UNE COMPACTIFICATION DES CHAMPS CLASSIFIANT LES CHTOUCAS DE DRINFELD

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1 JOURNAL OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 11, Number 4, October 1998, Pages S (98)272- UNE COMPACTIFICATION DES CHAMPS CLASSIFIANT LES CHTOUCAS DE DRINFELD LAURENT LAFFORGUE Sommaire Introuction 1 Le champ es chtoucas itérés Algébricité Lissité Propreté a) Le schéma es homomorphismes complets b) Le champ es pré chtoucas itérés c) Description es ifférentes strates Le champ es chtoucas itérés ) Sous objets Troncatures 2 Vérification u critère valuatif e propreté a) ϕ réseaux itérés ans les ϕ espaces b) Chtoucas égénérés associés aux ϕ réseaux itérés c) Transformations es chtoucas égénérés ) Critères existence e telles transformations e) Dégénérescence es chtoucas en chtoucas itérés Bibliographie Introuction Etant onnée X une courbe projective lisse géométriquement connexe au essus un corps fini F q,drinfelaéfini la notion e chtouca e rang r Leurs champs classifiants Cht r sont algébriques au sens e Deligne Mumfor, localement e type fini et lisses e imension relative 2r 2 au essus e X X Mais les composantes connexes e ces champs ne sont pas propres ni même e type fini ès que r 2 Quan r =2,Drinfelaégalement construit es compactifications moulaires lisses pour les ouverts e type fini e Cht 2, ce qui constitue l un es pas e sa émonstration e la corresponance e Langlans en rang 2 sur les corps e fonctions Dans ce travail, nous proposons une généralisation en rang quelconque e la construction par Drinfel e ces compactifications Rappelons qu un chtouca (à roite) e rang r sur un schéma e base S (sur F q ) consiste en la onnée e un fibré E localement libre e rang r sur X S, j une moification (à roite)e E, c est à ireun iagrammee E t E où E, E sont aussi es fibrés localement libres e rang r sur X S, etj,tsont Receive by the eitors June 9, 1997 an, in revise form, March 3, Mathematics Subject Classification Primary 11R58, 11G9, 14G35 Key wors an phrases Corps e fonctions, champs moulaires e Drinfel, chtoucas 11 c 1998 American Mathematical Society License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

2 12 LAURENT LAFFORGUE es homomorphismes injectifs ont les conoyaux sont supportés par les graphes e eux morphismes pôle et zéro e S ans X et inversibles comme O S Moules, un isomorphisme τ E =(I X Frob S ) E E L iée est élargir cette éfinition en remplaçant ans le ernier point la notion isomorphisme par celle plus souple homomorphisme complet Les homomorphismes complets sont essentiellement les morphismes à valeurs ans le schéma obtenu en éclatant ans le schéma matriciel M r \{} les fermés es homomorphismes e rang 1, e rang 2, etc (voir [5] par exemple) A noter que le quotient e ce schéma éclaté par l action e G m n est autre que le compactifié e (PGL r PGL r )/PGL r àlafaçon e De Concini et Procesi Le champ Cht r classifiant ces nouveaux objets est algébrique au sens e Deligne Mumfor et localement e type fini sur X X ;ilcontientcht r comme ouvert et il vérifie la partie existence (mais non unicité : iln estpasséparé) u critère valuatif e propreté Il se écompose en strates localement fermées Cht r r inexées par les partitions r =(=r <r 1 < <r k =r) e l entier r ; chacune classifie essentiellement les familles e chtoucas e rangs r 1,r 2 r 1,,r r k 1 telles que le zéro e chacun soit égal au pôle u suivant ; toute telle strate est onc munie un morphisme lisse sur X X X k 1,oùlefacteurX k 1 généralise le égénérateur introuit par Drinfel quan r = 2etr =( < 1 < 2) C est aussi pourquoi on appellera Cht r le champ es chtoucas itérés e rang r On sait que le champ Cht r est réunion filtrante es ouverts Cht r,p p classifiant les chtoucas ont le polygone canonique e Harer Narasimhan est majoré parun polygone e troncature p :[,r] R Et chaque Cht r,p p est réunion isjointe e champs e type fini Quan p est assez gran, on éfinit ans le fourre tout Cht r un ouvert Cht r,p p ont la trace ans Cht r est égale àcht r,p p et qui est réunion isjointe e champs propres et lisses (en particulier séparés et e type fini) sur X X Signalons que l auteur compte exposer ans un prochain article la construction e semblables compactifications moulaires pour les chtoucas avec structures e niveau Le présent texte onne les émonstrations e résultats annoncés ans une note aux Comptes Renus e l Acaémie es Sciences e Paris (tome 323, série I, pp ) En voici le contenu: Le paragraphe 1 écrit les étapes successives e la construction u champ Cht r es chtoucas itérés e rang r, avec ses strates Cht r r et ses ouverts Cht r,p p,ainsi que ses principales propriétés géométriques En a) on rappelle la éfinition u schéma Ω r es homomorphismes complets, sa stratification naturelle et la escription moulaire e ses strates Ω r r En b) on substitue les homomorphismes complets aux isomorphismes ans les onnées e éfinition es chtoucas pour obtenir un nouveau champ C r, it es pré chtoucas itérés e rang r, qui est algébrique au sens Artin En c) on éuit e la stratification (Ω r r )eωr une stratification (Cr r)ecr La escription moulaire e chaque strate Ω r r inuit une escription moulaire e Cr r qui evient particulièrement simple ans un certain ouvert Cht r r e Cr r Les ouverts Cht r r es Cr r proviennent un ouvert Chtr e C r, qu on appelle champ es chtoucas itérés e rang r ;ilestalgébrique au sens e Deligne Mumfor En ) on éfinit pour tout polygone e troncature p :[,r] R un ouvert Cht r,p p e Cht r ont la trace ans Cht r est égale àcht r,p p On prouve qu il est License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

