipli par v x t v rspctivmnt t qu l on somm, on obtint : 1 vx 1 v P P ρ + ρ = vx v vρg (7) x ρ ( vx + v) G JJJJJG v grad P vρg (8) G G div P v + P div v vρg (9) = G div I v ρ g. (3) = ( ) = ( ) N = L mmbr d gauch corrspond à la variation d l énrgi cinétiqu. div G I st associé au travail ds forcs d prssion ; il put égalmnt êtr intrprété comm étant la divrgnc d un dnsité d flux d travail P G v qui modifi l énrgi d l ond. L troisièm trm, v ρ g tmporll, corrspond au travail d la poussé d Archimèd. Ctt forc étant consrvativ, on put montrr qu ll dériv d l énrgi potntill (3) n utilisant la consrvation d la mass : ρ N ρ δ N = ρ ρ = δ. (31) g g On put donc réécrir l équation (7) sous la form classiqu suivant : ( k p) + G = = div I, (3) Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
3 corrspondant à l énrgi total d l ond par unité d volum. Nous avons donc vérifié qu ls équations linéarisés qu nous avons utilisés conduisnt à un équation d consrvation d l énrgi avc un flux d énrgi t un dnsité d énrgi total, somm d la parti cinétiqu t potntill. Montrons qu, puisqu l systèm st consrvatif t harmoniqu, il vérifi la loi d équipartition d l énrgi, n moynn. On a d un part : ρ ρ k = ( vx + v) = v, (33) 4 1 1 N ρv ρ t d autr part : p = N ρ( δ ) = = v. (34) 4 sin β 4 L énrgi total donn finalmnt : ρ = k + p = v = k = p. (35) On obtint donc bin un équipartition d l énrgi ondulatoir. Cci nous prmt d miux comprndr la signification du vctur G I. En fft, n utilisant l équation (9), on a : ρωvx ρn sin βvx P = B = B. (36) kx kx Par conséqunt, G I JJG JJG B (37) k ρn sin βvx = ( vx x + v ) x JJG JJG B (38) ρ Nv = ( ) cos β cos β sin x + β k ρ Nv = ( ) cos cos JJG sin JJG ± β β x β (39) k = JJG vg. (4) L bilan d énrgi (3) s écrit finalmnt : JJG = div ( vg ). (41) On rtrouv donc un équation-bilan n l absnc d trm d sourc. 5. LES ONDES INTERNES DANS L OCEAN L obsrvation ds onds intrns st rndu difficil par l fait qu on n put fair ds rlvés océanographiqus d tmpératur, salinité, prssion t vitss qu localmnt, à l aid d sonds généralmnt. Pourtant, dans crtains cas, ls onds intrns pu profonds (cntain d mètrs) puvnt déformr la surfac ds océans à lur passag [3]. L intrférométri radar par satllit prmt alors d voir cs déformations (comm on rgardrait ds frangs d égal épaissur dans l domain optiqu) t d suivr ds paquts d onds intrns. Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
a) Au détroit d Lombok près d Bali, l nord étant à gauch. 33 b) Au détroit d Gibraltar. Figur 4 : Diffraction d onds intrns (imag NASA ) La figur 4a montr l îl d Bali (n bas) t l détroit d Lombok (au-dssus). On put distingur dux paquts d ond s propagant vrs la gauch t vrs la droit du détroit; ils sont dus à la présnc d forts courants d maré, jusqu à 3 m.s 1, qui intragissnt avc un saut d rlif (parfois applé montagn sous-marin) situé au fond du détroit. La largur du paqut d onds d gauch attint 8 km. Ls longuurs d onds ls plus courts, typiqumnt d l ordr d 5 à 1 km, s propagnt plus lntmnt comm l prédit la rlation d disprsion. Notons égalmnt la diffraction d cs onds par l détroit. La figur 4b montr ds onds intrns générés par ls courants d maré à l st du détroit d Gibraltar. On rmarqu la ntt diffraction d cs onds. On put égalmnt distingur sur l bas du mêm cliché, la présnc d onds intrns atmosphériqus, dits onds d «l». C mot (n ayant pas d traduction français) signifi «côté sous l vnt» d un batau ou d un montagn. D tlls onds sont ngndrés par la turbulnc provoqué dans