e x dx = e x dx + e x dx + e x dx.

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1 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl Chtr Focto Gmm t foctos d Bssl Détrmto d l focto Gmm L focto Gmm st très sml à dédur à rtr d l tégrl d'eulr: Ctt tégrl st u focto d rmètr ; ll st rrésté r l symbol () t s ll l focto Gmm L tégrl d Eulr st u tégrl o ror, cr l bor suérur st f, l'tégrl st égl à tdt vrs zéro our < our d t r coséqut touts ls rssos sous tégrl Cosdéros our qulls vlurs d l'tégrl ut str Pour cl, dvsos l trvll d tégrto tros rts: d zéro à >, d à t d à l'f O ur: d d d d Motros qu l drèr tégrl st our 'mort qull vlur d d lm b b (S l lmt st) O utls our motrr l'stc d l lmt: lm - (qu o ut fclmt motr lqut lusurs fos l théorèm d l'hôstl) t r coséqut, our ls grds vlurs d, r ml, s >, l vrbl sr férur à ε ; s o os d ε, s our > o : S o os, o ur: < t <

2 Chtr t < b b - - b d d < < b Foctos Gmm t foctos d Bssl Doc: Étt doé qu - - >, vc l crossc d b, d ugmt b lm b d st Cosdéros l tégrl d, our < Pour, ; t l focto sous tégrl sr d l'ordr our b, t d str our ls mêms vlurs d our lsqulls st l tégrl d Cdt: d lm lm ( ε ε ε ε ) d lm ε ε O ut rmrqur qu: s, ε > t l'tégrl str; s <, ε t l tégrl str S, o ur: c st-à-dr qu l'tégrl 'st s Doc, d lmd/ lm L ε ε ε ε, st our > Pr coséqut our >, o : 3 d

3 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl A ttr d'ml clculos () t (): ( ) ( ) d () ( / ) / Posos z; dz / / d; z Doc: d / d ; Pour clculr ctt tégrl osos: (/ ) z dz O ut écrr qu: A z dz t A z dt Pros A dz L fctur Doc: z dz t dt st u costt qu'o ut clur ds l'tégrl A (z t ) dz dt L clcul st lus sml à rélsr s l o utls ls coordoés olrs ρ t ϕ (fg ) O coît qu : ( ) Doc : A où A A dϕ, A z t t l élémt d surfc st égl à ρ d d ϕ u ρ², du ρdρ; dϕ d u dϕ u dϕ ; 4 du 4

4 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl L clcul rélsé c-dssus motr, qu l clcul d ( ) r l tégrl d Eulr st comlqué Fg Prorétés d l focto Gmm Prorété Eml ( ) ( ) () Démostrto : rréstos ( ) r l tégrl d Eulr t tégros r rts : où ( ) d u,du dv d, v d; d, Or Pr coséqut : lm lm ( ) d ( ) Corollr 5

5 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl S st ombr tr, o ( ) ( )! As, o : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! Doc, d c corollr, o ut rmrqur commt l focto gmm crot rdmt : ( ) ( 5) 4! 4 ( 9) ( ) ( 6) 5! ( ) ( 3)! ( 7) 6! 7 ( 4) 3! 6 ( 8) 7! 54 8! L focto gmm ut êtr utlsé our rédur l rréstto du rodut ( )( ) ( )( ) m m, où m- tr t S l o jout ( ), o obtt ( m ), d où l o ut écrr : Corollr (m ) (m - ) ( ) 6 ( m ) () Détrmto d l focto gmm our ls vlurs égtvs t o tèrs d Sot doé sur l trvll (, ) Doc sr trouvé sur l trvll (, ) t ( ) clculé r l formul d Eulr () Posos : Pour -, l formul do l f, t doc : t ( ) Pr coséqut ( ) st s ut êtr ( ) ( ) our (3) L trsto d u trvll à u utr (,) (, ), ( 3, ) tc, ut êtr détrmé r l formul (3) L focto gmm st s our ls égtfs trs Eml :