3 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 13 lisse e imension 2r 2surX Xsi p est assez gran et que ses composantes connexes sont e type fini Afin e montrer que celles ci sont propres, il suffira onc e vérifier le critère valuatif e propreté pourcht r,p p C est l objet u paragraphe 2 On procèe àlamanière e Drinfel en rang 2 On se onne onc Ẽ un point e Chtr,p p à valeurs ans le corps es fractions K A un anneau e valuation iscrète A et on cherche à prouver que (quitte à remplacer A par une extension finie normale) Ẽ se prolonge e manière unique en un point e Cht r,p p à valeurs ans A Un tel prolongement va consister en la onnée e certains iagrammes e fibrés sur X A, onnée équivalente à celle un réseau M ans la fibre générique V e Ẽ En a) on introuit certaines premières propriétés que evra vérifier le réseau M et on montre l existence e réseaux les vérifiant, appelés ϕ réseaux itérés En b) on explicite comment les ϕ réseaux itérés inuisent es iagrammes e fibrés prolongés sur X A, qu on appelle chtoucas égénérés En c) on introuit certaines opérations e transformation es ϕ réseaux itérés et on étuie leurs effets sur les chtoucas égénérés associés En ) on onne es conitions suffisantes pour que les opérations e c) soient possibles En e) enfin, on émontre le critère valuatif e propreté comme annoncé Pour la partie existence, on part un ϕ réseau itéré ont l existence a été assurée en a) et on lui fait subir une série e transformations selon les procéés e c) et ); après un nombre fini e pas, on obtient un ϕ réseau itéré ont le chtouca égénéré associé vérifie toutes les propriétés requises Je remercie profonément Gérar Laumon pour sa isponibilité jamais lassée face à mes question mathématiques et pour son soutien moral constant Je tiens à exprimer aussi ma gratitue envers Vlaimir Drinfel ont l encouragement à chercher es compactifications moulaires lisses fut pour moi écisif Enfin, j aresse mes plus vifs remerciements à Mme Le Bronnec qui a assuréavec compétence et patience la saisie u manuscrit 1 Le champ es chtoucas itérés Algébricité Lissité Propreté a) Le schéma es homomorphismes complets Ce paragraphe rappelle une construction connue On renvoie par exemple à [5] pour une revue générale Soit r 1 un nombre entier Soit H r le foncteur qui associe à tout anneau A le moule es (u 1,u 2,,u r ; α 1,α 2,,α r 1 ) Hom(A r,a r ) Hom(Λ 2 A r, Λ 2 A r ) Hom(Λ r A r, Λ r A r ) A r 1 Ce foncteur est représentable par un fibré vectoriel libre e rang fini au essus e Spec Z Il contient comme sous schéma localement fermé leschéma Ω r (r) classifiant les (u 1,u 2,,u r ; α 1,α 2,,α r 1 ) tels que u 1 soit un automorphisme, que α 1, α 2,,α r 1 soient inversibles et que Λ 2 u 1 = α 1 u 2,Λ 3 u 1 =α 2 1 α 2u 3,,Λ r u 1 = α1 r 1 α2 r 2 α r 1 u r Soit Ω r l ahérence schématique e Ω r (r) ans l ouvert e Hr éfini par la conition que u 1,u 2,,u r soient partout non nuls On voit éjà queω r estplatet e type fini sur Spec Z, e imension relative r 2 +(r 1) et muni un morphisme (α 1,α 2,,α r 1 ):Ω r A r 1 Pour toute partition e r, c est à ire toute famille r =(r 1,,r k )vérifiant <r 1 < <r k =r(et que l on pourra compléter en posant r = ), soit Ω r r License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

4 14 LAURENT LAFFORGUE le sous schéma localement fermé eω r éfini par la conition que chaque α s soit partout nul si s r et partout non nul si s/ r Proposition 1 Pour toute partition r =(r 1,,r k ) comme ci essus, le schéma Ω r r représente le foncteur qui à tout anneau A associe l ensemble es uplets (v 1,v 2,,v k ; α 1,,α r1 1, α r1+1,,α r2 1, α r2+1,) tels que: les α s, s/ r, sont es scalaires partout inversibles, v 1 : A r A r est un homomorphisme e rang partout égal à r 1, v 2 :Kerv 1 A r /Im v 1 est un homomorphisme e rang partout égal à r 2 r 1, v 3 :Kerv 2 (A r /Im v 1 )/ Im v 2 est un homomorphisme e rang partout égal à r 3 r 2, etc A fortiori, le morphisme (α 1,,α r1 1,α r1+1,,α r2 1,α r2+1,) : Ω r r Gm r k est lisse e imension relative r 2 Démonstration Soit V le foncteur qui à tout anneau A associe l ensemble es v =(v 1,v 2,,v k )vérifiant les conitions e l énoncé Se onner un tel v revient à choisir successivement: un sous moule E 1 e E = A r tel que E /E 1 soit localement libre e rang r 1, un homomorphisme v 1 : E /E 1 A r partout injectif, un sous moule E 2 e E 1 tel que E 1 /E 2 soit localement libre e rang r 2 r 1, un homomorphisme v 2 : E 1 /E 2 A r / Im v 1 partout injectif, etc Par conséquent, le foncteur V est représentable par un schéma lisse sur SpecZ e imension relative [(r i r i 1 )(r r i )+(r i r i 1 )(r r i 1 )] 1 i k =2r (r i r i 1 ) (ri 2 r2 i 1 )=r2 1 i k 1 i k Définissons maintenant un morphisme V G r k m H r ont nous montrerons ensuite qu il se factorise à travers l immersion localement fermée Ω r r Hr en un isomorphisme V Gm r k Ω r r au essus e Gr k m A tout point (v 1,,v k ; α 1,,α r1 1, α r1+1,,α r2 1,α r2+1,)ev G r k m à valeurs ans un anneau A, on associe le point (u 1,,u r ; α 1,,α r1 1,,α r1+1,,α r2 1,,α r2+1,) où u 1,,u r sont éfinis e la manière suivante: pour 1 i k et r i 1 <s r i, u s est égal à ( s t αt 1 t r 1,r 2,,r i 1 ) 1 et(v 1 ) et(v i 1) Λ s ri 1 v i License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

5 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 15 où et(v 1 ) et(v i 1 ) Λ s ri 1 v i ésigne le composé e l homomorphisme surjectif canonique Λ s A r Λ r1 (A r / Ker v 1 ) Λ r2 r1 (Ker v 1 / Ker v 2 ) Λ s ri 1 (Ker v i 1 / Ker v i ), u prouit tensoriel es isomorphismes inuits par v 1,v 2,,v i Λ r1 (A r /Ker v 1 ) Λ r1 Im v 1, Λ r2 r1 (Ker v 1 / Ker v 2 ) Λ r2 r1 Im v 2, Λ s ri 1 (Ker v i 1 / Ker v i ) Λ s ri 1 Im v i et e l homomorphisme injectif canonique Λ r1 Im v 1 Λ r2 r1 Im v 2 Λ s ri 1 Im v i Λ s A r Afin e montrer que le morphisme V G r k m Hr ainsi éfini se factorise à travers l immersion localement fermée Ω r r H r en un isomorphisme V G r k m Ω r r, il suffit e vérifier que pour tout point e H r à valeurs ans un anneau local intègre A tel que le point générique e Spec A s envoie ans Ω r (r) et que les conitions u 1,u 2,,u r non nuls, les α s, s r, nulsetlesα s,s / r, inversibles éfinissent un sous schéma fermé non vie Spec A/J e Spec A, alors le morphisme Spec A/J Ω r r H r se factorise e manière unique en Spec A/J V G r k m H r, et que e plus tout point géométrique e V G r k m est image un tel morphisme Spec A/J V Gm r k Soit onc (u 1,u 2,,u r ; α 1,,α r 1 )untelpointeh r à valeurs ans A Ainsi a t on ( ) Λ s u 1 = u s, 1 s r, 1 α s t t en le point générique e Spec A Comme les u s sont non nuls en le point fermé e Spec A, on voit que pour tout s, 1 s r, l iéal e A engenré par les mineurs orre s e u 1 est principal e générateur l élément On en 1 α s t t éuit facilement que quitte àcomposerà roite et à gauche par eux matrices e GL r (A), u 1 est e la forme 1 α 1 u 1 = α 1 α 2 α1α2 αr 1 Ce qu on voulait en résulte imméiatement La proposition 1 a la conséquence imméiate suivante: Corollaire 2 Le morphisme (α 1,α 2,,α r ):Ω r A r 1 est lisse e imension relative r 2 License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

