ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE. Jean-Claude Pascal

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1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE VIBRATIONS t ACOUSTIQUE Ja-Caud Pasa 8-9

2 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu ii

3 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius VIBRATIONS & ACOUSTIQUE I VIBRATIONS DES SYSTEMES MECANIQUES CONTINUS II PROPAGATION ACOUSTIAQUE A UNE DIMENSION ET SILENCIEUX III ACOUSTIQUE MODALE ET STATISTIQUE IV INTRODUCTION AU RAYONNEMENT ACOUSTIQUE iii

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5 I - VIBRATIONS DES SYSTEMES MECANIQUES CONTINUS. VIBRATIONS TRANSVERSALES DES CORDES. - Equatio ds ords. - Dsritio ds oditios au imits.3 - Thiqus d séaratio ds variabs. - Em : ord. VIBRATIONS LONGITUDINALES DANS LES BARRES. - Equatio ds ods ogitudias. - Fréqus aturs t déformés modas.3 - Coditios au imits 3. VIBRATIONS DE TORSION DANS LES BARRES 3. - Equatio ds ods d torsio 3. - Coditios au imits. VIBRATIONS DE FLEXION DANS LES POUTRES. - Equatio ds outrs. - Coditios au imits.3 - Détrmiatio ds fréqus aturs t ds déformés modas. - U m : s ams du oho 5. VIBRATIONS DES MEMBRANES 5. - Equatio ds mmbras 5. - Mmbras rtaguairs Soutio gééra t oditios iitias 5. - Mmbras iruairs

6 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu 6. VIBRATIONS DES PLAQUES 6. - Equatio ds aqus mis 6. - Méthods our obtir ds soutios Paqu rtaguair simmt suorté 6. - Itrodutio d Raigh-Ritz 7. MODELES D'AMORTISSEMENT 7. - Fatur d'amortissmt moda 7. - Coffiit d'amortissmt das 'équatio d'od Dissiatio au imits 8. REPONSE FORCEE 8. - Réos foré ar déomositio moda 8. - Em our u outr fio Cas ds aqus rtaguairs 8. - Sthès moda 9. PROPAGATION DES ONDES VIBRATOIRES 9. - Ods quasi-ogitudias das s barrs 9. - Ods d fio das s outrs Fu d uissa trasmis ar s ods d fio das s outrs. REPONSE FORCEE PAR DECOMPOSITION EN ONDES. - Préstatio d a méthod our s barrs. - Etsios d a méthod.3 - Cas ds outrs fio. - Comaraiso av a méthod d a sthès moda ANNEXE A Idtifiatio ds aramètrs modau gééraisés our a outr fio ANNEXE B Soutio arohé our s aqus utiisat ds fotios d outr 58

7 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Bibiograhi Nivau éémtair D.J. Ima, Egirig vibratio, Prti-Ha, 996. M. Laa, J. Dr Hogaia, P. Brthir, Méaiqu ds vibratios iéairs (m Editio), Masso, 986. S.S. Rao, Mhaia vibratio (3rd Editio), Addiso-Ws, 995. Nivau suériur M. Géradi, D. Ri, Théori ds vibratios (m Editio), Masso, 996. J.L. Guadr, Vibratios ds miiu otius, Hrmès,. L. Mirovith, Priis ad thiqus of vibratios, Prti-Ha, 997. A.W. Lissa, Vibratio of ats (origia ubishd 969),Aoustia Soit of Amria Pubiatios. W. Sod, Vibratio of shs ad ats ( d Editio), Mar Dr,

8 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu

9 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius VIBRATIONS TRANSVERSALES DES CORDES. - Equatio ds ords U ord d mass iéiqu m ( g/m) st tdu av u tsio τ tr du oits d'attah. L'équiibr ds fors d'u tit éémt d a ord st obsrvé. ( t) f, ( t) f, τ τ ( t) f, dsité iéiqu d for m mass ar uité d oguur z τ θ ( t) ( t) w, θ ord au ros w, déamt trasvrsa Figur. Déamt trasvrsa t équiibr ds fors our u ord tdu La résutat ds fors agissat sur 'éémt dirtio z τ siθ + τ siθ + f doit êtr éga à a for d'irti das a (, t) m w t (, t) Ls ags θ t θ sot tits, si bi qu 'équiibr ds fors das a dirtio oduit à τ os θ τ osθ τ τ τ t i st ossib d'érir égamt w siθ taθ do w τ (, t) w siθ taθ (, t) w(, t) τ + f (, t) (, t) m w t (, t) Si o osidèr our u quatité saair s ( ), dévomt séri d Taor troqué au sod ordr autour d, oit tra d 'éémt s ( ) s( ) s ( ) + O( ) t s( ) s( ) s + ( ) + O( ) 5

10 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu do (, t) w(, t) w τ τ + O( ) w τ m L'équatio d'équiibr dvit do w w τ + f (, t) m t Das as où a for tr st u ( f (, t) ds ords w (, t) w(, t) t (, t) ), tt ratio oduit à 'équatio av τ m, a vitss d roagatio d 'od trasvrsa. Sas osidérr d oditios au imits, a soutio rrést a roagatio ds ods ( og d'u ord très ogu ou ifii, ar m) ( t) g ( t) + g ( t) w, +, g t g sot ds fotios arbitrairs. Av u itatio harmoiqu, 'équatio ur s mttr sous a form smbab à d 'équatio d Hmhotz aoustiqu d w d dot a soutio st ( ) (a déda tmor + w ( ), où ombr d'od j j ( ) A B w +, ω, ). j t ω jωt st omis t qu w( t) w( ) Pour u od d dimsio fii, déamt dédra ds oditios d fiatio au trémités : s oditios au imits.. - Dsritio ds oditios au imits Si 'trémité d a ord 'st as maitu fi, a résutat das a dirtio z ds fors à tt trémité doit êtr u dirtio z F τ siθ + w τ (, t) fors tériurs + fors t. 6

11 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Par m our 'trémité : fi (, t) w gissièr, ( t) w τ + fors t. (, t) w fors t. raidur w (, t τ ) + w(, t) fors t. w (, t ) w (, t) w τ (, t) Tabau. Ems d oditios au imits our u ord..3 - Thiqu d séaratio ds variabs Ctt thiqu rmt d'obtir s soutios du mouvmt our u ord d dimsio fii av ds oditios au imits artiuièrs. La soutio rhrhé our déamt trasvrsa s rést sous a form d'u roduit d du fotios, dot 'u déd d 'sa t 'autr du tms L'équatio ds ords s'érit aors (, t) X ( ) T ( t) w X ( ) T ( t) X ( ) T& ( t) d X av ( ) ( ) X t &( t) d X X ( t) d T T &, t ut s mttr sous a form suivat : dt ( ) ( ) T& T Ls raorts d fotios qui dédt ds variabs idédats t t, uvt êtr qu ostats our satisfair 'égaité. Ctt ostat vaut σ t rmt d'érir du équatios séarés X ( ) + σ X ( ) T && ( t) + σ T ( t) dot s soutios sot X α siσ + β osσ T ( t) ( t) ostat - ( ) ( t) a siσt + b osσt 7 σ

12 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu.3. Utiisatio ds oditios au imits : m fi fi Ls oditios au imits sot moés our détrmiσ t β : CL X ( ) β X ( ) X ( ) do déamt s réduit à X ( ) α siσ Figur. Coditios au imits fi-fi CL X ( ) α siσ Ls soutios du robèms sot s qui vérifit 'équatio aratéristiqu si σ, 'st à dir σ π où st u tir ( st éarté ar i oduit à X ( ), 'st à dir à 'abs d mouvmt), soit σ π,,, 3,L I a do u ombr ifii d soutios qui orrsodt au mods d a ord X ( ) α siσ (our,, L ) our squs X ( ) X ( ) α st u ostat arbitrair. I a do aussi u ombr ifii d'équatios différtis d a fotio d a variab t qui s'érivt maitat sous a form t dot s soutios sot ( t) + T ( t) T &, (our,, L ) σ T ( t) a si σ t + b osσ t Ls soutios du déamt t d a vitss d a ord s rimt à artir d a somm T t X t sur du roduit ds fotios ( ) ( ) w w& (, t) ( A siσ t + B osσ t) (, t) σ ( A osσ t B siσ t) siσ Ls A t B sot ds ostats arbitrairs ts qu A a α t B b α. I aaraît airmt qu s σ sot s usatios rors d haqu mod π ω σ siσ 8

13 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Rmarqu Ls du équatios qui rréstt s oditios au imits (CL) uvt s mttr sous a form matrii siσ α β L vtur [ α β ] T st o u t s soutios orrsodt à siσ dt si σ..3. Utiisatio ds oditios iitias our détrmir A t B Ls fotios si σ rréstt a distributio satia du déamt sur tout a oguur d a ord our haqu mod t s ommt s déformés modas. C sot ds fotios orthogoas qui satisfot a ratio d'orthogoaité siσ siσ d m π mπ si si d m m La oditio iitia ( t ) sur déamt s'érit E mutiiat à droit ar d'orthogoaité rmt d'obtir do w ( ) ( ) ( ) w, w B m siσ m m si t itégrat ar raort à sur [ ] σ siσ d Bm siσ m siσ d B B m w ( ) si d,, L σ D a mêm maièr, 'utiisatio d a vitss iitia rmt d'érir w& ( ) ( ), w& A σ siσ m t d'obtir utiisat a ratio d'orthogoaité A w&, σ m m ( ) siσ d, L m, a ratio.3.3 Itrrétatio Pour u ord d oguur, déamt ibr s'érit do w (, t) w (, t) ( A siω t + B osω t) φ ( ) 9

14 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu ( t) ror t ( ) w, rrést a otributio d haqu mod, our qu ω st a usatio φ a déformé moda. Par m, our u ord tdu tr du oits fis, ous avos obtu : π π τ s usatios rors ω σ ou s fréqus rors m f τ m. Ls fréqus sot "harmoiqus" : s déformés modas φ ( ) π si σ si, φ ( ) ( ) φ 3 φ oud Figur.3 Déformés modas ds 3 rmirs mods d'u ord fiés à ss trémités ( ) Thiqu ds "harmoiqus" au vioo La ord ié fortmt au /3 d sa oguur roduit fodamta ( ) d'u ord d oguur 3 3 f 3 ( ) 3 3 Figur. Déformés moda our fodamta t s harmoiqus E ffurat tt ord au mêm droit, fodamta d a ord d oguur st étouffé aisi qu 'harmoiqu. L'harmoiqu 3 qui rést u œud à t droit 'st ratiqumt as attéué : a fréqu 3 f 3 st tdu : o gag u otav.

15 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius.3. Résumé d a démarh : fréqus rors t déformés modas Equatio différti w (, t) w(, t) t Séaratio ds variabs X X w(, t) X ( ) T ( t) ( ) T&& ( t) ( ) T ( t) σ Coditios au imits X X ( ) ou X ( ) ( ) ou X ( ) T& ( t) + σ T ( t) ( ) + X ( ) X σ Soutio X ( ) α siσ + β osσ Détrmiatio ds ostats (raort tr α t β ) Equatio aratéristiqu σ Soutio T ( t) a siσ t + b osσ t ω σ Déformé moda X ( ) γ g( σ ) γ φ ( ) w (, t) T ( t) X ( ) Détrmiatio ds offiits A B [ A siω t + B osω t] φ ( ) N σ w N w& ( ) g( σ ) ( ) g( σ ) d d Ratio d' orthogoaité ( σ ) g( σ ) g m d N δ Coditios w (,) w ( ) (,) w& ( ) w& iitias m

16 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu. - Em : Cord O osidèr ii u ord moté fi à u trémité t sur u suort d raidur à 'autr trémité. Equatio X ( ) + σ X ( ) Soutio gééra : X ( ) si + os α σ β σ Figur.5 Cofiguratio d'u ord moté sur u suort d raidur fii Ls oditios au imits ( ) w(, t) w, t X ( ) X w τ τ (, t) ( ) X ( ) traît X ( ) β X ( ) α siσ X ( ) ασ osσ X ( ) X ( ) ασ osσ α siσ τ τ qui oduit à 'Equatio aratéristiqu τ σ taσ Sur a figur.6, s itrstios d a ourb s soutios σ hrhés. ta σ t d a droit d t τ sot

17 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius ta ( σ ) τ ( ) σ Figur.6 Rréstatio ds soutios d 'équatio aratéristiqu. Ls soutios d tt équatio s'obtit umériqumt (fotio Matab fzro) rat τ,. Es sot omarés au as où a oditio à a imit orrsod à u rigidité ifii (fi). L'éart s réduit quad 'ordr du mod augmt. ( ) σ our, τ ( ) τ σ our ( ) éart ar raort à u raidur ifii π % π 8. 3 % π 7. 6 % π % Tabau. Em d a soutio qui rmt d'obtir a usatio ror ω σ ( )( ) 3

18 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu VIBRATIONS LONGITUDINALES DANS LES BARRES. - Equatio ds ods ogitudias Ls ods ogitudias sot ds ods d tratio-omrssio das a dirtio. z stio A ( ) F stio A ( ) F + df ( t) w, Figur. Déamt ogitudia das u barr + d L'équatio d'équiibr d 'éémt d s'érit F + df F ρ A av w (, t) déamt ogitudia, ( ) ( ) d w t (, t) A a stio t ρ a mass voumiqu. L tsur d a otrait st σ σ av σ F A( ) L tsur ds déformatios s'obtit ar a oi d Hoo ( E : modu d Youg, υ : offiit d Poisso) + υ υ ε σ tr( σ) I où tr ( σ) σ E E Or, (, t) w ε t ε + υ σ E υ σ E σ E F E A( ), d'où Puisqu (, t) w F E A( ) F df d, 'équatio d'équiibr dvit w ( ) (, t) E A d ρ A ( ) w t (, t) d Das as d'u stio ostat A ( ) A E ρ w (, t) w(, t) t

19 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius t otat a vitss d roagatio ds ods ogitudias roagatio ut s rréstr sous a form w (, t) w(, t) L t L E ρ, 'équatio d La oi d Hoo motr qu'i ist aussi u déformatio das a dirtio z (t ) ε zz υ + σ E zz υ σ E υ σ E υ ε où o a osidéré qu σ ar i s'agit d'u surfa ibr, do zz ε zz υ ε w υ (, t) La roagatio ds ods d tratio-omrssio das s barrs s'aomag d'u déformatio z. O ar aors d'od quasi-ogitudia Figur. - Od quasi-ogitudia : od d tratio-omrssio das u barr. Fréqus aturs t déformés modas C'st u démarh idtiqu à s ds ords qui st suivi ii : déamt ogitudia st rrésté ar ds fotios idédats (, t) X ( ) T ( t) w Itroduit das 'équatio ds ods, tt ratio va oduir (voir s ords) à du équatios idédats dot s soutios sot X T ( ) α siσ + β osσ ( t) a siσt + b osσt Fréqus aturs t déformés modas vot dédr ds oditios au imits. 5

20 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu La barr astré à u trémité t ibr à 'autr (ativr) st ris omm m. A Ls oditios au imits s dérivt ar : soit Figur.3 Barr astré - ibr X, déamt st u w (, t) ( ) w, a otrait st u ( ) (, t) σ, t E X ( ) CL X : ( ) os( ) β σ β d'où 'équatio du déamt X ( ) α siσ t sa dérivé X ( ) σα osσ CL : X ( ) σα os ( σ ) oduit à 'équatio aratéristiqu : Ls soutios sot π 3π 5π osσ σ,,, L σ π,,, 3,L Ls déformés modas sot φ ( ) t vérifit a ratio d'orthogoaité av smbo d Kror δ φ siσ si ( ) π m. Ls usatios aturs sot m ( ) π L ( ) π E ρ ( ) φ m ( ) d siσ siσ m d δ m m ω σ Ls soutios du déamt t d a vitss uvt s'érir L w w& (, t) ( A siσ t + B osσ t) (, t) σ ( A osσ t B siσ t) L ω σ L L 6 L φ L siσ L siσ ( ) siσ

21 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Ls oditios iitias (our t ) t a ratio d'orthogoaité (voir s ords) sot moés our détrmir s offiits A t B déamt iitia: w(,) w ( ) B os( σ ) ( ) m siσ w siσ d B si σ d B m m L m do B ( ) w siσ d do m a vitss iitia: w& (,) w& ( ) σ A os( σ ) ( ) siσ w& siσ d σ L A si σ d σ A σ L ( ) m L m w& siσ d m L L A m Em A barr astré t, a vitss iitia ( ) w& t u for F st aiqué à 'trémité ibr d a F (,) F E A w (,) F E A w B F F siσ d E A E A σ F os E A σ ( ) + si( ) π σ siσ osσ + σ + ( ) π F E A ( ) ( ) + π soit B 8F E Aπ + ( ) ( ) t A ar ( ) w& L déamt ibr d a barr st omètmt défii ar ss oditios au imits t ss oditios iitias 8F ( ) ( ) ( ) π w, t os t si + ω E Aπ ( ) 7

22 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu av ω ( ) π E,,,3, L. ρ.3 Coditios au imits Ls déformés modas t s fréqus aturs dédt ds oditios au imits au du trémités d a barr. Différts ts d oditios au imits uvt êtr visagés : w a) trémité ibr : a otrait st u b) trémité astré : déamt st u w ) trémité fié à u rssort d raidur d) trémité attahé à u mass m w w E A w w m E A t L tabau suivat do s usatios aturs t s déformés modas our ququs ombiaisos d CL ofiguratio usatios aturs ω déformés modas φ ( ) Tabau. Pusatios aturs t déformés modas our s déamts ogitudiau das a barr 8

