Notes de cours Statistique avec le logiciel R

Transcription

1 Notes de cours Statistique avec le logiciel R Shuyan LIU Shuyan.Liu@univ-paris.fr http ://samm.univ-paris.fr/shuyan-liu-enseignement Année

2

3 Chapitre Introduction L objectif de ce cours est de mettre en évidence les liens entre toutes les notions en statistique rencontrées dans les années antérieures par les étudiants : statistiques descriptives, variables aléatoires et statistique mathématique. Le logiciel R est utilisé pour illustrer les applications des outils de statistique.. Plan de cours Statistiquesdescriptives GraphiquessousR:personnalisationdesgraphes Modèle linéaire : régression simple et multiple, ANOVA sous R Estimations ponctuelles et par intervalles de confiance Testsparamétriques Testsnonparamétriques OutilsRpourlesvaleursextrêmes.2 Vocabulaire Une statistique -unnombrecalculéàpartirdesobservations -lerésultatdel applicationdeméthode La statistique / Les statistiques -undomaine -lacollectedesdonnées -letraitement(descriptive) -l interprétation(exploratoire) -laprévisionetladécision(décisionnelle).3 Statistique et probabilité Les probabilités sont l outil de base du statisticien, car le hasard intervient à plusieurs niveaux en statistique : la répartition des données, le bruit, etc..

4 2 Introduction.4 Les avantages de R S-PLUS méthodesrécentes multi-plateforme gratuit Installation : http ://

5 .5 Rappel aux lois de probabilités et les statistiques descriptives 3.5 Rappel aux lois de probabilités et les statistiques descriptives Nous prenons la loi uniforme comme exemple pour rappeler les notions des lois de probabilités et les statistiques descriptives. discrète continue Notation Unif(n) Unif[a, b] X 2 {,...,n} [a, b] Masse/Densité IP (X = i) = n 8 0, x <, >< [x] Fdr F (x) =, apple x apple n, >: n, x > n. f(x) = b 8 >< 0, x < a, x a F (x) =, a apple x<b, >: b a, x b. a IE (X) Var (X) Médiane/0.5-quantile.6 Statistique d ordre n + 2 n 2 2 n + 2 a + b 2 (b a) 2 2 a + b 2 La statistique d ordre de rank k d un échantillon est égal à la k-ème plus petite valeur. Étant donné un échantillon X,X 2,...,X n,lesstatistiquesd ordres,notéesx (),X (2),...,X (n), sont donc obtenues par tri croissant. Si on suppose l échantillon X,X 2,...,X n i.i.d. issu d une loi de densité f(x) et de fonction de répartition F,alorsladensitédelak-ème statistique d ordre est Exercice f X(k) (x) = n! (k )!(n k)! F (x)k ( F (x)) n k f(x).. Montrer que les fonctions de répartition de X () et X (n) sont F X() = ( F (x)) n et F X(n) =(F (x)) n. 2. Soit X,X 2,...,X n un n-échantillon i.i.d. de loi Unif[a, b]. Montrer que X () et X (n) sont respectivement les estimateurs du maximum de vraisemblance de a et b.

6 4 Introduction Dans la suite, on va présenter des applications de statistiques d ordre afin de rappeler quelques sujets de statistique inférentielle : les estimations paramétriques, les tests statistiques, les convergences des suites de v.a., etc.. Les statistiques d ordre peuvent être utilisées pour estimer les paramètres. Par exemple, soit X,X 2,...,X n une suite de v.a. i.i.d. de loi gaussienne d espérance µ et de variance 2 inconnus. On peut estimer µ et en utilisant les statistiques suivantes ˆµ = X (dn 0.5e) et ˆ =(X (dn 0.84e) X (dn 0.6e) )/2. () La figure. montre que la moyenne et la médiane convergent toutes deux vers l espérance réelle pour la loi gaussienne, tandis que seule la médiane converge pour la loi de Cauchy. Moyenne, Normale Moyenne, Cauchy m Moyenne empirique Espérance réelle Intervalle de confiance mc Moyenne empirique Médiane réelle Index Index Médiane, Normale Médiane, Cauchy med - 3 Médiane empirique Espérance réelle Intervalle de confiance med Médiane empirique Médiane réelle Intervalle de confiance Index Index Figure. Convergence de moyenne et médiane empiriques pour la loi gaussienne et la loi de Cauchy Les intervalles de confiance de médiane dans la figure. sont calculés avec le théorème central limite suivant p p( p) n(x(dn pe) q p )!N 0, (f(f (p))) 2 où q p est le quantile d ordre p réel, f(x) et F (x) sont la densité est la fonction de répartition de X. Code R