6 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl L vlur d st trouvé à rtr d l tbl 3 Prorété : ( P) lm! ( )( )( ) Ctt formul st utlsé our l clcul romtf d l focto gmm Pour l démostrto, cosdéros l focto : O ut fclmt vor qu : lm f (,) ( ) Evdmmt : f (,) d lm lm f (,) lm d d d ( ) form : D u utr rt, tégrt r rts, o obtt our f (, ) u rsso sous l où O obtt l rsso : f (, ) u f ( ) du dv d, d d, v (,) d d; 7

7 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl E l tégrt r rts cor u fos ost : d où O obtt : du u, dv d d ; v, d d Ou cor rès tégrto r rts fos, o obtt : Pr coséqut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (, ) d! ( )( )( )!! ( )( ) ( )( ) ( ) lm! ( ) ( ) Prorété 3 Dérvé du logrthm d l focto gmm Trouvos l formul our : E ost, ( ) ( ) l ( ) : ( ) ( ) lm ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lm l l! l l ; ( ) ( )! lm l 8

8 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl () lm l () L rt guch d ctt églté st égl romtvmt à -,577 L grdur,577 s ll l costt C d Eulr Pr coséqut : Doc, o ut écrr : lm l C ( ) lm [ l ( ) 3 ] lm [ l 3 C 3 m m m m 3 Détrmto d l focto d Bssl d rmèr sèc L équto dffértll d Bssl st : y y y L soluto d ctt équto s ll focto d Bssl L équto dffértll d Bssl st u équto lér d ordr du L soluto géérl l form : y C y C y, où C t C sot ds costts ; t y t y sot ls solutos lérs t dédts d l équto O v chrchr l soluto d l équto sous l form d l sér : (4) y ( ), E ost L roblèm sr d trouvr ls coffcts,,, t l ombr L focto : 9

9 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl y, sr trodut ds l équto Trouvos ls dérvés : y y E ls rmlçt ds l équto, o trouv : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ² L dtté ut êtr écrt sous form : ; O ut dédur qu : [( ) ] ( ) E tt comt qu : 3 5,,,,, c st-à-dr qu ls coffcts yt ds dcs mrs sot uls Sur l bs d l formul d récurrc, o ut écrr : ( ) ² ( ) 4 ( 4) ( )( ) 4 ( ) ( ) 3 6 ( 6) 3( )( )( 3) ( ) K! ; ( )( ) ( ) ; ; O rmrqu qu tous ls coffcts rs sot rmés focto, o ut écrr lors : ( )

10 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl E tt comt d ( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ( 3 ), ( )( ) ( ) ( ) ( ), tc o ut écrr our smlfr qu : ( )! ( P ), L soluto d l équto ut êtr rrésté sous form : y ( ) ( / )! ( ) où ± v L soluto d l équto our st oté r () t ll st lé équto d Bssl d rmèr sèc d ordr v L soluto our lé équto d Bssl d rmèr sèc d ordr v Pr coséqut : j j v ( ) v ( ) Pour o tr ( ), ( ) t r coséqut : v ( )! ( ) ( ) v! ( ) v st oté r -v () t ll sot ds foctos lérmt dédts ( ) C ( ) y C st l soluto géérl d l équto d Bssl S st u tr égl à, ( ), ( ) srot lérmt dédts Pour cofrmr clu-c, cosdéros l sér our ( ) ( ) ( ), t trsformos l :! ( ) O coît qu l focto gmm our ls ombrs trs égtfs t ul ll st égl à l f Pr coséqut, our, ( ) ut êtr débuté d : t l sér sr ull L sommto

11 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl ( ) ( )! ( ) S m -, o ur : ( ) ( ) m m ( ) ( ) m m ( m )! ( m ) m m ( m ) m! [ é t t doé qu ( m ) m!, lors, ( m ) ( m! )] focto ( ) Pr coséqut : Doc, ( ) t ( ) ( ) ( ) ( ) sot lérmt dédts Cosdéros ( ) t ( ): (vc! ) Pr coséqut : ( ) ( ) ( )! 4 ² 4 ²! 6 6 3! ( ) 8 8 4! K 5! L drèr sér détrm l (!) ( ) ( ) t l focto st r Pour, ( ) S our ( ) ds cq mmbrs d l sér : 4 6 8, 4 6 8! 3! 4!, o rd l somm l rrur sr férur à, L sér covrg lors rclmt our L 7 5! grh d l focto ( ) st rrésté r l fgu C grh ut êtr costrut rlvt d l tbl u sér ds vlurs d ( ) :