23 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 3 VIBRATIONS DE TORSION DANS LES BARRES 3. - Equatio ds ods d torsio U barr ut vibrr torsio : a vibratio st aratérisé ar u déamt aguair (mouvmt d rotatio) autour d 'a ogitudia d a barr. M t O osidèr 'équiibr ds momts d'u tit éémt d d'u barr d stio iruair uiform. Soit M momt d M t torsio t M t + d momt d torsio + d. t M t M t + d Figur 3. Notatios our a barr torsio L momt d torsio s'érit θ (, t) M t G I E où G I st a raidur à a torsio, G modu d isaimt t ( + υ ) momt d'irti d rotatio d a stio. I π D L'équiibr ds momts st soit G I θ M M t + d M ρ I θ d t t t (, t) θ (, t) G θ (, t) θ (, t) ρ I t L'équatio d roagatio ds ods d torsio ut s'érir sous a form habitu θ (, t) θ (, t) T t ρ t av a vitss d roagatio ds ods d torsio G T. ρ 9

24 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu 3. Coditios au imits a) trémité astré : déamt aguair u ( t) b) trémité ibr : momt u (, ) θ & t La méthod our obtir s usatios aturs t s déformés modas st a mêm qu our s ords t s barrs tratio-omrssio. La ris omt ds oditios iitias rmttra d détrmir totamt mouvmt d a barr torsio L tabau suivat do s usatios aturs t s déformés modas our ququs ombiaisos d CL θ ofiguratio usatios aturs ω déformés modas φ ( ) Coditios au imits (Not: das tabau γ I ) Tabau 3. Pusatios aturs t déformés modas our s déamts d torsio das a barr

25 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius VIBRATIONS DE FLEXION DES POUTRES. - Equatio ds outrs ( t) f, d h z b h Figur. Géométri our s outrs fio w, st 'amitud du mouvmt d fio. L'équiibr d 'fforts trahats t ds momts sur u émt d outr d st dérit ar shéma i-dssous L déamt trasvrsa ( t) d M Q P w Q Q + d a au ros M M + d Figur. Equiibr d'u éémt d outr d Q st a for d isaimt ou ffort trahat. L momt d fio s'érit 3 bh I st momt d'irti d a stio droit (so 'a ). L'équatio d'équiibr ds fors st étabi osidérat qu s déformatios du au isaimt uvt s égigr (s stios droits s déformt as) Q (, t) (, t) M (, t) E I (, t) Q + d Q(, t) + f (, t) d Ad ρ w t (, t) Pour 'équiibr ds momts ar raort au oit P, s irtis d rotatio so sot égigés M ( ) (, t) Q ( ) ( ) (, t) d M, t + d M, t + Q, t + d d + [ f (, t) d] w

26 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu ( t) (, t) f (, t) + ( d ) M, Q + Q(, t) d + Puisqu d st tit, ( d ) ut êtr égigé t fiamt (, t) M (, t) Ctt drièr rssio rmt d rmar Q ar M das 'équatio d'équiibr ds fors M (, t) w ( ) (, t) d + f, t d ρ Ad t soit w(, t) w(, t) E I + ρ A f (, t) t Das as où a dsité ds fors tériurs st u Q E I ρ A w (, t) w(, t) + t oditios au imits oditios iitias Cs équatios sot basés sur a théori ds outrs d'eur-brouii qui fait du aroimatios imortats : s déformatios d a stio droit dus au isaimt sot égigés, 'fft d'irti d rotatio st égigé. La théori ds outrs d Timosho rd omt s du héomès.. Coditios au imits Es sot défiis osidérat s gradurs qui aratérist mouvmt d fio - déamt dû à a fio : w (, t) - déamt aguair (rotatio) dû à a fio : θ (, t) - momt d fio : M ( ) - for d isaimt (ffort trahat) : Q( ) (, t) w, t w EI, t 3 w, t EI 3 (, t) ( )

27 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius trémité ibr as d otraits sur déamt t a rotatio momt d fio t a for d isaimt s'aut M Q ( t) ( t) E I E I w (, t) 3 w (, t) 3 trémité astré s déamts trasvrsa t aguairs sot us w θ (, t) (, t) w (, t) trémité simmt suorté déamt trasvrsa st boqué mais a rotatio st ibr momt d fio st do u w M (, t) ( t) E I w (, t) trémité guidé déamt trasvrsa st ibr t a rotatio st boqué a for d isaimt st do u θ Q ( t) ( t) w E I (, t) 3 w (, t) 3 Tabau. Priias oditios au imits our s outrs.3 Détrmiatio ds fréqus aturs t ds déformés modas U soutio variabs séarés w ( t) X ( ) T ( t), st rhrhé. L'équatio différti du mouvmt ut aisi s'érir X X ( ) ( ) ( ) T& T ( t) ( t) µ ω av µ E I ρ A t roduir du équatios séarés. L'équatio d a fotio dédat du tms T& ( t) + ω T ( t) a a mêm soutio qu our s as réédts T ( t) a si ωt + bosωt our 'équatio différti d a fotio satia X ( ) ( ) ( ) X ( ) X β av A ω ρ ω β µ E I 3

28 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu s o suos ds soutios d a form D, où D t s sot ds ostats. E rortat tt soutio das 'équatio différti o obtit s β soit s β s, β t s β s 3, β s3 jβ s jβ d'où a soutio X β β jβ jβ ( ) D + D + D + D 3 ou or sous u form équivat X ( ) C β + C os β + C sih β C osh β si 3 + Pour détrmir s offiits D à D ou C à C, quatr oditios au imits sot utiisés. Em : outr astré simmt suorté A artir ds défiitios ds CL du tabau réédt o obtit s oditios au imits d a figur.3. X X ( ) ( ) X X ( ) ( ) Figur.3 Coditios au imits d a outr astré-simmt suorté Pour, X ( ) C + C X ( ) β ( C + C ) 3 Pour, X ( ) C si β + C os β + C sih β + C osh β 3 β C si β C os β + C3 sih β + C ( ) [ osh β ] X Cs équatios uvt s'érir sous form matrii C β β C si β os β sih β osh β C3 β si β β os β β sih β β osh β C A C sih, osh + ( sih ) osh, ( osh ) sih, sih ( ), ( ) osh,

29 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius La soutio o-trivia (vtur [ C C C C ] T 3 o-u) s'obtit trouvat a, soit soutio d 'équatio dt ( A ) ta β tah β vérifié our u ombr ifii d vaurs β (,, L), omm motr a figur suivat. Ls vaurs β sot obtus umériqumt. Toutfois, our > 5, β >> t tah β : o ut osidérr qu 'équatio aratéristiqu st ta β, t ( + ) π mor 'aroimatio β tah β ta β β β β 3 β ats arohés ar ( + ) π π π 3 π π β Figur. Rréstatios grahiqu ds soutio d a outrs atré-simmt suorté. Ls usatios aturs s'obtit à artir d β ω µ E I ω ρ A ( β ),,,3, L Pour obtir s déformés modas, i faut utiisr s ratios tr s différts offiits C à C. La oditio our oduit à C C t C C3. E utiisat s ratios das 'équatio X ( ), o obtit d'où ( β os β ) + C ( sih β si β ) C osh 3 C 3 osh β os β C sih β si β σ C 5

30 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu La fotio d a variab ut s'érir Ls déformés modas ( ) X L'équatio du déamt st ( ) C [( osh β os β ) σ ( sih β si β ) ] C φ ( ) φ vérifit a ratio d'orthogoaité w ( ) φ ( ) φ m d, quad m (, t) ( A siω t + B osω t) φ ( ) mod 3 rmièrs déformés modas mod 3 mod Figur.5 Déformés modas ds 3 rmirs mods d a outr astré - simmt suorté. L tabau.3 do s vaurs s déformés ( ) β our aur s usatios ( β ) EI ρa φ t s offiits σ. ω, Fr-fr Camd-fr Camd-id Camd-sidig Camd-amd σ σ σ σ σ oshβ os β sih β si β sihβ si β osh β + os β oshβ os β sih β si β sihβ si β osh β + os β oshβ os β sih β si β Tabau. - Erssios du offiit σ our 'utiisatio du tabau réédt. 6

31 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius équatio aratéristiqu déformés modas offiits ofiguratio t soutios β φ ( ) σ Tabau.3 Combiaiso ds riias oditios au imits our a outr 7

32 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Rmarqu : su as simmt suorté au du trémités oduit à u rssio aatiqu omèt. X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) Figur.6 Coditios au imits our a outr simmt suorté. Pour, X X ( ) C + C ( ) β ( C + C ) C C Pour, X X ( ) C si β + C3 sih β ( ) β [ C si β + C sih β ] 3 si β Ls soutios sot do ar β π, av,,3, L t déamt ut s'rimr w (, t) ( A siω t + B osω t) π ω E I ρ A π si Figur.7 Prmièrs déformés moda d a outr simmt suorté.. U m : s ams du oho L oho st u istrumt d russio omosé d barrs ou ams bois miss vibratio ar imat d u maioh. I st d usag d arr d barr ou d am our oho aors qu das a trmioogi ds vibratios i s agit bi d vibratios d fio d outrs ibrs. Ls ams sot maitus a ar u ordtt t u 8

33 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius résoatur ostitué d u tub frmé à u trémité st utiisé our rforr so raoé. Figur.8 Xoho. La stio trasvrsa ds barrs du oho rést a artiuarité d êtr as uiform our aordr urs rmièrs fréqu rors. Ls tubs résoaturs fot qu rforr fodamta (rmièr fréqu ror ds outrs). Figur.9 Rformt d a réos d a rmièr fréqu ror ar s résoaturs tubuairs., u u X () X ( ) Figur. Aord ds tubs : oditios au imits. L aord ds tubs st obtu régat ur oguur, rat omt fait qu i sot frmés à u trémité (vitss u) t ouvrt à autr (rssio u). La méthod d séaratio ds variabs (, t) X ( ) T ( t) rmt d aur tt oguur D arès A. Chaig htt:// voir égamt : A. Chaig, V. Doutaut, ''Numria simuatios of ohos. I. Tim-domai modig of th vibratig bars'', J. Aoust So. Am. (997) , t I. Bor, ''Pratia tuig of oho bars ad rsoators'', A. Aoust. 6 (995)

34 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu X utiisat s oditios au imits av équatio X ( ) + σ ( ) (av ω σ ) dot a soutio t sa dérivé sot rstivmt X ( ) α si σ + β osσ t X ( ) ασ osσ βσ siσ. Ls oditios au imits rmttt d érir X ( ) ασ os() qui oduit à α, t à rimr fotio satia d a rssio sous a form X ( ) β osσ. Ls oditios aiqués à tt drièr équatio rmttt d érir X ( ) β osσ t d obtir équatio aratéristiqu os σ dot s soutios π 3π 5π σ,,, L π oduist au fréqus rors ( ) π ω σ. π La ratio tr a fréqu du fodamta ( ) t a oguur du tub π f rmt d ostatr qu tt drièr orrsod au quart d a oguur d od aoustiqu (tub résoatur quart d od) λ. L équatio du déamt d a outr du oho ut s érir M (, t) w(, t) w(, t) + γ B + f (, t) ρ A( ) t t av γ B offiit d amortissmt visquu du au fuid (qui déd d a vitss) t u momt d fio w(, t) M (, t) EI( ) + η t das rssio duqu aaraît fatur d rt qui traduit a dissiatio das a outr (av h 3 ( ) I ( ) b ). Ls oditios au imits ibrs s aratérist ar : w(, t) auu otrait rotatio (momt u), L 3 w(, t) auu otrait trasatio (ffort trahat u) 3 E osidérat u modè simifié où a outr st d stio ostat ( A ( ) A) t a dissiatio st égigé ( γ B t η ), s oditios au imits ibrs oduist à équatio aratéristiqu os β L osh βl t au fréqu rors ( β ) f L EI. π L ρa, L 3

35 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius osh βl os βl β L β L β L 3 β L f f >5 ( +.5) π ( +.5). La modifiatio d stio ds ams rmt u rogrssio harmoiqu ds fréqus rors. Ls ams sot faits bois d Padou ou aissadr. f f,.76, 5.,... f,, 9,... f 3

36 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu 5 VIBRATIONS DES MEMBRANES Ls mmbras sot s équivats du dimsios ds ords Is s rtrouvt das s diahragms d mirohos, s au d tambours t timbas, Pour simifir s dévomts mathématiqus t itroduir s vibratios ds aqus, s mmbras sot traités ordoés artésis. Ls soutios obtus our ds mmbras rtaguairs orrsodt as évidmmt au aiatios s us ourats Equatio ds mmbras U tit éémt d d st osidéré das u mmbra Ω d τ d τ d τ d d w τ d (, t) w, (, t) dd f, w w τ d + d τ d Ω τ tsio ar uité d oguur, τ d w τ d w w τ d + d τ d M s mass ar uité d surfa, ( t) f,, dsité surfaiqu d for tériur, ( t) w,, déamt trasvrsa. Figur 5. Notatios t équiibr d'u éémt d mmbra. Equatio d équiibr our éémt d d w w w w w τ d + d d + d d τ τ + w τ d + f (,, t) dd M s dd t w soit w w τ + dd + f w t (,, t) dd M s dd E osidérat qu a for tériur st u : f (,, t) (,, t) w(,, t) w(, t) w, + 3 t

37 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius av τ, t utiisat Laai + M s w (, t) Ls soutios dvrot satisfair s oditios au imits sur otour Γ. Pour s mmbras, o ut visagr s mêms oditios au imits qu our s ords. E artiuir, o distigu s as suivats : Fié sur Γ : w (,, t) our (, ) Γ Libr sur Γ (as ds fors) : w(,, t) our (, ) Γ 5. Mmbras rtaguairs : dérivé d w das a dirtio orma ˆ. L déamt d'u mmbra rtaguair d dimsios ( L L ) st rrésté ar ds fotios à variabs séarés (,, t) X ( ) Y ( ) T ( t) w, (,, t) L équatio différti du déamt s mt sous a form w t X Y T& + σ ostat X Y T d où o ut tirr X Y σ α ostat X Y soit X α Y X σ + α γ avσ α Y O obtit trois équatios différtis idédats + γ X + α X Y + γ Y T&& + σ T X Y T ( ) a siα + bosα ( ) siγ + d osγ ( t) siσ t + f osσ t Aisi, a form satia gééra our déamt st X ( ) Y ( ) C α siγ + C siα osγ + C osα siγ C osα osγ si 3 + Pour a réisr davatag i faut osidérr ds oditios au imits artiuièrs. 33

38 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu O hoisit ii as us fréqut : a mmbra st fié sur otour : w,, t our (, ) Γ. CL our X Y C siγ + C osγ ( ) ( ) 3 Γ ( ) La ratio C3 siγ + C osγ doit êtr vérifié our tout, qui oduit à C C, do 3 X ( ) Y ( ) C α siγ C siα osγ si + d où CL our L X L ( ) Y ( ) C α L siγ + C siαl osγ si ( C siγ + C osγ ) siα L. Si o rjtt a soutio trivia C C, o obtit équatio aratéristiqu si si α α L α L mπ, m,,... L m CL our t L Cs oditios au imits oduist à C t à 'autr équatio aratéristiqu Ls soutios our a ostat σ sot si si γ L γ L γ L π,,,... σ m α + γ π m m + L L I st aors ossib d'obtir our u mmbra fié sur ss bords s fréqus aturs m ω m σ m π + L L τ M s s déformés modas X av a déformé moda m ( ) Y ( ) C siα siγ C m φ m m (, ) φ m (, ) mπ π si si, L L m,,, K L, L 3

39 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius L L m, m, m, m, ω π + ω π + ω π + ω π + L L L L L L L L Figur 5. - Rréstatio ds déformés our s rmirs mods (igs odas) Rmarqu Pour u mmbra arré ( L L L ) - s déformés φ m t φ m ot ds fréqus aturs idtiqus π ω m ω m m + L - our m, s déformés sot idtiqus ("mods doubs"). 5.3 Soutio gééra t oditios iitias La soutio gééra our déamt s'érit w (,, t) [ Am siω mt + Bm osω mt] φm (, ) m C sot s oditios iitias qui rmttt d détrmir s offiits moat a ratio d'orthogoaité A m t B m L L φ m (, ) φ (, ) q N dd m m m t t q q O obtit aisi s ratios suivats t L L L L w (,, t) φ (, ) dd N [ A siω t + B osω t] m w & (,, t) φm (, ) dd ω m N m [ Am osω mt Bm siω mt] t ( ) ( ) t w (, t) w& (, ) A 'istat, w,, w, rmttt d'obtir m m, m m &, t s ratios réédts m 35

40 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu B A m m N N m m L ω m L L w (, ) φ (, ) L w& m dd (, ) φ (, ) dd m Par m, our a mmbra rtaguair fié sur otour Γ mπ π φm (, ) si si L L d'où N m L L mπ φ m (, ) dd si d si L L L π L L L d 5. Mmbras iruairs L'équatio ds mmbras iruairs s'obtit érivat 'équatio ds mmbras oordoés oairs (, w ) ( r, θ, t) w r θ, t t av Laai + +. L domai st défiit ar < r < a t s r r r r θ oditios au imits sot doés our r a. U soutio st rhrhé sous a form w r, θ, t R r Θ θ T t. L'équatio différti s'érit aors d variabs séarés ( ) ( ) ( ) ( ) Θ ΘT R + R + RT R ΘT& r r R R Θ T& + + σ ostat R r R r Θ T Comm réédmmt, tt drièr ratio ut s séarr du : u équatio tmor dot o oaît déjà a soutio T& + σ T T t u autr équatio Θ R R r + r + σ r Θ R R ( t) siσ t + f osσ t m ostat qui ut or s séarr du ar av 'itrodutio d'u ouv ostat ( θ ) + m Θ( ) Θ θ m R ( r) + R ( r) + σ ( ) R r. r r 36