6 > 16 LAURENT LAFFORGUE Le quotient e Ω r par l action libre u tore G r m est l ahérence schématique e l orbite u groupe PGL r PGL r agissant sur P(Λ s A r Λ r s A r ) engenrée s r par le point associé à l immersion iagonale e A r ans A r A r ; il est projectif, contient (PGL r PGL r )/PGL r comme ouvert ense et a pour bor un iviseur à croisements normaux C est un cas particulier es compactifications e De Concini et Procesi b) Le champ es pré chtoucas itérés On fixe X une courbe projective lisse géométriquement connexe au essus un corps fini F q Etant onnés S un schéma sur F q, E un O X S Moule localement libre e rang r et, : S Xeux morphismes, on appelle moification (à roite) e E e pôle et e zéro tout iagramme E E j / E }}}}}}} t } où E, E sont es O X S Moules localement libres e rang r, etj,tsont es homomorphismes O X S linéaires injectifs ont les conoyaux sont supportés par les graphes e, respectivement et sont localement libres e rang 1 sur O S D autre part, ans cette même situation, on notera τ E l image réciproque e E par le morphisme I X Frob S On rappelle qu un chtouca (à roite) e rang r sur S consiste ( en la onnée ) E E un tel O X S -Moule E, une moification (à roite) e celui-ci et E ( ) E E un isomorphisme τ E E,c est-à-ire en résumé un iagramme τ E soumis à certaines conitions Maintenant, posons: Définition 3 Pour r 1 un entier et S un schéma sur F q, on appelle pré chtouca itéré (à roite) e rang r sur S la onnée e uno X S Moule E sur X ( S localement ) libre e rang r, E E une moification (à roite) e E, E eso S Moules inversibles L 1, L 2,,L r 1 sur S, munis e sections globales l 1,l 2,,l r 1, pour tout s, 1 s r, un homomorphisme e O X S Moules localement libres ( τ Λ s E ) L (s t) us t Λ s E L (s t) t 1 1 qui peut aussi se voir comme Λ s ( τ E) 1 L (q 1)(s t) t u s Λ s E ; ces onnées étant soumises aux eux conitions suivantes: License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

7 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 17 (i) Pour un (et onc pour tout) choix e trivialisations e L 1, L 2,,L r 1 localement sur S et e E, E localement sur X S, la famille (u 1,u 2,,u r ; l q 1 1,l q 1 2,,l q 1 r 1 ) pren ses valeurs ans le sous schéma localement fermé Ωr e H r (ii) Si on ientifie E et sa moification E sur l ouvert e X S complémentaire es graphes u pôle et u zéro e cette moification, alors aucun es homomorphismes inuits ( τ Λ s E ) L (s t) us t Λ s E L (s t) t 1 1 n est nilpotent au essus aucun es points géométriques e S Remarquons tout e suite: Lemme 4 La conition (ii) ans la éfinition 3 est équivalente àcequegénérique- ment au essus e tout point géométrique e S chaque homomorphisme ( τ Λ s E ) us Λ s E 1 L (s t) t 1 L (s t) t ait son noyau et le transformé parτe son image en somme irecte (autrement it que toutes ses puissances aient même rang que lui) Démonstration On peut supposer que S est le spectre un corps algébriquement clos Il est évient que la nouvelle conition ci essus entraîne la conition (ii) Réciproquement, supposons satisfaite laite conition (ii) Notons r 1,r 2, ceux es t, 1 t < r, tels que l t = D après la proposition 1 u premier paragraphe, il suffit e vérifier que toutes les puissances e u 1,u r1+1,u r2+1, sont e rangs r 1,r 2,r 3, et pour cela que u r1,u r2,u r3, ne sont pas nilpotents, ce qui est vrai par hypothèse Pour tout entier r 1, on notera C r la catégorie fibrée qui àtoutschéma S sur F q associe le groupoïe C r (S) espré chtoucas itérés e rang r sur S Il est imméiat que c est un champ pour la topologie fpqc Proposition 5 Pour tout entier r 1, le champ C r es pré chtoucas itérés e rang r est algébrique (au sens Artin) et localement e type fini Démonstration La catégorie fibrée qui àtoutschéma S sur F q associe le groupoïe es familles e fibrés inversibles L 1, L 2,,L r 1 sur S, munis e sections globales l 1,l 2,,l r 1, n est autre que le champ algébrique (A 1 /G m ) r 1 D autre part, on sait que la catégorie fibrée qui àtoutschéma S sur F q associe le groupoïe es O X S Moules E localement libres e rang r sur X S est un champ algébrique localement e type fini Puis le choix une moification ( E E E ) est représentable par un morphisme projectif Maintenant, la conition (i) e la éfinition 1 est localement fermée sur chaque X S onc aussi sur chaque S (voir [4], lemme 3 u paragraphe I2) Et la conition (ii) est éviemment ouverte sur chaque base S License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

8 18 LAURENT LAFFORGUE c) Description es ifférentes strates Le champ es chtoucas itérés Fixons une partition r =(r 1,,r k )eravec onc <r 1 < <r k =r Pour tout s r, onnoteras son préécesseur ans r =(r =,r 1,,r k 1 )etpour tout s r,onnoteras + son successeur ans r Notons Cr r le sous champ algébrique localement fermé ec r éfini par les conitions suivantes relatives aux sections l 1,l 2,,l r 1 e L 1, L 2,,L r 1 : les l s, s r, sont nulles, les l s, s/ r, sont partout inversibles Cr r pourra être appelé le champ es pré chtoucas itérés e type r ( ) E E Soit onc ; L 1,,L r 1 ; l 1,,l r 1 ; u 1,,u r un objet e Cr r E au essus un schéma S sur F q Pour tout s / r, le fibré L s sur S muni e la section inversible l s peut être ientifié au fibré trivial O S muni e la section 1 Ceci étant it et après la proposition 1 u premier paragraphe, la onnée e la famille homomorphismes u 1,u 2,,u r est équivalente àlaonnée e une filtration écroissante τ E = E E s E r =e τ Epar es O X S Moules localement libres, telle que les quotients successifs E s /E s, s r, soient localement libres e rangs s s, une filtration croissante = E E s E r = E e E par es s, s r, O X S Moules localement libres, telle que les quotients successifs E s /E soient localement libres e rangs s s, une famille isomorphismes, s r, E s /E s τ ( L t ) ( ) E s /E s L t Lemme 6 Avec les notations ci essus, les trois conitions suivantes éfinissent un sous champ ouvert Cht r r e C r r, qu on appellera le champ es chtoucas itérés e type r: (i) En notant E s = E s si s r et E r = E, tous les quotients E /E s sont localement libres sur O X S (ii) Pour tout s r, l homomorphisme E s E /E est surjectif, si bien que son noyau E s est localement libre sur O X S, tout comme E = (iii) Pour tout s r, on a E s + τ E s = τ E De plus, il existe un unique sous champ ouvert Cht r e C r ont la trace ans chaque strate C r r soit égale à Chtr r On appellera Cht r le champ es chtoucas itérés e rang r Démonstration La première assertion est éviente La secone résulte e la première et e ce que toute strate C r r e C r est un ouvert ans le fermé réunion es C r r, r r On utilise le fait qu au essus e ce fermé les E s et E s, s r, se recollent en es O X S Moules localement libres License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