12 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl () ( ) ( )! ( )! ( ) !3! 3!4! Pour, ( ) D lus, o ( ) ( ) t r coséqut ( ) L rlto ( ) ( ) t ( ) ( ) st mr rmt d drssr l tbl our ( ) ( ) ( c) ( ),,,,,39,5767,5,9385,43,5 -,484,497,,765,44 3, -,6,339,5,58,5579 Fg 4 Focto d Bssl d duèm sèc E qulté d duèm soluto o rd : Pour Y ( ) cos lm s 3 ( ) ( ), o : s,cos ( ) t( ) ( ) ( )] t o obtt u détrmto Utlsos l règl d l Hostl :

13 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl ( ) [ cos ( ) ( ) ] Y lm s O obtt : ( ) ( ) Y ( ) ( ) l C ( ) ( ) ( ) m m m m où C st l costt d Eulr L soluto géérl st : C ( ) C ( ) Y L focto Y ( ) s ll équto d Bssl d duèm sèc d ordr ou focto d Num Ecrvos l sér our Y ( ) Y ( ) ( ) 4 4 m [ m m doc: Y l C ( ) l C 3 ( ) our ( ) (!) ] ² 5 Equto dffértll codust à l équto d Bssl Focto d Bssl d trosèm sèc Sot l équto : y y (5) y Trsformos ctt équto trodust u ouvll vrbl dérvé d y focto d t : t Ermos l 4

14 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl dy dy dt dy y ; d dt d dt dy d d d y dt y d dt d d y dt Ls rssos trouvés sot rmlcés ds (5) : smlfos r d y dt t dy dt t C st doc l équto d Bssl Ss solutos srot ( ) ( ) ( ) t t ou t Cosdéros l équto d y dt t 5 y ² y y y (6) ² S l o trodut l sg (-) sous l rthès t l o os, l équto (6) ² dvt : y y y, qu st u cs rtculr d l équto (5), qud L ² soluto d l équto (5) sr : ( ) t ( ) ( ) ( ) dy dt ( ) ( ) t y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;

15 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl [ t ] o utlsé ( ), ( ) Ett doé qu l équto dffértll st homogè, doc qulqu sot C t qulqu sot C ls foctos C () t C () srot ss solutos E ost C,t C, o obtt l soluto sous form : ( )! ( ) ( )! ( ), ;! ( ) Posos! ( )! ( ) ( ), ( ) Ls foctos ( ) t ( ) sot ls foctos d Bssl du trosèm sèc Ds l cs d frctol, ( ) t ( ) sot lérmt dédts t y C ( ) C ( ) soluto géérl d (6) Ds l cs (tr), ( ) ( ) Vérfos : ( )! (étt doé qu, l ombr ( )! ( ) sr l t r coséqut ( ), t ls mmbrs corrsodts d l sér sot uls) trodusos u ouvu dc d sommto m, ost m D où : 6

16 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl m m ( ) ( m )! ( m ) m m ( m ) m! Ds l cs où st u tr, l ouvll soluto lérmt dédt vc ( ) : K ( ) t l soluto géérl d (6) s écrr sous form : y C ( ) ( ) s ( ) C K ( ) 6 Focto géértrc d l focto Bssl Cosdéros l focto ( z, t) z t t u qu o décomos sér : ( ) O ut écrr, qu ou u zt u z t ( ) z!m! ( z, t) m u ( z, t) zt! m ( z, t) A t m z t m! m t m m L coffct A st : A m ( ) m z m Pour z, l coffct A dvt ( ) t u z m m ( ) ( m )!m! m! ( m ) m t t (, t) ( ) t (7) L focto u (, t) s ll l focto géértrc d l focto d Bssl d rmèr sèc d ordr tr S l o os z, o : 7