41 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius La rmièr a u soutio harmoiqu d ériod π, qui imiqu qu m soit u tir Θ ( θ ) si mθ + d os mθ t a duièm équatio différti st ou omm état 'équatio d Bss dot a soutio st R r a J σ r + b Y σ r ( ) t Y ( ) ( ) ( ) ( ) m J m m sot ds fotios d Bss d ordr m d rmièr t sod sè. La Figur motr qu a fotio d Bss d sod sè 'st as fii au tr ( r ) t u do as êtr u soutio d otr robèm. m Figur Rréstatio ds fotios d Bss d rmièr sè J m ( ) (gauh) t d sod sè ( ) (droit). Y m Si o osidèr qu a mmbra st tdu sur u adr iruair fi, a oditio au imits R ( a) oduit our êtr satisfait à hrhr s soutios d 'équatio Ls soutios disrèts ds fotios ( ) m ( σ a), m,,, K J m χ a ( ombr ifii) orrsodt au assags à zéro m σ m J, omm motr a figur i-dssous (voir aussi tabau 5.) Figur 5. Passags à zéro ds fotios d Bss J ( ) t ( ) J 37

42 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu χ 3 5 m m m m m m Tabau 5. Vaurs ds argumts ds fotios d Bss orrsodat à ur assag à zéro Ls fréqus aturs sot do ( σ a ) t a soutio gééra (bords fis) m χ m χ ω m σ m a m τ M s w (,, t) [ Am siω mt + Bm osω mt] J m ( σ mr)( si mθ + d os mθ ) m m, m + aaraît omm omosé d du mods (à 'tio d m ) qui rmttt d'oritr s figurs modas ar raort à a ositio arbitrair ds as hoisi, omm o ut voir érivat tt déformé sous a form équivat α J m ( σ m r) si m( θ θ ). C sot s oditios iitias qui fourirot s offiits, ar m ii osidérat déamt iitia La déformé moda φ ( r θ ) J ( σ mr)( si mθ d os mθ ) B B m m d N N m m π a π a ( r, θ ) J ( σ r) mθ r drdθ w m m si ( r, θ ) J ( σ r) mθ r drdθ. w m m os Figur 5.5 Ls déformés modas ds mmbras iruairs assés ar fréqus aturs roissats (d'arès Brg t Stor 3 ) 3 R.E. Brg, D.G. Stor, Th Phsis of Soud, d Ed., Prti Ha,

43 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Ls timbas sot ds istrumts omosés d'u mmbra frmat u voum aoustiqu. La au d vau st rmaé maitat ar u mmbra Mar arfaitmt homogè t issib à 'humidité. Ds tirats atioés ar u éda rmttt d hagr 'aord modifiat a tsio d a mmbra. La ositio d a fra vrs bord à our fft d sétior us artiuièrmt s mods (,), (,), (3,), (,), (5,), (6,). Sur a fa à 'air ibr fuid agit ar fft d'irti augmtat a mass mouvmt av our oséqu u dimiutio ds fréqus aturs. La avité ré u ouag vibroaoustiqu bauou us om où 'amortissmt jou u rô imortat. Das tabau 5., s fréqus aturs d a mmbra sot omarés à ds msurs d fréqus raoés. ( ) m, f m f fréqus aoustiqus msurés f itrvas musiau f, fodamta,.35.5 quit 3,.67.7,.99 otav 5,.3.5 6,.6.9 otav + tir majur Tabau 5. Fréqus aturs d a mmbra t harmoiqu d a timba (d'arès Bad ) A.H. Bad, Fudamtas of Musia Aoustis, Oford Uivrsit Prss,

44 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu 6 VIBRATIONS DES PLAQUES 6. Equatio ds aqus mis D faço simiair à 'équatio qui dérit s déamts dus au ods d fio das s outrs, i st ossib d'obtir u équatio our dérir s ods d fio qui istt das u miiu à du dimsios: 'st 'équatio ds aqus w t D w(,, t) + ρ h (,, t) L L Figur 6. Notatios our a aqu w av w (, t), déamt trasvrsa, D a rigidité d fio 3 E h D ( υ ) h éaissur, ρ mass voumiqu, E modu d Youg, υ offiit d Poisso, st 'oératur biharmoiqu ou doub aai. ( ) L'éritur ds oditios au imits déd du sstèm d oordoés utiisé. our u aqu rtaguair, s s'rimt our haqu bord d a mêm faço qu our a outr (voir arti ). Par m, our u aqu rtaguair simmt suorté (,, t) w our, L, t L. (,, t) w w,, t ( ) our t L. our t L. L'équatio ds aqus i-dssus orrsod à a théori ds aqus mis ou théori d Kirhoff-Lov. E st 'équivat d a théori d'eur-brouii ds outrs t égig égamt s déformatios dus au isaimt t s ffts d 'irti d rotatio. A aus d s aroimatios, st vaab our s aqus mis (quad 'éaissur st très tit dvat s dimsios d a aqu t a oguur d'od fio) 'st à dir our domai bass fréqu ds aqus isotros. La théori us omèt, équivat d a théori ds outrs d Timosho, st a théori d Midi (95).

45 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 6. Méthods our obtir s soutios La soutio rhrhé our déamt trasvrsa st (,, t) X ( ) Y ( ) T ( t) w E 'itroduisat das 'équatio différti ds aqus o obtit av B µ ρh X X X Y Y T& + + ostat β X Y Y µ T ( ) ( ) ( µ 'st as a éérité ds ods). La diffiuté aaraît das mmbr d gauh où i 'st us ossib d'obtir ds équatios séarés our X ( ) t ( ) Y. U méthod d résoutio osist à hoisir arbitrairmt u fotio X ( ) qui satisfait s oditios au imits, uis à résoudr 'équatio réédt our obtir Y ( ). E oduit à u soutio at du robèm. Cdat, i 'st as ossib d trouvr ds soutios aatiqus das a majorité ds as d oditios au imits. Ctt méthod st souvt moé quad du bords oosés sot simmt suortés (ou aués): 'st tt démarh qui st dérit ar a suit. Pour traitr s autrs as o utiis us souvt a méthod d Raigh-Ritz, basé sur a miimisatio d 'érgi vibratoir (otti t iétiqu) ou or u méthod aroimativ omm : - a méthod ds fotios d outr (voir a), - a méthod ds ffts d bords d Booti, - a méthod d Gari utiisat u thiqu variatio, - ds méthods basés sur s différs fiis t s éémts fiis. 6.3 Paqus rtaguairs simmt suortés sur du bords oosés La fotio X ( ) st obtu satisfaisat s oditios au imits simmt suortés our t L utiisé :. La fotio obtu our s outrs ut do êtr X mπ L ( ) si, m,, K Figur 6. Paqu simmt suorté sur s du bords oosés

46 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Ss dérivés satias (ar raort à ) mπ mπ X ( ) si L t L X ( ) ( ) mπ L mπ si L sot rortés das 'équatio différti mπ mπ Y Y + β L L Y Y qui oduit à u équatio différti d'ordr ( ) mπ mπ Y Y + β Y L L s Comm our s outrs, o rhrh ds soutios d a form D où D t s sot ds ostats. E rortat tt soutio gééra das 'équatio différti, o obtit u équatio aratéristiqu mπ mπ s s + β L L Ls soutios d tt équatio aratéristiqu sot av s γ s γ, s3 jγ, ( ), s jγ mπ + Y st γ β t L do a soutio our a fotio ( ) mπ γ β L ou γ γ jγ jγ ( ) D + D + D + D Y ( ) C siγ + C osγ + C sihγ + C γ Y 3 osh 3 Ctt soutio st simiair à obtu our s outrs av omm différ du aramètrs γ t γ à a a d'u su. E tout riguur, i faudrait érir Y m ( ) ar s ostats d tt équatio dédt d m : C im, γ m, γ m. Ls offiits d 'équatio Y ( ) uvt s'obtir fotio ds oditios au imits ar a mêm méthod qu moé our s outrs : - s oditios au imits t L rmttt d'obtir équatios qui s'rimt sous form matrii A C où A st u matri t C vtur ds offiits C i. - s soutios d 'équatio aratéristiqu obtu à artir d dt ( A ) rmttt d aur s fréqus rors t s déformés modas. Rmarqu : tt démarh utiis a form artiuièr d ( ) imits simmt suortés our aqu X X t ( ) X X our ds oditios au X dvit ds ostats.

47 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Pour s du autrs bords, i st ossib d hoisir 'imort qus oditios au imits. Em : as d'u aqu simmt suorté sur tous ss bords C as sim rmt d'iustrr a méthod : s oditios simmt suortés t L oduist à 'équatio matrii siγ L γ siγ L osγ L γ osγ L γ sihγ L γ sihγ L oshγ L γ γ oshγ L C C C C 3 L au d dt ( A ) oduit à ( γ γ ) γ L siγ L + sih E éartat s soutios trivias, rst fiamt Par aiurs, ( ) siγ L γ L π, γ β mπ L av β ω µ t mπ π β + L L d'où 'rssio ds usatios aturs ω β µ m,,k µ D ρh, qui rmt d'érir ω m π m L + L D ρh L'éta suivat osist à utiisr s ratios obtus av s oditios au imits sur t L our rimr 3 ds offiits C à C. O obtit aors 'rssio Y ( ) π C si qui rmt d'érir 'équatio omèt du déamt d'u aqu simmt suorté w av a déformé moda (,, t) [ Am siω mt + Bm osω mt] φm (, ) m b φ m ( ) L mπ π, si si L L 3

48 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Figur 6.3 Déformé our mod (,3) d a aqu simmt suorté Ctt aroh ut êtr utiisé our 'imort qus oditios au imits assoiés à du bords oosés simmt suortés 5. Das s autrs as ds soutios arohés utiisat ds fotios d outr uvt fourir ds soutios dot a réisio st très dédats ds oditios au imits (voir A). Das tous s as où s soutios aatiqus ats sot as assibs, st a méthod d Raigh-Ritz qui st référé ar sa réisio st otrôab. Toutfois, s aqus iruairs rmttt aussi ds soutios aatiqus ats variabs séarés d a form R ( r) Θ ( θ ) [ a J ( β r) + b I ( β r) ] si mθ + [ J ( β r) d I ( β r) ] os mθ où ( ) m m m m m m m m m + I m sot s fotios d Bss modifiés orrsodat fait à ds fotios d Bss dot argumt st imagiair. Cs fotios roisst s éoigat du tr our ouvoir satisfair s différts oditios au imits. Ls offiits arbitrairs a m, b m, m, d m t argumt β m sot réisés fotio ds oditios au imits. m m m 6. Itrodutio à a méthod d Raigh-Ritz Ctt méthod arohé qui rmt d'obtir ds soutios our ds oditios au imits quoqus sra amié détai 3 èm aé. Comm a méthod d Raigh-Ritz st très souvt moé, o do ii rii. L rii d Raigh vaab our s sstèms osrvatifs (érgi otti maima érgi iétiqu maima) ut êtr moé our trouvr a rmièr fréqu ror d a aqu. Par m, si o s do our a déformé moda arohé du rmir mod a déformé statiqu our s oditios au imits osidérés, i st ossib d aur s quatités suivats à artir ds vaurs quadratiqus d a déformé : - 'érgi otti maima U ma (érgi d déformatio) - a arti T ( ( ma d 'érgi iétiqu maima T ma t qu T ma ω Tma 5 voir : A.W. Lissa, "Th fr vibratio of rtaguar ats", Joura of Soud ad Vibratio 3(3), (973).

49 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius La usatio ror arohé du rmir mod s'obtit ar U ω. ma R ( Tma Ritz 99 a étdu tt méthod our aur s r rmirs mods d'u strutur. Ls déformés modas sot rréstés à artir d'u fotio φ omortat r offiits arbitrairs C, C,, C L r, qu'i ovit d aur our haqu mod φ C ϕ ϕ L + ϕ + C + C r r. Ls fotios satias ϕ i doivt satisfair s oditios au imits du robèm. Ls érgis otti t iétiqu s aut à artir d a vaur quadratiqu d φ t uvt s'érir formmt sous a form i j U ma ij CiC j t T ma i j ( m ij C C La différ tr érgi otti t érgi iétiqu st miimisé ar raort au offiits C i t o obtit aors r équatios homogès qui uvt s'érir sous form matrii. ( ( U ma ω Tma ) C C ( ( U ma ω Tma ) C C A M L C ( r ( U ma ω Tma ) C r i j. E auat détrmiat d A, r vaurs rors usatios rors ω R aroimt a usatio du mod λ ω R sot obtus. Ls ω ω + ε R ε td vrs quad ombr r d offiits mod, qui rvit à dir qu s drièrs vaurs d C i s'aroît ar raort à 'ordr du ω sot gééramt as utiisabs. Pour haqu mod, ω st rmaé ar ω R das 'équatio matrii AC, qui rmt d'rimr r offiits t d'érir a déformé moda orrsodat sous a form ( α ϕ + α ϕ + α ) φ + R α ). Cq L r ϕ r, ( q 5

50 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Not historiqu E 787 à Lizig, Chadi mt évid érimtamt a formatio d igs odas sur u aqu ibr av du sab. Whatsto (833) t Raigh (873) utiist s mods d outr ibr our ssar d'iqur s figurs d Chadi. Ritz (99) utiis sur robèm (a aqu ibr) a méthod qui ort so om t Szawa do 93 s rmirs résutats our u aqu astré. Iguhi (938) dévo u méthod our obtir rtais résutats aatiqus. Ls rmièrs sthèss omèts sur s méthods utiisabs our aur s fréqus aturs t s déformés modas d aqus sot dus à Warburto (95) t Lissa (969). Figur 6. Figurs d Chadi d'u aqu ibr. 6

51 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 7 MODELES D'AMORTISSEMENT Das s modès d ords, barrs, outrs, mmbras t aqus étudiés réédmmt, 'amortissmt 'st as ris omt our simifir a mis équatio du robèm. E oséqu, s soutios our s réoss ibrs obtus réstt as d déroissa d 'amitud ds mouvmts av tms. Das tous T t avait our équatio différti s as osidérés, a fotio ( ) ( t) + T ( t) T &,,, K ω 7. Fatur d'amortissmt moda La méthod a us sim osist à iur u trm dissiatif orrsodat à u modè d'amortissmt visquu T& ( t) + ζ ω T& ( t) + ω T ( t) où ζ st fatur d'amortissmt moda ( ζ << ). La soutio orrsod à d'u sstèm à u dgré d ibrté. ou or a form équivat T où s ostats ( a, b ) t ( A ) ζ ζ ωt ( t) [ a si( ω ζ t) + b os( ω ζ t) ] T ζ ω t ( t) A si ( ω ζ t + ϕ ), sot détrmiés à artir ds oditios iitias. 7. Coffiit d'amortissmt das 'équatio d'od D'autrs modès sot ostruits isérat dirtmt u offiit d'amortissmt das 'équatio différti Modéisatio d 'amortissmt tr rréstat a dissiatio du ar m à a rés d'u fuid (air) das as d'u mmbra: équatio o-dissiativ: w τ w M s t équatio dissiativ: w w τ w M s t t : offiit d'amortissmt Modéisatio d 'amortissmt itr aiquat u offiit roortio à a vitss d futuatio ds otraits das u outr (modè d'amortissmt d Kvi-Voigt) 7

52 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu w w équatio o-dissiativ : EI + ρ A t w w w équatio dissiativ: EI + α I + ρ A t t Rmarqu : U form équivat à drir modè osist à osidérr E E + jη. E osidérat u variab om modu d Youg om ( ) our déamt t qu w jωt W, 'équatio réédt dvit w w EI + jω α I ω ρ A w do ωα ηe. L'utiisatio du fatur d rt η our rréstr rô d 'amortissmt strutura das a réos foré d'u strutur méaiqu st dérit das a stio Dissiatio au imits L'amortissmt ut égamt êtr rorté das a défiitio ds oditios au imits. E fft, s mods d fiatio ds struturs vot souvt itroduir u dissiatio. U m st doé our ds oditios au imits das as ds ods ogitudias das u barr w(, t) AE w(, t) + w(, t) t w(, t) AE w(, t) w(, t) t Figur 6. Coditios au imits dissiativs our s ods ogitudias das u barr. 8

53 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 8 REPONSE FORCEE Ls soutios étudiés jusqu'à maitat orrsodt au réoss ibrs d sstèms otius. Es dédt ds fréqus aturs, ds déformés modas t d oditios iitias. O rhrh maitat a réos régim statioair à u itatio harmoiqu foré rrésté ar u for où ω st a usatio imosé ar 'itatio. F ( t) F osω t Rmarqu: La otatio om st souvt moé F F, trm j t ω F jωt F (ou us simmt état souvt omis) où F st u for om. L siga hsiqu ré s rtrouv ar ( ) { } { j ω F t R F R F t } 8. Réos foré ar déomositio moda La méthod d déomositio moda st basé sur 'orthogoaité ds déformés modas φ (r). Ls φ ostitut u bas orthogoa sur aqu sot déomosés s aramètrs du sstèm (s équatios sot démotrés A das as ds outrs) M ) Ω m( r) φ ( r dr mass (moda) gééraisé av m (r) a dsité K ω M raidur gééraisé C F ) Ω ( r) φ ( r dr amortissmt gééraisé ) Ω f ( r, t) φ ( r dr for gééraisé av f ( r, t) a dsité d for Cs aramètrs modau rmttt d'érir u équatio moda our haqu mod qui st déoué ds autrs ( t) + C q& ( t) + K q ( t) F ( t) M q& I s'agit à d'u sstèm à DDL dot q ( t) st a soutio du déamt oordoés our mod. E s'rim so a atur du siga d a for F ( t) For quoqu A ( ω t + θ ) q ζ ωt ( t) A si ( ω t + θ ) + F ( t) h ( t) ζ ωt si a : réos ibr du sstèm dot s ostats A φ ds oditios iitias à t. a t dédt 9

