Commande Prédictive Robuste d un Système MIMO utilisant un modèle BOG et les techniques LMI

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1 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se Coade Prédctve Robste d Systèe MIMO tsat odèe BOG et es techqes LMI Jae Ghab A Do et assa Messaod Ecoe atoae d Igéers de Moastr Re Ib E Jazzar 59 Moastr se e : +( ; Fax : +( Résé Ce aer roose e éthode de coade rédctve robste or systèe MIMO odésé ar es foctos de a base Orthogoae géérasée. Cette éthode tse es techqes des égatés atrcees éares or otsato d crtère de erforace de ore fe et rédre e obre de cotrates. Ces cotrates téresset es bores sr es coades et ses créets d e art et e doae d aarteace des coeffcets d odèe BOG d atre art. Le doae d certtde araétrqe est de tye esoïda déteré ar aroche d detfcato à errer coe as borée. Mots cés Coade Prédctve Robste BOG MIMO LMI BBE Esoïde. I. IRODCIO Psers éthodes de coades rédctves robstes tsat des odèes à base de foctos orthogoaes tees qe es foctos FIR Lagerre o Katz ot été roosées das a ttératre [ 3]. Das ces éthodes o trovet cees q tset e stratége d re-cas basée sr a résoto d robèe d otsato -ax erettat de redre e cote o seeet es ertrbatos et es cotrates hysqes as ass es certtdes araétrqes des odèes. otos qe ces odèes e coveet q a a rerésetato de qeqes tyes de systèes résetat des dyaqes rarochées aortes o oscates [4 5 6]. Cex-c os ot codt à déveoer d atres éthodes de coades rédctves robstes or des systèes MISO rerésetés sr es foctos de a base orthogoae géérasée (BOG [7 8 9]. Ces foctos adettet obre qecoqes de ôes q evet être rées o coexes cogés et regroet es foctos FIR Lagerre et Katz [ ]. D atre art odèe BOG résete sers avatages. E effet est sesbe a chox de a érode d échatoage e écesste as e coassace à ror d retard d systèe fat terver e gééra obre e éevé de araètres et e s a covexté d doae d certtde de araètres est assrée ce q eret de sfer e robèe d otsato -ax. Ceedat e obre de cotrates rses e cote ors de a sythèse de a o de coade est e éevé. Por sroter ces dffctés os déveoos e éthode de coade rédctve robste or systèe MIMO décoosé sr es foctos de a BOG [ 3] et tsat es techqes des égatés atrcees éares (LMI or a résoto d robèe d otsato ayat obre éevé de cotrates [4 5]. Le doae d certtde araétrqe est de tye esoïda q et être déteré ar es aroches d detfcatos à errer coe as borée (BBE [6 7] et es ôes otax des foctos de a BOG evet être estés e tsat [8 9]. Le reste de ce aer est orgasé coe st : das e aragrahe o résete a strctre d odèe MIMO décoosé sr es foctos de a BOG. Le cac d rédcter est exré das e aragrahe 3. Le aragrahe 4 est cosacré a déveoeet de a éthode de coade rédctve robste où o déft esebe des cotrates et o résete a résoto d robèe d otsato ax ar trodcto des techqes LMI. exee de sato est réseté das e aragrahe 5. Ef a cocso et es ersectves de cette éthode sot doées das e derer aragrahe. II. SRCRE D MODELE MIMO os cosdéros systèe MIMO ossédat ( ( ( et séqeces séqeces d etrées { } de sortes { y ( y ( y ( } q sot rees svat : + ( y G q e ( où : (. q est oérater retard ( q { } G q sot des foctos de trasfert décrvat es dyaqes d systèe sosé stabe et { } e est e séqece statoare stochastqe de oyee e et de atrce de covarace sosé coe. 5