17 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),!! ) ( t t m m m m m m t t u t m m m m A (8) L focto u (, t) s ll l focto géértrc d l focto d Bssl d trosèm sèc 7 Prorétés d l focto d Bssl d rmèr t trosèm sècs Formul d récurrc ( ) ( ) () Ctt formul jou u rôl mortt ds l théor ds foctos d Bssl Ell rmt d rédur l clcul ds foctos d ordr suérur à ds foctos d rmr t duèm ordr, c st à dr ( ) ( ) t Eml : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ² 4 8 ² 48 8 ² () () L formul d récurrc rmt our l focto d Bssl d ordr tr d s lmtr à l étblssmt ds tbls our ( ) ( ) t Démostrto : ros l rlto (7) t clculos t u r du méthods :

18 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl ) t t u ( ) ( ) t () t ; t t² t u b) ( ) t Ls du rts drots ds du dfférts rssos dovt êtr égls our Eglsos ls coffcts our t O obtt : u t D où : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), tc Formul our l dérvé [ ] ( ) ( ) ( ) Pour l démostrto clculos r du méthods () t u ) t t t t u b) ( ) t ( ) ; t Églsos ls coffcts our t O obtt : ' ( ) [ () ()], tc L formul motr, qu r ls tbls ( ) t ( ), Ds l cs rtculr our, o obtt : o ut clculr '( ) ' ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) 3 Pros l formul (8) Dérvos r rort à t comm focto otll d bord us comm sér : 9

19 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl u t u t t t t () t Eglsos ls coffcts our t - O obtt : ou : d où : () () t () t [ () ()] [ () ()] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l formul récurrt our l focto d Bssl d trosèm sèc 4 S l o clcul u d l formul (8) r du méthods t o égls ls coffcts ds ls du rssos trouvés our t, o obtdr l dérvé d l focto d Bssl du trosèm sèc : D u utr rt, où : t t t ( ) t t u u ( ) t ( ) t ; ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

20 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl vc : Pour ( ) [ () ()] tc ( ) [ () ()] ( ), ( ) ( ) Ds formuls logus uvt êtr obtus our Y ( ) t K ( ) 8 Formuls tégrls d l focto d Bssl d rmèr t trosèm sècs Af d dédur ls formuls our ( ), o rd l rlto : t o os t ϕ D où t l rlto (7 ) dvt : L focto vc Pour, o : t t ϕ t t ( ) t (7 ) s ϕ ϕ ϕ ϕ s ϕ; t ϕ ( ) ϕ (9) ϕ ϕ l rorété tll qu, dϕ Kϕ our, doc : d, ϕ ϕ t ϕ cos s dϕ dϕ Doc, our trouvr ls foctos our ( ), l fut multlr l églté (9) r tégrr r rort à ϕ sur l trvll sϕϕ dϕ ( ) ( ) ϕ dϕ ϕ t

21 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl O obtt f : ( ) dϕ ( ) E trsformt l rt guch r l formul d Eulr, o obtt : [ cos ( s ϕ ϕ) s ( s ϕ ϕ)] dϕ ( ) Pour ls vlurs rélls d, l focto ( ) ossbl s : Pr coséqut : Ds l cs rtculr our, o s ( ) cos ( s ϕ) rdr ds vlurs rélls t l églté sr ( s ϕ ϕ) dϕ ( ) cos ( s ϕ ϕ) dϕ cos ( s ϕ)dϕ dϕ cos ( s ϕ)dϕ () Af d trouvr l formul tégrl our ( ), ros l focto géértrc our l focto d Bssl d trosèm sèc : t t ( ) t t ffctuos ls mêms trsformtos ost t ϕ, d où t t s ϕ; t ϕ ϕ ϕ s ϕ t sϕ ϕ ( ) Multlos r ϕ t tégros d o à : s ϕϕ dϕ ( ) ϕ ( ) dϕ