9 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 19 Supposons maintenant que notre pré chtouca itéré ( ) E E ; L 1,,L r 1 ;l 1,,l r 1 ; u 1,,u r E est un chtouca itéré etyperet poursuivons la iscussion, en usant es notations éjà introuites Notons A r1 = E r1 Eet A r 1 = E r 1 = E r 1 Alors le composé τ A r1 τ E τ E/E r1 E r 1 = A r 1 s intègre ans un iagramme A r 1 A r 1 = Ãr 1 τ A r1 qui éfinit un chtouca à roite e rang r 1 sur S De plus, on a un isomorphisme canonique A r 1 /A r1 E /E où il ressort que ce chtouca a même pôle que la E E moification E Puis, pour s r, s>r 1 = +, notons A s = E s τ E s le noyau e l homomorphisme surjectif E s τ E s τ E Et notons A s = E s /E s = E s /E s On ispose es eux composés A s τ E s τ E s / τ E s = τ A s et ( A s ) τ L t E s τ( ) ( ) L t E s /E s τ L t E s /E ( ) ( s L t A s L t ) Ils s intègrent ans un iagramme ( ) A s τ L t ( ) A s L t τ A s τ ( ) = Ãs L t qui éfinit un chtouca à gauche e rang s s au essus e S Lorsque s = r est le plus gran élément e r, on a un isomorphisme canonique ( )/ ( A r L t A r ) τ ( ) L t E /E L t t<r t<r t<r où il ressort que le zéro e Ãr se confon avec celui e la moification E E E License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

10 11 LAURENT LAFFORGUE D autre part, pour s r r c est à ire + = r 1 s r k 1 = r,onaes isomorphismes canoniques τ E/(E s τ E s ) = (E s τ E s +)/(E s τ E s +)/(E s τ E s ) = ( τ E s +/ τ E s )/(E s τ E s +)= τ A s +/A s + et τ E/(E s τ E s ) = (E s τ E s )/(E s τ E s )/(E s τ E s ) = (E s /E s )/(E s τ E s ) A r 1 / τ A r1 ( si s = r 1, = A s 1 τ L t )/A s si s>r 1, si bien que le zéro e Ãs seconfonaveclepôle e Proposition 7 Soit r =(r 1,,r k ) une partition e l entier r, avec onc < r 1 < <r k 1 <r k =r Soit Cht r la catégorie fibrée qui àtoutschéma S sur F q associe le groupoïe es familles constituées e eso S Moules inversibles sur S au nombre e k 1 que l on note L s, s r, s<r k =r, A r1 A r 1 un chtouca à roite Ãr 1 = e rang r 1 au essus e S et τ A r1 Ãs + k 1 chtoucas à gauche e rangs respectifs s s, s r, s>r 1, qu on écrit sous la forme ( ) A s L t à s = A s τ( ) L t τ A s τ( ), L t es isomorphismes e O X S Moules A r 1 / τ A r1 τ A r2 /A ( r 2 et A s 1 τ L t )/A s τ A s + /A s, s r, r 1<s<r + Alors: (i) La catégorie fibrée Cht r est un champ algébrique au sens e Deligne Mumfor, séparé et muni un morphisme naturel Cht r X X X k 1 qui est localement e type fini et lisse e imension relative 2r 2k (ii) La iscussion qui précèe l énoncé elaprésente proposition éfinit un morphisme naturel Cht r r Chtr qui est fini, surjectif et raiciel (iii) Il existe une constante µ telle que le morphisme Cht r r Cht r License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

11 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 111 evienne une gerbe (ont le groupe e structure est plat, fini et raiciel) au essus e l ouvert e Cht r éfini par les conitions µ (Ãs) µ + µ + (Ãs +), s r, s < r (Pour E un fibré non nul sur une courbe projective lisse, on note µ(e) = eg(e)/rg(e) et µ + (E) le maximum [resp µ (E) le minimum] es µ(f) quan F écrit l ensemble es fibrés non nuls qui sont sous-objets [resp objets quotients] e E) En particulier, au essus e cet ouvert, Cht r r est lisse sur X X Xk 1 e imension relative 2r 2k Remarque C est en pensant aux énoncés (ii) et (iii) qu on a baptisé Cht r r champ es chtoucas itérés e type r Démonstration e la proposition 7 (i)onsaitquelechampcht r1 eschtoucasà roite e rang r 1 et les champs r2 r1 Cht,, r k r k 1 Cht es chtoucas à gauche e rangs r 2 r 1,,r k r k 1 sont algébriques au sens e Deligne Mumfor, séparés, localement e type fini et lisses e imensions relatives 2r 1 2, 2(r 2 r 1 ) 2,,2(r k r k 1 ) 2 au essus e X X Par conséquent, le champ Cht r1 r 2 r 1 r X Cht X k r k 1 X Cht est lui même algébrique au sens e Deligne Mumfor, séparé, localement e type fini et lisse e imension relative 2r 2k au essus e X X X k 1 On en éuit le résultat annoncé (ii) On consière un objet e Cht r au essus un schéma S sur F q, comme précisé ansl énoncé e la proposition On cherche àécrire la fibre au essus e cet objet u morphisme Cht r r Cht r Et après la iscussion qui précèe l énoncé u lemme 6, un objet e Cht r r est E E constitué une moification, une famille e fibrés inversibles E L s, s r, s < r, e filtrations τ E = E E s E r =, = E E s E r = E, = E E s E r = E et =E E s E r = E telles que E s /E s = E /E, s r, ete s =E s, s r, et une famille isomorphismes E s /E s τ( ) ( ) L t E s /E s L t Tout abor, il existe une unique façon e reconstituer τ E muni e ses eux filtrations τ E = E E s E r =et= τ E τ E s τ E r = τ E à partir e l objet consiéré echt r Pour le voir, commençons par écrire la somme irecte A = A r 1 s r r 1<s<r ( τ A s A s 1 τ ( L t )) τ A r License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

12 112 LAURENT LAFFORGUE Il y a eux plongements naturels a et a e la somme irecte s r r 1<s<r A s ans A Ils s obtiennent en faisant la somme irecte e tous les homomorphismes e pôles ou bien e zéros ans les iagrammes Ãs, s r, r 1 <s<r D autre part, il y a eux homomorphismes surjectifs naturels a et a e A ans la somme irecte e quotients A r 1 / τ A r1 s r r 1<s<r ( A s 1 τ ( L t )) / A s = s r r 1<s τ A s /A s Alors on a τ E =Ker(a a)/im(a a) Puis on cherche à construire E muni e la filtration = E E s E r =E, connaissant éjà τ E et les quotients successifs E s /E s = A s, s r En notant Vec r1 X,Vecr2 r1 X,,Vec r k r k 1 X les champs classifiant les fibrés localement libres e rangs r 1, r 2 r 1,,r k r k 1 sur X et Vec r X le champ classifiant les fibrés e rang r sur X qui sont munis une filtration ont les quotients successifs sont es fibrés localement libres e rangs r 1,r 2 r 1,,r k r k 1, le problème e construire cet E est représenté par une fibre u morphisme Vec r X (Vecr1 X Vecr k r k 1 X ) r (Vec 1 X Vec r k r k 1 X ) Vecr X qui se éuit u carré commutatif Vec r X Frob / Vec r X Vec r1 X Vecr k r k 1 X Frob / Vec r1 X Vecr k r k 1 X Ce problème est onc représenté par un morphisme fini, surjectif et raiciel Enfin, connaissant E, ona E =(E A r 1 )/A r1, E =Ker[E A r A r /A r τ 1( L t )], et toutes les autres onnées qui entrent ans la composition es chtoucas itérés e type r se construisent une et une seule façon (iii) En effet, si µ (A s ) µ + µ + (A s +), s r, s<r, et si la constante µ est assez grane, il y a une unique possibilité pour Emuni une filtration e quotients successifs les A s, s r, àsavoire= s ra s Ceci joint à la émonstration e (ii) prouve le résultat annoncé ) Sous objets Troncatures Soient K un corps contenant F q, S le spectre e K, r un entier positif, r =(r 1,,r k ) une partition e r, aveconc<r 1 < ( E E ) <r k =ret ; L 1,,L r 1 ; l 1,,l r 1 ; u 1,u 2,,u r = Ẽ un E chtouca itéré e type rau essus e S Comme on a éjà it, chaque L s, s/ r, muni e la section inversible l s peut être ientifié au fibré trivial O S muni e la section 1 D autre part, pour tout s r, s<r, la section l s est nulle et on peut toujours choisir une trivialisation L s = OS e L s t<r License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

