Dans le cadre unidimensionnel l équation différentielle associée au modèle de Maxwell est exprimée sous la forme suivante : = (A-1) () t.

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Renée Bertrand
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1 ANNXS 7

2 Ax A Moèl Mxwll géérlsé Ds x o ébl l or rél u oèl Mxwll géérlsé pr rprour ls péoès lug propr lug sso. Cs usol Ds l r usol l équo érll ssoé u oèl Mxwll s xpré sous l or suv : ε v A- η v L soluo équo érll s équvl l équo Bolz qu s ér : ε ε A- Érvos l oo rlxo v v v v u sér Drl o ob : A l s l opor l orrspo à l répos élsqu où pr : ε A- s é A-4 L opos lug propr s oélsé pr îs Mxwll prllèl y s vsosés oo u vu or s ouls élsé oo u ps l ué rlv r u béo. η η [ ] p s b v S rup A-5 L lug sso s rprou pr - îs Mxwll vés oo u ux ésorpo. C lug s oséré o o vllss. A-6 η η L équo A- pu s érr: v v v v ε v v A-7 Pour éblr l or rél l rvll ps [ ]s éoposé u obr sus ré pr ppror ls oos à égrr pr s ors lérs. C rv à o s osérr l éoro v ε l ué rlv r l rgé oos lérs sur qu ré ps. D ê o suppos qu l vu or s os sur. 7

3 Ax A A-8 L é or à l s u élé Mxwll s lors xpré pr l équo suv : ε ε ε A-9 Après évlopp rérrg l ré or s oé sous l or rél suv : s ε : A- v :.. ss soo s Forulo rsoll : Pour éblr l or rél rsoll à prr l équo Bolz évloppos l sur rlxo u sér Drl : v A- rpr ls ês ypoèss qu préé l ré or s é à ou s pr : s l : ε A- v :.. ss soo s l

4 Ax B Clul s ors prpls L sur ors vs s l rpèr l s ér : xx xy xz xy yy yz zx yz zz É syérqu l ros vlurs proprs rélls λ λ λ qu so soluos l équo suv : xx λ xy xz xy yy λ yz zx yz zz λ C équo pu s xprr sous l or u équo polyol rosè gré : λ λ λ B- où so ls ros vrs l r s ors : xx yy zz xx yy yy zz zz xx xy yz zx B- xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy Cs ros vlurs proprs orrspo ux ors prpls. lls s xpr oo s vrs qu gr qu lls ép ps u rpèr l. l s possbl résour lyqu équo. Posos ou bor : y λ B- L équo B- v lors : y y B-4 s : où so ls vrs u sur ors évorqus r / 7 Ls ros vlurs proprs so o égls à : λ os β λ β π λ os β 4π Av: 4 β Ar os 7 4 B-5 B-6 Coss ls vlurs proprs l s possbl golsr l r s ors : Q Q B-7 75

5 Ax B où Q s l r pssg ˆ l sur ors prpls gols. A rvr à l sp bs l oîr ls évoluos s prèrs éroussg l s éssr oîr l r pssg Q éré à prr s vurs proprs. Clul s vurs proprs Ls vurs proprs X X X rls ux vlurs proprs λ λ λ rspv so érés pr l résoluo u sysè lér suv : : X λ X B-8 l s os xprr ls vurs proprs slo l or suv : X b X X b xprsso u vur propr X : L équo B- pu s r sous l or suv : yy λ yz b xy yz zz λ zx L xprsso s ooroés u vur propr s o : b yz zx xy λ yy zz λ yz xy yz zx xprsso u vur propr X : L équo B- pu s r sous l or suv : xx λ zx xy : zx zz λ yz λ zz yy λ B-9 B- B- L xprsso s ooroés u vur propr s o : yz zx xy λ xx zz λ zx xy zx yz xprsso u vur propr X : L équo B- pu s r sous l or suv xx λ xy zx : xy yy λ yz L xprsso s ooroés u vur propr s o : xy yz zx b λ xx yy λ xy xy zx yz λ zz yy λ λ yy xx λ B- B- B-4 76

6 Ax C o s prèrs l sér Drl L orulo rél vrbls lols ou vrbls géérlsés oss à éoposr l sur rlxo u sér Drl roqué. ll s oplè é ès qu l obr élés r l sér s qu ls vlurs r so ous. L éo ulsé pour r s prèrs s présé s qu su. L oo rlxo é supposé ou l o s prèrs oss à érr r pour oé ls oss r ll sor qu l sér Drl ppro u ux l oo rlxo qu o ppll lssg. Ds l prqu l s réqu qu sul l oo lug so ou. l ov lors érr l oo rlxo à prr l oo lug pr résoluo l équo égrl rl s ux oos : vs l rvll [ ] rvlls s [ ] l équo préé v : K ppro l oo C- o C- pr s vlur oy sur qu rvll [ ] l égrl s lulé égr x l r rs : C- L équo A- v lors : C-4 So or : C-5 Après évlopps rérrg o ob : v C-6 Ds l s u éru o vllss xprsso rs vlbl pos : v. 77