22 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl U sul tégrl st our ds l rt drot, d où : Pour, o : s ϕϕ dϕ s ϕ dϕ ( ) ( ) 9 tégrl d Wbr-Lchtz O rcotr souvt géohysqu ls tégrls d Wbr-Lchtz : z K ( r) d z r ( r) cos( z) d, Motros l rmèr formul Pour ( r) ros l formul tégrl () : z r ( r) cos(r s ϕ) d ϕ E rmlçt ctt rsso ds l rt guch d ctt équto, o obtt : z l'rsso cos ( r s j ) st égl à : D où : z ( r) d cos( r s ϕ) dϕd r s ϕ r s ϕ z z r s ϕ z r s ϕ ( ) ϕ r d d d z r s ϕ z r s ϕ dϕ z r s ϕ z r s ϕ z r s ϕ z r s ϕ dϕ 3

23 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl E rédust u mêm déomtur, o : z z z² r²s z ( r) d dϕ ϕ dϕ z² r²s ϕ Posos tg ϕ t ; dt sc ϕdϕ; L tégrl chrché sr : dϕ dt sc ² ϕ dt dt ; tg² ϕ t² tg² ϕ t² s ² ϕ sc ² ϕ t² z dt z dt ² t z ( z² r² ) t ( t² ) z² r² t z dt z z² r² ( z² r² ) z² t² ( z² r² ) z z² r² t z² r² rc tg z z² r² z² r² Ds l cs rtculr our z : ( r) d r Orthogolté d l focto d Bssl L vlur st l rc d ( ), dfférts d l focto ( ), o ur : s ( ) ( ) ( µ) d Motros qu s t µdu rcs L églté à zéro d l tégrl st u rorété d orthogolté d l focto d Bssl : y µ y Pour l démostrto, osos ( ) t ( ), doc coformémt à (6), o 4

24 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl y y y ² y µ² y y, Af d trouvr l focto sous tégrl y y, multlos l rmèr équto r y t l duèm r y t rtrchos l duèm églté d l rmèr O obtt : qu o ut écrr sous form : L tégrl d à do : ( y y y y ) ( y y y y ) ( ² µ² ) y y d d (y y y y ) ( µ ) yy ( ) ( ) ( y y y y ) ² µ ² y y d () E cosdért qu µ st u vrbl : ( ) ( ) ( ) ( µ ) y, y ; y µ, y ; ( ) ( ) ( ) ( ) d d d y ( ) ; y ( ) d d d E rmlçt l rsso trouvé, o trouv : ( ) ( ) ( ) y y y y µ D où : ( ) [ ( y y y y )] ( ) ( µ ) ² d lm lm µ µ² ² µ µ² ² E lqut l théorèm d Hôstl à l rt drot, o : ( ) ( ) ( ) µ ² ( ) d lm µ µ 5

25 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl d où : v ( ) d ( ) Décomosto d l focto f ( ) sér r l focto d Bssl f() r : Ls foctos ( ) ossèdt u fté d solutos,,,,, Rréstos f() c ( ) c j ( ) c ( ) Af d trouvr ls costts c, c, c, utlsos l rorété d orthogolté f ( ) ( ) d C ( ) ( ) C ( ) d d O obtt : D où : f ( ) ( ) f d ( ) ( ) d c ² ( ) d c f ( ) ( ) d [ ( ) ]² v ( ) d () Eml : Décomosr ordr f () sur trvll (, ) sér r l focto d Bssl du rmr Soluto : sot : f () c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) Ls coffcts d l sér sot détrmés r l formul () O os, d où : ( t) dt ² ( ) c ² ( )d ² [ ( )] t O os t, doc : dt d, o ut écrr : 6

26 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl Doc : t ² 3 ( ) d ² ( t) t² f () c t ( t) dt ( ) ( ) [ ' 3 ( ) v ]² ( ) ( ) ' [ ] dt ( ) ( ) ² Clculos our c D l tbl o 3,837 O trouv r l formul d récurrc d Bssl d rmèr sèc qu : D l tbl o trouv ( ),48 Pr coséqut : ( ) ( ) ( ) ( ) Pr coséqut : t ( ),48 ( ) / [ ( ) ( )],48 c,955 O ut clculr d u mèr logu, c, c 3 Alcto d l focto d Bssl à l soluto ds roblèms d hysqu mthémtqu Problèm Progto d l chlur ds u cyldr f d ryo R l fut détrmr l tmértur à l térur du cyldr, s o l dstrbuto d l tmértur u momt tl t sur l surfc du cyldr O rd qu l tmértur U déd d l dstc ρ Sot l codto tl : 7