13 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 113 Ceci étant posé, la onnée e la famille homomorphismes u 1,u 2,,u r est équivalente à celle e une filtration écroissante τ E = E E s E r =e τ Epar es sous fibrés maximaux, = E e E par es sous fibrés maximaux inuisant es filtrations semblables = E E s E r =E et = E E s E r =E e E et E, une famille isomorphismes une filtration croissante = E E s E r E s /E s E s /E s,s r Définition 8 Avec les notations ci essus, on appellera sous objet un chtouca itéré Ẽ e type r au essus u spectre S un corps K contenant F q tout couple (A, A ) constitué eeuxsous fibrés A et A e E et E ayant même rang et tels que le plongement E E envoie A ans A et que chaque plongement E s /E s E s/e s, s r, envoie τ A E s / τ A E s ans A E s/a E s Un tel sous objet sera it bon si A et A sont maximaux et s il existe a r tel que E a A E a, E a A E a Un bon sous objet sera it e type I si a = r 1 = + ou bien si a>r 1 = + et eg( τ A E a )<eg(a/e a ), c est-à-ire si τ A + E a = τ E Il sera it e type II si a>r 1 = + et eg( τ A E a )=eg(a/e a ),c est-à-ire si τ A + E a τ E Proposition 9 Soit p :[,r] R + un polygone Il existe ans le champ algébrique Cht r r es chtoucas itérés e type r un unique ouvert Cht r,p p r tel que pour tout point géométrique Ẽ e Cht r r à valeurs ans le spectre S un corps K contenant F q, ce point est ans l ouvert Cht r,p p r si et seulement si: (i) Pour tout s r, ona p(s) 1<eg E s s eg E p(s) r (ii) Pour tout bon sous objet (A, A ) e Ẽ, ona eg A rg A eg E p(rg A) r si (A, A ) est e type I, et eg A rg A eg E p(rg A) 1 r si (A, A ) est e type II De plus, si L est un fibré inversible sur X e egré non nul, le quotient Cht r,p p r /L Z est e type fini au essus e X X X k 1 Démonstration C est une conséquence imméiate e la proposition 7 (ii) u paragraphe précéent et e ce qu on sait à propos es champs e chtoucas Rappelons qu étant onnée µ une constante, un polygone p :[,r] R est it µ gran s il vérifie les inégalités [p(r ) p(r 1)] [p(r +1) p(r )] µ, 1 r <r License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

14 114 LAURENT LAFFORGUE Et ire qu une propriété est vraie pour tout polygone assez gran signifie qu il existe une constante µ telle que la propriété soit vraie pour tout polygone qui soit µ gran Lemme 1 Soit p :[,r] R + un polygone qui soit 2 gran Soit Ẽ un chtouca itéré etyperau essus u spectre S un corps K contenant F q On suppose que Ẽ vérifie la propriété (i) e la proposition 9 Alors la propriété (ii) e laite proposition est équivalente à ce que tout sous objet (A, A ) e Ẽ satisfasse une part eg A rg A eg E p(rg A) r et autre part, pour tout s r vérifiant τ A E s, eg( τ E s τ A)+eg(E s τ A) rg A eg E p(rg A) 1 r Démonstration On remarqueimméiatement que l assertion (ii) e la proposition 9 appliquée à un bon sous objet (A, A )eẽest équivalente à l assertion ci essus appliquée àcemême bon sous objet La seule chose àvérifier est onc que ans l hypothèse où l assertion ci essus est satisfaite par tous les bons sous objets, elle l est par tous les sous objets Ainsi, consiérons un sous objet (A, A )eẽ Pour tout s r, notons A s et A s lesimagesréciproques par les projections E s E s /E s et E s E s/e s es sous fibrés maximaux e E s /E s et E s/e s engenrés par A E s /A E s et A E s /A E s Chaque paire (A s, A s )éfinit un bon sous objet e Ẽ et on a rg A = s r(rg A s rg E s ), eg A s r(eg A s eg E s ), où l inégalité eg A rga eg E [(eg A s rga s r r s r eg E) (eg E s rge s r eg E)] Notant u le plus gran élément e r tel que pour tout s u ans r, onaitrga s = rge s et onc même A s = E s, le terme e roite s écrit encore (eg A u rga u eg E) r + s r,s>u rga s>rge s [(eg A s rga s r eg E) (eg E s rge s r D après les hypothèses, il est majoré par p(rga u )+ (p(rga s ) p(rge s )+1) s r,s>u rga s>rge s et à plus forte raison par p(rga) puisque le polygone p est 2-gran eg E)] License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

15 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 115 D autre part, on a pour tout s r eg(e s A) (eg A t eg E t ), t s eg(e s τ A) eg(e s τ A s +)+ t>s + (eg A t eg E t ), où onéuit e la même façon eg( τ E s + τ A)+eg(E s τ A) rga eg E p(rga) 1 r Corollaire 11 Soit p :[,r] R + un polygone qui soit 2 gran Alors il existe ans le champ algébrique Cht r es chtoucas itérés e rang r un unique ouvert Cht r,p p ont la trace ans chaque strate Cht r r soit égale à Cht r,p p r De plus, si L est un fibré inversible sur X e egré non nul, le quotient Cht r,p p /L Z estetypefinisurx X Il est lisse e imension relative 2r 2 si p est assez gran Démonstration Compte tenu e la proposition 9, on a seulement à prouver que si Ẽ est un chtouca itéréetyperau essus un corps qui se spécialise en un chtouca itéré F e type plus fin au essus un corps résiuel et si F vérifie les propriétés e la proposition 9, alors Ẽ les vérifie également Or les E s, E s, E s, E s, s r, sespécialisent en les F s, F s, F s, F s et autre part tout bon sous objet e Ẽ se spécialise en un sous objet e F On conclut après le lemme 1 Quant àlalissitéès lors que p est assez gran, elle résulte e la proposition 7 (iii) u paragraphe précéent Enonçons: Théorème 12 Soient p :[,r] R + un polygone qui soit 2 gran et L un fibré inversible sur X e egré nonnul Alors le champ Cht r,p p /L Z est propre (et en particulier séparé) au essus e X X Démonstration On sait éjà que ce champ est e type fini Il suffit onc e vérifier le critère valuatif e propreté, ce qui fait l objet es paragraphes suivants 2 Vérification u critère valuatif e propreté Pour la émonstration, nous allons nous inspirer e celle e Drinfel en rang 2 (voir le paragraphe 3 e [3]) a) ϕ réseaux itérés ans les ϕ espaces Etant onnéa un anneau e valuation iscrète contenant F q,onnoterak A le corps es fractions e A, κ A son corps résiuel, π A un élément uniformisant et eg A sa valuation On notera aussi A X l anneau local u schéma X A en le point générique e la fibre spéciale X κ A Ainsi A X est un anneau e valuation iscrète ont π A est également élément uniformisant Si F ésigne le corps es fonctions e la courbe License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