2 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se O adotat a otato vectoree svate : ( y ( e ( ( y( e( ( ( y ( e ( G ( q G ( q G( q G ( q G ( q As ( et s écrre : y( G( q ( + e( (4 La décoosto d systèe MIMO sr es foctos de a BOG et s écrre à ade de a rerésetato d état svate [ 3] : x( + Ax( + B( yˆ( Θx( x( est vecter d état de deso et d ééets { x ( } ; { ξ } défs ar : x z (3 (5 ( (6 où désge a trasforée verse e z. et ξ sot resectveet ordre de trocatre et e vecter des ôes d résea ( des ftres de a BOG. est e obre de araètres d odèe BOG d systèe MIMO déf ar : ( (7 + { ( z ξ } ; rerésete exresso géérae des foctos de a BOG défe das [] : ξ z ξ ξ z ( z (8 z ξ où èe ξ et so cogé ξ sot es ôes d ftre d résea ( des foctos de a BOG. A et B sot es atrces d évoto et de coade de deso resectveet ( et ( défes ar : A dag A B B B B (9 Θ est a atrce des araètres de deso ( défe ar : Θ dag ( Θ ( A et B sot es atrces d état d sos-systèe MISO de deso resectveet ( et ( : ( ( A dag A B dag B ( Θ est e vecter des coeffcets de Forer or sossystèe MISO de deso. θ θ θ Θ ( + ( est e obre de araètres d sos- systèe MISO. où : La atrce A et e vecter B de deso resectveet ( + ( + et ( + sot défs ar : ξa s a b A ( a b F ( a b s a > b s a < b a a+ b+ ( ( a b b b+ F a b α ξ ξ α ξ b b+ ( b B b α α ξ θ + (3 (4 (5 est e vecter des coeffcets de Forer d résea (. Et e osat : ξ ξ α α ξ III. CALCL D REDICER (6 Das e cas où errer sr e odèe BOG est coe as borée es coeffcets de Forer sot défs ar des tervaes d aarteace. S o ote ar Σ ( Σ Ω a atrce des certtdes araétrqes d odèe BOG d systèe MIMO et ar Ω e doae d certtde araétrqe. O et écrre : 53

3 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se Σ dag ( Σ Ω Ω (7 où Σ Ω Ω ( sot resectveet e vecter des certtdes des coeffcets d odèe BOG et e doae d certtde araétrqe or sos-systèe MISO. Le odèe certa d systèe MIMO s écrt sos a fore créetae svate : δ x( + Aδ x( + Bδ ( yˆ ( yˆ ( + Θ( Σ δ x( (8 où es créets d vecter de coades et d vecter d état sot défs ar : δ ( ( ( δ x( x( x( (9 Le vecter des rédctos à as des sortes d odèe BOG se dédt de a dexèe éqato d systèe (8 : yˆ ( + yˆ ( + + Θ( Σ δ x( + ; ( Par sbsttto sccessve das a reère éqato d systèe (8 o et écrre : q δ x( + A δ x( + A Bδ ( + ( q E défssat a atrce coe : K A q q or or K de deso ( ( As ar sbstttos sccessves de ( das ( e vecter des rédctos de sortes s écrt faeet sos a fore de dex artes : e arte bre et e arte forcée : yˆ ( + yˆ ( + + yˆ ( + (3 f yˆ ˆ + y( + Θ( Σ K I δ x( (4 yˆ f ( + Θ( Σ K qbδ ( + q (5 q où I est a atrce detté de deso (. Sr horzo de rédcto [ h ] + + des sortes éqato (3 s écrvat sos a fore atrcee svate : Yˆ ( Σ Yˆ ( Σ + Yˆ ( Σ (6 f où Y ˆ( Σ est e vecter des rédctos de deso ( h déf ar : ˆ Y ( yˆ ( + yˆ ( + yˆ ( + h (7 Les vecters Yˆ ( et Yˆ f ( evet être déterés or ( h e tsat resectveet (4 et (5. As o et écrre : Yˆ ( Σ ( Σ δ ( (8 f δ ( est e vecter des créets de coade de deso ( h : δ ( δ ( δ ( δ ( h + + (9 où h ( h h est horzo de rédcto des coades. ( Σ est e atrce de deso ( h ( h q rerésete es coeffcets des réoses soees d systèe : ( Σ Σ Σ ( Σ (3 h ( Σ ( Σ h ( Σ h h + Σ où est e atrce de deso ( doée ar : q ( Σ Θ( Σ K B Θ( Σ A B q IV. (3 MEODE DE LA COMMADE PREDICIVE ROBSE A. Défto des cotrates Les coades et es créets de coade ftrs satsfret es cotrates svates : [ ] ax h ( + (3 [ ] δ δ ( + δ (33 ax h où ax δ et δ ax sot des vecters de deso défs ar : [ ] [ ] (34 ax ax ax 54

