Lycée Janson de Sailly Année ECS1. TD 10 Matrices , B = 2 1

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1 Lycée Janson de Sailly Année ECS TD 0 Matrices Calculs élémentaires sur les matrices Exercice (* Calculer les produits LC et CL, avec L = ( 2 3 et C = Exercice 2 (* Soient A, B M n (R Développer et simplifier S = (2A(3B (A + 2B 2 + (A B(A + B et T = (A + B(2A 2 2B 2A 2 (A + B + ( A + B 2 Exercice 3 (* ( ( On considère les matrices A =, B = 2 3 Calculer AB, t A, t B et t B t A Vérifier que t (AB = t B t A Exercice 4 (** Pour les matrices suivantes, calculer lorsque c est possible le produit AB et le produit BA ( A = et B = 2 A = ( 2 7 et B = 2 3 A = ( 5 et B = 2 t A 4 A = et B = A 0 3 Exercice 5 (* Pour les matrices suivantes, calculer les produits AB et BA Conclusion? ( ( A = et B = A = 2 et B = Exercice 6 (** ( On pose A =, B = 3 0 et C = Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels : AB, BA, AC, CA, BC et CB Exercice 7 (** Déterminer les matrices carrées de taille 3 qui commutent avec diag(, 2, 3 2 Soient α et β deux réels tels que α β Déterminer les matrices carrées de taille 3 qui commutent avec diag(α, α, β 3 Déterminer les matrices (carrées de taille n qui commutent avec diag(, 2,, n

2 ( 3 Exercice 8 (* On considère les matrices A = 2 5 ( 2 2, B = 0 4 et C = Calculer A + B, 2A B, AB, BA, puis 3(A 2B + 2(3B + C (2A + C 2 Résoudre l équation A 3X = 2B d inconnue X M 2 (R Exercice 9 - Un peu de théorie sur les opérations matricielles ( Soit n N, et A et B deux matrices de M n (R dont tous les coefficients sont positifs ou nuls Montrer que les coefficients de A + B sont tous positifs ou nuls 2 Montrer que les coefficients de AB sont tous positifs ou nuls 3 Montrer que les coefficients de t A t B sont tous positifs ou nuls 4 Montrer que les coefficients de λa sont tous positifs ou nuls si λ > 0 2 Calculs de puissances Exercice 0 (** Puissance de matrice, méthode Objectif : calculer les premières puissances d une matrice en conjecturant une formule à l aide des premières puissances Soit A = Calculer les premières puissances de A (à partir de 2 et en déduire une conjecture pour l expression de A n, pour tout entier n N 2 Démontrer ce résultat par récurrence Exercice (** Calculer A n pour tout n N : A = ( ( a b, A = 0 a, A = Exercice 2 (** Puissances d une matrice : méthode 2 Objectif : calculer les puissances de la somme d une matrice nilpotente et d une homothétie 2 3 Soit T = 0 2 et N = T I 3 (on a donc T = I 3 + N 0 0 (a Calculer N k pour tout entier naturel k (b En déduire T k à l aide de la formule du binôme de Newton, dont on justifiera l emploi 2 Reprendre la méthode précédente pour calculer U k pour tout entier naturel k, avec U = 2I 3 +N n 3 Reprendre la méthode précédente pour calculer pour tout entier naturel n Exercice 3 (** 2 2 Soit B = Trouver l expression de B n pour n entier naturel supérieur ou égal à Vérifier que cette formule est également valable pour tout n N 2

3 Exercice 4 (** Soient n N et p N Simplifier pour tout A M n (R l expression : (I n A 2 Soient A, B M n (R deux matrices qui commutent, simplifier (A B Exercice 5 (** ( ( 6 5 Soient les deux matrices A = et B = 5 4 Calculer A 2 et en déduire A n pour tout n N 2 Exprimer B en fonction de A et I 2 3 En déduire la valeur de B n pour tout n N p k=0 A k p A k B p k Exercice 6 (** 0 0 On considère la matrice A = Montrer que pour tout entier n N, il existe un réel a n tel que A n = 2a n 2a n 2a n a n a n a n + 2 Montrer que la suite a est arithmético-géométrique En déduire a n en fonction de n puis donner l expression de A n en fonction de n k=0 3 Inverses de matrices Exercice 7 (* Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leurs inverses : ( ( 4 2 A =, A = 3 4 Exercice 8 (** Calculer l inverse des matrices carrées suivantes : A = 2 B = 2 0 C = 2 0 Exercice 9 (** Justifier que A = M n (R est inversible et déterminer A 0 Exercice 20 (** ( Justifier que A = M n (R est inversible et déterminer A 0 3