16 116 LAURENT LAFFORGUE X, on voit que le corps es fractions e A X s ientifie au corps es fractions e F K A et le corps résiuel e A X au corps es fractions e F κ A On notera encore τ les enomorphismes e A X, K AX ou e leurs complétés  X, KÂX inuits par le prouit tensoriel I F Frob A On remarque que pour tout scalaire a K AX [respkâx ], on a eg AX (τ(a)) = q eg (a)[respegâx AX (τ(a)) = q egâx (a)] Consiérons (V,ϕ) unϕ espace e imension r sur K AX c est à ire la onnée un espace vectoriel V e imension r sur K AX et un isomorphisme τ V = τ V V ou, ce qui revient au même, une application τ linéaire ϕ : V V telle que l image e ϕ engenre V (voir [2], paragraphe 2) Rappelons qu un réseau e V [resp e V = V KAX KÂX ] est un sous moule e type fini sur A X [resp ÂX] qui engenre V [resp V ] comme espace vectoriel; un tel réseau est nécessairement libre e rang r comme moule On remarque que l application M M AX  X éfinit une bijection e l ensemble es réseaux e V sur l ensemble es réseaux e V Nous allons introuire une notion e ϕ-réseau itéré qui généralise celle e ϕ- réseau éfinie par Drinfel ans le cas u rang r = 2 (voir le paragraphe 3 e [3]): Définition 1 Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q, (V,ϕ) un ϕ espace e imension r sur K AX et u : τ V V l isomorphisme associé On appellera ϕ réseau itéré ans V (relativement à une famille entiers 1, 2,, r 1 )toutréseau M e V telque,sionnote ( ) (q 1)Λ u s = s u, 1 s r, 1 1 π t(s t) A les eux propriétés suivantes sont vérifiées : (i) Pour n importe quel choix e base e M sur A X, le point (u 1,u 2,,u r ; π 1(q 1) A,,π r 1(q 1) A ) e Ω r (r) (K A X ) se prolonge en un point e Ω r (A X ) (ii) Pour tout s, 1 s r, laréuction moulo π A e l homomorphisme u s : τ( ) π t(s t) A Λ s M π t(s t) A Λ s M 1 est telle que son noyau et le transformé parτe son image soient en somme irecte (autrement it, que toutes ses puissances aient le même rang non nul) Bien sûr, on appellera type un tel ϕ réseau itéré M relativement à une famille entiers 1, 2,, r 1 la partition r =(r 1,,r k ) telle que r k = r et, pour 1 s<r, s r s 1 Un ϕ réseau itéré etype(r)c est à ire tel que la famille associée 1,, r 1 soit nulle sera aussi appelé simplement un ϕ réseau D autre part, on ispose en un sens évient e la notion e ϕ espace (e imension finie) sur KÂX et, ans un tel ϕ espace, e celles e ϕ réseau itéré ete ϕ réseau On note que si (V,ϕ) estunϕ espace sur K AX, V = V KAX KÂX est un ϕ espace et l application M M AX  X est une bijection e l ensemble es ϕ réseaux itérés [resp es ϕ réseaux] e V sur l ensemble e ceux e V License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

17 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 117 Consiérons ( V,ϕ)unϕ espace sur KÂX et M un ϕ réseau itéré etyper= (r 1,,r k )ans V relativement à une famille 1, 2,, r 1 Posons M r1 = Â X ϕ n ( M), Vr1 = M r1 ÂX KÂX, n 1 M r2 = Â X ϕ n (π r1 A M/ M r1 ), Vr2 / V r1 = M r2 ÂX KÂX, n 1 etc Ainsi on associe à M une filtration croissante O = V V r1 V r2 V rk = V e V par es ϕ espaces, telle que chaque quotient V s / V s, s r, soit muni un ϕ réseau M s Proposition 2 Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q et ( V,ϕ) un ϕ espace sur KÂX Alors: (i) Il existe ans V au plus un ϕ réseau (ii) Plus généralement, si = V V r1 V rk = V est une filtration e V par es ϕ espaces et si 1, 2,, r 1 est une famille entiers telle que s r =(r 1,,r k ) s 1 et s/ r s =, il existe ans V au plus un ϕ réseau itéré relativement à 1,, r 1 ont la filtration e V associée soit égale à ( V s ) s r (iii) Dans la situation e (ii), supposons que chaque quotient V s / V s, s r, amette un ϕ réseau Alors, si les s, s r, sont assez grans, le problème posé en (ii) amet une solution Démonstration (i) En effet, un tel ϕ réseau est nécessairement l ensemble es v V tels que le sous moule engenré surâx par les ϕ n (v), n 1, soit e type fini (ii) Soient M et N eux tels ϕ réseaux itérés On sait éjà après (i) que pour tout s r, ona M V s / M V s = N V s / N V s Montrons par récurrence escenante sur les s r que M/ M V s = N/ N V s Supposant que l on sait éjà M/ M V s = N/ N V s,consiérons m M/ M V s et n N/ N V s eux éléments e V/ V s qui ont même réuction ans M/ M V s = N/ N V s V/ V s Alors l élément m n V s / V s est( tel que le sous moule ) engenrésurâx par ses transformés par les puissances e π t A ϕ soit e type fini Par conséquent, m n est comme voulu ans M V s / M V s = N V s / N V s (iii) Pour tout s r, soit M s le ϕ réseau e V s / V s On peut toujours le relever en un moule M s V s libre e même rang sur ÂX Il est clair que si les s, s r, sont assez grans, le réseau M = s r répon àlaquestionposée ( π t A ) M s Nous allons maintenant montrer que, quitte à étenre la base, il existe es ϕ réseaux itérés ans n importe quel ϕ espace License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

18 118 LAURENT LAFFORGUE Lemme 3 (Drinfel) Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q et ( V,ϕ) un ϕ espace sur KÂX Alors, quitte à remplacer A par une extension finie totalement ramifiée, il existe ans V un réseau M stabilisé parϕet tel que l enomorphisme inuit ϕ : M/π A M M/πA M ne soit pas nilpotent Démonstration On préten qu il existe sur V une valuation egϕ telle que eg ϕ (ϕ(v)) = q eg ϕ (v), v V En effet, il suffit pour s en convaincre e partir une valuation quelconque eg sur V et e remarquer qu il existe une constante C> telle que pour tout v V on ait eg(ϕ(v)) q eg(v) C si bien qu on peut éfinir eg ϕ (v) = lim n + q n eg(ϕ n (v)) Comme le corps KÂX est complet, il existe es réels c 1,c 2,,c r et une base v 1,,v r e V tels que pour tout v V e cooronnées a 1,a 2,,a r,onait eg ϕ (v) = min {c i+egâx (a i )} 1 i r Comme autre part eg ϕ (ϕ(v j )) = q eg ϕ (v j ), 1 j r, onvoitquesi(a ij ) ésigne la matrice e ϕ ans la base consiérée, on a qc j = min {c i+egâx (a ij )}, 1 j r 1 i r Les egâx (a ij )étant es entiers, il résulte e ces relations que c 1,c 2,,c r sont es rationnels Et si e 1ésigne un e leurs énominateurs communs, on obtient que eg ϕ pren ses valeurs ans 1 e Z Puis, quitte à remplacer A par A[π 1/e A ], on peut supposer que la valuation eg ϕ atteint la valeur Alors le réseau M = {v V, eg ϕ (v) } répon àlaquestionposée Proposition 4 Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q et (V,ϕ) [resp ( V,ϕ)] un ϕ espace sur K AX [resp KÂX ] Alors, quitte à remplacer A par une extension finie totalement ramifiée, il existe ans V [resp V ] un ϕ réseau itéré Démonstration Il suffit e consiérer le cas un ϕ espace ( V,ϕ)surKÂX D après le lemme 3 et quitte àétenre la base A, ilexisteans V un réseau N 1 stable par ϕ et tel que M r1 = Â X ϕ n ( N 1 ) soit un moule libre e rang r 1 1 n 1 sur ÂX Alors M r1 est un ϕ réseau e V r1 = M r1 ÂX KÂX Puis en recommençant ce processus autant e fois que nécessaire, on construit ans V une filtration croissante par es ϕ espaces V s, s r, telle que chaque quotient V s / V s amette un ϕ réseau On conclut après la proposition 2 (iii) Terminons ce paragraphe en introuisant quelques notations et notions nouvelles ont nous aurons besoin License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