7 .6 Statistique d ordre 5 n = 00;x = rnorm(n);m = cumsum(x)/(:n);v = ;q = qnorm(0.975) ic = m+q*sqrt(v)/sqrt(:n);ic2 = m-q*sqrt(v)/sqrt(:n) plot(m,type="l");abline(h=0,col="red") lines(ic,col="blue",lty="dotted");lines(ic2,col="blue",lty="dotted") xc = rcauchy(n,0,);mc = cumsum(xc)/(:n) plot(mc,type="l");abline(h=0,col="red") med = rep(0,n);for (i in :n) med[i] = quantile(x[:i],probs=0.5) p = 0.5;v = p*(-p)/(dnorm(qnorm(p)))^2 ic = med+q*sqrt(v)/sqrt(:n);ic2 = med-q*sqrt(v)/sqrt(:n) plot(med,type="l");abline(h=0,col="red") lines(ic,col="blue",lty="dotted");lines(ic2,col="blue",lty="dotted") for (i in :n) med[i] = quantile(xc[:i],probs=0.5) v = p*(-p)/(dcauchy(qcauchy(p)))^2 # les calculs de ic et ic2 et le code de plot pour la loi de Cauchy # sont identiques que ceux dans le cas gaussien Exercice. Pourquoi la moyenne empirique de loi de Cauchy ne converge pas? 2. Pourquoi ˆ défini dans () estunestimateurde?peutonl utiliserpourestimer l écart-type d une loi uniforme? 3. Proposer un estimateur d écart-type d une loi uniforme en utilisant les statistiques d ordre et vérifier la convergence avec l étude de simulation. 4. Écrire un programme en R pour illustrer la convergence d estimateur ˆ défini dans (). Une deuxième utilisation de statistiques d ordre est le diagramme quantile-quantile. C est un outil graphique qui permet d évaluer la pertinence de l ajustement d une loi de probabilités. À l issue d une enquête statistique, on soupçonne celle-ci de suivre une distribution classique, parexemplelaloigaussienne.àpartirdelasériestatistiqueob- servée, on calcule alors un certain nombre de quantiles q i.silasériestatistiquesuit n+ bien la loi théorique choisie, on devrait avoir les quantiles observés X (dn i e) égaux aux quantile q i n+ = F ( i n+ ) associés au modèle théorique. On place alors le nuage de point (X (dn i e),f ( i )). En abscisse se trouvent donc les quantiles théoriques et en ordonnée les quantiles observés. Si la loi théorique choisie est pertinente, les points doivent se n+ n+ positionner suivant la première diagonale. Code R x = rnorm(00) n+

8 6 Introduction Norm~Norm T(2)~Norm Unif~Norm Sample Quantiles Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles Figure.2 Diagramme quantile-quantile des données issues de loi gaussienne, loi de Student et loi uniforme qqnorm(x,main="norm~norm");qqline(x, col = 2) y = rt(00,df=2) qqnorm(y,main="t(2)~norm");qqline(y, col = 2) z = runif(00) qqnorm(z,main="unif~norm");qqline(z, col = 2) qqplot(x, rt(00,df=2));qqline(x, col = 2) La troisième application de statistiques d ordre est les tests d adéquation. Par exemple, le test de normalité, test de Shapiro-Wilk, peut être interprété avec un diagramme quantilequantile. Le test Shapiro-Wilk teste l hypothèse nulle selon la quelle un échantillon est issu d une loi normale. La statistique de test est W = (P n i= a ix (i) ) 2 P n i= (x i x) 2 où x (i) désigne la i-ème statistique d ordre, a i sont des constantes générées à partir de la moyenne et de la matrice de variance co-variance des quantiles d un échantillon de taille n suivant la loi normale. La statistique W peut être interprétée comme le coefficient de détermination entre la série des quantiles générés à partir de la loi normale et les quantiles empiriques obtenus à partir des données. Plus W est élevé, plus la compatibilité avec la loi normale est crédible. Pour tester l adéquation d un échantillon à une loi qui n est pas nécessairement normale, on peut utiliser le test de Kolmogorov-Smirnov (KS). Ce test repose sur les propriétés des fonctions de répartition empiriques. Soit X,X 2,...,X n une suite de n v.a. i.i.d.. La fonction de répartition empirique de cet échantillon est définie par ˆF n (x) = n 8 nx < I {Xi applex}(x) = : i= 0, x < X (), k n, X (k) apple x<x (k+), k =,...,n,, x X (n). (2)

9 .6 Statistique d ordre 7 La figure.3 présente la fonction de répartition empirique d un 0-échantillon de loi uniforme [0, ]. Onalaconvergencesuivante p n sup ˆF n (x) F (x)!k x où K est une v.a. de loi de Kolmogorov. Notons la statistique D n =sup x ˆF n (x) F (x). Si l échantillon provient bien de la loi donnée F (x), D n devrait être petite. La région critique, rejet de l adéquation, s écrit donc p ndn >K où IP ( p nd n <K )=. ecdf(x) Fn(x) x Figure.3 Fonction de répartition empirique d un 0-échantillon de loi uniforme [0, ] Code R x = runif(0);fn = ecdf(x);z = seq(0,,0.0) plot(fn,verticals = TRUE, do.points = FALSE) lines(z,punif(z),col="red",lwd=2) x = rnorm(50);y = runif(50);ks.test(x, y)