un écoulmnt atmosphériqu au passag sur un rlif. On obsrv fréqummnt dans l cil cs roulaux d nuags, qui sont la manifstation d onds intrns dans l atmosphèr. La mr d Andaman, situé dans l océan indin à l oust d la Thaïland, st un sit réputé pour la présnc mais surtout ls ffts parfois dévastaturs d cs onds. En 198, OSBORNE t BURCH étudièrnt ainsi ls msurs réunis par l ntrpris américain Exxon [4], d manièr à miux connaîtr cs onds mais surtout lurs ffts sur ls plats-forms pétrolièrs bin évidmmnt. Par aillurs, c typ d ond st un ds raisons évoqués pour xpliqur la prt, pu documnté, du sous-marin nucléair américain USS Thrshr, disparu n 1969, à la suit d un dscnt trop rapid. 6. REFLEXION DES ONDES INTERNES: LE MYSTERE DE L ANGLE CRITIQUE 6.1. L paradox Considérons maintnant l intraction d un ond intrn avc un fond marin qu nous supposrons incliné avc un angl γ par rapport à l horiontal. Comm lors d tout phénomèn d réflxion, la pulsation d l ond st consrvé d manièr à rspctr ls conditions aux limits dans l approximation linéair. Par conséqunt, étant donné la rlation d disprsion (1), lorsqu un ond intrn s réfléchit, son angl d propagation par rapport à l horiontal sra consrvé, indépndammnt d l angl d la pnt : il n y aura donc plus d réflxion spéculair comm pour ds onds acoustiqus ou optiqus, mais un réflxion qui dépnd d l angl γ d la pnt avc l horiontal. Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
34 Comm l montr la figur 5a, il xist ls trois possibilités suivants : γ < β : réflxion vrs l haut : γ > β : réflxion vrs l bas ; γ = β : réflxion l long du plan incliné. Il apparaît donc un angl critiqu, γ = β, sans équivalnt dans l cadr d la réflxion d onds acoustiqus, puisqu dans c drnir cas, c st l angl par rapport à la normal à la surfac qui st consrvé, donnant liu à la réflxion spéculair. a) Réflxion d un ond intrn slon qu γ < β (réflxion vrs l haut avc la lign continu), γ > β (réflxion vrs l bas avc la lign traits tirés) t γ = β (réflxion critiqu avc la lign pointillé). b) Réflxion d un faiscau d onds intrns dans l cas où l angl γ d la pnt, st infériur à clui caractérisant l ond incidnt, β. Figur 5 : Rprésntation schématiqu d la réflxion d onds intrns. Si l on considèr désormais un faiscau d onds intrns s réfléchissant sur un paroi incliné, la figur 5b) mt n évidnc un fort rétrécissmnt d la largur du faiscau après la réflxion, lorsqu ls conditions sont prochs d ct angl critiqu. Par consrvation d l énrgi, il sra accompagné d un augmntation d la dnsité d énrgi d l ond réfléchi. C raisonnmnt simpl t géométriqu indiqu par conséqunt qu la largur du faiscau réfléchi s annulra pour l angl critiqu alors qu l amplitud d l ond dvindra infini! Comm nous avons vu qu l flux d énrgi st égal au produit d l énrgi par la vitss d group (cf. Eq. (4)), cla signifi égalmnt qu la vitss d group d l ond réfléchi s annul. C paradox n st évidmmnt qu apparnt, puisqu cs résultats n rspctnt pas touts ls hypothèss qui nous ont prmis d établir ls lois utilisés. Nous avons ainsi mné un étud linéair : évidmmnt, si l amplitud divrg, on dvra tnir compt ds ffts non linéairs, t cla mêm si l amplitud d l ond initial st faibl. Nous avons, par aillurs, négligé ls ffts d viscosité. Cux-ci n sont évidmmnt plus négligabls lorsqu la vitss l long d la pnt dvint très grand : l énrgi sra absorbé par dissipation visquus. Traitr l problèm non linéair t visquux st possibl mais clairmnt un tâch plus ardu. Nous avons donc choisi ds méthods analytiqus (échlls multipls t raccordmnts asymptotiqus) pour résoudr c problèm [5]. Ctt approch s révèl tout à fait approprié t prmt d lvr ctt singularité, non résolu dpuis trnt ans. Un aspct très particulir d ctt théori faiblmnt non linéair st qu la dscription réduit final st un équation linéair (i.. qu à l ordr où intrvint la condition d compatibilité, touts ls contributions résonants non linéairs s annulnt), alors qu l on Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