54 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu ( t) h ( t) F : réos foré rrésté oar roduit d ovoutio d a for ar a réos imusio. O a vu 6 qu a réos imusio d'u sstèm à DDL oduisait à F t M ζ ω t ζ ωt ( t) h ( t) F ( t) h ( t τ ) dτ F ( τ ) siω ( t τ ) dτ ω a t a av ζ C t M ω quad t >>. ω a ω ζ. C trm rrést a réos régim étabi, For harmoiqu j t U for om F ω roduira u réos d a form om. L'équatio du sstèm dvit q jωt B où B st ω M B + jω C B + K B F ou or osat [ + j ωω ζ + ω ] M B F B F ω H H M [( ω ω ) + jωω ζ ] E rréstat H H sous a form j H ( ω ω ) + ( ωω ζ ) ϕ ωω ζ, taϕ M ω ω La réos à a for F ( t) F os t q ( t) F H os( ωt + ϕ ) ω st ( ) { j ω q t R B t }, soit F ωω ζ os arta ωt M ω ω ( ω ω ) + ( ωω ζ ) q ( t) st a soutio du déamt oordoés gééraisés our mod. La réos à a for F ( t) st fouri ar a sthès moda w ( r, t) q ( t) φ ( r) 6 voir ours Vibratios t Aoustiqu (ENSIM A) 5

55 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 8. Em our u outr fio La rmièr éta osist à idtifir s aramètrs modau gééraisés. La démostratio qui oduit à a ratio doé réédmmt st rorté A. La déformé φ ( ) t a usatio atur ω our mod satisfot 'équatio homogè ds outrs d φ ( ) E I ω A ( ) ρ φ d t a déformé vérifi a ratio d'orthogoaité A ( ) ( ) d mutiiat ar a déformé ( ) ρ φ φ our. E φ t itégrat, o aboutit à 'équatio ( ) d φ EI φ d ( ) d ω ρ Aφ ( ) φ ( ) La ris omt d a ratio d'orthogoaité das sod mmbr oduit à u sod ratio d'orthogoaité dot a smétri st vérifié das 'a A. Quad, s du itégras d 'équatio réédt uvt s'itrrétr aisémt omm a raidur gééraisé t a mass gééraisé d K ( ) d φ EI φ d ( ) d t M ρ Aφ ( ) φ ( ) d our qu a ratio réédt s'ériv sous a form K ω M La duièm éta osidèr u itatio sous a form d'u dsité iéiqu d for f, t, a réos foré d a soutio d 'équatio ihomogè ( ) (, t) w(, t) w EI + ρ A f, t m ( t) O hrh u soutio sous a form w( t) w ( t) φ ( ) EI mutiiat ar ( ) ( t) m ( ),, do d φm wm ( t) + ρ A wm m, & d φ t itégrat ( ) m m m ( t) φ ( ) f ( t) ( ) d + ρ A w& ( t) φ ( ) φ ( ) d f (, t) φ ( ) m EI wm φ m m m d φ d m d 5

56 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Quad ( ) d φm w ( ) ( ) && m t EI φ d + wm ( t) A m ( ) ( ) d f ( t) ( ) d m d ρ φ φ, φ m m ou K ou M ( t) + K w ( t) F ( t) M w&. C'st 'équatio d'u sstèm à DDL o dissiatif. U fatur d'amortissmt moda ζ st itroduit à ivau. Das as d'u itatio harmoiqu d a for jω f, t f déamt d a outr s'érira ( ) ( ) t F ( t ) soit w jωt (, t) w ( t) φ ( ) w φ ( ) [ ω + jωω ζ + ω ] w F M av a for moda gééraisé La soutio st w (, ω ) M M F [( ω ω ) + jωω ζ ] ( ω ω ) F F jω t jϕ jω t f + (ωω ζ ) (, t) φ ( ) φ ( ) φ d ωω ζ ( ) av taϕ ω ω og H og ( K ζ ) og K db db/otav ( ) og ω M La figur i-otr rrést H ω a fotio d trasfrt ( ) si w (,ω) st érit sous a form w jω t ( ω ) H F φ ( ),. π - - π ϕ Figur 8. Réos fréquti amitud t has our u mod. 5

57 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Em : Cas d'u for otu sur u outr simmt suorté F La outr st ité ar u distributio d for (for otu) Figur 8. Eitatio d'u outr ar u for otu f jω t (, t) F ( ) δ La for moda gééraisé s'érit F F δ ( ) φ ( ) d F φ ( ) Rmarqu : si a for st aiqué sur œud du mod, ( ) φ t a for gééraisé our mod st u : F. Pour u outr simmt suorté F F si π Si a for st aiqué au tr, F F si π t sus s mods imairs srot ités. 8.3 Cas ds aqus rtaguairs Cas gééra our s aqus homogès av itatio harmoiqu Ls rssios sot simiairs à s ds outrs. jω t Fm w(,, ω ) φm (, ) M ω ω + j ω ω ζ [ ] m m m m m av a mass gééraisé M ρ h φ (, ) m L L L L m dd a for gééraisé F f (, ) φ (, ) Cas artiuir d'u aqu simmt suorté m a déformé moda φ ( ) a mass gééraisé M m m m mπ π, si si L L L dd mπ π ρ h si d si d L L L h L L ρ Cas artiuir d'u itatio otu (aqu simmt suorté) F a for f (, ) F δ ( ) δ ( ) a for gééraisé m L L L mπ π mπ π F δ ( ) si d δ ( ) si d F si si L L L 53

58 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu 8. Sthès moda 8.. Cotributio d haqu mod Quad u strutur st ité à a usatio ω, tous s mods sot us ou mois ités. L ham vibratoir st réé ar a surositio d tous s mods. La otributio d hau déd - d a for moda gééraisé du mod (do d a ositio d a for d'itatio), - d a roimité d a usatio atur du mod d d 'itatio. og w ω og w A og w C og w B ati-résoa og ω ω A ω B ω C Figur 8.3 Réos tota du à a otributio d 3 mods t qu w w A + w B w Sur a figur i-dssus : - mod A ( ω A < ω ) fotio d a mass moda gééraisé F M A Aω, - mod B ( ω B ~ ω ) st otrôé majoritairmt ar 'amortissmt, - mod C ( ω C > ω ) otribu fotio d a raidur gééraisé F K. C C 8.. Cas artiuir d'u aqu arré Ls usatios aturs d a aqu arré d ôtés L sot doés ar ω m π L ( m + ) D ρh I aura usiurs ombiaisos ( m, ) aat a mêm vaur m +, omm motr a tab iotr. Pusiurs mods différts aurot do a mêm usatio atur. Em : (,7), (7, ) t (5,5). m m Tabau 8. Fréqus rors ormaisé our u aqu arré 5

59 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Lur surositio va oduir à u form aart qui va dédr d 'itatio t oura tromr 'érimtatur. Cosidéros s mods (,) t (,) av u itatio à ur usatio atur π ω ω 5 L D ρh L L itatio,, sur a ig oda du mod (,). La déformé du mod (,) aaraît Φ π π A si si L L Φ L L itatio,, sur a ig oda du mod (,). La déformé du mod (,) aaraît Φ π π A si si L L Φ L L itatio sur a diagoa,. Ls du mods sot égamt ités ar s fors modas gééraisés sot idtiqus. Aisi, A t A π π π π Φ, A si si + si si L L L L Ctt déformé rést u ig oda our L où Φ., Φ, Figur 8. Déformés aarts (o-moda) our u aqu arré. Cdat, si a ositio du oit d'itatio st hagé, A α A t u form moda différt aaraît, omm a figur suivat rmt d ostatr our s mods (,) t (,), (,) t (,), (,5) t (5,). Cs forms sot as orthogoas ar si aors S Φ A Φ Φ A φ + α A φ t Φ B φ + α B φ B ds S S ( φ + α A φ φ + α B φ φ + α A α B φ ) ( φ + α α φ ) ds A B ds 55

60 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Figur 8.5 Ligs odas ds déformé aarts dus au ombiaisos d mods our u aqu arré 7..3 Gradurs quadratiqus mos C sot souvt s quatités qui sot msurés sur s struturs méaiqus vibrats. Soit déamt,, t) v,, t w ( ) t a vitss ( ) w jω t (,, t) F H ( ω ) φ (, ) (,, t) jω w(, t) v, m m m m og w og ω db/ot La vitss quadratiqu mo s défiit ar v T ω (,, t) v (,, t) π v ω (,, t) m F m dt H m ( ) ( ) ω φ, m og v + 6 db/ot og ω 6 db/ot Figur 8.6 Réos d'u mod déamt t vitss 56

61 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius E osidérat qu z i i zi z j i j L'itégratio d v (,, t) av L L sur a surfa d'u aqu ω L L oduit à (,, t) d d F H ( ω ) φ (, ) v m m m H m ( ω ) M m Pour u aqu homogè simmt suorté d'où v (,, t) F F H ( ω ) H ( ω ) φ (, ) φ (, ) v (,, t) ω M m q m ρ h d d L L L L m [( ω m ω ) + ( ω ω mζ m ) ] (, ) φm d d ω m ρhl L d d La vitss quadratiqu mo sur a surfa d a aqu ut s'rimr ar u sim somm d a vaur quadratiqu ds omosats d haqu mod. q m m ( ) ρh L L m ( ω ω ) + ( ωω ζ ) m q F m m q m 8.. Fatur d rt t amortissmt strutura Pour s aus damiqus d struturs méaiqus, modu d Youg st souvt osidéré sous a form om E E + jη où η st fatur d rt qui s défiit ar ( ) Ergi dissié ar η π Ergi otti maima La raidur moda gééraisé d a strutur (outr, aqu, t.) qui st roortio au modu d Youg, dvit aussi om K K ( + jη) U itatio harmoiqu sstèm méaiqu st d'où F roduit u réos ( ) jω t q t B jω ω M B + K B F t 'équatio du 57

62 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu q ( t) M F jω t ( ω ω ) av ω K M a usatio ror om ω ω ( jη), soit + q ( t) jω t F A a résoa ω ω t η ζ M ω ω + jη ω ( ) 58

63 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 9 PROPAGATION DES ONDES VIBRATOIRES Sous 'atio d'u itatio méaiqu, s ods vibratoirs s roagt das s struturs méaiqus d grads dimsios ou dissiativs. a soutio gééra du déamt ut s'érir w, t X T t ( ) ( ) ( ) jω t Pour u itatio harmoiqu T ( t), do jω t w(, t) X ( ) 9. Ods quasi-ogitudias das s barrs A artir d a ratio X X jω t o obtit av T ( t) ( ) ( ) T&& ( t) ( t) L T T&& T L ( t) ( t) ostat, ω qui oduit à 'équatio ( ) + X ( ) L X L dot s soutios sot ( otatio om) jl jl X ( ) A + B L ω L st ombr d'od ( L : éérité ds ods ogitudias) j L A : od s roagat vrs s ositifs L L j L B : od s roagat vrs s égatifs E ρ 9.. Od das u barr smi-iifii jωt Aisi, u for F( t) F roagativ aiqué à u barr smi-ifii va rér u od j j t (, t) W w L ω F ( t) w, Figur 9. Déamt ogitudia roduit ar u for aiqué à 'trémité d'u barr ifii E osidérat a ratio d'équiibr ds fors à 'trémité F (, t) w E A + fors tériurs 59

64 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu ( t) j j t w, L ω E auat j LW, a ratio d'équiibr dvit jω t jω t j L E AW + F F E rmt d'obtir 'amitud d 'od W. L'od roagativ (av j L E A 'hothès qu 'od 'st as réféhi) s'érit j j t (, t) j F w L ω L E A 9.. Iméda méaiqu L'iméda méaiqu au oit d'aiatio d a for s'rim ar Z m for F vitss j w ω jω t (, t), Pour u barr smi-ifii av u od urmt roagativ, 'iméda méaiqu Z orrsod à 'iméda aratéristiqu m jω t F E A Z ρ AL jω w (, t) L m L, m : mass ar uité d oguur j ω w t F jωz j t (t 'équatio du déamt dvit ( ) ( ), ) j Das as où 'od iidt L st artimt réféhi, u trm das 'équatio t 'iméda méaiqu st modifié. j L aaraît Em d'u barr ibr d oguur F ( t) w, Figur 8. Déamt ogitudia roduit ar u for aiqué à 'trémité d'u barr fii ibr d oguur Erssio du déamt w, t + j L j L jω t ( ) ( W + W ) + W : amitud d 'od qui s roagt vrs s > W : amitud d 'od qui s roagt vrs s < La barr st ibr do s oditios au imits sot 6

65 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Puisqu w E A E A (, t) j t (, t) w F ( t) + j j j t ( ) w, j a rmièr oditio au imits rmt d'érir os L + + ( W W ) j si ( W + W ) L'iméda méaiqu st jω t F Z m jω w, t L j L W L W W, soit F j ta L W E A L ( ) jω ( W + W ) + L ω W ( W + + ) F LE A ta + jω L ω, j F L E A EA j ta L L t a sod EA E E osidérat ρ E A ρ A Z, 'iméda méaiqu au oit L ρ d'aiatio d a for our u barr ibr st Z m j Z ta L L'iméda méaiqu déd do d a strutur t d ss oditios au imits Puissa méaiqu ijté La uissa méaiqu ijté das u strutur ar u for s défiit omm roduit mo das tms d tt for ar a vitss au oit d'aiatio Π F t v, t, qui orrsod aussi ( ) ( ) Π R { F v ( ) } si o utiis a otatio om. E érivat ( ) v F Z m Π R F F Z m R Z m F Pour u barr smi-ifii a uissa ijté ar u for F st F F Π. Z ρ A L si 'trémité d a barr st astré ( (, t) 7 Z m j Z ot L 6 w ).

66 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Pour a barr fii ibr dérit réédmmt Π R{ Z } F ar 'iméda méaiqu Z m st urmt imagiair. Auu uissa 'st ijté das a barr qui 'st as dissiativ t qui 'st as oté à u strutur à aqu ourrait trasférr d 'érgi. Si maitat o osidèr u modu d Youg om our E E + jη. Av 'hothès η <<, o rim itroduir fatur d rt ( ) η L E ρ E + jη ρ E ρ + j ω ω η η - ombr d'od om L j L j L E ρ L'iméda méaiqu dvit om - a éérité du so om ( ) m Z m η η j ρ E A ta L jz + j ta L j t a uissa sra as u. 9. Ods d fio das s outrs Si o osidèr u déamt trasvrsa w ( t) X ( ) T ( t) ds ods d fio oduit à jω t Si ( ) T t T aors & T ( t) ( t) ω E I ρ A t X X ( ) ( ) X ( ) ( ) ( ) ( ) T& T X B, av,, 'équatio d roagatio ( t) ( t) Ls soutios our X ( ) uvt s'érir sous a form ostat ω B ρ A E I j B jb B B ( ) B + B + B B X 3 + B j B st u od qui s roag vrs s > j B B st u od qui s roag vrs s < B B 3 st u od dot 'amitud déroît das a dirtio ds >, sas rotatio d has, B B st u od dot 'amitud déroît das a dirtio ds <, sas rotatio d has. 6

67 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius Ls du drièrs ods s ommt ods évasts. B orrsod bi à a défiitio d'u ombr d'od d fio B ω B, où B st a éérité ds ods d fio das a outr ( B : vitss d has). Comm ar aiurs B ω ρ A E I B ρ A ω t B E I ω E I ρ A La éérité ds ods d fio das a outr déd d a usatio ω : 'st do as ostat av a fréqu t ombr d'od 'st as u droit omm our s ods aoustiqus ou s ods ogitudias das s barrs. L ω ω L ρ E B ω B ω ρ A E I ω ω Figur 9.3 Nombrs d'od ds ods ogitudias t d fio fotio d a fréqu 9.3 Fu d uissa trasmis ar s ods d fio das s outrs Comm our 'itsité aoustiqu, o ar ourmmt d'itsité d strutur. Pour s outrs trm désig a uissa trasmis à travrs a stio d a outr ( Watt). E osidérat s du mouvmts oués du modè d'eur-brouii a) déamt trasvrsa w t 'ffort trahat Q, b) a rotatio d fio θ t momt fhissat M, 'itsité (ou fu d uissa) à travrs a stio d a outr s'érit utiisat s variabs oms I R{ M & θ + Q w& } Ls vitsss das 'rssio réédt s'érivt v w& jωw t & θ jωθ. E utiisat s rssio obtus réédmmt 3 w w w θ, M EI, Q EI 3 63

68 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu o obtit 'itsité rimé fotio du déamt 3 EI w w& w ωei w w I R w& Im 3 fotio ds vitsss vibratoir osat w v jω 3 EI v v v I Im v, 3 ω où or fotio d 'aéératio osat v a jω I EI a a 3 ω Im 3 a a 3. 3 w w 3, E u oit d a outr suffismmt éoigé ds trmités ou ds fors d'itatios ('st à dir d'u disotiuité du ham vibratoir) s différts dérivés satias s'érivt simmt sous a form v j v 3 v A v 3 j j B 3 B B B ( A ( A ( A + B j j B j B B j B B + B B j j j B B B ) ) ) L'utiisatio d s ratios das a formuatio gééra d 'itsité strutura das a outr oduit à 'aroimatio dit d ham oitai I I CL EI Im ω B v v Erimr ombr d'od ar sa vaur + B v v B B v v EI ω B v Im v. ρ A B ω, oduit à 'rssio usu d EI 'itsité ham oitai v EIρA a I CL EIρ A Im v Im a. ω Ctt aroimatio a souvt été utiisé av u shéma au différs fiis ( a ( a a) t a ( a + a) ) our msurr 'itsité d strutur das u outr à 'aid d du aééromètrs à oditio d vaidr 'aroimatio d ham oitai a a I CL EIρA Im ω { a a }. 6