10 8 Introduction Exercice. Soit X,X 2,...,X n une suite de n v.a. i.i.d.. La fonction de répartition de X i est F (x). Soit ˆF n (x) la fonction de répartition empirique définie par (2). a) Calculer l espérance et la variance de ˆF n (x) en fonction de F (x). b) Démontrer que pour tout x 2 R, ˆFn (x) P! F (x). n! c) Montrer que pour tout x 2 R, ˆFn (x) vérifie un théorème de limite centrale que l on établira. d) À partir d un contre-exemple, montrer que la convergence précédente n a plus lieu en général. 2. Un vigneron veut savoir quelle est la contenance moyenne des bouteilles qu il produit. Il effectue pour cela une mesure sur un échantillon de 0 bouteilles et obtient, en centilitres, les volumes suivants Il déduit que la moyenne empirique est Supposonsquelacontenanced une bouteille prise au hasard dans le production est distribuée selon une loi normale de moyenne µ et de variance 2.Alorspeutoncroirequeµ =75? a) 2 =. b) 2 est inconnue..7 Rappel aux tests statistiques Un test statistique permet de décider entre deux hypothèses H 0 et H. Cette décision se fera à partir d une réalisation d un échantillon. On associe à un test un niveau, ou risque de première espèce (généralement entre % et 0%). Une fois que le niveau est fixé on peut en déduire la région de rejet..7. Construction d un test. Choix du niveau Un choix standard est =5%.Poursavoirplussurcettenormeofficieuse,voirla section 2.4 La canonisation du 5% dans[]. 2. Choix des hypothèses H 0 et H On veut tester l appartenance du paramètre àunensembledevaleurs 0.Onforme donc le test H 0 : 2 0 contre H : 2, où 0 \ = ;. Unehypothèseestditesimplesielleestassociéeàunsingleton,c est-àdire H 0 : = 0 ou H : =,sinonelleseraditemultiple,oubiencomposite.sih est

11 .7 Rappel aux tests statistiques 9 multiple de la forme > 0 ou < 0,onparleradetestunilatéral.SiH est multiple de la forme 6= 0 on parlera de test bilatéral. 3. Choix de la statistique de test La statistique est une quantité calculée à partir d un échantillon qui suit une loi connue sous l hypothèse H 0.OnnoteT la statistique théorique la variable aléatoire qui suit la loi de statistique choisie, ˆT la statistique empirique la statistique calculée à partir de la réalisation de l échantillon. 4. Détermination de la région de rejet La région de rejet, notée W,estl ensembledevaleurauquellastatistiquechoisie appartient sous l hypothèse H 0 avec la probabilité égale à, i.e. IP (T 2 W H 0 )=. Autrement dit si H 0 est vraie la statistique T apeudechanced êtredansw.doncsi la statistique calculée ˆT fait partie de W,onalaraisonsuffisantepourrejeterH 0,d où vient le nom la région de rejet. 5. Conclusion pour la réalisation de l échantillon On calcule la statistique ˆT et compare avec la région de rejet ; La décision est prise de façon suivante. rejet de H0 si ˆT 2 W, acceptation de H 0 si ˆT /2 W. Remarque. Un test a le plus souvent pour but de rejeter H 0 plutôt que de choisir entre deux hypothèses, puisque accepter H 0 ne veut pas dire que cette hypothèse est vraie mais qu il n y pas de raison suffisante pour la rejeter. Rejeter H 0 est donc beaucoup riche en information que l accepter. C est pour cela que dans le cas de rejet on dit que le test est significatif. Les deux hypothèses ne sont donc pas interchangeables. Un exemple simple est présenté ci dessous pour illustrer la construction d un test et en séduire l intérêt de la notion p-value..7.2 Exemple simple On dispose d un échantillon gaussien X,...,X n de loi N (µ, veut réaliser le test suivant, 2 ) avec µ inconnu et on H 0 : µ = m contre H : µ 6= m, pour une valeur m donnée. On choisit intuitivement la statistique de test X P = n n i= X i. On sait que sous H 0, X est distribuée suivant une loi gaussienne N (µ, 2 /n), ainsi pn ( X m) N(0, ). Soitunniveau =5%.Ontrouvedanslatabledeloigaussiennecentrée et réduite le quantile q 97.5% =.96, i.e. IP ( p n( X m) <.96 H0 )= On peut bien sûr choisir une autre statistique, par exemple X.Qu obtient-on?