19 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 119 Consiérons A un anneau e valuation iscrète contenant F q,(v,ϕ) unϕ espace e imension r sur K AX, M un ϕ réseau itéré etyper=(r 1,,r k )ansv et M = M AX Â X le ϕ réseau itéré corresponant ans V = V KAX KÂX On notera V M = M/π A M = M/π A M = V M C est un espace vectoriel e imension r sur le corps résiuel κ AX D après la éfinition 1 u présent paragraphe combinée à la proposition 1 u paragraphe 1a, on ispose ansv M une filtration croissante = V M Vr M 1 V M r V M r Vs M, s r, eimensions, =V M par es sous espaces vectoriels Vs M ans τ V M une filtration écroissante τ V M = V M V M s = par es sous espaces vectoriels V M s, s r, ecoimensions, pour tout s, s r, un isomorphisme V M s /V M s Vs M /V s M De plus, la conition (ii) e la éfinition 1 est équivalente à ce que, pour tout s r, V M s et τ Vs M soient en somme irecte ans τ V M On remarque que si = V (M) V s (M) V r (M)= V est la filtration e V par es ϕ espaces V s (M), s r, eimensions, canoniquement associée au ϕ réseau itéré M, alors pour tout s r, ona Vs M =M V s (M)/π A (M V s (M)) Lemme 5 Dans la situation ci essus, isons qu un sous ϕ espace Ŵ e V est compatible avec la filtration ( V s (M)) s r e V canoniquement associée au ϕ réseau itéré M s il existe un s r tel que V s (M) Ŵ V s (M) D autre part, un sous espace W e V M = M/π A M sera it bon s il existe un s r tel que Vs M W V M s et que l isomorphisme V M s /V M s un isomorphisme V M s τ W W/V M s Alors l application Ŵ Ŵ M = M Ŵ/π A( M Ŵ) V M s /V M s inuise inuit une bijection e l ensemble es sous ϕ espaces compatibles e V sur l ensemble es bons sous espaces e V M Démonstration Soit ( 1,, r 1 ) la suite entiers relativement à laquelle M est un ϕ réseau itéré Consiérons W un bon sous espace e V M = M/π A M avec onc V M s W Vs M pour un certain s r Choisissons un ÂX moule e type fini N tel que N M, N M Vs (M) et N/π A N = W Soit Ŵ l unique sous espace e V qui contienne V s (M) ettelqueŵ/ V s (M) soit engenré surkâx par l intersection (( ) n( Â X ϕ) N/ M Vs (M)) n 1 π t A Alors Ŵ est l unique antécéent e W par l application consiérée Proposition 6 Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q, (V,ϕ) un ϕ espace e imension r sur K AX, M un ϕ réseau itéré ans V relativement à License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

20 12 LAURENT LAFFORGUE une famille entiers 1, 2,, r 1 et Ŵ un sous ϕ espace e V compatible avec la filtration ( V s (M)) s r canoniquement associée à M Alors, Ŵ M ésignant le bon sous espace e V M = M/π A M corresponant à Ŵ, M =Ker[M V M /Ŵ M]est un ϕ réseau itéré ans V Il l est relativement à la famille ( 1,, r 1, r +1, r +1,, r 1 ) où r ésigne la imension e Ŵ sur K Â X Enfin, la filtration e V associée à M est égale àlaréunion e celle ( V s (M)) s r associée à M et e l élément Ŵ Dans la situation e la proposition 6, on ira que M est le transformé em par Ŵ ou Ŵ M On pourra ire aussi que M est le transformé réciproque e M par Ŵ Notant r la réunion e r et e l élément r =imŵ=imŵ M, la filtration croissante canonique (V M s ) s r e V M = M /π A M est telle que V M r = V M s /Ŵ M pour s > r, et la filtra- V M s = Vs M pour s < r et V M s /V M r tion écroissante canonique (V M V M s = V M s pour s>r et V M s /V M = Ŵ M, s ) s r e τ V M est telle que V M r = τ (V M /Ŵ M ), r = τ Ŵ M V M s pour s<r b) Chtoucas égénérés associés aux ϕ réseaux itérés Nous allons nous servir u lemme suivant: Lemme 7 Soit A un anneau e valuation iscrète contenant F q Alors le foncteur qui àtouto X A Moule localement libre sur X A associe une part sa restriction àlafibregénérique X K A et autre part sa fibre au essus e Spec A X est une équivalence e catégories, c est à ire amet un foncteur quasi inverse qu on notera (E,M) E(M) ( ) E E Dans tout ce qui suit, on fixera un chtouca τ E=E e rang r 1au essus u point générique Spec K A un anneau e valuation iscrète A contenant F q Sa fibre générique est un ϕ espace V e imension r sur K AX D après le lemme 7 ci essus et la éfinition 1 u paragraphe 2a, on peut associer àtoutϕ réseau itéré M e V uno X A Moule( E(M) localement ) libre e rang r, E(M) E une moification (M) E e celui ci, (M) une famille homomorphismes τ Λ s E(M) Λ s E (M), 1 s r L ensemble e ces onnées pourra être appelé le chtouca égénéré inuit par M Les restrictions E M = E(M)/π A E(M), E M = E (M)/π A E (M) et E M = E (M)/π A E (M) àlafibrespéciale X κ A sont es fibrés (localement libres) e rang r ont les fibres génériques s ientifient à V M = M/π A M Si r =(r 1,,r k )ésigne le type u ϕ réseau itéré M, les filtrations = V M V M r 1 V M s V M r = V M et τ V M = V M V M s V M r = License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

