Thème 2: Les fonctions

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1 1 Généralités On considère une fonction f, définie sur l intervalle [0;7]. Pour chacune des questions, il est demandé de donner l allure d un graphe illustrant la situation. 1. f est croissante et décroissante sur [0; 7] ;. f n est ni croissante, ni décroissante sur [0; 7] ; 3. f est strictement croissante et à valeurs strictement négatives sur [0; 7] ; 4. f est croissante sur [0;7], mais n est pas strictement croissante sur [0;7]. Dans tout l exercice, f désigne une fonction définie sur Ê. Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse. 1. Si f n est pas croissante sur Ê alors elle est décroissante sur Ê. Exercice 1 Exercice. Si f atteint son maximum sur Ê lorsque x = 4 alors elle est croissante sur ] ; 4] et décroissante sur [4; + [. 3. Il est certain que f admet un minimum sur Ê. 4. Si f admet un minimum sur Ê, et si celui-ci est f3) =, alors fx) > pour tout réel x différent de Si le graphe de f passe par trois points alignés alors f est affine. 6. f n est pas la fonction x 3x+ x 1. Exercice 3 Dans cet exercice, l unité de longueur est le centimètre et les deux questions sont indépendantes. 1. Soient ABI un triangle acutangle dont les trois angles sont aigus) et J le projeté orthogonal du point I sur AB) tels que AB = 5, AJ = 3 et IJ = 4. M désignant un point mobile sur [AB], on pose x = AM et on nomme fx) l aire du triangle IJM. Réaliser une figure puis, sans effectuer de calcul, donner le tableau de variations de la fonction f : x fx).. Soient C un demi-cercle d extrémités A et B, M un point mobile sur C et P le projeté orthogonal de M sur AB). On donne AB = 8 et on pose AP = x et MP = fx). Dresser le tableau de variations de la fonction f : x fx). Exercice 4 La Loi de Boyle-Mariotte exprime une relation générale entre la pression et le volume d une quantité fixée de gaz à une température constante. Plus précisément, celle-ci dit que le produit de la pression P exprimée en Pascals) par le volume V exprimé en cm 3 ) est constant. Quel effet l augmentation du volume d une masse donnée d un gaz a-t-elle sur la pression de celui-ci? Exercice 5 Est-il possible de trouver deux fonctions différentes f et g, toutes deux définies sur le même intervalle I et qui présentent le même tableau de signe et le même tableau de variations sur I? Position relative de deux courbes Exercice 6 On considère les fonctions f : x x 3 et g : x 3x. Le plan étant muni d un repère orthogonal O; #» ı, #» j ), on note C f et C g les courbes représentatives de ces deux fonctions. Le but de l exercice est d étudier graphiquement, puis algébriquement, la position relative de ces deux courbes sur l intervalle [ 3;]. 1. a) Donner des valeurs à affecter aux paramètres x min, x max, y min et y max permettant un affichage optimal des deux courbes C f et C g sur l écran de la calculatrice. b) Réaliser, sur feuille, une copie de l affichage obtenu sur l écran. Indiquer, sur le graphique, les coordonnées de chacun des éventuels points d intersection. c) Étudier graphiquement la position relative des deux courbes sur l intervalle [ 3;].. a) Développer, réduire et ordonner x 1) x+). b) Retrouver algébriquement les résultats obtenus à la question 1c. Étudier la position relative des graphes des fonctions f : x x 3 et p : x 3x +4x 1. Exercice 7