12 0 Introduction Puisque le test est bilatéral, on déduit ainsi, IP ( p n X m.96 H0 )=0.05, IP ( X 2 (,m.96 / p n) [ (m +.96 / p n, ) H 0 )=0.05. La région de rejet est donc W =(,m.96 / p n) [ (m +.96 / p n, ). Notons ˆ X la moyenne empirique calculée à partir d une réalisation de l échantillon. La décision est la suivante. ( rejet de H 0 si ˆ X <m.96 / p n ou ˆ X >m+.96 / p n, acceptation de H 0 si m.96 / p n apple ˆ X apple m +.96 / p n. Cela veut dire qu on rejettera l hypothèse H 0 : µ = m si la moyenne observée est loin de m. Leniveau est la probabilité de commettre une erreur qu on rejette H 0 alors qu elle est vraie. Autrement dit le risque de rejeter à tort l hypothèse nulle est 5%. Remarquons que la région de rejet est liée au choix du niveau. Pourunniveau =0%on obtient la région de rejet suivante W =(,m.64 / p n) [ (m +.64 / p n, ), qui inclut celle de =5%.Ainsipourtous ˆ X 2 (m.96 / p n, m.64 / p n) [ (m +.64 / p n, m +.96 / p n), l hypothèse H 0 sera rejetée si =0%,maisacceptéesi =5%. C est-à-dire, la décision du test dépend non seulement des observations, mais aussi du niveau. Plus le niveau choisi est petit, plus il est difficile d obtenir le résultat significatif. Rappelons que le niveau est en fait le risque seuil, en dessous duquel on est prêt à rejeter H 0.Unrisquede5% veut dire que dans 5% des cas quand H 0 est vraie, l expérimentateur se trompera et la rejettera. Mais le choix du seuil à employer dépendra de la certitude désirée et de la vraisemblance des alternatives. On souhaite donc d obtenir le résultat qui est indépendant du risque seuil et permet de choisir le risque seuil a posteriori..7.3 La p-value La p-value ou niveau de signification est la valeur critique de qui fait basculer le résultat du test. Elle dépend uniquement de la réalisation de l échantillon et permet de faire la décision avec le niveau choisi arbitrairement. On a rejet de H0 si >p-value, acceptation de H 0 si <p-value. La p-value est en fait la valeur la plus petite de qui permet de rejeter H 0.Silap-value est plus grande que choisi a priori, le test est non concluant, ce qui revient à dire que

13 .7 Rappel aux tests statistiques l on ne peut rien affirmer. Prenons l exemple du test bilatéral présenté précédemment, la p-value peur être calculée, p p n n p-value =IP X m ˆ X m H0. C est la probabilité, en supposant que H 0 est vraie, d obtenir une valeur de la variable de décision X m au moins aussi grande que la valeur de la statistique que l on a obtenue avec notre échantillon ˆ X m. Puisque sous H0,ona pn ( X m) N(0, ). En notant N (0, ) une variable aléatoire gaussienne standard, on a p-value =IP N (0, ) p n ˆ X m.

14 2 Introduction

15 Chapitre 2 Modèle linéaire Notre but est d étudier la relation de détermination de Y par k variables explicatives X (),...,X (k), Y i = µ + X () i + 2 X (2) i + + k X (k) i + " i, i =,...,n. Il s en suit l écriture matricielle suivante Y X () X (2) X (k) B C B A A Y n X n () X n (2) X n (k) ou encore 0 Y = X + " avec = µ. k 0 C A et X = µ. k 0 C A + ". " n C A X () X (2) X (k)... X n () X n (2) X n (k) Le vecteur aléatoire " appelé erreur du modèle vérifie les 4 postulats suivants : pour tous i =,...,n,. IE (" i )=0 2. Var (" i )= 2 3. " i sont i.i.d. de loi gaussienne. 4. X i sont déterministes. 2. Régression linéaire simple Pour le modèle linéaire simple, i.e. k =,lesestimateurssontlessuivants P ˆ Cov (Y,X) n = Var (X), ˆµ = Ȳ ˆ i= X, ˆ2 = ˆ"2 i n 2 C A. P où Cov (Y,X) = n n i= (Y i et Ȳ = P n n i= Y i. Ȳ )(X i X), Var(X) = n P n i= (X i 3 X) 2, X = n P n i= X i