21 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 121 inuisent es filtrations =E M Er M 1 Es M Er M =E M, =E M E r M 1 E s M E r M =E M, =E M E r M 1 E s M E r M = E M et τ E M = E M E M r 1 E M s E M r = e E M, E M, E M et τ E M par es sous fibrés maximaux De plus on ispose, pour tout s r, un isomorphisme au essus un ouvert non vie e X κ A E M s /E M s E M s /E M s On sait enfin que pour tout s r, E M s et τ E M s sont intersection nulle ans τ E M etquelequotient τ E M /(E M s τ E M s ) est e torsion Proposition 8 Soit M un ϕ réseau itéré etyper=(r 1,,r k ) ans V (i) Pour tout s r, lequotient τ E M /(E M s τ Es M )est e imension ou 1 sur κ A (ii) Il est équivalent e emaner que pour tout s r r =(r 1,,r k 1 ) le quotient τ E M /(E M s τ Es M ) soit e imension 1 sur κ A ou bien que soient vérifiées les conitions suivantes: pour tout s r, l homomorphisme E M s /E M s E s M /E s M est partout bien éfini et inversible sur X κ A, pour tout s r, E s M /Es M est e imension 1 sur κ A, pour tout s r, E s M = E s M, lesquelles impliquent que le chtouca égénéré inuitparmsoit un pré-chtouca itéré e rang r sur Spec A ont la restriction au-essus e Spec κ A soit e type r Démonstration Il suffit e remarquer une part que pour tout s r r les quotients E s M /Es M et E s M /E s M qui se plongent respectivement ans E M /E M et E M /E M sont e imension ou 1 sur κ A et autre part que pour tout s r on a es plongements partout bien éfinis sur X κ A entre fibrés e même rang et( τ E M /E M s ) et(e M s ), et( τ E M /E M s ) E M s /EM s On conclut par es consiérations e egrés et(e M s ) E M s /E s M Rappelons que ans le lemme 5 u paragraphe 2a, on a fait corresponre e manière biunivoque à tout sous ϕ espace Ŵ e V compatible avec la filtration ( V s (M)) s r canoniquement associée au ϕ réseau itéré M un bon sous espace Ŵ M e V M = M/π A M Comme V M s ientifie aux fibres génériques es fibrés E M, E M et E M sur X κ A,onpeutconsiérer les sous fibrés maximaux E M, E M et E M engenrés Ŵ Ŵ Ŵ par Ŵ M Ils sont tels que pour un certain s r, on ait Es M E M Ŵ EM s, E s M E M Ŵ E M s et E s M E M Ŵ E M s Les sous fibrés e E M, E M et E M qui s obtiennent e cette façon seront appelés les bons sous objets License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

22 122 LAURENT LAFFORGUE Proposition 9 Soient M et M eux ϕ réseaux itérés ans V Et soit (Ŵw) w w une filtration croissante e V qui raffine les eux filtrations canoniquement associées à M et M Soient alors (E M = E M Ŵ w w ) w w et (E M = E M Ŵ w w ) w w les eux filtrations corresponantes e E M et E M par es bons sous objets (i) Si eg Ew M = E M w /E M w, w w =egem w, w w, on a es isomorphismes canoniques E M w /E M w (ii) S il existe w w tel que eg Ew M > eg E M et eg Ew M =egem w w,w, on a es isomorphismes canoniques Ew M /Ew M = E M w /E M w, w w, w, w +, et es plongements canoniques E M /E M E w w M /E M w, E M w + /Ew M E M /E w + w M Démonstration Pour tout Z, M = M + πa M est un réseau ans V La fibre au essus e X κ A u fibré E(M ) localement libre sur X A inuit par M est un fibré localement libre E M La filtration (Ŵw) w w e V inuit sur lui une filtration croissante (E M w ) w w par es sous fibrés maximaux Les inclusions M M, πa M M inuisent pour tout w w eux homomorphismes entre fibrés e même rang Ew M /EM M w Ew /EM w, EM w /EM w w E M /EM w ont l un au moins est un plongement Et pour tout w 1 w, il existe une unique façon avoir choisi qu on it alors aapté àw 1 e telle sorte que les eux homomorphismes corresponants soient es plongements Dans le cas (i), on voit onc que pour tout w eg E M w /EM w eg EM w /EM w =egem w /EM w et en fait il y a nécessairement égalité puisque eg E M =ege M =ege M Lorsque est aapté àw 1, les plongements E M w 1 /E M w 1 Ew M 1 /E M, E M w w 1 /E M 1 w 1 Ew M 1 /E M w 1 qui sont entre fibrés e même rang et même egré sontnécessairement es isomorphismes On conclut en choisissant successivement aapté àchaquew 1 w Dans le cas (ii), on a eg E M w /EM w eg EM w /EM w =egem w /EM w, w,w +, eg E M /E M eg E M w /E M, w eg E M /E w + w M eg E M /E w + w M Lorsque est choisi aapté àw 1 =, on a aussi eg E M /E M eg E w w M /E M w onc Ew M /E M E w w M /E M est un isomorphisme ainsi que E M /E w w + w M E M /E w + w M eg E M Et lorsque est choisi aaptéàw 1 = + /E M E M /E w + w M est un isomorphisme ainsi que E M onc E M w +, on a aussi eg EM /E w + M /E M w w + E M w, /E M /E M w License or copyright restrictions may apply to reistribution; see

23 COMPACTIFICATION DES CHTOUCAS DE DRINFELD 123 Il résulte enfin e ce qu on vient e voir ans ces eux cas que lorsque est choisi aapté àw 1, +, on a toujours ou bien eg EM /E M eg E w w M /E M > w eg E M /E M ou bien eg E M /E w w + w M eg E M /E M w + > eg E M /E w + w M On conclut alors comme ans la partie (i) c) Transformations es chtoucas égénérés Dans ce paragraphe, nous allons introuire certaines opérations e transformations es ϕ-réseaux itérés en regarant leurs effets sur les chtoucas égénérés associés, opérations que nous emploierons ans la construction finale au paragraphe 2e Commençons par citer le lemme suivant: Lemme 1 (Langton) Soient A un anneau e valuation iscrète contenant F q, E un fibré localement libre sur X K A, V sa fibre générique, M un réseau ans V, W un sous espace vectoriel e V M = M/π A M et M le réseau Ker[M V M /W ] Soient E(M) et E(M ) les fibré localement libres sur X A inuits par M et M, E M et E M leurs restrictions au essus e X κ A, E M W et E M W maximaux e E M et E M engenrés par W et W =Ker[M /π A M W ] Alors on a les suites exactes canoniques E M W E M E M W, EW M E M E M W ( Comme ans le paragraphe précéent, on fixe un chtouca les sous fibrés E E τ E=E ) e rang r 1 au essus u point générique Spec K A un anneau e valuation iscrète A contenant F q La fibre générique est un ϕ espace V e imension r sur K AX Du lemme 1 on éuit: Proposition 11 Soient M un ϕ réseau itéré ans V, (Ŵw) w w une filtration e V par es sous ϕ espaces qui raffine la filtration canoniquement associée à M et un élément e w w (i) Soit M 1 le ϕ réseau itéré transformé empar Ŵ (qui onc figure ans la filtration e V canoniquement associée à M 1 ) Alors, en notant Ew M = E M le Ŵ w bon sous objet e E M inuit par Ŵ, on a les suites exactes canoniques E M 1 τ E M 1 τ Ew M, τ Ew M τ E M E M 1 De plus, on a un plongement canonique E M 1 Ew M et le quotient Ew M /E M 1 est e imension ou 1 sur κ A (ii) Plus généralement, soit M, M 1, M 2,,M m =M une suite finie e transformés successifs e M par Ŵ = E = =E Alorsona, telle que Ew M M 1 w Mm 1 es suites exactes canoniques E M τ E M τ Ew M, τ Ew M τ E M E M ainsi qu un plongement canonique E M Ew M ont le conoyau Ew M /E M est e imension ou 1 sur κ A License or copyright restrictions may apply to reistribution; see