69 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius REPONSE FORCEE PAR DECOMPOSITION EN ONDES Ctt méthod rmt d'obtir ds soutios aatiqus à artir d a oaissa ds oditios au imits t ds itatios. E st imité au struturs uidimsios t au itatios harmoiqus. Méthod : L sstèm vibrat st divisé sous-struturs (ou troços). Das haqu troço, s oditios au imits t s oditios d raordmt rmttt d trouvr ds soutios trms d'ods forés. Ctt méthod st égamt désigé sous om d méthod stra t s troços sot aés éémts strau.. Préstatio d a méthod our s barrs Pour s barrs ou s sstèms dot s équatios ods sot rréstés ar ds oératurs différtis d'ordr du, s oditios au imits sot dérits ar du équatios (our t ) t s oditios d raordmt ortt sur u déamt t u ffort. L as d'u barr ité torsio st hoisi omm m. Ls déamts θ,t sot s soutios d 'équatio différti aguairs ( ) G I θ (, t) θ (, t) ρ I jω t E adotat u soutio harmoiqu d a form ( t) ( ) différti réédt ut s mttr sous a form GI d θ d ( ) t + ρ I ω θ ( ) θ, θ, 'équatio I st osidéré qu tt barr st astré au du trémités t qu' st ité ar u ou harmoiqu M jωt ( t) M, M θ ( ) ( ) Figur. Eitatio ds ods d torsio das a barr astré θ 65

70 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu.. Coditios d raordmt θ t θ our haqu troço. A a jotio ds du troços, i faut rimr s oditios d raordmt : La méthod osist à divisr a barr du troços t à hrhr s soutios ( ) ( ) otiuité ds déamts ( ) θ ( ) θ disotiuité du momt d torsio dθ G I dû au ou d'itatio M d G I dθ d ( ) dθ ( ) G I d M auqus s'ajoutt s oditios au imits θ ( ) t θ ( ) Ls soutios gééras our s déamts aguairs das s du troços sot ou or a form équivat θ θ j j ( ) A + B j j ( ) A + B θ θ ( ) a si + b os ( ) a si + b os av ombr d'od d torsio T G ρ. ω t a éérité ds ods d torsio das a barr T Ls soutios qui satisfot s oditios au imits our touts s vaurs d sot θ θ ( ) a si ( ) a si ( ) L'utiisatio ds oditios d raordmt rmt d'érir ds équatios qui uvt s mttr sous a form matrii si ( ) ( ) si a M os os a GI.. Soutio du déamt L'équatio réédt oduit au soutios suivats our a t a 66

71 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius a a si os av détrmiat du sstèm si os ( ) ( ) si. M GI ( ) M si GI M si GI Ls équatios our s du troços d a barr sot do θ θ ( ) M GI M ( ) si si ( ) si ( ) GI si si si Ctt méthod fourit do u soutio aatiqu ("os form") d a réos foré. Ls zéros d a fotio si (qui aaraît das a soutio ds du troços) orrsodt au fréqus aturs ω π soit T π ω T E mt aussi évid ds fréqus d'ati-résoas our si ( ) t si (troço ), t our si t si ( ) (troço ). Cotrairmt au fréqus aturs, s ati-résoas dédt d a ositio du oit d'itatio t du oit d'obsrvatio. E artiuir, quad si ( ), 'st à dir à a usatio ω π T ( ), a réos st artout u sur troço, aors qu 'amitud sur troço st orrsod à d'u barr d oguur dot s trémités sot astrés. La situatio st ivrsé our ω π T. Ctt soutio sra omaré us oi à a méthod moda.. Etsios d a méthod.. Barrs t outrs hétérogès Ls aratéristiqus méaiqus uvt varir our s troços. Das 'm suivat, a méthod va osidérr 3 troços das squs s soutios gééras srot θ θ θ 3 ( ) a si + b os, ( ) a si + b os ( ) a si + b os

72 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu M ρ, I a a, G a our θ ( ) ( ) θ ρ, I b b, G b our Figur. Cas d du barrs otés E, s oditios d raordmt srot ( ) θ ( ) θ t G a I a dθ d ( ) dθ ( ) G b I b d Av s oditios au imits s rmttt d ostitur u sstèm iéair d 3 équatios dot a résoutio oduira au soutios das s 3 troços. L ombr d troços à rdr omt déd du ombr d siguarités (itatios t disotiuités d strutur)... Miiu dissiatifs L'amortissmt st itroduit ar 'itrmédiair du modu d Youg om ( jη) E E +, η fatur d rt d mêm our modu d isaimt G E ( + υ) ( jη) G G + Das s soutios du déamt θ j A + B ( ) j ombr d'od d torsio ω ρ ρ ω st rmaé ar ω, soit T G G + jη Comm η st très faib, 'aroimatio suivat ut êtr moé 8 jη η j. ( + jη)( jη) 8 E utiisat s aroimatios suivats our ε << + ε jε + ε jε jε ε jε j ( j )( ) t ( )( ) ε 68

73 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius La soutio du déamt aguair du troço das rmir m dvit θ ( ) M GI j ( ) j ( ) j j j j j j j η η L déomiatur j ( ) si osh + j os sih s'au us our s fréqus aturs : 'amortissmt imit 'amitud ds déamts...3 Eitatio réarti L déamt our u itatio otu uitair st a soutio d 'équatio ( ) d θ G I + ω ρ I θ δ d ( ) ( ) Ctt soutio éémtair du robèm s'a fotio d Gr t s ot ( ) D'arès s résutats réédts (as o dissiatif) G. G ( ) G G ( ) GI GI ( ) si si si si si ( ) si ( ) La soutio gééra d'u robèm ut s'érir à 'aid d a fotio d Gr. E m (momt), déamt aguair ut s'érir osidérat u itatio réarti ( ) θ ( ) m( ) G( ) d m( ) G ( ) d + m( ) G ( ) Em : m( ) M δ ( ) d soit θ ( ) M ( ) G ( ) d + M ( ) G ( δ δ ) d θ θ ( ) M G ( ) ( ) M G ( ) quad quad qui orrsod bi au résutats obtus réédmmt. 69

74 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu.3 Cas ds outrs fio La méthod s'aiqu d a mêm faço qu our s barrs. Ls aus sot us ogs ar a soutio gééra omort offiits (ods roagativs t ods évasts) t a outr ut êtr ité ar ds fors t ds momts. Comm m, o osidèr u outr astré-ibr ité ar u for j t harmoiqu F(, t) ω F. F w ( t) ( ) ( ) jω t w j t w, ω Figur.3 Eitatio ds ods d fio das a outr astré - ibr La outr st omosé d du troços où s déamts doivt vérifir 'équatio E I d w d ( ) i ω ρ A w ( ), i {,} i Ls soutios sot w w ρ A av ω. E I ( ) A si + B os + C sih + D osh ( ) A si + B os + C sih + D osh Ls oditios au imits s'érivt d a faço suivat : trémité astré : trémité ibr d w ( ) w ( ) E I d dw d 3 ( ) d w ( ) Ls oditios d raordmt sot E I w E I w E I d 3 w ( ) w ( ) otiuité ds déamts w ( ) w ( ) otiuité ds rotatios ( ) E I w ( ) otiuité ds momts ( ) E I w ( ) F disotiuité d ' ffort trahat 7

75 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius 7 L'utiisatio ds soutios ( ) w t ( ) w av s 8 oditios rmt d'obtir u sstèm iéair à 8 équatios 8 8 M M M EI F D A D A A t d aur s offiits d A à D.. Comaraiso av a méthod d a sthès moda Pour fair a omaraiso av a méthod d sthès moda, rmir m d'u barr ité oamt ar u ou harmoiqu d momt M st osidéré av u miiu dissiatif. Av a méthod moda déamt aguair s'obtit ar ( ) [ ] ( ) M F φ ω ω θ av a déformé moda ( ) π φ si a mass moda gééraisé ( ) si I d I d I M ρ π ρ φ ρ a for moda gééraisé ( ) ( ) ( ) M d M d M F si si π π δ φ δ a usatio atur om ( ) ( ) η ω η ρ π ρ π ω j j G G + + soit ( ) + si si j I M π η ω ω ω π ρ θ, av ρ π ω G. La soutio moda troqué à N 6 st omaré à a soutio oduatoir sur a figur suivat.

76 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Réos d'u barr astré à /.5 Réos d'u barr astré à / damt [db] damt [db] fréqu réduit fréqu réduit Figur. Réoss ar a méthod ds ods forés (trait i) t a méthod moda troqué (N 6, trait itrromu) our u barr ité ar u ou.6 our ds oits d'obsrvatio à. 5 (à gauh) t. 8 (à droit). Magré 'itérêt qu rést a méthod d déomositio ods forés, st mois gééra qu a méthod moda. Ds tsios au aqus rtaguairs ot été roosés : s oditios d raordmt tr troços rtaguairs s fot ar s omosats d séris d Fourir (troqués) rréstat s gradurs og ds frotièrs. 7

77 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius ANNEXE A Idtifiatio ds aramètrs modau gééraisés our a outr fio. Si o osidèr 'équatio homogè ds aqus das aqu o rort a soutio gééra (our mod ) rimé fotio d a usatio atur ω t d a déformé φ obtus our ds oditios au imits artiuièrs, o obtit ( ) d φ EI ω A ( ) ρ φ d φ t itégrat, o aboutit à 'équatio () E mutiiat ar a déformé ( ) d φ ( ) EI φ ( ) d ω ρ Aφ ( ) φ ( ) d d O vérifi a smétri d hau ds du itégras ar raort à t. Pour a sod, a smétri st évidt ( ) φ ( ) d ρ Aφ ( ) φ ( ) ρ Aφ Pour a rmièr, o réais ds itégratios ar artis sussivs d φ EI d ( ) φ ( ) 3 d φ d EI d Si o osidèr ds oditios simmt suortés ( ) 3 d 3 ( ) dφ ( ) d φ ( ) d d + EI d φ d φ φ ( ),, φ ( ), d d ( ) d O otat qu trm itégré st u: i sra d mêm our s oératios sussivs EIφ () φ d 3 φ ( ) () (3) EIφ φ d + (3) [ EIφ φ ] 73 [ EIφ φ ] EIφ φ d [ EIφ φ ] (3) EIφ φ d + EIφ φ () d (3) [ EIφ φ ]

78 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu do a smétri st vérifié d φ ( ) d φ EI φ ( ) d EI d d E itrvrtissat s idis t das a ratio () d φ ( ) ( ) φ ( )d ( ) d ω ρ Aφ ( ) φ ( ) EI φ d d t auat ()-() o obtit do grâ au ratios d smétri ( ) ( ) ( ω ω ) ρ Aφ φ d quad ω ω, 'équatio st vérifié, t o omm mass gééraisé. M ρ Aφ ( ) quad ω ω, o obtit a ratio d'orthogoaité d () E rrat 'équatio () ou (), o déduit u autr ratio d'orthogoaité ( ) d φ EI φ d ( ) d qui st vérifié si a ratio d smétri st vérifié do si ( ) ρ Aφ φ ( ) ( ) d ( ) our ( ) ( ) 3 d φ d φ dφ EI φ ( ) 3 t EI d d d our tous t. Ci st vrai our a uart ds oditios au imits. Quad, tt ratio rmt d défiir a raidur gééraisé K EI d φ d ( ) φ ( )d L'équatio () ou () rmt aors d motrr qu. K ω M 7

79 Vibratios Aoustiqu I Vibratios ds sstèms otius ANNEXE B Soutio arohé our s aqus utiisat ds fotios d outr E rimat déamt soutio d 'équatio ds aqus ar w (,, t) f (, ) T ( t) t osidérat qu a fotio T ( t) st harmoiqu t qu T& ( t) ω T ( t), 'équatio ds aqus dvit D t mutiiat haqu trm ar f (, ) f (, ) ω ρ h f (, ) D f f ω ρ h f o obtit fiamt u rssio d a usatio f f f d d D ω. ρ h d d Cosidéros qu a fotio f st roduit d du fotios d t d (fotios d outr) f, α β déomiatur d a formu d ω st t osidérat f + ( ) ( ) ( ) f d d α d a b β d α β β + f t ( αβ ) β + αβ + α t umératur f f d d ut s'rimr ar α β α β α a b a b a b ( α β ) d d α d β d + α d β d + α d Si α t β sot ds fotios d outr, is vérifit s ratios suivats : α β λ α m, t λ β β β d où λ st a soutio our a outr qui satisfait s oditios au imits t m a (t mêm hos our α β λ ). α a b a b a b ( α β ) d d λ + + mα d β d α d λ β d α d β β d 75

80 I Vibratios ds sstèms otius Vibratios Aoustiqu Ctt drièr form oduit à 'rssio ds fréqus rors a b α β α d β d D ω + + m λm λ. a b ρ h α d β d Em : Pour u aqu arré astré sur bords, s déformés d a outr astré st utiisé C ( ) ( ) ( λma) α C λm S( λm) S( λma) av C λ osh λ os λ t S( λ ) sih λ si λ ( ) m t λ a.73, λ a 7.85, λ a., t. 3 Ls rssios d α ( ) t d ( ) suivat do s résutats du au our ω a ρh D m m m β srvt à aur 3èm trm d ω m. L tabau m m m m m Rmarqu : Das as d oditios au imits astrés ou d méag av ds oditios au imits simmt suortés, 'aroimatio st assz satisfaisat our obtir s fréqus aturs, ar otr dvit imréis dès qu ds oditios au imits ibrs sot itroduits (voir 'ouvrag d Sod t 'arti d Lissa, ités réédmmt). 76

81 II - PROPAGATION ACOUSTIQUE A UNE DIMENSION ET SILENCIEUX. ONDES PLANES. CHANGEMENT DE SECTION 3. SILENCIEUX A CHAMBRE D'EXPANSION. RESONATEUR DE HELMHOLTZ 5. SILENCIEUX A RESONATEUR 6. SILENCIEUX DISSIPATIFS 7. SILENCIEUX INDUSTRIELS 8. TERMINAISONS 9. CARACTERISATION DES SILENCIEUX ANNEXE A Modéisatio matrii ds sstèms siiu 6

82 II Siiu Vibratios Aoustiqu 78

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111 Vibratios Aoustiqu II - Siiu Référs [] A.P. Dowig, J.E. Ffows Wiiams, Soud ad Sours of Soud, Eis Horwood, 983. [] A.D. Pir, Aoustis, MGraw-Hi, 98. [3] T.F.W. Embto, "Muffrs", i Nois ad Vibratio Cotro (L.L. Bra, d.), MGraw-Hi, 97. [] D.D. Davis, G.M. Stos, D. Moor, G.L. Stvs, "Thortia ad rimta ivstigatio of muffrs with ommts o gi-haust muffr dsig", NACA, Rort 9, 95. [5] D.A. Bis, "Aoustia rortis of orous matrias", i Nois ad Vibratio Cotro (L.L. Bra, d.), MGraw-Hi, 97. [6] H. Lvi, J. Shwigr, "O th radiatio of soud from a ufagd iruar i", Phs. Rv. 73 (98),

112 II - Siiu Vibratios Aoustiqu 8

113 Vibratios Aoustiqu II - Siiu ANNEXE - MODELISATION DES SYSTEMES SILENCIEUX Méthod d a matri d trasfrt. Itrodutio U sstèm siiu st ostitur d'u smb d'éémts mis séri : tuau idriqus, hambrs d'asio, résoaturs, t. NO Nam of mai futio Th futio of imortat FLANGE It is otd with fag. It mas that it is otd with -maifod of gi with bots. So b arfu for dgr of fag ad wdd sattr. HOLDER EXHAUST SYSTEM HOLDER EXHAUST SYSTEM is otd to gi with bots 3,5 HEAT COVER ad GLASS WOOL I ordr to ativat a atati atio of C ovrtr, rdu ois ad warmig fft of gass woo BELLOWS Imrov durabiit of haust sstm b absorbig vibratio of th bows gi ad rdu ois 6 C/CONVERTER This as haust gas ad rdus ois 7,8 HANGER hagr abs haust sstms to b otd to th bod. 9 RESONATOR With th asio of otatig surfa, this art turs haust gas with high tmratur ad rssur ito o with ow tmratur ad rssur, whih rsuts i rduig th ois. TAIL PIPE This art is usd for dishargig haust gas outsid (rar art) of ar ad rduig th ois. - DAMPER This art rdus th ois b hagig vibratio i aorda with vibratio faturs - SEALING ad GASKET Ths arts imrov assmbig whr otio with orrsodig arts is mad ad rvt aag of haust gas. - Riformt Imrov durabiit b formt of stiffss o wdig ara htt:// 8 9

114 II - Siiu Vibratios Aoustiqu Chaqu éémt ds shémas réédts u ostitur ui-mêm u sstèm. L'idé st d rréstr s aratéristiqus d haqu éémt ar u matri qui ri s gradurs d sorti au gradurs d'tré.. Méthods ds matris d trasfrt O défiit u matri d trasfrt rmttat d'rimr a rssio t débit d mass u S Q ρ à 'tré d 'éémt fotio ds mêms gradurs t u S Q ρ sorti (bi-ort ou quadriô) Q Q T T T T Q T Not : a mass voumiqu mo du gaz à 'tré t à a sorti ourra êtr différt du fait ds variatios d tmératur. Das as, a éérité ds ods dvra aussi varir das s différts éémts. U sstèm siiu dérit ar u matri T ourra êtr rrésté simmt à artir ds matris d trasfrt ds éémts mis séri s s s s Q Q Q T T T T C B A La sour (aratérisé ar u rssio i t u iméda itr i Z ) sra raordé à 'tré du sstèm i u Z + Sstèm siiu Q Q T A T C T B s s Q Q