16 4 Modèle linéaire On a les propriétés P suivantes. 2 Xi 2. ˆµ N µ, n 2 Var (X) 2. ˆ 2 N, nvar (X) 3. Cov (ˆµ, ˆ) 2 X = ˆ2(n nvar (X) 2) 4. 2 (n 2) 2 5. (ˆµ, ˆ) et ˆ2 sont indépendantes Var (Ŷi) = + (X i X) 2 n Var X 7. Sous l hypothèse nulle : = 0, la statistique ˆt = ˆ ˆ ˆ suit la loi T (n ˆ2 ˆ2ˆ = nvar X. P n 8. Sous l hypothèse nulle : =0,lastatistique ˆF i= =(n 2) P (Ŷi n i= (Y i F (,n 2). 9. L intervalle de confiance au niveau pour IE (Y i ) est apple q Ŷ i t n 2 ( /2) dvar (Ŷi), Ŷi + t n q 2 ( /2) dvar (Ŷi). Ȳ ) 2 2), où suit la loi Ŷ i ) 2 0. Notons Yi 0 la nouvelle observation indépendante des premières observations. L intervalle de confiance au niveau pour Yi 0 est apple q Ŷ i t n 2 ( /2) dvar (Ŷi)+ˆ2, Ŷi + t n q 2 ( /2) dvar (Ŷi)+ˆ2 où Var d ˆ2 (Ŷi) = + (X i X) 2 n Var X à n 2 degrés de liberté. Exercice et t n 2 ( /2) est le /2-quantile d une loi de Student. Montrer que ˆ2(n 2) 2 suit la loi 2 (n 2). 2. Montrer que Ŷi IE (Y i ) q dvar (Ŷi) suit la loi T (n 2). 3. Montrer que Y 0 i Ŷ i q suit la loi T (n 2). dvar (Ŷi)+ˆ2

17 2.2 Un jeu de données Un jeu de données On considère un jeu de données (Y,X) où Y représente la tension artérielle et X représente l âge. Y X tension tension Y i Y^ i Y (Y i Y^ i) 2 = SCR (Y^ i Y) 2 = SCE age age Figure 2. Nuage de points des données Tension Age, droite de régression, SCE et SCR Commentaires du graphique : Latensionartérielleaugmenteavecl âge. Lespointsdugraphesontpresquealignés.

18 6 Modèle linéaire Sorties de l estimation des paramètres traitée par R Call: lm(formula = tension ~ age, data = Tens) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** age *** --- Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Residual standard error: on 3 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: 80.8 on and 3 DF, p-value: Les sorties de l estimation des paramètres sont expliquées dans la table suivante. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ˆµ ˆˆµ ˆt µ =ˆµ/ˆˆµ IP ( t n 2 > ˆt µ ) très significative age ˆ ˆ ˆ ˆt = ˆ/ˆ ˆ IP ( t n 2 > ˆt ) hautement significative Residual standard error ˆ Multiple R-squared R 2 = SCT SCE Adjusted R-squared R ajusté 2 = SCR /n k SCT /n F-statistic ˆF =(n k ) SCE SCR p-value IP (F (k, n k ) > ˆF ) Sorties de l analyse de la variance traitée par R Analysis of Variance Table Response: tension Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) age *** Residuals Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Les sorties de l analyse de la variance sont expliquées dans la table suivante. Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) age SCE SCE / ˆF IP (F (,n k ) > ˆF ) Residuals n k SCR SCR /(n k )

19 2.2 Un jeu de données 7 P n Pi= (Ŷi n Pi= (Y i n i= (Y i Ȳ ) 2 := SCE Ŷ i ) 2 := SCR Ȳ ) 2 := SCT Équation d analyse de variance : SCT = SCE + SCR Code R age=c(35,45,55,65,75);tension=c(4,24,43,58,66) reg=lm(tension~age);summary(reg);anova(reg) Dans les sorties d exemple traité par R les valeurs de Pr(> t ) et Pr(>F) donnent directement les résultats de test. C est un indicateur de plausibilité de l hypothèse H 0 qui prend une valeur comprise entre 0 et. Plus cette valeur est élevée, plus il sera raisonnable de retenir l hypothèse H 0. significativedèslorsque Pr(> t ) < 0.05 trèssignificativedèslorsque Pr(> t ) < 0.0 hautementsignificativedèslorsque Pr(> t ) < 0.00 Il peut être intéressant de tester la position des paramètres par rapport à des valeurs particulières, ce qu autorise le test de Student, comme l indique le tableau ci dessous. test unilatéral droit test unilatéral gauche test bilatéral H 0 : = 0 contre H : > o 0 W = nˆt = ˆ 0 >t ˆ ˆ avec =IP(t n k >t ) H 0 : = 0 contre H : < o 0 W = nˆt = ˆ 0 <t ˆ ˆ avec =IP(t n k <t ) H 0 : = 0 contre H : o 6= 0 W = nˆt = ˆ 0 >t ˆ ˆ avec =IP( t n k >t ) La notation désigne le coefficient j de la variable X (j) ou le terme constant µ du modèle linéaire estimé par la MMCO. Remarque 2. Par symétrie de la loi de Student, on a =IP(t n k >t )=IP(t n k < t ). Ainsi dans le test unilatéral gauche, la région de rejet peut s écrire W = nˆt = ˆ 0 ˆ ˆ avec =IP(t n k >t ). < t o Exercice. Comment calculer le coefficient de détermination à partir de la table d analyse de la variance? Vérifier R 2 en utilisant les sorties de l appel anova(reg). 2. Le coefficient est il significativement égal à?supérieurà?inférieurà.5?

