Chapitre 4 : Equations - Inéquations

Transcription

1 Chapitre 4 : Equations - Inéquations I Résolution graphique d équations : I. 1. Résolution graphique d équations de la forme f ( x) = k : Propriétés : Soient ( ;, ) OIJ un repère orthogonal, f une fonction définie sur D f et représentée par la courbe C f et k une constante réelle. Les solutions de l équation f ( x) dont l ordonnée est k. = k sont les abscisses des points de C f Exemple : On considère la fonction f représentée ci - dessous dans un repère orthonormé. Résoudre graphiquement l équation f ( x ) = Justifier. - n 1 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau ) - n feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau ) 1

2 I.. Résolution graphique d équations de la forme f ( x) = g( x) : Propriété : Les solutions de l équation f ( x) g( x) d intersection des courbes C f et C g. = sont les abscisses des points Exemple : Sachant que f est la fonction affine représentée ci dessous et g l autre fonction, f x = g x. Justifier. résoudre graphiquement l équation ( ) ( ) - n 3 feuille 4 : applications

3 II Résolution graphique d inéquations : II. 1. Résolution graphique d équations de la forme f ( x) = k et d inéquations de la forme f ( x) < k : Propriétés : Soient ( ;, ) OIJ un repère orthogonal, f une fonction définie sur D f et représentée par la courbe C f et k une constante réelle. Les solutions de l inéquation f ( x) dont l ordonnée est strictement inférieure à k. < k sont les abscisses des points de C f Exemple : On considère la fonction f représentée ci - dessous dans un repère orthonormé. Résoudre graphiquement l inéquation : f ( x ) < 3 - n 4 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau ) - n 5 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau ) 3

4 II.. Résolution d inéquations de la forme f ( x) < g( x) : Propriété : Les solutions de l inéquation f ( x) g( x) < sont les abscisses des points de la courbe C f situés entièrement en dessous de la courbe C g. Exemple : Sachant que f est la fonction affine représentée ci dessous et g l autre fonction, f x > g x. Justifier. résoudre graphiquement l inéquation ( ) ( ) - n 6 feuille 4 : applications 4

5 II. 3. Signe d une fonction : Exemple : On considère la fonction f représentée ci - dessous : Dresser le tableau de signes de la fonction f. x Signe de f ( x ) n 7 feuille 4 : courbe tableau de signes de f - n 8 feuille 4 : courbe tableau de signes de f - n 9 feuille 4 : copie écran calculatrice tableau de signes de f II. 4. Positions relatives de deux courbes : Méthode : Pour décrire les positions relatives de deux courbes ( ) = g( x) et les inéquations f ( x) g( x) ( ) < g( x). f x f x > et On présente le résultat sous la forme d un tableau. C f et C il faut résoudre l équation g Exemple : Construire le tableau des positions relatives des courbes C et C. f g 5

6 - n 10 feuille 4 : applications III Transformer une expression algébrique : III. 1. Développer une expression algébrique : Définition : Développer, c est transformer un produit en somme. Propriétés : 1) Quelque soient les réels a, b et c : ab ( + c) = ab+ ac. ) a) Quelque soient les réels a, b, c et d : ( a+ b)( c+ d) = ac+ ad + bc+ bd. b) Identités remarquables : n 1 n n 3 ( a+ b) = a + ab+ b ( a b) = a ab+ b ( a b)( a+ b) = a b Exemples : Développer ( et réduire si nécessaire ) les expressions algébriques suivantes : ( ) ( )( ) ( ) A= B( x) = + x 9x 1 C = Dx x Ex x x ( ) = ( 3) ( ) = (3 5)(3 + 5) III.. Factoriser une expression algébrique : Définition : Factoriser, c est transformer une somme en produit. Propriétés : 1) Quelque soient les réels a, b et c : ab + ac = a( b + c). ) Factorisations remarquables : a + ab+ b = ( a+ b) a ab+ b = ( a b) a b = a b a+ b ( )( ) Exemples : Factoriser les expressions algébriques suivantes : Ax x x x x Bx x x ( ) = ( + )( 1) + ( + )( + 3) ( ) = Cx x x Dx x ( ) = ( ) = 4 6