4 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se [ ] [ ] δ δ δ δ δ δ (35 ax ax ax Sot δψ esebe des créets de coade ftrs : { / V} δψ δ Γδ (36 Γ est e atrce de deso (4 h ( h et V vecter de deso (4 h défs ar : Ih δ Ih δ M Γ V ϕ M + ϕ où : I est a atrce detté de deso ( h h. h (37 La atrce et e vecter ϕ de deso resectveet ( h ( h et ( h sot défs ar : ϕ( ( (38 M δ M et δ sot des vecters de deso ( h défs coe st : ax ax M (39 ax ax δ M δ δ δ δ δ (4 B. Forato LMI d Probèe d otsato Le crtère de erforace cosdéré est basé sr a ore fe doé ar : J ( ax ˆ δ Σ y ( + / Σ r ( + (4 h où r ( + ( rerésete e sga de référece déf sr horzo de rédcto [ h ] [ ] + + r( r ( r ( (4 La éthode de coade rédctve robste est basée sr e stratége d re cas q va cosste à résodre e robèe d otsato -ax svat : ax J ( δ Σ (43 δ δψ Σ Ω otos qe e vecter des rédctos Y ˆ( Σ est e focto affe de Σ et e crtère J ( δ Σ est e focto strcteet covexe de Y ˆ( Σ. Par coséqet e robèe d otsato (43 et être sfer à : ax J ( δ Σ (44 δ δψ Σ S où S est esebe des soets d doae d certtde. Σ ( L rerésete a atrce des certtdes assocée a e obre de soets. ée soet de esebe S et L est otos qe tot scaare β q satsfat a cotrate : β J ( δ Σ ( L (45 est e bore sérere de ax J ( δ Σ. Par ste e Σ S robèe d otsato -ax et être reforé de faço à chercher a s ette bore sérer β et vecter δ satsfasat es cotrates (36 et (45 ce q revet à résodre e robèe d otsato svat : β (46 β δ β G( Σ ˆ δ + Y ( Σ R β ( L (47 Γδ V (48 est vecter de deso ( h. où β [ β β ] R( est e vecter des traectores de référeces de deso ( h doé ar : R( r ( + r ( + h (49 La focto obectve et es cotrates état éares e es varabes de décso β et δ. I s agt d robèe de sato d coût éare avec ( h + varabes de décso et ( η Lh + 4 h cotrates. Ce robèe et être s sos a fore stadard svate : M X (5 X Sos a cotrate : CX D X (5 Por cea o déft e vecter X de deso ( h + : δ δ X M β M est vecter ge de deso ( (5 h + doé ar : 55

5 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se [ ] M (53 C C C L C D D D L δ D δ (54 L D arès (47 o et écrre or ( : ( Σ R Yˆ δ + Σ h C D + Σ M R Y ˆ δ (55 Σ Σ Σ h M A artr de (48 o a : I h h δ M δ Cδ h D δ + ϕ + δ M h M ϕ δ M (56 où h h désget des vecters d ééets et et de deso resectveet ( h et ( h. Les cotrates (5 evet être écrtes coe stes : F ( X F ( X η (57 où F ( η sot des atrces syétrqes défes se-ostves : F C X D X (58 Les égatés (57 costtet des cotrates tes de tyes LMI q evet s exrer e e see cotrate défe ar : ( η F( X dag F ( X F ( X (59 Sot Φ esebe déf ar : { X F C X D ; η} Φ (6 Cet esebe est covexe e X et ar coséqet a cotrate F( X est covexe. G z (.45z +.45z (.478z +.364z.5z.735z.86z.83z +.666z (63.5z +.58z ( +.875z (.434z.767z Les sgax d etrées sot des séqeces foréet dstrbées et errer sr e odèe est sosé boré te qe : 4.39 e( 5.3 Le systèe MIMO est décoosé sr es foctos de a BOG où ordre de trocatre et es ôes otax de chaqe sos-systèe sot : ot ot ot ot 4 ξ ξ Le tabea rése es cetres et es tervaes d certtdes des esoïdes : Sos-systèe Sos-systèe ABLE I. PERFORMACES DES ELLIPSOÏDES ˆΘ Θ ˆ ˆΘ Θ ˆ La fgre otre es sortes d odèe BOG et es sgax de référeces. Les sgax de coades et es sgax des créets de coade sot strés resectveet das es fgres et 3. Les cotrates sr es sgax de coade et ses créets sot : 5 ( 5.75 δ (.75 5 ( 5.75 δ (.75 As e robèe d otsato et s écrre : M X (6 X Sos a cotrate : F( X (6 Le obre de cotrates est aors rédte e e see cotrate LMI covexe défe ar (6. V. RESLAS DE SIMLAIO O cosdère systèe MIMO à etrées sortes et de atrce de trasfert doée ar : Fgre. Sortes d odèe BOG et sgax de référeces 56