27 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl Fg 3 O v cosdérr qu l tmértur U à l surfc st ull, d où U R (Codto tl) L équto d coductblté thrmqu st : U ² U t L oértur d Llc st lus sml à rdr coordoés cyldrqus : U ρ ρ U ρ ρ ρ ² U ² U ρ ϕ² z² Ds codtos du roblèm, o U qu déd s d ϕ t d z, d où : ρ ²U ϕ² ²U t z² L équto d coductblté thrmqu rd l form : ou U t ² ρ ρ U ρ ρ ² ² ρ ρ ρ U ² U ²U U ² t ² ρ ρ ρ U ρ (3) 8

28 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl As, l fut résoudr l équto (3) s U R méthod d Fourr our l résoluto sous form : U ( ρ, t) ω( ρ) T ( t) ρ t U t f ( ρ) O v utlsr lors l Doc : L équto (3) rd l form : U ω ρ t U ω ρ ²U ω ρ² ( ) T ( t), ( ρ) T ( t), ( ρ) T ( t), qu o ut écrr sous form : T ( t) ω( ρ) ² T( t) ω ( ρ) ω ( ρ) T ²T ( t) ( t) Pour qu U sot soluto d (3), l fut : ω ( ) ( ) ρ ω ρ ( ρ) ω ( ρ) 9 ( ) ρ ² T t ² T t ; (4) ω ( ρ ) ω ( ρ ) ² ω ( ρ ) (5) ρ L équto (4) ut s écrr sous form : dt ² ² dt T E l tégrt, o obtt : focto : L focto : l T ² ² t l C ou T ² ² t C L équto (5) st l équto d Bssl d ordr t d rgumt U ω ( ρ) ( ρ) ² ²t ( ρ, t) C ( ρ) ρ S soluto sr l

29 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl sr l soluto d l équto dffértll (3) stsfr l codto u lmts Pr coséqut : d où : ² t ( ) C R, ( R) Cdt l focto U( ρ, t) dot Ls vlurs R sot ls rcs d l focto ( ) S ls rcs sot désgés r µ µ,,,, doc our, o :, µ Pour ls doés o : qu st u soluto d (3) U µ, R µ,, R 3 µ, R ² ²t ( ρ, t) C ( ρ),,,3, foctos crctérstqus ou rors du roblèm Aucu focto U ( ρ, t) U C ( ρ), t o f( ρ ) Af d trouvr l soluto, ros : our t, U f(ρ ) t r coséqut : sot ls ombrs crctérstqus du roblèm ( ρ) stsft ls codtos u lmts, étt doé qu our t : ρ U (, t) C ² f ( ρ) ²t c ( ρ) ρ µ R L drèr sér st l décomosto d f ( ρ) r l focto d Bssl d ordr : doc : L focto : st l soluto du roblèm osé c ρ [ ] f ( ρ) µ d '( µ ) R R R ρ ρ c [ ] ρf ( ρ) ( ρ) dρ '( µ ) R t U ( ρ, t) c ( ρ) sot ls

30 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl Problèm Problèm d Drchlt our u cyldr Sot u cyldr z, z H, R Trouvr l focto hrmoqu à l térur du cyldr, s l o coît ss vlurs sur l surfc l fut résoudr l roblèm U, vc ls codtos u lmts : U U U z H ρ z,, f ( ρ) U Pusqu U déd s d ϕ, t l équto dvt : ϕ U ρ U U ρ ρ z Posos U( ρ,z) ω( ρ)z(z) D où : U ω ( ρ)z(z); ρ U ω ( ρ) Z(z); ρ U ω( ρ) Z (z) z E ls rmlçt ds l équto, o obtt : [ ω ( ρ) ω ( ρ)]z(z) ω( ρ)z (z) ρ Décomosos ls vrbls : ω ( ρ) ω ( ρ) ρ Z (z) ω( ρ) Z(z) Pour trouvr ω(ρ) t Z(z), obtos ls équtos : Z (z) Z(z) (6) ω ( ρ) ω ( ρ) ω( ρ) (7) ρ L équto (6) st u équto lér t homogè du duèm ordr Pour s résoluto, étblssos l équto crctérstqu : S soluto géérl sr : Z(z) C, ± z C L équto (7) st u équto d Bssl dot l soluto st D ( ρ ) 3 z

