Faits peu fascinants de la physique thermique

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1 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age Faits peu fascinants de la physique thermique Ceci est une collection de formules, de valeurs de constantes, de facteurs de conversion, etc. pertinants au cours perpetuellement en développement/construction/évolution/correction. Utilisez à vos propres risques il y a une forte possibilité d erreurs! Si vous en rencontrez, veuillez m en aviser svp! Constantes physiques Grandeur aleur k B = Cste. de Boltzmann erg/k J/K e/k R = Cste. des Gaz arfaits erg/(mole-k) 8.3 J/(mole-K) N A = Nombre d Avogadro 6. 3 (particules/mole) = Cste. de lanck.5 7 erg-s.5 34 J-s e-s M e = masse de l électron 9. 3 kg M p = masse du proton.67 7 kg Constante gravitationnelle de Newton G = 6.67 N m /kg Facteurs de conversion Grandeur Conversions Énergie e =.6 erg =.6 9 J atm = ression Atmosphérique atm =. 5 a =. 5 N/m olume litre = cm 3 = 3 m

2 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age 3 Formules de la thermodynamique 3. Système d un nombre fixe de particules remier principe U = Q + W ou du = dq + dw Identité thermodynamique ravail réversible (système ) Coeff. de dilatation Coeff. de compressibilité isotherme Capacité calorifique, chaleur spécifique Entropie héorème de Clausius Efficacité, moteur thermique réversible du = ds d dw = d β = ( ) κ = ( ) C = dq d ; c = C ( ) m C = C = + = {( ) } C C = + ds = dqr S(B) S(A) dq B A dq ɛ C = W Q c = Q f Q c = f Q f c ( ) H β = β κ Coeff. de perf., réfrigérateur réversible C C = = Q c Q f c f Enthalpie H = U + ; dh = ds + d Énergie libre de Helmholtz F = U S; df = Sd d Énergie libre de Gibbs G = H S = U + S; c dg = Sd + d

3 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age 3 Dérivées partielles des énergies Relations de Maxwell Équations ds = = S S H H = = S S ( ) ( ) F F = S = ( ) ( ) G G = S = S =, = S S S =, = S S ( ) ds = C d + d ( ) ds = C d d ds = C d + C d 3. Généralisation : système ouvert (de nombre variable de particules) Énergies du = ds d + i µ i dn i dh = ds + d + i µ i dn i df = Sd d + i µ i dn i dg = Sd + d + i H otentiel chimique µ i = N i N i S,,N = µ i dn i S,,N = ( ) F N i,,n = ( ) G N i,,n

4 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age ransitions de phase Courbe de co-existence rans. gaz parfait/(liq. ou sol.) Gaz van der Waals d d = S = d d = L R ( + a N L ) ( Nb) = Nk B oint critique, gaz vdw C = a 7b C = 3Nb C = 8a 7k B b 3.. Réactions chimiques Condition d équilibre Loi d action de masse ν i µ i = ν i µ i r p p ( i/ ) ν i r ( = K = e G /R i/ ) ν i 3.3 Gaz parfait (résultats thermodynamiques) Équation d état = nr = Nk B rocessus adiabatique γ = cste, γ = cste où γ = C /C Capacités calorifiques Entropie otentiel chimique C = 3 nr (gaz monatomique) C = 5 nr (gaz diatomique, temp. pièce) C = C + nr S = S + C log + nr log = S + C log nr log µ(, ) = k B (cste 5 ) log + log = µ(, ) + k B log

5 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age 5 4 Formules de la mécanique statistique 4. Approches microcanonique et canonique Entropie Facteur de Boltzmann Fonction de partition S = k B log Ω = k B s log s e βes = e Es/k B Z = e βes = e βf s s Dist. Maxwellienne des vitesses D(v) = ( ) 3/ M 4πv e Mv /k B πk B Gaz parfait, limite classique : Z N = N! ( Z int/v Q ) N v Q = (π /Mk B ) 3/ F = Nk B ( + log(v/v Q )) Nk B log Z int S = Nk B (log(v/v Q ) + 5/) F int / µ = k B log(v/v Q ) k B log Z int 4. Approche grand canonique Facteur de Gibbs Grande fonction de partition e β(es µns) Z = s e β(es µns) Fermi-Dirac Z FD = + e β(ɛ µ) n FD (ɛ) = e β(ɛ µ) + Bose-Einstein Z BE = e β(ɛ µ) n BE (ɛ) = e β(ɛ µ) Maxwell-Boltzmann Z MB = + e β(ɛ µ) (e β(ɛ µ) ) n MB (ɛ) = e β(ɛ µ)

6 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age Gaz de Fermi (3D, spin /) Énergie de Fermi Densité d états ɛ F = m (3π n) /3 (n = N/ ) g(ɛ) = ( ) 3/ m ɛ / = 3N π ɛ 3/ ɛ/ F Énergie interne ( = ) ression de Fermi Capacité calorifique (k B ɛ F ) U = 3 5 Nɛ F = Nɛ F 5 C = π Nk B = U 3 k B otentiel chimique (k B ɛ F ) µ = ɛ F { π ɛ F ( )} kb ɛ F 4.. Gaz de photons Distribution de lanck n = e βɛ Densité d états g(ɛ) = π 3 c 3 ɛ Densité spectrale u((ɛ) = π 3 c 3 ɛ 3 Densité d énergie u = π 5 (k B ) 4 3 c 3 e βɛ 4..3 Solide de Debye Densité d états ulsation de Debye g(ω) = 3 ω π c s 3 ( 6π N ω D = c s Énergie interne U = 9Nk B 4 D 3 ) /3 D / x3 dx e x

7 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age Condensation Bose-Einstein otentiel chimique, si N µ k B /N empérature de condensation (gaz de bosons 3d) C = π mk B ( N.6 ) /3 À < C N = N( (/ C ) 3/ ) N ex = N(/ C ) 3/

8 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age 8 5 Quelques résultats mathématiques Dérivées partielles Approx. de Stirling ( ) x = y z Fonction Gamma Γ(a) = Fonction Zeta Surface d une d-sphere Somme géométrique ( y/ x) z, ( ) x y z ( ) y z x ( ) z = x y log N! log π + (N + ) log N N N log N N dx x a e x Γ(n + ) = n!, Γ(a + ) = aγ(a), Γ(/) = π ζ() = π 6 π d/ ζ(3) =. Γ(d/) rd x n = x, nx n = n= n= ζ(4) = π4 9 x ( x) Identités rig./hyperb. sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x + cos x = sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x d sinh x d cosh x = cosh x, = sinh x dx dx sinh x = sinh x cosh x, cosh x = cosh x cosh x sinh x =

9 5 janvier Faits peu fascinants de la physique thermique age 9 Intégrale aleurs particulières I n = I n = I n = I n = du du u n e u = n! I = I = I = du u n e u = Γ ( n + un ) du = Γ(n + )ζ(n + ) e u I un e u + = I = = π 6 ( n ) Γ(n + )ζ(n + ) I = π π I = I =.44 I =.9 I = π 4 I 3 = π4 5 I 3 = 7π4