7 III. 3. Démontrer une égalité : Question : Démontrer que, pour tout nombre x, on a : ( x 4) + ( x 4) = ( x 4)( x 3) 1 ère méthode : On part d un des deux membres de l égalité et on transforme son écriture pour obtenir l autre membre de l égalité. Exemple : Pour tout x : ( x 4) + ( x 4) = ( x 4) ( x 4) + ( x 4) 1 [ x ] = ( x 4) ( 4) + 1 = ( x 4)( x 3) nde méthode : Séparément, on transforme l écriture de chacun des deux membres pour démontrer qu ils sont tous les deux égaux à un même expression. Exemple : Pour tout x : ( x 4) + ( x 4) = x 8x+ 16+ x 4 = x 7x+ 1 ( x 4)( x 3) = x 3x 4x+ 1 = x 7x+ 1 Donc ( x 4) + ( x 4) = ( x 4)( x 3) 3 ième méthode : On transforme l écriture de la différence entre les deux membres de l égalité pour obtenir 0. Exemple : Pour tout x : ( x 4) + ( x 4) ( x 4)( x 3) = ( x 4) ( x 4) + ( x 4) 1 ( x 4)( x 3) Donc [ ] = ( x 4) ( x 4) + 1 ( x 3) = ( x 4)( x x+ 3) = ( x 4) 0 = 0 ( x 4) + ( x 4) = ( x 4)( x 3) 7

8 IV Premier degré : IV. 1. Résolution d équations du 1 er degré : Un peu de culture Le mot "Algèbre" vient de l arabe "al djabr" qui signifie "la restauration" au sens de "la réunion de ce qui a été cassé". Ce mot était utilisé pour qualifier la science du rebouteux qui sait remettre en place les os brisés. Il est passé dans la langue espagnole où "algebrista" désigne encore le rebouteux. Il est apparu, la première fois, dans un livre intitulé "Ilm al djabr w al muqàbalah", écrit en 830 par un astronome arabe. Il s agit alors de résoudre une équation à l aide d un "rééquilibrage" entre les deux membres, comme pour une balance. Définition : On appelle équation du 1 er degré toute équation pouvant s écrire sous la forme ax + b = 0 avec a 0. Elle admet pour unique solution : b x = a Remarque : Pour résoudre certaines équations du 1 er degré, on doit les développer. 8 x+ 3 x 1 = 5 3x. Exemple : Résoudre dans R l équation ( ) ( ) - n 11 feuille 4 : problème - n 1 feuille 4 : problème IV.. Résolution d inéquations du 1 er degré : Méthode : La méthode est pratiquement la même que pour les équations mais au moment de diviser ou multiplier chacun des membres par un même nombre, il faut faire attention au signe de ce nombre. S il est négatif, le sens de l inégalité est inversé! Exemple : Résoudre dans R l inéquation x 5 3x n 13 feuille 4 : applications - n 14 feuille 4 : systèmes 8

9 V Degrés strictement supérieur à 1 : V. 1. Equation produit nul : Définition : On appelle équation produit nul toute équation pouvant s écrire sous la forme Ax ( ) Bx ( ) = 0. Elle est équivalente à ( c est à dire qu elle a les mêmes solutions que ) : Ax ( ) = 0 ou Bx ( ) = 0 Exemple : Résoudre l équation : ( x+ 4)( x 1) = 0 - n 15 feuille 4 : applications V.. Equation se ramenant à une équation produit nul : Méthode pour résoudre une équation sans inconnue au dénominateur : 1) On soustrait les deux membres de l équation pour avoir 0 dans le membre de droite. ) On factorise le membre de gauche pour obtenir une équation produit nul. 3) On résout cette équation produit nul. Exemple : Résoudre dans l équation : ( x 3) = 16 - n 16 feuille 4 : un petit mélange. - n 17 feuille 4 : utilisation de la forme la plus adaptée pour résoudre une équation. - n 18 feuille 4 : problème ( avec double et cube ). - n 19 feuille 4 : problème ( avec aire carré ). VI Résolution d équations - quotient : VI. 1. Equation quotient - nul : Définition : Ax ( ) On appelle équation quotient nul toute équation pouvant s écrire sous la forme 0 Bx ( ) =. Elle est équivalente à ( c est à dire qu elle a les mêmes solutions que ) : Ax ( ) = 0 et Bx ( ) 0 9

10 Exemple : Résoudre dans l équation : x + 6 = 0 3x 1 - n 0 feuille 4 : applications V.. Equation se ramenant à une équation quotient - nul : Méthode pour résoudre une équation avec inconnue au dénominateur : 1) On cherche les valeurs interdites. ) On soustrait les deux membres de l équation pour avoir 0 dans le membre de droite. 3) On réduit au même dénominateur le membre de gauche pour obtenir une équation quotient nul. 4) On résout cette équation quotient nul ( en tenant compte des valeurs interdites ). Exemple : Résoudre dans l équation : x = x+ 5 x 1 - n 1 feuille 4 : applications. - n feuille 4 : problème ( avec fonction carré et inverse ). - n 3 feuille 4 : abscisses des points d intersection de la fonction inverse et de la fonction identité ( conjecture à la calculatrice puis résolution algébrique ) 10