6 La cqèe Coférece Iteratoae d Eectrotechqe et d Atoatqe -4 Ma 8 aaet se Fgre. Sgax de coades Fgre 3. Sgax des créets de coade D atres réstats de satos avec dfféretes bores d errer ot été réasés avec sccès ar cette éthode. Les horzos de rédcto tsés das cette sato sot : VI. h 8 h COCLSIO Das ce aer os avos réseté e éthode de coade rédctve robste or systèe MIMO décoosé sr es foctos de a BOG. Les coeffcets de a décoosto éare aarteet à doae d aarteace de tye esoïda et e vecter des coades est obte e résovat robèe d otsato -ax. Les cotrates téresset es bores sr es coades et ses créets d e art et e doae d certtde araétrqe d atre art. Les techqes LMI sot tsées or a résoto d robèe d otsato et rédre e obre de cotrates. D atres doaes d certtdes araétrqes tees qe des orthotoes des oytoes des araeotoes o des oytoes à coextés tés evet être ass tsés. Ef os sgaos q est sohatabe d étder cette éthode or e cas des systèes tvarabe o éares rerésetés sr es foctos de a BOG. RÉFERECES [] G. Overa G. Faver G. Dot ad W. Aara Robst Predctve Cotroer Based o Lagerre Fters Modeg I Proc. 3 th IFAC Word Cogress Sa Fracsco SA Vo. G [] A. Mbare. Messaod ad G. Faver Robst redctve cotro sg Katz ode I Proc. th IEEE Iteratoa Cof. Eectrocs Crcts ad Systes Deceber 3. [3] L.P. Wag Dscrete te ode redctve cotro desg sg Lagerre fctos Jora of Process Cotro Vo [4] B. Wahberg Syste detfcato sg Lagerre odes IEEE ras. o Atoatc Cotro Vo. 36 o [5] B. Wahberg Syste detfcato sg Katz odes IEEE ras. o Atoatc Cotro Vo. 39 o [6] B. Wahberg ad P. Mää O aroxato of stabe ear dyaca systes sg Lagerre ad Katz fctos Atoatca Vo. 3 o [7] A. Do J. Ghab ad. Messaod Robst Predctve Cotro sg a GOBF Mode for MISO systes Iteratoa Jora of Coters Cocatos ad Cotro Vo. II o Deceber 7. [8] A. Do J. Ghab ad. Messaod Robst Predctve Cotro Based o GOBF Modeg ad LMI echqes Iteratoa Coferece o Scece ad echqes of Atoatc Cotro (SA'7 se ACS-67 ovebre 7. [9] A. Do J. Ghab ad. Messaod Robst Predctve Cotro for a MISO Syste sg GOBF I Proc. 4 th IEEE Iteratoa Cof. Eectrocs Crcts ad Systes Deceber 7. [] B. ess ad F. Gstafsso A fyg costrcto of orthoora bases for syste detfcato IEEE ras. o Atoatc Cotro Vo. 4 o [] P. S. C. eberger P. M. J. Va de of ad O.. Bosgra A geerazed orthoora bass for ear dyaca systes IEEE ras. o Atoatc Cotro Vo. 4 o [] J. Ghab A. Do ad. Messaod A ew Modeg Aroach of MIMO ear Systes sg the geerazed Orthoora bass fctos I Proc. of the 6 th ISPRA 7 Greece Febrary 7. [3] J. Ghab A. Do ad. Messaod ew Methods of Modeg ad Paraeter Estato for MIMO ear Systes sg Geerazed Orthoora Bass Fctos Jora o Systes ad Cotro Vo. o [4] S. Boyd L. E Gaho E. Fero V. Baarsha Lear Matrx Ieqates Syste ad Cotro heory SIAM Stdes Aed Matheatcs Phadehe 994. [5] P. Aara.D. a Paraeterzed LMIs cotro theory SIAM Jora o Cotro ad Otzato Vo. 38 o [6] G. Faver ad L. Arrda Revew ad Coarso of Esoda Bodg Agorths I M. et a. edtor Bodg Aroaches to syste detfcato Pe Press ew Yor 996 cha [7]. Messaod ad G. Faver Recrsve deterato of araeter certaty tervas for ear odes wth ow bt boded errors I Proc. th IFAC Syos o Syste Idetfcato Coehage Dear 994. [8] J. Ghab A. Do ad. Messaod A ew Estato Method of the Poes for the geerazed Orthoora bases fters I Proc. of the 6 th ISPRA Greece Febrary 7. [9] J. Ghab A. Do ad. Messaod A ew echqe of Poes Estato for Geerazed Orthoora Bass Fctos Jora o Systes ad Cotro Vo. o

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