35 s attndait à un équation non linéair d typ Kortwg d Vris, comm dans l cas ds vagus n au pu profond. Il faut cpndant notr qu la non linéarité intrvint, néanmoins, d manièr important dans la physiqu du problèm. Nous avons ainsi pu résoudr c viux paradox t, pour la prmièr fois, comprndr ls ffts d la non linéarité, d la viscosité ainsi qu ls ffts transitoirs près d la paroi. 6.. Mis n évidnc xpérimntal Charls ERIKSEN a ffctué ds rlvés océanographiqus [6] dans l océan Pacifiqu par analys spctral ds mouvmnts d au n fonction d la profondur au voisinag d un fond océaniqu faisant un angl moyn d γ =4 avc l horiontal. Cs rlvés prmttnt d confirmr d manièr splndid qu ls onds intrns arrivant sur ctt montagn sous-marin avc un angl quasi-critiqu sont, ffctivmnt, majoritairmnt bloqués au voisinag d la pnt. La figur 6a révèl ainsi qu près du fond marin, il y xist un très fort signal autour d,4 cph, la fréqunc critiqu associé à la pnt local d la montagn sous-marin (N = 1 cph conduit à N sin γ =,41 cph). Au fur t à msur qu l on s éloign du fond, l pic disparaît progrssivmnt, prouvant ainsi l lin étroit ntr la présnc d c pic t cll d la pnt. La sur-rprésntation d cs onds dans ctt band d fréqunc indiqu qu il y a un très fort amplification ds onds réfléchis près d ctt fréqunc critiqu, t qu ll sont bloqués près d la pnt comm l étud théoriqu précédnt l avait suggéré. Lorsqu la distanc au fond marin augmnt, l amplitud d la boss s réduit : on obtint alors l spctr, dit d Gartt t Munk, qui st très bin vérifié au miliu d l océan. a) Rlvé ds spctrs (amplitud ds oscillations) d onds intrns obtnus près d un montagn sousmarin faisant un angl moyn d γ = 4 avc l horiontal [6]. Ls différnts spctrs corrspondnt à différnts profondurs, xprimés n mètr t indiqués sur l échll d droit. Ls traits continus corrspondnt à un prédiction théoriqu très bin vérifié à l intériur d l océan. Figur 6 : Réflxion d onds intrns. b) Déformation à un instant donné ds ligns isodnsité obtnus à partir ds prévisions théoriqus lors d la réflxion d onds intrns dans un cas quasi-critiqu [5]. Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
36 On put notr égalmnt qu l énrgi mis n ju dans c phénomèn n st aucunmnt négligabl dvant l rst du spctr : un millur compréhnsion ds conséquncs d ctt réflxion sur l mélang t la turbulnc ds aux profonds prmttra sans dout d améliorr ls simulations d évolution océaniqus déjà xistants. C st l objctif d la prochain parti. 6.3. Conséquncs sur l mélang La théori faiblmnt non linéair prévoit alors un instabilité ds plans d ond qui défrlnt (cf. figur 6b) l long d la pnt [5]. La situation la plus propic pour l mélang corrspond bin sûr au cas où l angl d propagation d l ond incidnt st approximativmnt égal à l angl d la pnt. L amplitud d l ond réfléchi étant important, ls couchs d fluids sont instabls près d la pnt t donnnt naissanc à ds roulaux convctifs. Cla a pour fft d crér ds langus d fluids bin mélangés qui s propagnt vrs l intériur d l océan sur ds distancs très importants. Ctt