31 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl L focto : sr l soluto d l équto d Llc U z z (z, ρ) D(C C ) ( ρ) Af qu our z H, o U, l fut qu : L églté sr stsft s : H H C C C H, C H D où : (Hz) (Hz) z z C C sh(h z), t l focto U(z, ρ ) Dsh (H z) ( ρ) stsfr l rmèr codto u lmts Af d stsfr l duèm codto u lmts, l fut qu : ρ, ( ρ), C'st-à-dr : ( ) S,,, sot ls rcs d ( ), doc,,, o :, U D sh (H z) ( qu stsfr ls du rmèrs codtos u lmts E qulté d u ouvll soluto, ros l focto : U ( ρ,z) ρ) D sh (H z) ( ρ) Chosssos ls coffcts d fço qu our z, o : f ( ρ) D sh ( H) ( ρ) Ls codtos d l sér sot détrmés r l formul () Pr coséqut : L focto : D sh ( H) ρf ( ρ) ( ρ)dρ [ `( )] D sh (H z) ( ρ), sr l soluto du roblèm osé 3

32 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl Problèm 3 Cosdéros l roblèm d Drchlt vc ls codtos suvts : Posos : U ( ρ, z) U ( ρ, z) Z z H,, U ( ρ, z) ρ U( ρ,z) ω( ρ)z(z), f ( z) O trouv : ou cor : t ω ( ρ) ω ( ρ) ρ Z (z) ω( ρ) Z(z) ω ( ρ) ω ( ρ) ω( ρ) ρ Z (z) Z(z) L rmèr équto st u équto dffértll our l focto d Bssl du trosèm sèc d ordr t d rgumt ρ S soluto sr l focto : ω ( ρ) ( ρ) L duèm équto st lér à coffcts costts Ls rcs d l équto crctérstqu sot ± L soluto géérl d ctt équto sr : L focto : sr l soluto d l équto d Llc Pour qu z, o U, l fut qu : chos ossbl qu our C C cos z Ds z U ( ρ, z) ( C cosz Ds z) ( ρ) C cos Ds, Pour qu our zh, o U, l fut qu D s H, chos ossbl qu our : Pr coséqut, où,,3, H H 33

33 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl L focto : U z ( ρ, z) D ρ s H H Stsft ls du codtos u lmts Af d trouvr l focto stsfst l trosèm codto u lmts, ros : t cosdéros qu : D ρ s z H Hρ z D s f (z) H H Ctt sér st l sér d Fourr our l focto f (z) Pr ls formuls d Fourr, o trouv : L focto : sr l soluto du roblèm osé rors D H z f (z)s dz H H H z U( ρ,z) D ρ s H H sot ls vlurs rors t H z s sot ls foctos H Erccs 3 3 Scht, trouvr,, Motrr qu : où st tr () s, Ecrr l équto dffértll our () t () 3 Vérfr qu s t cos () stsfot l équto dffértll : y y y 4 cos ; 34

34 Chtr Foctos Gmm t foctos d Bssl 4 Trouvr ls rssos our : 5 Trouvr 4 (,5) t (,5) 6 Motrr qu: 3 () t () 5 sϕ 7 E utlst l'rcc 6, motrr qu: 8 Motrr qu: () ( ()cos ϕ ()cos 4ϕ ) ( ()sϕ ()s3ϕ ) 3 4 ( ) cos( sϕ)cos ϕdϕ, () s ( s ϕ)s ( ) ϕdϕ t (t)dt () 9 Décomosr l focto f() sur (,) sér r foctos d Bssl d'ordr Réos : c ( ) Motrr qu: t (t)dt () Bblogrh - Coulomb, obrt G Trté d géohysqu tr Msso t sc, Prs Murry Y, Sgl R Alys d Fourr t lcto u roblèms d vlurs u lmts Sér Schum, Edscc, Smrov V Cours d mthémtqus suérurs, T Mr, Moscou, 97 35

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