115 Vibratios Aoustiqu II - Siiu t a harg sorti du sstèm sra rrésté ar u iméda qui rmttra d fourir u ratio tr s gradurs aoustiqus d sorti Z s Rmarqu : 'rssio usu Z u d 'iméda aoustiqu st osrvé ii mais o rotr arfois a défiitio Z Q : o a aors Z ρ SZ. s u s i Z T A T B T C Z s Q Q s s 3. Prts d trasmissio Pour aur s rts d trasmissio d 'éémt goba dot a matri d trasmissio st T T T T, o osidèr omm réédmmt qu'i st raordé sur 'iméda A B C aratéristiqu du fuid Z s ρ (o osidèr aussi qu a mass voumiqu ρ du gaz t sa éérité hag as d 'tré à a sorti). Q T Q s s ρ Q T Q s s Das s oditios a uissa d 'od trasmis sorti ut s'rimr ar t 'idi d rt d trasmissio s'érit W s S s S D og S s ρ La rssio iidt I ( as ofodr av a rssio itr i d a sour) s'rim utiisat s aratéristiqus d 'od a quasi-statioair das a stio d'tré S ρ u I + I R R S Q s I s I + S Q E rimat t u à 'aid d a matri d trasfrt t osidérat

116 II - Siiu Vibratios Aoustiqu s s s s s s s s s s T S T Q T T Q T S T Q T T Q T T T T Q où débit d mass a été rimé fotio d a rssio utiisat 'iméda d sorti Q S u Z s s s s s s ρ ρ a rssio iidt rd a form s s s I T S S T S T S T Q S qui oduit à 'rssio suivat d a rt d trasmissio s s s s s I S T S S T S T S T S S S D og og Em our u siiu à hambr d'asio Pour utiisr a méthod ds matris d trasfrt our aur u siiu à hambr d'asio, a rmièr éta osist à aur a matri d trasfrt d'u oduit droit U éémt d oduit droit st résté das a Figur i-dssus. La rssio t a vitss das oduit droit d oguur sot rimés ar ( t j ω st utiisé) : ( ) j R j I A A +, ( ) j R j I A A u ρ ρ, où j, f / π st ombr d od aoustiqu. E osidérat a rssio t a vitss à 'trémité du oduit ) (, j R j I j R j I A A u A A + ρ u u

117 Vibratios Aoustiqu II - Siiu i st ossib d'rimr s amituds ds ods iidt t réféhi das oduit d a maièr suivat j j ( + ρ u ), A ( ρ u ) AI R Cs rssios sot utiisés suit our dérir a rssio t a vitss à 'tré u AI ( AI ρ j j + A R A R j j ) u os( ) + jρ si ( j si ( ) + os( ρ ) u ) u Ctt drièr rssio ut s mttr sous form matrii u os j si ρ jρ si os u uis sous a form stadard (Q) osidérat Q ρ S u t Q ρ S u Q os S j si j si S os Q S S S S ρ La rt d trasmissio aorté ar a ha mbr d'asio d stio S raordé à ds stios d'tré t d sorti idtiqus S Ss S s'obtit aiquat 'rssio réédt ds rts d trasmissio D og S T S + Q T + s s T + T + T + T S S S S s T S + T og E utiisat s trms d a matri d trasfrt du oduit droit d stio S t d oguur Q s s S 3

118 II - Siiu Vibratios Aoustiqu os T S j si j si S os o rtrouv 'rssio d a hambr d'asio détrmié réédmmt m S S ) ( S S D og + si S S Rmarqu : 'st a ris omt d stios différts d S our 'tré t a sorti S S S ) qui itroduit s hagmts d stio. ( s 3 S S S S S ρ Q Q s s Ctt méthod ut êtr aiqué au sstèm i-dssus osidérat maitat a matri d trasfrt os j si os j si os3 j si 3 T S S S S S S j si os j si os j si 3 os3

119 Vibratios Aoustiqu II - Siiu Figur Différts ofiguratios d siiu Figur Ifu ds trés t sortis d tubs 5

120 II - Siiu Vibratios Aoustiqu 5. Pris omt d a dissiatio : oduit traité j ± La dissiatio ut faimt êtr ris omt rmaçat s trms ar ds trms ± Γ av Γ σ + j. L trm σ rrést aors a dissiatio. Aisi a matri d trasfrt du oduit droit dvit T S Γ Γ Γ Γ ( + ) ( ) S osh( Γ) sih( Γ) Γ Γ Γ Γ ( ) ( + ) S sih( Γ) osh( Γ) S S S S ρ Q Q s s Comm réédmmt, au ds rts d roagatio oduit à a formuatio suivat D og oshσ + m + sih σ os + sih σ + m + oshσ si m m Prt d trasmissio [db] Figur Chambr d'asio traité ar u matériau dissiatif (ourb suériur) omaré à u hambr o traité (ourb ifériur). Atrs forms d rréstatios matriis La matri d'iméda qui fait orrsodr s rssios t s vitsss artiuairs 6

121 Vibratios Aoustiqu II - Siiu 7 u u Z Z Z Z Chaqu trm d a matri à a dimsio d'u iméda : u Z u Z +. La matri d diffusio qui rmt d'rimr s ods sortats fotio ds ods trats t dot s trms sot s offiits d réfio R t d trasmissio S + + R S S R Bibiograhi sur a modéisatio ar matris d trasfrt A. G. Gaaitsis, I. L. Vér, "Passiv sirs ad id duts", Chatr i Nois ad Vibratio Cotro Egirig (L.L. Bra ad I.L. Vér, Eds), Wi, 99. M. Muja, Aoustis of Duts ad Muffrs, Wi,

122 II - Siiu Vibratios Aoustiqu 8

123 III - ACOUSTIQUE MODALE ET STATISTIQUE. PROPAGATION DES ONDES EN MILIEU GUIDE. ACOUSTIQUE MODALE DES SALLES 3. ACOUSTIQUE STATISTIQUE ANNEXE A Modéisatio simifié ds siiu dissiatifs ANNEXE B Traitmt aoustiqu ar offrmt ds sours d bruit 5 9

124 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu

125 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu - PROPAGATION DES ONDES EN MILEU GUIDE Ctt arti trait d a roagatio ds ods aoustiqus oduit quad u dimsio d a stio st suériur à λ /. Ls aiatios sot s oduits d vtiatio, s oduits hdrauiqus, s gais d'admissio t d'éjtio d omrssurs, s mahs à air d turboréaturs, t. Pour simifir 'osé o osidèr das u rmir tms u ofiguratio bidimsio où s ods s roagt das a dirtio z tr du as araès réféhissats... Guid d'od bidimsio H z Cosidérat 'équatio d'od 'st à dir t av + z t o hrh u soutio à u fréqu d'itatio ω séarat s variabs jωt (, z, t) X ( ) Z( z) T ( t) X ( ) Z ( z) qui oduit à érir ( divisat ar j t ω ) X ( ) Z ( z) + Z ( z) X ( ) + X ( ) Z( ) z av ombr d'od ω Z Z ( z) ( z) X X ( ) ( ) + β ostat

126 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Ctt drièr ratio s trasform du équatios séarés Z X ( z) + β Z( z) ( ) + X ( ) av β a) Résoutio d 'équatio Z ( z) Z z C D j z jβz La soutio st ( ) β + do a rssio das oduit ut déjà s'érir [ ] jω t j( ωt βz ) j( ωt+ βz ) (, z, t) X ( ) Z( z) X ( ) C + D C : amitud ds ods s roagat vrs s z ositifs D : amitud ds ods s roagat vrs z égatifs Auu oditio au imits 'st as imosé das a dirtio z a riori (réfio à u trémité du oduit ar m). b) Résoutio d 'équatio X ( ) j j La soutio st X ( ) E + F. Das a dirtio, miiu st imité ar du arois rigids t L. Cs oditios au imits orrsodt à u iméda ds arois ifii, do à ds vitsss artiuairs us t L. Z u, H u ( ) u ( H ) X ( ) X ( H ) j j Cs oditios s'aiqut sur a fotio X ( ) j ( E F ) ( ) ( E ) F X X Du as sot ossibs : d'u art 'od a t d'autr art j H j H ( H ) ( E F ), do qui oduit à X ( ) ostat, 'st à dir à E F j H j H j si H, Ctt équatio omort u ifiité d soutios H mπ, our m,,, L Rmarqu : m, qui orrsod égamt à 'od a.

127 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu Av s oditios au imits, i st ossib d réisr a fotio Soutio omèt X j j ( ) E( + ) mπ E os E os H L'évauatio d rmt d détrmir a ostat d roagatio β β m mπ H t d'obtir a soutio omèt d 'od s roagat das oduit jω t jβm z jβ m z (, z, t) X ( ) Z( z) ( A + B ) m m m jωt mπ os H av Am CEm t Bm DEm s ostats arbitrairs qui ourrot êtr aués à artir ds itatios ou ds oditios d réfio au trémités du oduit. La oguur d'od trasvrsa H λ π déd d 'idi m do du mod d m roagatio. L'idi m orrsod do au ombr d dmi-oguur d'od λ, do aussi au ombr d assags ar zéro omm motr a figur i-dssous. Ls œuds d vitss orrsodt au vtrs d rssio t ivrsmt. La aroi st rigid t imos u vitss u sur s arois. E oséqu i aura toujours u vtr d rssio au ivau ds arois.. Ratio d disrsio C'st a ratio qui i s ombrs d'od β m mπ H 3

128 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu L ombr d'od aia β m rrést a roagatio du mod m das a dirtio. I déd d ω, ombr d'od aoustiqu, mπ ombr d'od trasvrsa H Du as sot ossibs t oduist à ds ts d'od différts. mπ H b) < mπ H a) > mπ H a) mπ > H mπ H β m > do β m R π L'od s roag av u oguur d'od ogitudia λ z > λ. Par m, β m osidérat sumt a omosat s roagat vrs s ositifs : j β z mπ m jω t Am os (av Bm ) H β m Am jβ z mπ j t z os jρ z ρ H u m ω Prssio quadratiqu : ρ * Itsité ativ: I R{ u } z m A ρ z os mπ H Am β m os ρ mπ H b) < mπ H mπ H β m < do β m I

129 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu O ut érir mπ β m H d'où 'rssio gééra d a rssio mπ j H β z z m m β π m jωt ( Am + Bm ) os Das as où B m, rssio t vitss artiuair s'érivt β z mπ m jωt Am os H β m Am β z mπ z j os jρ z ρ H Prssio quadratiqu : H j β u m j t ω A ρ ρ I z R u m βm z π os Itsité ativ : { } z m H I ' a do auu érgi qu s roag das oduit our tt ofiguratio ( < mπ H ). La rssio d'u mod m qui a u êtr roduit ar u sour va déroîtr raidmt das a dirtio z. So attéuatio sur u oguur s'obtit ar Attéuatio sur ( ) ( ) og og β mπ Attéuatio sur m ( og ) β m 8,69 H Pour u mod m doé, o a fréqu d ouur, a fréqu qui orrsod à m m mπ H πf mπ H soit m f H U oduit s omort do omm u fitr ass-haut. évast f roagatif f mπ f > f, > β m > H mπ f < f, < β m < H : ods roagativs : ods évasts 5

130 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu La fréqu d ouur déd du mod m : us u mod st d ordr évé, us sa fréqu d ouur st haut. Pour mod d ordr, m, β t st u od a qui s roag sur tout a gamm d fréqu. Itrrétatio : La ratio d disrsio + β motr qu i ist u ag α t qu si α + do si α t β osα. Pour haqu ombr d'od β m, i orrsodra à haqu fréqu au-dssus d a fréqu d ouur u ag α qui rmt d rréstr sa roagatio omm d'u od a d'iid α qui s réféhi sur s arois. π π π Puisqu λ, aors t d mêm f t β λ λ os α λ z Pour u fréqu f doé m Si f > f, H.a.d. si m Si f < f, H.a.d. si Hf H m < λ mod roagatif Hf H m > λ mod évast m f mod roagatif mod évast m f H 3. Coduit à stio rtaguair L robèm du oduit à stio rtaguair st u sim tsio du guid bidimsio. L'od aoustiqu doit vérifir 'équatio + + z t 6

131 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu L L z jωt U soutio d a form ( z t) X ( ) Y ( ) Z( z),,, st rhrhé ar séaratio ds variabs. L équatio d roagatio dvit YZ X ZXY XYZ XYZ av ω /. O érit Z Z X X + Y Y + z ostat j z z j zz Equatio Z : ( z) C D Z + X Y Equatio trasvrsa : + + KT X Y Ctt équatio ut s érir or d du faços différts av KT z X X Y Y + K T ou Y Y X X + K T L idéda ds variabs t oduit à équatios X ( ) + X ( ) t Y ( ) + Y ( ) av T K +. L utiisatio d oditios au imits (arois rigids) oduit au mêms soutios qu our as bidimsio : s omosats d a rssio our haqu m, sot mod ( ) av mπ t L π L j z z j z z jωt ( A + B ) os os m m Ratio d disrsio K T + z + + z z mπ + L mπ + L 7

132 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Fréqu d ouur du mod ( m, ) Prssio tota av T m L L K f, m + π jβm z jβ m z (,, z, t) ( Am + Bm ) β m m z jω t mπ L mπ mπ os os L L mπ L C st a somm ds otributios d tous s mods. Em d réartitio trasvrsa d a m,. rssio our ququs mods rréstés ar ds ous ( ) od a m m m La surositio ds mods va oduit das a ratiqu à ds futuatios imortats d a rssio quadratiqu das a stio droit du oduit. Par m, s figurs i-dssous rréstt du as ds ivau db das ds gais d rfoumt d vtiaturs trifugs.. Prssio oduit fotio d a sour sour z Sour à u trémité du oduit t as d réfio : roagatio vrs s z ositifs. B mh t i faut détrmir A m ( ) jβ z j t m m m ω π π,, z, t Am os os m L L 8

133 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu 9 O osidèr u sour d débit d mass Q ( ),,. L débit tota Q à travrs a surfa S s'érit ( ) ( )dd Q dd u Q S t j S z δ δ ρ ω E rmaçat das tt équatio a vitss artiuair ar so rssio dérivé d a rssio (ratio d'eur) rimé das a bas moda, t j z j m m m z L L m A z j u m π π ρ β ρ ω β os os a ratio d'orthogoaité ds mods rmt d'obtir u rssio qui rmt d détrmir s offiits m A d 'amitud d rssio d haqu mod m m m L L m Q S A os os π π ε ρ β av m m ε ε ε ε 5. Coduit à stio iruair Equatio d od t s'rim oordoés idriqus av z r r r r z r r r r r θ θ O rhrh u soutio d a form ( ) ( ) ( ) ( ) t j z Z r R t z r ω θ Θ θ,,,, qui oduit à Θ + Θ + Θ + + Θ Z R Z R r Z R R r R Z ou or ostat + Θ Θ + + β r R R r R R Z Z θ a r z Q S

134 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Z β z Equatio Z : ( z) + Z( ) Equatio trasvrsa R R Θ K T R r R r Θ ou Θ R R r + r + KT r Θ R R soit équatios : av m K T β ostat a) Equatio aguair Θ jmθ jmθ ( θ ) + m Θ( θ ), Θ( θ ) E + F Comm ham d rssio s rtrouv idtiqumt arès rotatio d π, Θ( θ + π ) Θ( θ ), do m N. m st ombr d od aguair ou ombr d mod aguair j( ω t ± mθ ± β z r, θ, z, t R r ( ) ( ) ) b) Equatio radia divisat ar dimsio m r r r ( r) + R ( r) + K R( ) R T K T t osidérat omm variab d R d ( ) dr( ) m + + R d ( ) K r, ombr sas T Ctt équatio st ou omm équatio d Bss dot a soutio gééra st α, γ sot ds ostats. R ( ) α J ( ) + γ Y ( ) m m ( ) t Y ( ) J m m : fotio d Bss d ordr m d rmièr t sod sè (voir figurs) Au tr du oduit r, a rssio doit rstr fii sur a z : uisqu Y m ( ), aors γ t R( ) α J m ( ) ou R( r) α J m ( K r) T 3

135 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu Fotio d Bss d r sè J m ( ) Fotio d Bss d d sè ( ) Y m L'utiisatio ds oditios au imits sur s arois du oduit (arois arfaitmt rigids) dr( r) vitss artiuair radia u r a r a ou r a rmt r dr d'obtir u équatio. Soit α K J m ( K a) T E uat as trivia K, tt équatio a our soutio : T K T a χ m χ ut êtr doé das ds tabs. st aé ombr mod radia m T m χ., ièm zéro d a dérivé d a fotio d Bss d od m : J m ( ) Ratio d disrsio : K t β dédt ds du tirs m t. T Fréqu d ouur du mod ( m, ) K T av f + β KT χm π πa, m K T χ a m mod ( ) Prssio tota m, s roag sumt si K T ou f f, m. j( ω t β z) j( ω t + β z) ( r, θ, z, t) ( A + B ) os( mθ + θ ) J χ m m m m m a r av β χ m a Si K T, J m ( ) our m. Mais our m, J ( ) qui orrsod aussi à 'od a. M. Abramowitz ad I. A. Stgu, Hadboo of mathmatia futios, Dovr,

136 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu La us bass fréqu d roagatio d u mod aguair m doé orrsod à a us tit vaur ossib d χ do à. Si t, χ m m t s fotios ( θ ) t R ( r ) orrsod à od a ( f )., Θ sot ds ostats, qui Em our m χ φ χ a ( r, θ ) r J J ( ) ( χ ) J ( r) J ( ) Em our m J ( ) ( χ ) J χ a ( r, θ ) osθ r χ φ J ( ) J 3 3

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156 Référs [] S. Lw, "Fodmts d 'aoustiqu idustri, UTC, Comièg, 99. [] A.D. Pir, Aoustis : a itrodutio to its hsia riis ad aiatios, MGraw-Hi, 98. [3] K.B. Gi, Aiatio of B&K quimt to arhittura aoustis, Brü-Kjar, Narum, 978. [] R. Lamora, Aoustiqu t arhittur, Masso, 975. [5] P. Liard, P. Fraçois, Aoustiqu idustri, Masso, 97. [6] R. Watrhous, "Itrfr attrs i rvrbrat soud fids", J. Aoust. So. Am. 7 (955), [7] H. Kuttruff, Room aoustis, Aid Si,