réflxion st considéré comm l un ds élémnts ssntils pour xpliqur ls procssus d mélang t ls échangs ntr ls régions prochs ds fonds marins t l intériur d l océan. En fft, si ds msurs récnts ds phénomèns d mélang à l intériur d l océan ont confirmé plusiurs décnnis d déductions théoriqus, crtains rlvés, près ds bords ou près d structurs topographiqus, ont montré l importanc qualitativ t quantitativ d la réflxion ds onds intrns sur ls procssus d mélang [8]. CONCLUSION Ls onds intrns présntnt d nombruss particularités dans lur propagation (vitss d phas t d group orthogonals, absnc d échll d longuur,...) qui prmttnt d voir sous un jour nouvau plusiurs qustions traditionnlls rlativs aux phénomèns ondulatoirs. Ells sont aussi suscptibls d s réfléchir sur un fond marin d manièr très particulièr : contrairmnt aux onds acoustiqus, c n st pas l angl par rapport à la normal à la surfac qui st consrvé mais l angl par rapport à la vrtical. Cla donn liu à ds constructions géométriqus étonnants... mais surtout mis n évidnc récmmnt dans ls océans t à l origin d qustions importants sur ls phénomèns d mélang (d planctons notammnt) dans ls océans. Il s agit d plus d un sujt ncor ouvrt, qui par ss rtombés géophysiqus st un ds nombrux njux d un millur compréhnsion du systèm climatiqu trrstr. REMERCIEMENTS Nous tnons à rmrcir Frédéric MASSIAS pour un lctur attntiv d la prmièr vrsion d c documnt. BIBLIOGRAPHIE [1] Donnés sur la composition ds océans : http://isitv.univ-tln.fr/lcalv/ocano/ [] KUNDU P. K. Fluid Mchanics. Acadmic Prss, 199. Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
37 [3] Photos satllits d onds intrns t autrs phénomèns. http://www.ifm.uni-hamburg.d/rs-sar/ [4] OSBORNE A. R. t BURCH T. L. Intrnal solitons in th Andaman. Scinc, 198, n 8, p. 451-46. [5] DAUXOIS T. t YOUNG W. R. Nar critical rflction of intrnal wavs. Journal of Fluid Mchanics, 1999, n 39, p. 71-95. [6] Eriksn C. C. Intrnal wav rflction and mixing at Fibrling Guyot. Journal of Gophysical Rsarch, 1998, n 13, p. 977-994. [7] VOISIN B. Th formation of intrnal wav bams. Part 1. Limit stats, soumis à Journal of Fluid Mchanics,. [8] POLZIN K. L., TOOLE J. M., LEDWELL J. R. t SCHMITT R. W. Spatial variability of turbulnt mixing in th abyssal ocan. Scinc, 1997, n 76, p. 93-96. [9] Stwart R. H. Physical Ocanography. http://ocanworld.tamu.du/rsourcs/ocng\_txtbook/pdf\_fils/book\_pdf\_fils.html [1] DAUXOIS T., DIDIER A. t FALCON E. Obsrvation of nar critical rflction of intrnal wavs in a stably stratifid fluid, soumis à Physics of Fluids, 3. Louis GOSTIAUX Doctorant Laboratoir d physiqu d l ENS Lyon (Rhôn) Thirry DAUXOIS Chrchur au CNRS Laboratoir d physiqu d l ENS Lyon (Rhôn) Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
38 Annx Dnsité potntill t approximation d Boussinsq La dnsité d l au d mr st un fonction d la tmpératur, d la prssion t d la salinité ρ ( T, P, S). L équation d état mpiriqu aujourd hui utilisé st «l équation d état intrnational (198)». Ls msurs d T, P t S prmttnt d avoir la dnsité réll fonction d la profondur, t cll-ci croît au fur t à msur qu l on dscnd. Néanmoins, cla n garantit pas la stabilité d l océan : lorsqu on déplac un particul fluid, ll équilibr sa prssion avc l fluid nvironnant. Il faut donc comparr ls dnsités à prssion égal, par xmpl la prssion atmosphériqu. La figur 7 présnt l évolution d la tmpératur, d la salinité t d la dnsité ramné à P = 1 bar n fonction d la profondur pour la foss Mindanao près ds Philippins. La