2 3 Étude des variations d une fonction Exercice 8 Montrer que la fonction c : x x 3 fonction cube) est strictement monotone [ sur Ê après avoir établi que : a;b) Ê ca) cb) = a b) a+ b ) ] + 3b 4 Exercice 9 1. On appelle fonction racine carrée, la fonction x x. Préciser l ensemble de définition de cette fonction, puis étudier ses variations.. La fréquence des vibrations d une corde de violon est donnée par f = 1 T, où L est la longueur de la corde, T sa L ρ tension et ρ sa densité linéaire. Le ton d une note grave ou aigu) est déterminé par la fréquence f ; plus celle-ci est élevée, plus le ton est aigu. Que fait le ton d une note lorsque : a) la longueur de la corde est raccourcie par le fait d y placer un doigt seule une partie de la corde vibre)? b) la tension est accrue en tournant une cheville? Exercice 10 OABC est un carré de côté 1. Un point M décrit le segment [OA]. Les droites OB) et CM) se coupent en N. K est le projeté orthogonal de N sur OC). On pose x = OM et y = OK et on appelle f la fonction définie sur [0; 1] par fx) = y. 1. Faire une figure.. Donner, sans justifier, les valeurs de f0) et de f1), ainsi que le sens de variation de f sur [0;1]. 3. Justifier que KN = KO, puis montrer que y = x 1+x. 4. Localiser le point K lorsque M est deux fois plus près de O que de A. 3 Étudier les variations sur Ê de f : x 1+ x Recherche d extrema sans étude de variations Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par fx) = x 4 x Justifier que f n est ni croissante, ni décroissante sur [0;9].. Développer et réduire x ). 5. Si K est deux fois plus près de O que de C, où se trouve le point M? 6. Vérifier que : x [0;1] fx) = x 7. a et b désignant deux réels tels que 0 a < b 1, comparer les réels fa) et fb). Quelle propriété vient-on de démontrer? Exercice 11 Exercice 1 3. En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que f admet un minimum sur [0;+ [. Préciser la valeur de ce minimum, ainsi que la valeur de x en laquelle ce dernier est atteint. Exercice 13 Un crocodile a repéré une proie située 0 mètres plus loin en amont, sur la rive opposée d une rivière. Le crocodile se déplace à des vitesses différentes sur la terre ferme et dans l eau. Le temps mis par le crocodile pour atteindre sa proie peut être minimisé s il nage en direction d un point P situé sur la rive opposée, comme indiqué sur la figure ci-contre. Le temps mis par le crocodile pour atteindre sa proie, est donné, en dixièmes de seconde, par : tx) = 5 36+x +40 x) 1. Calculer le temps mis par le crocodile s il décide de ne pas se déplacer sur la terre ferme.. Calculer le temps mis par le crocodile s il décide de nager la plus petite distance possible. 3. Sachant que la rivière a une largeur constante égale à 6 mètres, déterminer la vitesse moyenne de déplacement du crocodile sur la terre ferme d une part, et dans l eau, d autre part, puis convertir chacune de ces vitesses en kilomètres par heure. 4. Entre les deux situations extrêmes évoquées dans les deux premières questions, il existe une valeur de x qui minimise le temps mis par le crocodile pour rejoindre sa proie. Déterminer cette valeur puis estimer ce temps minimum.

3 5 Dichotomie Exercice 14 Soient f la fonction définie sur Ê par fx) = x 3 +5x et C sa courbe représentative dans un repère O; #» ı, #» j ) du plan. 1. Justifier brièvement que la fonction f est strictement croissante sur Ê. Que peut-on en déduire concernant le nombre de solutions de l équation fx) = 0?. On admet que l équation fx) = 0 admet une unique solution, notée α dans la suite de l exercice. Justifier que α appartient à ]0;1[. 3. On considère l algorithme ci-contre : a) On choisit d exécuter cet algorithme avec a = 0, b = 1 et n =. Déterminer les valeurs stockées dans les variables a et b à la fin de l exécution de l algorithme, puis interpréter le résultat obtenu. b) On exécute l algorithme avec a = 0, b = 1 et n = 8 afin d obtenir un encadrement d amplitude 10 8 de α. Quel est le nombre d étapes nécessaires à son obtention? Tant que b a > 10 n m a+b) p fa) fm) Si p > 0 a m b m 6 Travailler avec une fonction définie par une équation fonctionnelle Exercice 15 f est une fonction définie sur Ê telle que, pour tous réels x et y, fx)+fy) = fxy). Quelle est cette fonction f? Exercice 16 f est une fonction définie sur Ê telle que f) = 4 et, pour tous réels x et y, fx)fy) = fx + y). x )). 1. Justifier que, pour tout réel x, fx) = f. Vérifier que f0) est soit égal à 0 soit égal à Montrer que si f0) = 0 alors, pour tout réel x, fx) = Quelles informations sur f peut-on déduire des résultats des questions précédentes? 5. Calculer f1), f3) et f6). Soit f une fonction définie et dérivable sur Ê telle que : x Ê fx)) 3 = x fx) 1. Calculer f0) puis justifier que si x 0 alors fx) 0.. Soit x un réel non nul. Démontrer que x et fx) sont de même signe. 3. Prouver que la fonction dérivée de f est à valeurs strictement positives sur Ê. [ 4. Établir que : x;y) Ê fx) fy)) fx)+ fy) ) ] + 3fy)) +1 = x y 4 5. Quelle propriété importante de la fonction f peut-on déduire du résultat de la question précédente? Exercice 17