7 Ax C L ér proposé s révèl rès ul pour prr u o à prr oos réglrs pr xpl ll CB-FP 99 éo vrso s vlbl pour ou oo lug u éru vsoélsqu u yp. U os l oo rlxo ou so sous or lyqu so sous or srè s ll éé éré uérqu o proè à l o l ourb rlxo pr u sér Drl. O x l obr l sér Drl roqué. L oo rlxo é pr l sér Drl roqué v r rs: r v C-7 s l s rg oo rlxo v [ ] l s obsrvo é xé ous ros l vlur s r prèrs l vlur l ll sor qu l sér préé ppro u ux ls vlurs. Pour qu s o ppll l rrur os à l s o ssy sr l so s rrés s érs é pr : S w C-8 w é u o poéro qu pr prr op l o équrépro s rvlls ps. Pour l l érvé oo pr rppor ux r prèrs o êr ull : S r C-9 O ob lors l sysè lér r*r suv : A B C- [ ]{ } { } v : p q r A pq p q w q r q Bq w Ls os poéro pr opr l pos qu vlur oo l répro ll- sur l rvll éu. Lur xprsso s é o su s [U96] : w w [ ] w 78

8 Ax C L résoluo u sysè lér orr r o o l vlur s r prèrs A ép o proè à l o s los ls oos rlxo lug.. Ds l s u éru o vllss ép ps l s rg s uqu l rvll ps -. Cl s ps l s v u éru vllss pusqu ls oos préé és ép uss l s rg. L oo rlxo s lors oo ux vrbls qu l u s répér ls opéros préés pour érs ss rg oss sur l rvll éu u problè. U ls ps rg pé à l oo rlxo s os. U os éré l ls s vlurs l su pplqur l proéur o s prèrs érs préé pour ous ls vlurs ls s obr pour u s brs u oèl Mxwll géérlsé u sér rs. l s lors éssr ppror pr u oo l évoluo u s prèrs [ r]. Pour qu o o spos lors u ls vlurs qu o r à lssr u ux à l u ur sér xpolls. Dvrss oos o éé proposés. L oo opé s ll oé s [U96] u oo yp : [ r] Γ p γ v γ C- L o s prèrs Γ s ué pr pplo l proéur xposé plus u. Cl oss à résour pr l éo s ors rrés l sysè lér p*p suv : [ C ]{} { D} γ rls à qu Γ C- v : p q r γ p γ q C pq w γ γ q q r Dq w Ls os poéro so obus èr logu u s préé. Après l o s oos l oo rlxo s ér : r p Γ λ v 79

9 Ax D Foo lug slo l Co CB 99 L oo lug proposé pr l Co CB 99 CB-FP 99 l or suv : ϕ D- où ϕ s l o lug so rspv ls ouls élsé à l âg à 8 ours. L o lug s éré pr l orul suv : ϕ φ β β β D- H où H φ H D β D-4. 5 β D-5... β H β D-6 8 H β H D-7 où s l réss oy oprsso u béo près 8 ours l qu 8 MP ; s l ryo oy l pè l qu A u ; A u so rspv l so rsvrsl l pérèr l pè o v l ospèr. L oul Youg s oé pr : où.5 β D-8 4 D-9 5. β xp s. 5 D- où s.5 pour u à urss orl ou rp. r L rr o à u ps s ours qu l ség s rrê. D u ur ôé l béo rpé s l u u ps s o à golr. L rr ou l gol à u ps ours quloqu s sé o su : ε β D- ε s s s s s où β s s l oo érv l évlopp u rr ou u gol v l ps ll s oé pr : 8

10 Ax D.5 5 s β s s r s D- où s l ryo oy é pr : A u D- r. ε s s l rr éorqu oé pr : ε s ε s β H D-4 où ε 6 6 β 9 D-5 s [ ] SC v β s s égl à 4 5 ou 8 rspv pour u à urss l pour u à urss orl ou rp pour u u réss à urss rp ; MP. H β H.55 pour 4 % H <99% D-6 β H.5 pour H 99% rpé s l u. U vlur β posv qu u gol. H pour s l ué rlv H 8

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