20 8 Modèle linéaire Avant toute analyse des estimations, il faut examiner les résidus ˆ" i pour voir si les présupposés de la régression sont vérifiés. On examine ici deux graphiques : graphiquedesrésiduscontrelesvaleursajustées.ilspeuventmontrerdeserreurs dans la spécification de la moyenne ; Q-Qplotdenormalité. Residuals vs Fitted Normal Q-Q Residuals Standardized residuals Fitted values Theoretical Quantiles Figure 2.2 Graphique des résidus contre les valeurs ajustées et Q-Q plot de normalité Àpartirdesparamètresestimésˆµ, ˆ et ˆ, onsimule00 jeux de données selon le modèle Y i =ˆµ + ˆX i + " i où " i N(0, ˆ2). Lesdonnéessimuléessontconsidéréescomme les observations obtenues par les expériences différentes. La méthode des moindres carrés est appliquée à chaque jeu pour obtenir les estimations différentes de µ et.onobtient ainsi 00 droites de régression. On compare les intervalles de confiance obtenus à partir du jeu de données original et les résultats de simulation. La figure 2.3 présente les résultats de cette étude de simulation. Code R plot(age,tension,type="p");abline(reg,col="red") mu=reg$coef[];beta=reg$coef[2];sig=summary(reg)[[6]] # simuler 00 jeux de données for (i in :00){ y=mu+beta*age+rnorm(5,0,sig) reg2=lm(y~age) points(age,y,col="green") abline(reg2,col="cyan") } points(age,tension,type="p");abline(reg,col="red",lwd=2) # prediction x = as.data.frame(cbind(tension,age)) p=predict(reg,x,interval="confidence",level=0.8,se.fit=true)

21 2.2 Un jeu de données 9 p2=predict(reg,x,interval="prediction",level=0.8,se.fit=true) # intervalle de confiance points( p$fit[,2] ~ age, type= l, lty="dotted") points( p$fit[,3] ~ age, type= l, lty="dotted") # intervalle de prédiction points( p2$fit[,2] ~ age, type= l, lty="dashed" ) points( p2$fit[,3] ~ age, type= l, lty="dashed" ) legend("topleft", c("données observées","données simulées","régression avec les observées","régression avec les simulées","bande de confiance", "Bande de prédiction"), lwd=c(,,2,,,), lty=c(-,-,,,3,2),col=c("black", "green","red","cyan","black","black"),pch=c(,,na,na,na,na),cex=0.8) tension données observées données simulées régression avec les observées régression avec les simulées Bande de confiance Bande de prédiction age Figure 2.3 Nuage de points, droites de régression et intervalles de confiance

22 20 Modèle linéaire 2.3 Étude de cas : AirPassengers Notons Y i les nombres de passagers mensuels, t i la variable de temps. On commence par les trois modèles suivants.. Y i = µ + t i + " i 2. log Y i = µ + t i + " i 3. log Y i = µ + t i + 2 (t i t) 2 + " i Code R data(airpassengers); AP = AirPassengers; AP; plot(ap, ylab = "Passengers (000 s)") # mod temps = time(ap); mod=lm(ap~temps); summary(mod) shapiro.test(residuals(mod)) par(mfcol=c(3,3)) plot(mod,which=) plot(residuals(mod),type="l");abline(h=0,col="red") plot(mod,which=2) # mod2 mod2=lm(log(ap)~temps); summary(mod2); shapiro.test(residuals(mod2)) plot(mod2,which=) plot(residuals(mod2),type="l");abline(h=0,col="red") plot(mod2,which=2) # mod3 temps = time(ap); t=(temps-mean(temps))^2; mod3=lm(log(ap)~temps+t); summary(mod3) shapiro.test(residuals(mod3)) plot(mod3,which=) plot(residuals(mod3),type="l");abline(h=0,col="red") plot(mod3,which=2) Les résultats de l estimation et du test sont résumés dans le tableau suivant. mod mod2 mod3 Code en R AP temps log(ap) temps log(ap) temps+(temps-mean(temps))ˆ2 Modèle Y i = µ + t i + " i log Y i = µ + t i + " i log Y i = µ + t i + 2 (t i t) 2 + " i Estimation ˆµ = 62056, ˆ =3.89 ˆµ = 230, ˆ =0.2 ˆµ = 230, ˆ =0.2, ˆ2 = R (0.8535) (0.863) (Ŷi, ˆ" i ) non constante parabolique pas de remarque QQ-plot courbure évidente presque aligné presque aligné Shapiro Test

