Série statistique double à l aide d un exemple

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1 Série statistique double à l aide d un exemple Série statistique double: exemple... 2 Série statistique double: questions posées... 3 Calcul de la covariance sur la base de l'exemple... 4 Calcul du coefficient de corrélation sur la base de l'exemple... 5 La droite des moindres carrés de y en x pour l'exemple... La prévision... 7 Cliquer sur le chapitre désiré Cliquer sur pour revenir ici

2 2 Série statistique double: exemple i x i y i Ce tableau donne pour une société le chiffre des ventes en milliers et le budget de publicité correspondant pour les dernières années notées i de à. Pour l'année i le budget de publicité est x i,le chiffre des ventes est y i. Exercice Calculer le chiffre des ventes et le budget de publicité moyen pour les dernières années. xi yi x =, y = Calculer la variance est l'écart pour les chiffres des ventes et les budgets de publicité pour les dernières années. Dans un repère orthogonal adapté placer les points M (xi, yi) avec i =,2,3,4,5, et le point x = 30 y = 5 M (x, y) appelé" point moyen". Vocabulaire L'ensemble des points obtenus s'appelle nuage statistique (associé à la statistique double considérée).

3 3 On reprend l'exemple précédent: Série statistique double: questions posées i x i y i Ce tableau donne pour une société le chiffre des ventes en milliers et le budget de publicité en milliers d'euros correspondant pour les dernières années notées i de à. Pour l'année i le budget de publicité est x i,le chiffre des ventes est y i. Question Y a t il une corrélation entre le chiffre des ventes et le budget de publicité, comment mesurer cette corrélation? Pour répondre à cette question il faut calculer la covariance et le coefficient de corrélation (voir plus loin). Question 2 Peut-on donner une évaluation du montant des ventes pour un budget de publicité par exemple de euros? Pour répondre à cette question il faut effectuer un ajustement, par exemple trouver l'équation d'une droite d'ajustement, par exemple: la droite des moindres carrés (voir plus loin) Question 3 L'évaluation effectuée dans la question 2 est-elle valable? Si le coefficient de corrélation est proche de ou de l'évaluation effectuée dans la question précédente est valable, sinon elle ne l'est pas (voir plus loin).

4 4 Calcul de la covariance sur la base de l'exemple Le tableau suivant est une xi série statistique double: yi Cette série double est la suite des couples ( x ) pour i =,2,3,4,5,. i, yi { ( x = 2; y = 4.5),( x2 = 27, y2 = 4.8),( x3 = 29, y3 = 4.95) ( = 3, = 5.),( = 32, = 5.25 ),( = 35, = 5.4) }. x4 y4 x5 y5 x y, Définition de la covariance i = (xi = x) (yi y) La covariance se calcule plus simplement ainsi xi yi cov( x, y) = x y Exercice Calculer de deux manières la covariance de la série statistique double de l exemple. cov( x, y) = 0.875

5 5 Calcul du coefficient de corrélation sur la base de l'exemple x i y i ) On calcule la variance de la série statistique x donnée par : x i (xi x) xi V(x) = = (x) 2 2) On calcule la variance de la série statistique y donnée par : y i (yi y) yi V(y) = = 3) Le coefficient de corrélation entre x et y est : r(x, y) = V(x) V(y) Remarque r(x, y) = σx σy Ecart type de la série statistique x σ x = V(x) Ecart type de la série statistique y σ y = V(y) Information très importante Pour une série statistique double on a toujours : < r(x, y) = < + σx σy (y) 2 Exercice Calculer le coefficient de corrélation de la série double de l exemple. r (x, y) = 0.98

6 La droite des moindres carrés de y en x pour l'exemple La droite des moindres carrés de y en x admet dans le repère dans lequel le nuage statistique a été représenté l équation : y y = a(x x). Le coefficient directeur de cette droite ce calcule ainsi : a =. V(x) Remarques ) La droite des moindres carré de y en x passe par le point moyen M (x, y) 2) La droite des moindres carré de y en x admet pour équation y = ax + b avec: b = y ax 3) Le coefficient directeur de la droite des moindres carrés de y en x est relié au coefficient de corrélation par : a = a = r(x, y) r(x, y) V(y) V(x) σy σx Exercice Donner une équation de la droite des moindres carrés de l exemple. a = y 5 = 0.093(x 30) y = 0.093x + 2.2

7 7 La prévision On connaît les chiffres des ventes qui correspondent à budgets de publicité, sur la base de ces informations on prévoit le chiffre des ventes pour un budget de publicité hypothétique p en remplaçant x par p dans l équation de la droite des moindres carrés de y en x et en calculant la valeur de y correspondante. x i y i Les calculs effectués ont donné les résultats suivants x = 30 y = 5 v(x) = V(y) = r(x, y) a = = = 0.98 y 5 = 0.093(x 30) y = 0.093x Une prévision du chiffre des ventes pour un budget de publicité de 37 milliers d euros est : y = y = 5.5 Le chiffre des ventes prévu pour un budget de publicité de 37 milliers d euros est : 5.5 milliers d unités. Cette prévision est valable car le coefficient de corrélation est proche de : r(x, y)= 0.98.