stratification st stabl si ctt dnsité fictiv croît avc la profondur : c n st pas l cas ici... En fft, un particul déplacé vrs l haut s rtrouvra ntouré d fluid plus dns t sra poussé vrs l haut par la forc d Archimèd, déstabilisant ainsi la stratification. Figur 7 : Évolutions typiqus d la dnsité à la prssion d référnc 1 bar, d la salinité t d la tmpératur n fonction d la profondur dans l océan [1]. Cpndant, lorsqu la particul s élèv, ll subit un détnt puisqu la prssion diminu. Si ctt détnt st suffisammnt rapid, ll put êtr considéré comm adiabatiqu. En s rfroidissant, ll put dans crtains conditions dvnir plus dns qu l fluid nvironnant t rtombr : il faut donc tnir compt ds changmnts d tmpératur d la particul pour étudir la stabilité d la stratification. Considérons un particul fluid d dnsité ρ ( T1, P1, S1) qui s déplac vrticalmnt dans un on d dnsité ρ ( T, P, S). Ell s rtrouv à la prssion P, puisqu l équilibr ds prssions st quasi instantané. Si ll consrv sa salinité S, ll voit cpndant sa tmpératur varir t prndr un valur T 1 compt tnu d la détnt subi : ll a par conséqunt un dnsité ρ ( T 1, P, S1) qu l on doit comparr avc la dnsité ρ ( T, P, S). Il st alors commod pour ffctur la comparaison d ramnr (par la pnsé) adiabatiqumnt ls dux masss volumiqus à la prssion d la surfac Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur
39 ( P = 1 bar). Ls particuls ont alors ds tmpératurs θ 1 t θ applés tmpératurs potntills. On compar alors ls dnsités, dits potntills, ρ 1 = ρ ( θ 1, P, S 1 ) t ρ = ρ ( θ, P, S) : c sont ls dnsités du fluid ramné d manièr adiabatiqu au nivau d la mr. Lorsqu l on trac ctt dnsité potntill n fonction d la profondur (cf. figur 8), on rtrouv un augmntation au fur t à msur d la dscnt qui mt n évidnc la stratification stabl ds océans. Figur 8 : Évolution d la dnsité potntill dans l océan. On rmarqu dux ons distincts : la prmièr jusqu à 5 m corrspond au gradint d dnsité obsrvé dans l nsmbl ds océans jusqu à la plain abyssal. La scond, plus rar, corrspond à la très faibl variation d dnsité dans la foss. Nous nous intérssrons ici uniqumnt à la stratification supériur, qu l on stim ici à 4 1,. 1 4 kg. m. L introduction d ctt dnsité put simplifir énormémnt ls calculs. Rvnons pour cla à l équation d consrvation d la mass (dit d continuité), qui put s écrir d dux manièrs, suivant qu l on prnd l point d vu ulrin : ρ JG G + ( ρv ) =, (4) ou l point d vu lagrangin : Dρ JG G + ρ v =. (43) Dt Cs dux équations sont ds conséquncs d la définition d la particul fluid d mass δ m constant (l équation d continuité étant n fft équivalnt à D δ m = t d la Dt formul d cinématiqu rliant l taux d dilatation d la particul fluid d volum δτ à la divrgnc du champ d vitss : JG G 1 Dδτ v =. (44) δτ Dt Vol. 98 - Novmbr 4 Louis GOSTIAUX t Thirry DAUXOIS
4 Pour ds écoulmnts lnts dvant la vitss du son t dvant ls tmps caractéristiqus d diffusion d la chalur, ls comprssions t dilatations ds particuls fluids sont adiabatiqus t laissnt donc inchangés la dnsité potntill d la particul fluid. L fluid travrs donc ds ons d dnsité différnt où il subit la poussé d Archimèd, laqull st proportionnll à la différnc d dnsité potntill. On put donc écrir ls équations d la mécaniqu ds fluids avc ctt nouvll grandur consrvé l long ds ligns d courant. C st l approximation d Boussinsq, qui donn dans l équation d continuité : D ρ JG G = v =. (45) Dt Propagation t réflxion d ond intrns dans l océan... L Bup n o 868 () - Cahir nsignmnt supériur