23 2 2.3 Étude de cas : AirPassengers Theoretical Quantiles Standardized residuals Theoretical Quantiles AP F M A M J J 2 Theoretical Quantiles Figure 2.4 Étude de résidus pour les trois modèles J 40 Normal Q-Q Standardized residuals Index Normal Q-Q Normal Q-Q - 00 Index Index residuals(mod3) Fitted values -0. residuals(mod2) Fitted values -00 residuals(mod) 0 Standardized residuals Residuals 4.8 Fitted values Residuals Residuals vs Fitted Residuals vs Fitted Residuals Residuals vs Fitted A S Figure 2.5 Month plot du trafic O N D

24 22 Modèle linéaire Pour comprendre la saisonnalité, nous examinons le month plot du trafic. La figure 2.5 montre un diagramme séquentiel pour chacune des saisons supposées de la série. S il n y avant pas d effet saisonnier, ces 2 chronogrammes se ressembleraient. On note que les chronogrammes sont presque droits et parallèles. Juillet montre la plus forte activité. Janvier, février et novembre sont les mois de plus faible activité. D après le month plot, on propose le modèle suivant, log Y i,j = µ j + t i,j + 2 (t i,j t) 2 + " i,j, i :année, j :mois. La forme matricielle du modèle est la suivante 0 0 Y, 0 0 Y, Y,2 0 0 log. = Y 2, 0 0 Y 2,2 0 0 B C C..... A 0 0 Y 2,2 µ. µ 2 C A + t +(t t) ". 2.4 Principales lois et propriété de vecteurs gaussiens utilisées en modèle linéaire Dans le cadre du modèle linéaire, nous allons essentiellement utiliser des lois de probabilités suivantes. Loi du 2 à n degrés de liberté Soient X,...,X n n v. a. indép. de loi N (0, ), alors S = X X 2 n suit une loi du 2 à n degrés de liberté, notée 2 (n). Loi de Student à n degrés de liberté La loi de Student à n degrés de liberté, notée T (n), estlaloiduquotient T = N p S/n où N suit une loi N (0, ) et S suit une loi 2 (n), N et S étant deux v. a. indép.. Loi de Fisher à n et n 2 degrés de liberté Soient S et S 2 deux v. a. indép. de loi respectives 2 (n ) et 2 (n 2 ).Alorslequotient F = S /n S 2 /n 2

25 2.4 Principales lois et propriété de vecteurs gaussiens utilisées en modèle linéaire 23 suit une loi de Fisher à n et n 2 degrés de liberté, notée F (n,n 2 ). Voici une propriété de vecteurs gaussiens que nous utilisons le plus. Théorème de Cochran Soient E et E 2 deux sous-espaces vectoriels orthogonaux de E =IR d de dimensions respectives k et k 2 et soit Y un vecteur aléatoire de IR d de loi normale centrée isotrope de variance 2.AlorsP E (Y ) et P E2 (Y ) sont deux v. a. gaussienne centrées indépendantes et kp E (Y )k 2 (resp. kp E2 (Y )k 2 2 )estuneloi 2 2 (k ) (resp. 2 (k 2 )).

26 24 Modèle linéaire

27 Chapitre 3 Méthodes pour générer des données aléatoires Rpeutgénérerdesdonnéesaléatoirespourungrandnombredefonctionsdedensité de probabilité. Les fonctions sont de la forme rfunc(n, p, p2,...) où func indique la loi de probabilité, n est le nombre de données générées et p, p2,... sont les valeurs des paramètres de la loi. Le tableau suivant donne la liste des lois de probabilité existantes en R. nom de loi nom en R paramètres beta beta shape shape2 ncp binomial binom size prob Cauchy cauchy location scale chi-squared chisq df ncp exponential exp rate F f df df2 ncp gamma gamma shape scale geometric geom prob hypergeometric hyper m n k log-normal lnorm meanlog sdlog logistic logis location scale negative binomial nbinom size prob normal norm mean sd Poisson pois lambda Student t df ncp uniform unif min max Weibull weibull shape scale Wicoxon wilcox m n Code R n = 0000; df = 0; r = rt(n, df) par(mfrow=c(,2)); hist(r, breaks=50, freq=f, main="df=0") x = seq(-4, 4, 0.0); y = dt(x, df); lines(x, y, col="red") 25