157 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu ANNEXE A Siiu dissiatifs Pris omt d a dissiatio Prts ar isrtio Modè d matériau dissiatif Modès miriqus d'attéuatio das ds oduits traités Modè aramétriqu d Kutz t Hoovr Prt ar roagatio ormaisé Méthod arohé d Mh Réatio oa t réatio étdu Bibiograhi D.A. Bis, C.H. Has (996) Egirig Nois Cotro, So, Chaitr 9. M.E. Da, E.N. Baz (97), "Aoustia rortis of fibrous absorbt matrias", A. Aoust. 3, 5-6. W. Frommhod, F.P. Mh (99), Simifid mthods to auat th attuatio of siurs, J. Soud Vib.,, 3-5. A.G. Gaaitsis, I.L. Vér (99), "Passiv sirs ad id duts (Ch.)", i Nois ad Vibratio Cotro Egirig, (L.L. Bra ad I. Vér, Ed.), (Wi). H.L. Kutz, R.M. Hoovr (987), "Th itrratioshis btw th hsia rortis of fibrous dut iig matrias ad id dut soud attuatio", ASHRAE Trasatios 38, Vo.93, PT. (RP-78),

158 PRISE EN COMPTE DE LA DISSIPATION Costat d roagatio om Γ σ + j E osidérat od iidt su ( ) A I Γ j σ Prt ar roagatio: rt d trasmissio sur u oguur uitair (m) D a ( ) ( ) S σ og og S + A I ( ) 8,69 σ 8,89 R{ Γ} [db/m] PRISE EN COMPTE DE LA DISSIPATION U fft dissiatif st souvt aomagé d u fft réatif : m d u siiu dissiatif d ogur L raordé à ds oduits d tré t d sorti d mêm stio L D a L s D t D L + D + L t D a a db/m s [db] 5

159 QUANTIFICATION DE L ATTENUATION Prt ar isrtio S (a) W T () S Sstèm siiu W T (b) D i W og W T T L L W SANS W AVEC MODELE DE MATERIAU DISSIPATIF matériau oru, ais miéras ou mousss omèrs strutur (squtt) + fuid (orosité 9 à 98%) ~ λ λ >> Dissiatio visquus Dissiatio thrmiqu Dissiatio visoéastiqu 55

160 MODELE DE MATERIAU DISSIPATIF Modès d fuid équivat Modè oroéastiqu (théori d Biot) us sim : modè d Da t Baz ρ f déd d u su variab X r r av résista séifiqu au assag d air [Ns/m ] Iméda aratéristiqu om du matériau Z ( +.57 X j.87 X ) Z a Costat d roagatio om K a.7 ( X j.89 X.595 ) MODELE DE MATERIAU DISSIPATIF Eaissur d d matériau sur u surfa rigid Iméda ormaisé d a surfa Z a ξ oth Z Z ρ ( Γ d ) t offiit d absortio Iid orma α ξ a R { ξ} d + R{ ξ} + α.8 Z tio ρ o r b s.6 d 'a t i. o fi. α sur a rigid, r Ns /m, R r d / Z 3 fréqu [Hz] résista ormaisé au assag d air α matéria u (d ifii) d. m, R d. m, R d.8 m, R R rd Z 56 3

161 Modès miriqus P érimètr traité S stio ibr Sabi Piig Pariso D a P. D a.5 α S P D a. 5 α S P.8 og ( S α ) [db/m] [db/m] [db/m] Modès miriqus Modè roosé Kutz t Hoovr (987) ASHRAE (Amria( Soit of Hatig,, Air Coditioig, ad Rfrigratig Egirs) asmtot bass fréqu (5-8 Hz) D t bas P d S.8.36 (.7 + Kρ L ) ( ) h K 3 ρ f.3 L.3 (3.5a) (3.5) asmtot haut fréqu (8 Hz à Hz) D t haut ( K.6 og (. P / S ) P f mi K.5.7 S W (h) (,3) h W 57

162 Modès miriqus Modè d Kutz t Hoovr (987) h W d d.6 m - ρ g:m 3 d.8 m - ρ 7 g:m 3 d.3 m - ρ 58 g:m 3 d.5 m - ρ 8 g:m 3 3 fr qu [Hz] Modès miriqus Modè d Kutz t Hoovr (987) h W m, h.3 m, W.5 m d/h.5 d/h.5 d/h d B ] [d D t io m iss s artra P rt 3 3 fréqu [Hz] 58 5

163 Modès miriqus a rt ar roagatio ut s érir sous a form h h P D S a D h [db/m] h h W P S h P S h P S h P + S h W D a D h h Prt ar roagatio ormaisé Théori moda our s oduits dissiatifs our a roagatio tr du as araès d iméda distats d h. Z h Γ jk w jk jω t Γ jω t (,, t) A φ( ) A φ( ) Ratio d disrsio Γ K + + j Γ Γ 59 6

164 Prt ar roagatio ormaisé du as araès d iméda Z w faisat u hothès d matériau à réatio oa, o aboutit à u équatio trasdat om La soutio h ( h) h ta u j h (, ± h, t) Z Z w (,, t) jz h rmt d rimr Γh ( h) ( h) Z ρ ± h D a 8.69 R{ Γ} h { Γh} h Da D 8.69 R Prt ar roagatio ormaisé du as araès d iméda Z w h U ds rmièrs étuds du à Mors (939) a motré qu mod a était mois attéué 6 7

165 Prt ar roagatio ormaisé d h.5 d h d h d arès Vér Méthod arohé d résoutio roosé ar Mh Soutios Eq. A ( h) Méthod arohé Z h ta j h E ta E ju Z E (.7 j.5) ju E.88 j.55 + ju Eq. B, ( 78.9 j 5.3) + ju ( 3.7 j.) w 6. j. + ju ± D h [db] Dh fotio d fh - d/h.75 - r 6. q. A Mh q. B Mh doés Mh ( 63 j857) + ju ( j 37) + ( ju ) ( 867. j3) - fh [ Hz.m] 6 8

166 Méthod arohé B ] [d D h h/λ Réatio oa t réatio étdu 6 9

167 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu ANNEXE B Traitmt aoustiqu ar offrmt ds sours d bruit Itrodutio L'ffiaité d'u aot Comortmt aoustiqu d'u offrmt Modè sim our a révisio ds rformas d'u aot Modè moodimsio d Jaso Bibiograhi Itrodutio U offrmt (ou aotag) st u vo qui frm a sour soor (mahi) totamt ou artimt, t dot a fotio attdu st d réduir raomt aoustiqu. O distigu : aotag omt : i rouvr tièrmt a mahi, mais ut réstr ds ouvrturs our a ommad ou 'aératio. La rédutio du bruit st assuré d maièr goba. aotag itégré : 'st u offrmt aoustiqu frmé qui st moté dirtmt sur bâti d a mahi. Comat, i éous s forms d a mahi. aotag arti : i st sumt mis œuvr sur s artis bruats d a mahi quad s-i sot ttmt séarés. C'st u rottio aoustiqu d t éra qui st rarmt suffisat our obtir u améioratio très imortat. L'ffiaité d'u aot L'ffiaité d'u offrmt st ié à 'attéuatio du bruit qu'i aort. E s défiit ar a rt ar isrtio qui st a différ tr a uissa aoustiqu d a sour sas aot t a uissa aoustiqu d a sour aoté : D L sas L av [db] W W sas av 63

168 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu Ls arois d 'offrmt ostitut u barrièr au bruit aéri raoé ar a sour, mais i faut as oubir qu 'st 'smb ds hmis d trasmissio qui doit êtr maîtrisé afi d'otimisr s rformas : a roagatio à travrs s arois : assur 'isomt aoustiqu. L'idi d'affaibissmt aoustiqu st a aratéristiqu riia. 'étahéité : doit êtr assuré au ivau ds assmbags t ds ouvrturs fotios ar ds joits, ds siiu, ds hias, t. a roagatio soidi : s attahs du aot sur a sour, s éémts d mahi soidairs du aot ou travrsat doivt êtr isoés sur a vibratoir. I st idissab d désoidarisr aotag d tout sour d'itatio, qu soit a mahi ou so. Comortmt aoustiqu d'u offrmt C'st 'idi d'affaibissmt aoustiqu goba ds arois qui va avoir u ifu réodérat sur a vaur ds rts ar isrtio. Mais a trasar aoustiqu 'st as su héomè oré : ofimt réé ar aot autour d a sour aura tda à aroîtr ivau d soor à 'itériur t à augmtr bruit trasmis. Pour tt raiso, i st souvt éssair d disosr u matériau absorbat sur a fa itr ds arois. L'idi d'affaibissmt goba ds aau R og τ st obtu osidérat 'idi d'affaibissmt ham diffus d haqu aroi tat omt ds ouvrturs évtus. L fatur d trasmissio ham diffus st τ R Pour défiir u modè qui ous rmtt d rédir simmt 'ffiaité d'u aotag d mahi, o osidèr raomt dirt d a sour dot u arti d a uissa st trasmis ar s aau ( W TD ), u autr dissié ar s matériau absorbats disosés sur a fa itr t u troisièm arti réféhi ( W R ). 'fft d révrbératio qui déd d 'absortio tota (arois + sour) sous aot. La uissa iidt sur s arois ( W ) réé ar ham diffus st arti trasmis vrs 'tériur du aot ( W ). TR INC sour Chmi dirt W W TD ham diffus itr R W ρ A W INC R R ρ W R W TR W T Puissa trasmis Chmi diffus 6

169 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Modè sim our a révisio ds rformas d'u aot L ivau d uissa d a sour sas offrmt st W L W sas og. W ) Raomt dirt La uissa aoustiqu iidt sur s arois orrsod à a uissa d a sour W. La uissa trasmis W TD st roortio au offiit d trasmissio mo ds aau. Puisqu'i s'agit d'u ham dirt, s ags d'iid ds ods sot rohs d a orma t 'st offiit d trasmissio iid orma τ qui st ris omt W TD W τ Puisqu 'idi d'affaibissmt aoustiqu ham diffus R og τ, qui st gééramt a vaur ou, st d 5 db ifériur à 'idi d'affaibissmt iid orma R og τ (oi d mass) τ, 36τ ) Efft d a révrbératio C'st a uissa réféhi ar s arois W R arès absortio arti du au matériau qui s rouvr qui vit aimtr ham révrbéré sous aot W R W ( α ) α st offiit d'absortio mo à 'itériur du aot. Pour oaîtr ivau d rssio aoustiqu du ham révrbéré ρ à 'itériur du aot (roduit ar s réfios sur s aau t s arois d a mahi), modè d Sabi st moé R R ρ A st 'air d'absortio du voum itériur qui orrsod au roduit du offiit d'absortio mo α ar a surfa tota itériur S (aau + sour) i W A A α S i L fu d uissa iidt sur s arois dû au ham révrbéré st R W i R ρ S W R A S W ( α ) S α S i 65

170 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu t a uissa trasmis orrsod à W TR W i τ. 3) Puissa tota trasmis t rt ar isrtio La uissa trasmis tota st a somm ds du otributios : a uissa trasmis du au ham dirt W TD t du au ham révrbéré W TR W W + W W τ + W T TD TR i. τ L raort W T W s'érit aors W T W τ α,3 + α S S i t a rt ar isrtio. W D og W α S og og,3 + τ α T S i Ctt formu, qui rmt d aur u ffiaité goba du aot, st souvt doé sous u form or simifié, où i st osidéré qu - a surfa itériur Si st équvat à 'air du aot S : S S i, - offiit d'absortio mo α st ssibmt ifériur à our qu α α α Cs aroimatios oduist à a ratio t >>,3. α. D R + ogα L tabau suivat omar s rts ar isrtio D t D our différts vaurs d α t osidérat qu S /, 8. S i 66

171 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu α D D D D R + 5 R 5.8 R + 3 R.6 R +. 8 R. 3. R. 8 R.. R 5. 5 R R 8. 8 R..5 R R 3 Ls résutats i-dssus rmttt d fair s ostatatios suivats : a) modè utiisé motr qu'u offiit mo α d'viro,6 st éssair our obtir ds rformas équivats à 'idi d'affaibissmt mo R ds arois qui omost aot. Au-dà, u aroissmt du offiit α d, aortra u gai d'viro db jusqu'à α ( D R + 5 db). Cdat, tt raidité d'aroissmt ds rformas au-dssus d α, orrsod as au résutats érimtau d Fishr t Vrs raortés ar Vér [Vér 99,.59] t rréstés sur a figur.3 mm 7 mm mm mm mm mmm mm Figur - Prt ar isrtio msuré sur u offrmt ostitué d aau d'air d,5 mm t d matériau absorbats d'éaissur variab. 67

172 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu b) a formu simifié sous-évau modè d'autat us sériusmt qu α s'aroh d. Comt tu ds rmarqus faits just au-dssus, i st souvt osidéré qu' orrig s ès du modè. Figur - Strutur tiqu d u offrmt : arass suort, aau av tras d visit, offrmt moté sur so av ouvrturs our assags t aératio. Modè moodimsio d Jaso L modè ourammt moé, basé sur a théori statistiqu ds sas (modè d Sabi) 'st as toujours bi adaté our traitr s robèms d réditio ds rformas aoustiqus ds offrmts. E fft, a géométri ds sours ré souvt ds hams très oms das s avités qui uvt êtr osidérés omm ds hams diffus, s dimsios ds avités sot as suffisammt imortats (dvat a oguur d'od) our adotr u modè statistiqu, a sour t aot sot oués ar a avité t 'iméda d raomt d a sour déd d a dista sour-aot t du omortmt damiqu du aot. Dvat tout s diffiutés à rér u modè at tro om, Jaso a roosé u modè uidimsio qui rst sim t qui rmtt d mttr évid rtais (mais as tous) ds méaisms mis ju [Jaso 96][Jaso 966][Br t a 988]. C modè st bi adaté au as où s aau d 'offrmt s trouvt à faib dista ds arois d a mahi. La riia différ tr modè t a réaité t qu aotag ajouté modifi as s vibratios d a sour (mais sumt so iméda d raomt). Ctt hothès st atab ar qu 'iméda itr d a mahi st gééramt grad dvat du aotag [Fah 986]. 68

173 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Figur 3. - Modè moodimsio d aotag. L modè utiisé st dérit ar a figur 3.. Etr a sour t aot, a rssio ut s rréstr omm u od quasi statioair j AI + A R j, < <. Au ivau d a sour ( ), a rssio t a vitss assoié sot A I + A R t u AI AR ρ ρ. o o La ratio d otiuité tr s vitsss aoustiqu t vibratoir rmt d'érir v u, où v st a vitss vibratoir d a sour. Das a avité, a rssio qui agit sur aot ( ) st j j AI AR, + t a vitss artiuair assoié orrsod à a vitss v du aot v u A A I j R j, ρo ρo L'iméda méaiqu du aau qui ostitu aot st rrésté ar s z j ω m + r ω A tt iméda, o doit mttr séri 'iméda d raomt qui st ii suosé éga à ρ o (vibratio d'u aau ifii rigid). Do 'iméda tota st z z + ρ, t a ratio qui dérit a damiqu du aau st t o 69

174 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu zt v. E rimat das tt équatio t oérat ds substitutios, o obtit j j zt v AI + AI ρo u j A os ρ u. I O disos égamt d'u sod équatio obtu à artir d 'équatio d otiuité ds vitsss qui rmt d'éimir A I t, rmaçat u ar v, d'obtir ρo v AI j A j j ρo u + zt v os I o j AI + ρo u si + ρ u o j j ρo u j si ρo v. v zt os + j si ρo W O traduit a rforma du aot ar a rt ar isrtio D og, av W a uissa W aoustiqu raoé ar a sour 'abs d aotag t W a uissa aoustiqu raoé ar aot. Comm s du surfas vibrats sot hargés ar 'iméda aratéristiqu ρ o du fuid, 'équatio réédt s traduit ar v D og. v A 'aid d 'rssio du raort v v j., j v, 'équatio réédt fourit s rts ar isrtio,, og ω m s ω os si + si r D + ρ o ρ o. D arès tt rssio, a rt ar isrtio st miima quad ta ρ ρ ω, ωm s ω m( ω ω ) où ω s m st a fréqu ror du aau ostituat aot das s oditios d motag. Das s basss fréqus, aors ta t 7

175 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu d où ω m ρ ω ( ω ω ) ω ω ρ + m A a raidur d a avité résoa ω ( << ) ρ vit s ajoutr a raidur méaiqu du aot. A a fréqu d D og + ρ og + ρ r r ρ + og + m Si << t ρ m <, omm st gééramt as, sod trm st égatif. Aisi, our évitr qu s rformas s dégradt (das s basss fréqus) autour d a fréqu d résoa ω, aot doit réstr u raidur imortat, u amortissmt imortat t u faib mass. L iméda méaiqu du aot st sigifiativ qu si st ssibmt us imortat qu d a avité ρ s ω m > Pour augmtr D à ω, i st ossib d augmtr a rofodur d a avité. Das s hauts fréqus, s miima d ta L IL aaraisst quad ρ ( ωm s ω) E osat ta α t utiisat s ratios ta si os si si α ( si ) si si α a rt ar isrtio ut s rimr ar ( + α ) r D α +. og og + og ρ Comm s résoas sot bi suériurs à a résoa du aot das vid ρ α ωm t ρ ρ r D og og + + og + ω m ω m ρ + α 7