4 7 Fonctions et algorithmique On considère l algorithme suivant : Variables x et c réels, f fonction Initialisation Affecter la valeur 0 à x Affecter la valeur 1 à c Traitement Tant que x 0,8 Si fx+0,) < fx) c prend la valeur 0 x prend la valeur x+0, Si c = 0 Afficher «f n est pas croissante sur [0; 1].» Afficher «f semble croissante sur [0; 1].» 1. Dans cette question, f désigne la fonction définie sur [0;1] par fx) = x. a) Compléter, autant que nécessaire, le tableau ci-dessous afin qu il illustre le déroulé de l algorithme. Valeur de fx) à 10 près) 0 Valeur de fx+0,) à 10 près) 0,45 Valeur de c 1 1 Valeur de x 0 0, b) Quel est l affichage final obtenu? Problème 1 Initialisation Ét. 1 Ét. Ét. 3 Ét. 4 Ét. 5 Ét. 6 c) Pourquoi utiliser le verbe «sembler» dans l un des deux affichages possibles? d) Que faut-il modifier dans l algorithme pour que cet affichage soit plus vraisemblable? e) Peut-on remplacer l affichage «f n est pas croissante sur [0; 1].» par «f est décroissante sur [0; 1].»? Justifier.. Dans cette question, f désigne la fonction définie sur [0;1] par fx) = 1 x. a) Compléter, autant que nécessaire, le tableau ci-dessous afin qu il illustre le déroulé de l algorithme. Valeur de fx) à 10 près) Valeur de fx+0,) à 10 près) Valeur de c 1 Valeur de x 0 Initialisation Étape 1 Étape Étape 3 Étape 4 Étape 5 b) Quel est l affichage final obtenu? Est-on certain que cet affichage correspond à la réalité? 3. Dessiner le graphe d une fonction f pour laquelle l affichage obtenu serait «f semble croissante sur [0;1].» et ne correspondrait pas à la réalité. 4. Dans cette question, f désigne la fonction définie sur [0;1] par fx) = 6x x+. a) Compléter le tableau ci-dessous afin qu il illustre le déroulé de l algorithme. Valeur de fx) à 10 près) Valeur de fx+0,) à 10 près) Valeur de c 1 Valeur de x 0 b) Quel est l affichage final obtenu? Initialisation Étape 1 Étape Étape 3 Étape 4 Étape 5 c) Calculer l image de 1 par f. Détailler les calculs et donner le résultat exact sous forme d une fraction irréductible. 9 Que peut-on en déduire?

5 Dans le plan muni d un repère orthonormal O; #» ı, #» j ), on considère le cercle C de centre O et de rayon unité et les points A1;0) et B 1;0). Pour tout point H appartenant au segment [AB], on note la droite perpendiculaire à AB) qui passe par H. Cette dernière coupe C en deux points M et N où M est celui qui admet une ordonnée positive. On admet que le triangle AMN est isocèle en A et on nomme x l abscisse de H. B M H N 1. Dans cette question, H est le milieu de [OB]. j O a) Que vaut x dans ce cas? Calculer la valeur exacte de MH. b) Déterminer la mesure de l angle ÂMH. c) Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AMN?. On revient maintenant au cas général ; H n est plus le milieu de [OB] mais un point libre sur [AB]. a) Dans quel intervalle le réel x varie-t-il? b) Justifier que MH = 1 x. c) Vérifier que l aire du triangle AMN est donnée, en unités d aire, par 1 x) 1 x. 3. Soit f la fonction définie sur [ 1;1] par : fx) = 1 x) 1 x a) Calculer la valeur exacte de f 1 ) ; en donner une ı C A Problème c) L équationfx) = 1 admet-elle des solutions? Si oui, combien? valeur approchée à 10 près. b) Conjecturer, à l aide de la calculatrice, le tableau de variations de f. 4. On note α et β les solutions de l équation fx) = 1 en convenant que α < β. a) Vérifier algébriquement que β = 0. b) Utiliser la calculatrice graphique pour déterminer un encadrement d amplitude 10 de α. 5. On souhaite obtenir un encadrement de α d amplitude inférieure ou égale àpoùpest un réel strictement positif choisi. Pour cela, on considère l algorithme suivant : Entrée Initialisation Traitement Sorties Saisir la valeur de p Affecter à a la valeur 1) Affecter à b la valeur 0,5) Affecter à c la valeur 0 Tant que b a > p c prend la valeur c+1 m prend la valeur a+b) Si fm) < 1 a prend la valeur m b prend la valeur m Afficher a, b et c a) Dans cette question, on choisit p = 0,1. Compléter le tableau donné ci-dessous puis fournir l encadrement de α obtenu. b) À quoi correspond concrètement la valeur de c affichée en sortie? c) Traduire l algorithme dans le langage de la calculatrice puis l utiliser pour déterminer un encadrement d amplitude 10 3 de α. Préciser le nombre d étapes nécessaires à l obtention de cet encadrement. 6. En exploitant les résultats déjà obtenus, répondre aux questions suivantes : a) Donner les abscisses des points H tels que l aire du triangle AMN est égale à 1 unité d aire. b) Quelle semble être la position du point H qui rend maximale l aire du triangle AMN? c) Quelle particularité le triangle AM N d aire maximale présente-t-il? Justifier. m a b b a Initialisation 1 0,5 0,5 Étape 1 Étape Étape 3