28 26 Méthodes pour générer des données aléatoires df = ; r = rt(n, df); h = hist(r[r>-4 & r<4], breaks=50, plot=f) h$density = h$density*(pt(4,df)-pt(-4,df)); plot(h, freq=f, main="df=") y = dt(x, df); lines(x, y, col="red") Pour simuler les échantillons des populations finies on peut utiliser la fonction sample. Code R sample(0:, size=0, replace=t); sample(0:00, size=6, replace=f); sample(letters) x = sample(:3, size=00, replace=t, prob=c(0.2,0.3,0.5)); table(x) 3. Méthode de la transformée inverse Soit F la fonction de répartition d une variable aléatoire continue. Si la variable U a une loi uniforme sur [0, ] alors la variable F (U) acommeloif où F est la fonction inverse de F,c.a.d.F (F (x)) = x. En utilisant ce résultat, pour générer une donnée aléatoire de loi F,ongénèred abordunedonnéedeloiunif[0, ], ensuiteonappliquela fonction F à la donnée simulée. Cette méthode est applicable seulement si la fonction inverse F est calculable. Exemple Loi exponentielle Code R n = 000; r = rexp(n,); x = seq(0,0,0.0); y = dexp(x,) par(mfrow=c(,2)) hist(r,freq=f,main="rexp"); lines(x,y,col="red") r = -log(runif(n)) hist(r,freq=f,main="inverse"); lines(x,y,col="red") Exercice En utilisant la méthode de la transformée inverse, générer les données aléatoires dont les densités de probabilité sont. f(x) =3x 2 I (0,) (x) ; 2. f(x) =x 2 I [,) (x). 3.2 Méthode de rejet La méthode de rejet est utilisée pour engendrer indirectement une variable aléatoire X, dedensitédeprobabilitéf, lorsqu onnesaitpassimulerdirectementlaloidedensité

29 3.2 Méthode de rejet 27 de probabilité f. Soit g(x) la densité d une variable aléatoire pour laquelle on connaît un algorithme de génération et qui, à une constante a près, majore f(x) partout, c est-à-dire 9a 2 R +, 8x, f(x) apple a g(x). Dans un premier temps, on tire un point (X, Y ) distribué selon la loi g(x) en abscisse et uniformément sur [0, ag(x)] en ordonnée. Si Y apple f(x), ongardex, sinonontireun autre point. On réitère jusqu à ce que la condition Y apple f(x) soit remplie. L algorithme consiste en trois étapes.. Boucler Tirer X de densité g(x) ; Tirer U selon la loi uniforme U[0, ag(x)], indépendammentdex ; 2. Tant que f(x) <U,reprendreen; 3. Accepter X comme un tirage aléatoire de densité de probabilité f. Exemple Loi de Cauchy On veut simuler les données de loi dont la densité est définie ci dessous f(x) = La densité de l enveloppe g(x) est la suivante. 8 >< g(x) = >: ( + x 2 ). x 2, x > 4, 6, x apple 4. Il est facile de vérifier que f(x) apple 6/ 2 g(x). Onendéduitlafonctionderépartition de la loi de densité g(x) est 8 x, x < 4, >< F g (x) = x, x apple 4, Code R >: x, x > 4. qg = function(x){if(x < /4){y = -/pi/x}else if ((x >= /4) & (x <= 3/4)){y = 6*(x-/2)/pi}else {y = /pi/(-x)} return(y)} dg = function(x){if(abs(x) <= 4/pi){y = pi/6}else{y = /pi/x/x} return(y)} n = 0000; r = rep(0,n); i =

30 28 Méthodes pour générer des données aléatoires while (i <= n){k = ; y = 2; z=; while (y > z & k < 0^6){u = runif(); u2 = runif(); r[i] = qg(u) y = 6/pi/pi*dg(r[i])*u2 z = /pi/(+r[i]*r[i]) k = k+} if (k < 0^6){i=i+}} probf = function(x){if(x < -4/pi){y = -/pi/x}else if (abs(x) <= 4/pi){y = /2+pi*x/6}else {y = -/pi/x} return(y)} x = seq(-4, 4, 0.0); y = /pi/(+x*x); h = hist(r[r>-4 & r<4], breaks=50, plot=f) h$density = h$density*(probf(4)-probf(-4)); plot(h, freq=f); lines(x, y, col="red") La figure 3. présente l histogramme de 0000 données simulées de loi de Cauchy et la densité réelle. Loi de Cauchy Density r[r > -4 & r < 4] Figure 3. Histogramme de données simulées et la densité réelle

31 3.2 Méthode de rejet 29 Exercice En utilisant la méthode de rejet, générer les données aléatoires dont la densité de probabilité est f(x) = C + x +, où C = et 2D Z D = dx. 0 +x + La densité de l enveloppe g(x) est la suivante. 8 < C, x >s g(x) = x + : K, x apples, où K = C + D +, s =. + 2C D + La constante de majoration a = C/K. Les variables de loi g(x) peuvent être simulées par la méthode de la transformée inverse. La figure 3.2 présente les fonctions de densité de la loi de Cauchy généralisée définie dans l exercice précédent avec différent. y a=.9 a=.5 a=. a=0.7 a= x Figure 3.2 Densité de la loi de Cauchy généralisée avec différent

32 30 Méthodes pour générer des données aléatoires

33 Bibliographie [] Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet, Le modèle linéaire par l exemple : Régression, Analyse de la variance et Plans d expérience illustrés avec R, SAS et Splus. Dunod,