176 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu qui ut êtr égatif (s fréqus d s miima sot très rohs d s our squs si ). L modè utiisé ii st basé sur u simifiatio d a sour t du aot. I fourit dat d résutats doat s grads tdas d omortmt ds sstèms us oms. Par raort au ostatatios qui ot été faits, o a u rmarqur qu s rformas sot augmtés ar ajout d matériau absorbats à itériur du aot, t dégradés si aot st as désoidarisé d a sour (motag sou). Figur Prt ar isrtio aué à 'aid du modè d Jaso. La Figur 3.5 rrést a rt ar isrtio d u aot air d mm aé à. m d u surfa vibrat m 5.6 g/m,. m, f 8 Hz, f 9. Hz 7

177 III Aoustiqu moda t statistiqu Vibratios Aoustiqu Référs bibiograhiqus D.A. Bis, C.H. Has, (996), Egirig Nois Cotro, (So). K.P. Br, H.M. Fishr, H.V. Fuhs, (988), "Sad, os-fittig, mahi-moutd aousti osurs with rditab rforma", Nois Cotro Eg. J. 3(), 7-5. F.J. Fah, (985), Soud ad Strutura Vibratio, (Aadmi Prss). R.S. Jaso, (96), "Th rforma of aousti hoods at ow frquis", Austia, R.S. Jaso, (966), "Som ast of th rforma of aousti hoods", J. Soud Vib. 3 (), R.K. Mir, W.V. Moto, (978), Hadboo of Aoustia Eosurs ad Barrirs,(Th Fairmot Prss). N. Tromtt, T. Loau, G. Lovat, (), "Eoffrmts d mahis : aid à a otio", Cahirs d ots doumtairs d 'INRS, N 8. N.P. Norto, (989), Fudamtas of ois ad vibratio aasis for girs, (Cambridg Uiv. Prss),. 9. L.W. Twd, D.R. Tr, (976), "Thr mthods for rditig th isrtio oss of os fittig aoustia osurs", Nois Cotro Eg. J., I. Vér (99), "Eosurs ad wraigs (Ch.3)", i Nois ad Vibratio Cotro Egirig, (L.L. Bra ad I. Vér, Ed.), (Wi). Norm NF EN ISO 376, "Détrmiatio ds ivau d uissa aoustiqu émis ar ds sours d bruit à artir d a rssio aoustiqu", (AFNOR, 996). Norm VDI 7, "Nois rdutio b osurs", (VDI, 978). ( amad). r Norm NF EN ISO 5667, "Ligs dirtris our a rédutio du bruit au mo d'offrmts t d abis", (Draft ISO/DIS 5667, "Guidis for ois otro b osurs ad abis"), (AFNOR, 998). 73

178 Vibratios Aoustiqu III Aoustiqu moda t statistiqu 7

179 Vibratios Aoustiqu IV Raomt aoustiqu IV - INTRODUCTION AU RAYONNEMENT ACOUSTIQUE. SOURCES VIBROACOUSTIQUES ELEMENTAIRES. RAYONNEMENT ACOUSTIQUE DES SOURCES PLANES 3. PISTON CIRCULAIRE. RAYONNEMENT MODALE DES PLAQUES 5. REPRESENTATION INTEGRALE 3D 8 75

180 IV Raomt aoustiqu Vibratios Aoustiqu 76

181 Vibratios Aoustiqu IV Raomt aoustiqu - SOURCES VIBROACOUTIQUES ELEMENTAIRES.. Ratio fodamta d a vibroaoustiqu U grad ombr d sours aoustiqus sot ostitué ar ds struturs vibrats. I st imortat d oaîtr s ratios tr ham vibratoir t ham aoustiqu raoé, qu'i s'agiss d'améiorr trasfrt our s sours désirabs (haut-arurs, istrumts d musiqu ) ou qu'i s'agiss d a réduir our s sours idésirab ("bruiturs" idustris). L'étud ds ratios tr struturs vibrats t ham aoustiqu raoé st souvt désigé ar trm vibroaoustiqu. Cs ratios dédt d a géométri ds sours t d a oguur d'od aoustiqu. L rmir rii aiqué our aratérisr raomt d'u ors vibrat st: Pour u fuid arfait o visquu omm 'air, i a otiuité tr s omosats ormas d a vitss vibratoir t d a vitss artiuair aoustiqu ˆ v u ( r ) r surfa vibrat soit jρ v rr Atttio : tt ratio s'aiqu sumt tr s omosats ormas. E gééra v u( r Das miiu fuid, 'équatio d roagatio ds ods doit êtr satisfait ) t.. Pisto a ifii jωt U isto a ifii st aimé d'u mouvmt vibratoir uiform v( t) v. Par a ratio otiuité ds vitsss vibratoir t aoustiqu (ormas), mouvmt va roduir u od a aoustiqu d rssio (, t) A j( ωt ) ω 77

182 IV Raomt aoustiqu Vibratios Aoustiqu t d vitss artiuair u A (, t) ρ j ( ωt ) ˆ v La ratio d otituité ds vitsss à a surfa du isto oduit à u (, t) v jωt Do osat das 'équatio d (, t) u A ρ v d'où 'rssio d a rssio aoustiqu raoé, o idtifi offiit A (, t) ρ v j( ωt ) La uissa aoustiqu raoé ar uité d surfa st W S I av aoustiqu das a dirtio orma st idédat d a dista S m. L'itsité d'où W I ( ) R * { u } A ρ v S I ρ S ( S m ).3. Shèr usat C'st u shèr d rao a dot haqu oit d 'vo vibr has. I st évidt qu a rssio aoustiqu raoé orrsod à a soutio d 'équatio d'od oordoés shériqus. Si a vitss vibratoir st harmoiqu jωt ( v( t) v ), 'st 'équatio d Hmhotz qui st osidéré v a ˆ r 78

183 Vibratios Aoustiqu IV Raomt aoustiqu Comm ω +, t sot us, s oduit à θ φ t a soutio st d a form ( r, θ, φ) + r r r j( ωt r ) ( r, t) A, (raomt mooo) πr La vitss artiuair s au à artir d tt ratio j( ωt r) A ur ( r, t) jρ r ρ r π (a omosat tagti st u). Quad r a, i a otiuité tr a vitss vibratoir u r ( a, t) v jωt j( ωt A u r ( a, t) ρ πr r) v j r jωt t a vitss artiuair Ctt équatio rmt d'rimr 'amitud A das 'équatio d a rssio fotio d v π aρ v A j / a où bi mutiiat umératur t déomiatur at ja ja j r Erssio d a rssio A ( r, t) ρ v π aρ v ja + ja a ( a + j) + ( a) ja j ( r a) r jω t Itsité aoustiqu: omosat uiqumt das a dirtio radia I r ( r) R A + * j r { u r } R ρ 6π r A 3ρ π r ( r) O vérifi qu I r ( r) sour moooair. ρ 79

184 IV Raomt aoustiqu Vibratios Aoustiqu Puissa aoustiqu: W SI (r) r S π a dista r. r st a surfa d a shèr d rao r. La uissa aoustiqu st ivariat av O hoisit r a t π st a surfa d a shèr usat S a W π a ( a) π a I r ( a) ρ soit W πρ a + ( a) v Rmarqu: E haut fréqus, quad a >>, W πa roortio à a vitss vibratoir quadratiqu E bass fréqus, quad a v ρ v. La uissa aoustiqu st v <<, W πa ρ ( a). La uissa aoustiqu st us roortio au fatur (a), 'st à dir qu'à vitss vibratoir ostat, va déroîtr omm arré d a fréqu. C'st our rdr omt d s modifiatios d uissa raoé qu 'o défiit "fatur d raomt". E défiissat débit d voum d a shèr usat ar Q S v πa v, a rssio aoustiqu s'érit j ( r a) ja jωt ( r, t) jωρ Q + ( a) πr si a, o rtrouv ham d rssio d'u sour moooair otu. j( ωt r) ( r, t) jωρ Q πr 8

185 Fatur d raomt Défiitio : gradur sas dimsio Puissa raoé ar uité d surfa our u strutur vibrat quoqu σ Puissa raoé ar isto a ifii d vitss vibratoir équivat ρ W S v Das as ou a vitss st as ostat sur, st a vitss quadratiqu mo qui st osidéré S v S ff S S v( r ) ds v Fatur d raomt Notatio gééra W W σ v( r ) ρ S v ρ ds S L fatur d raomt s rim aussi db Lσ ogσ Pour u vitss uiform σ ρ S W ff S v ( r ) Pisto ifii σ σ ou L db 8

186 Fatur d raomt d a shèr usat σ ρ S Basss fréqus : W v ( r ) π ρ a v a << σ ( a) ( a) σ + ( a) Hauts fréqus : a >> σ 3 Fatur d raomt d a shèr usat λ a π a L ffiaité d raomt otima st attit quad a dimsio d a shèr orrsod u u rès à a dmi-oguur d od aoustiqu π a λ 8

187 Od d fio das u aqu ifii od a aoustiqu θ ( t) v, od d fio f ω ω Od d fio av u frot d od a O suos qu u od a st raoé av u ag d iid θ 5 Od d fio das u aqu ifii od a aoustiqu od d fio θ v( ) v j f ( t) v, f ω f ω La éérité déd d a fréqu ρh D Od a aoustiqu (, ) A j( + )

188 Od d fio das u aqu ifii θ ( t) v, od a aoustiqu L od a aoustiqu (, ) A j( + ) doit vérifir équatio d od + + i faut qu + (ratio d disrsio) os θ θ siθ 7 Od d fio das u aqu ifii Od a aoustiqu (, ) A j( + ) θ ( t) v, u (, ) Vitss artiuair jρ A ρ j j Cotiuité ds vitsss A ρ j v j f f A v ρ u (,) v( ).a.d. 8 f 8

189 5 9 Prssio raoé ar u aqu ifii θ ( ) t v, Prssio aoustiqu raoé j j f j j f f f f f v v ) / ( ) / ( ), ( ρ ρ Prssio raoé ar u aqu ifii Prssio aoustiqu raoé j j f f f v ), ( ρ f ω f ω ω ω ositif f do st ré roagatif égatif f do st imagiair ur évast 85

190 Od roagativ raoé ar u aqu ifii Au-dssus d a fréqu ritiqu > f ω > ω uisqu do f f f siθ osθ θ λ Od a roagativ av u dirtio ρ v osθ j f j osθ (, ) θ λ f frot d'od a λ > λ f Od roagativ raoé ar u aqu ifii Au-dssus d a fréqu ritiqu < f ω < ω λ < λ f f f λ uisqu j do j f λ f Od a évast (, ) jρ v f j f f j j ( j ) 86 6

191 Od d fio das u aqu ifii ω f ω ω ω ( ± j z z) ( ± f z) ( ± j z z) ( ± j f z) ( ± j osθ ) Od évast Od roagativ 3 Itsité aoustiqu our u aqu ifii ω f ω ω ω Od évast Od roagativ C st itsité d u od a das a dirtio d roagatio I ρ v ρ os θ I I I os θ ρ v os θ 87 7

192 8 5 Itsité aoustiqu our u aqu ifii Od évast Od roagativ O au a vitss artiuair ω f ω ω ω j j f f f f f v j u v j j u ) / ( ρ ρ 6 Itsité aoustiqu our u aqu ifii Od évast Od roagativ La omosat orma st u : as d érgi raoé ω f ω ω ω I I { } ( ) f f f v u I * / R ρ { } R R * f f v j u I ρ 88

193 Fatur d raomt our u aqu ifii ω f ω ω Od évast ω Od roagativ W σ v ρs W S I v ρ S σ osθ osθ W S I σ as d érgi raoé dssous d a fréqu ritiqu 7 Raomt aoustiqu ds sours as Si a distributio d a vitss vibratoir st quoqu sur a surfa, o ut fair auu hothès sur a form du ham raoé. Soutio d Raigh (896) : ham raoé st réé ar u distributio d sours éémtairs otus disosés sur a S Amitud du débit roortio au vitsss vibratoirs

194 Fatur d raomt our u aqu ifii usatio ritiqu f ω ρ h f ω D f ω ω ω ω ρ h D ρ ( υ ) E h ω Au-dssus d a fréqu ritiqu osθ f f f σ f f < > 9 f Fatur d raomt our u aqu ifii ρh( ν ) ρ( ν ) f 3 π Eh π h E σ mm mm 6 Hz Hz f Eitatio 9 Hz éaissur mm éaissur mm 9

195 Fatur d raomt our u aqu ifii Fatur d raomt our u aqu V j f f V os f V os f Π ( ) f f 9

196 Fatur d raomt our u aqu ifii f f fii Φ ( ) + + mπ a mπ a 3 ifii Fatur d raomt our u aqu f f f f ω + + ω ω + + fii ω ω 9

197 Puissa raoé ar u aqu rtaguair quatr bords simmt suortés Mods d oi Mods d bord Mods d bord 5 Fatur d raomt arohé our u aqu rtaguair Formu d Maidai r σ ( λ a) g ( α ) + ( + r)( λ a) g ( α ), a λ ( + r ), ( f f ) raort dimsios oguur d od ritiqu fréqu ritiqu r a b λ f f ( π ), ρh f f f D < > f f f où s du fotios sot défiis ar g ( ) π α ( ) α f <.5 f α g ( ) α α f >.5 f π + ( α ) ( α ) 3 α + α α α f f

198 Fatur d raomt arohé our u aqu rtaguair Formu d Maidai 7 Méthod simifié d Mür t a Fatur d raomt our u aqu fii L σ λ og S,5 db/ot a b 5 db/ot 6 db/ot S f P 8S f ρh λ f P f π D ( a + b) S a b 8 9

199 Fatur d raomt our u aqu fii L σ ot h h a λ og S 6 db ot h b S f P 8S Ifu d éaissur f h h 9 Fatur d raomt our u aqu fii L σ λ og S λ og S 3 db ot S S S S a S S b S f P 8S f Ifu d a surfa S S

200 Fatur d raomt itatio méaiqus / itatio aoustiqu (d arès Maadam, 976) 3 Fatur d raomt aqus raidis

201 Raomt aoustiqu ds sours as La sour éémtair st u shèr usat j ( r jω Q ( r) + ja π r a) Débit d mass a Q ρ S v ρπ a v Smétri du raomt Quad rao st us tit qu a oguur d od ( r) jr jω Q π r 33 Raomt aoustiqu ds sours as Prssio raoé ( r) jr jω Q π r Q Q ρ v ds Cham d rssio roduit ar a sour éémtair jr d( r) jω ρv ds π r t sur a totaité d a surfa jωρ ( r) v ( r ) π R jr ds ρ v ds v ( r ) ds R r r r r ( r) 3 Σ 97 7

202 Raomt aoustiqu ds sours as Ls différs d arours tr du oits du a roduit ds itrférs ( r) Cham oitai Cham roh ( r) R r r v ( r ) ds R r r θ r Σ r r r ξ θ r Σ r v ( r ) ds r 35 Raomt aoustiqu ds sours as La rssio st arohé ham oitai R st araè à r a différ d dista st r osξ r r r R r r ( r) Cham oitai si r >> r aors r r R r r r t r R r jr jr jr r / r R r r r r v ( r ) ds ξ r θ r Σ

203 Raomt aoustiqu ds sours as Duièm itégra d Raigh ( r) jr jω ρ v ( r ) πr Σ L trm ( j r r / r) ( jr osξ ) ( jr si rrést ifu ds hass rativs d haqu oit qui sot à origi ds itrférs : s dédt d θ j r / r r ds θ r r r v ( r ) ds R r ξ r r θ ( r) Cham oitai ) r Σ DIRECTIVITE DES SOURCES ETENDUES 37 Pisto iruair Em d au utiisat itégra d Raigh v Σ ( r) ϕ φ r jr jω ρ πr v r ( ) Σ z θ j r / r r ds Cham oitai r ( r) évaur trm L oit r st réré ar ds oordoés shériqus θ,φ ( ) L éémt d surfa vibrat ds st réré ar s oordoés oairs ( r,ϕ ) r r r

204 Pisto iruair Em d au utiisat itégra d Raigh ( r) jr jω ρ v ( r ) πr Σ j r / r r ds v ϕ φ r θ Cham oitai r ( r) r ( r siθ osφ, r siθ siφ, r osθ ) ( r osϕ, r siϕ r, ) Σ z r r r r siθ (osφ osϕ + siφ siϕ) r siθ os( ϕ φ) L itégra du ham d rssio dvit jr a π jr siθ osψ ( r, θ, φ) jω ρv r dψ dr πr ψ 39 Pisto iruair Cau d itégra jr a π jr siθ osψ ( r, θ ) jω ρv r dψ dr πr a v Σ r ϕ φ z θ Par défiitio Cham oitai r ( r) t av hagmt d variab Par défiitio d où J ( ) π π jr a v J ( r si ) r j os ψ d ( r, θ, φ, t) jω ρ θ r dr µ J ( µ ) dµ µ J( µ asiθ ) µ r siθ asiθ J( asiθ) J( r siθ) r dr J( µ ) µ dµ [ µ J( µ )] a ( siθ) ( siθ) asi θ ψ

205 Prssio raoé ham oitai ar isto iruair v Σ ϕ φ r θ z r, θ ) Cham oitai r ( r) a r jr ( jρ v J ( a siθ ) a siθ J ( a siθ ) J( ) L trm a siθ rrést a dirtivité du isto ham oitai J () J() og Itsité raoé ham oitai ar isto iruair L diagramm d raomt déd aussi d.a.d. d a dimsio du isto dvat a oguur d od Quad jr ( jρ v r, θ ) a <, aors a Raomt omidirtio das s basss fréqu Itsité aoustiqu radia r J ( a siθ ) a siθ J ( a siθ ) ( a si a siθ 8 θ ) a I r ( r, θ ) ( r, θ ) ρ ρ v a r J( a si θ ) a si θ

206 Dirtivité du isto iruair I r ( r, θ ) ( r, θ ) ρ ρ v a r J( a si θ ) a si θ θ si θ + aors a a si θ + a.5 a a siθ a a 3 Dirtivité du isto iruair I r v ( r, θ ) ρ a J( a siθ ) r a siθ λ a a λ π a a