4 Exercice 2 (** Déterminer les valeurs de m R pour lesquelles la matrice A m est inversible et calculer A m pour ces valeurs, où A m est donnée par 0 2 A m = m Exercice 22 (*** Calculer l inverse de la matrice suivante : 2 3 n 0 2 n A = 0 0 n Exercice 23 (*** Soit la matrice B = (min(i, j i,j n cad la matrice : B = 2 3 n n 2 3 n n Trouver une matrice M M n (R telle que B = t MM 2 En déduire que B est inversible et calculer B Exercice 24 (** Méthode : Polynôme et inverse Objectif : montrer qu une matrice est inversible ou non à l aide d un polynôme de matrices 0 0 Soit A = (a Calculer A 3 A 2 A (b Déduire que A est inversible, et déterminer son inverse 0 2 Soit B = 0 0 Calculer B 3 3B 2 + 2B Déduire que B n est pas inversible Soit A = Calculer (A 2I 4 2 A 2I 4 est-elle inversible? Développer (A 2I 4 2 puis montrer que A est inversible et déterminer son inverse Exercice 25 (** Soit n N, A M n (R telle que A 5 + A = I n Montrer que A est inversible et donner son inverse 2 Montrer que A 2 + A + I n est inversible et calculer son inverse 4

5 Exercice 26 (** ( 7 5 On considère la matrice A = 6 4 Calculer A 2 3A + 2I 2 En déduire que A est inversible et déterminer A 2 Montrer qu il existe deux suites (a n et (b n telles que pour tout n N, que A n = a n A + b n I 2 Montrer que (a n et (b n sont des suites récurrentes linéaires d ordre 2 et déterminer, pour tout n N, a n et b n en fonction de n 3 En déduire la matrice A n en fonction de n N Exercice 27 (** Soient α, β et γ trois réels On pose C = Montrer que C 3 γc 2 βc αi 3 = α 0 β 0 γ 2 En déduire que, si α 0, alors C est inversible Donner son inverse 3 Montrer que si α = 0 alors C n est pas inversible 4 Quelques applications classiques Exercice 28 (** Etude des matrices nilpotentes Une matrice N M n (R est dite nilpotente s il existe p N tel que N p = 0 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu une matrice nilpotente ne peut pas être inversible 3 On suppose que N et M sont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N + M et NM sont nilpotentes Le résultat est-il vrai si les matrices ne commutent pas? 4 Soit A M n (K une matrice nilpotente Montrer que la matrice I n A est inversible et calculer son inverse Exercice 29 (** Introduction à la diagonalisation et application aux suites On considère les matrices A = 0 P = Q = D = Calculer le produit QP 2 Vérifier que A = 2 P DQ, puis montrer que : n N An = 2 P Dn Q et expliciter A n 3 On considère trois suites (a n, (b n et (c n telles que n N a n+ =a n 2b n + 2c n b n+ = a n + c n c n+ =a n b n + 2c n a 0 = 2 b 0 = 0 c 0 = 2 (a Vérifier que n N X n+ = AX n puis que : n N X n = A n X 0 (b En déduire l expression des suites (a n, (b n et (c n en fonction de n On introduit la matrice X n = t (a n, b n, c n 5

6 Exercice 30 (** Introduction à la diagonalisation et application aux suites 0 Soit A = et P = 0 Vérifier que P est inversible en calculant son inverse P 2 Déterminer la matrice D = P AP, puis déterminer D n pour tout n N 3 Exprimer A en fonction de D, P, P, puis A n en fonction de D, P, P et n 4 En déduire une expression de A n en fonction de n 5 On considère les suites (x n, (y n et (z n définies par la donnée de leurs premiers termes, respectivement x 0, y 0 et z 0, et de la relation de récurrence : x n+ = x n + y n + z n n N, y n+ = x n y n + z n z n+ = x n + y n z n et on pose : n N, X n = x n y n z n (a Pour tout n N, déterminer une relation entre X n+, X n et A (b En déduire, pour tout n N, X n en fonction de A, n et X 0 (c En déduire, pour tout n N, x n, y n et z n en fonction de n, x 0, y 0 et z 0 6