Examen blanc pour le cours MATH-G-101, avril 2013

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1 Examen blanc pour le cours MATH-G-101, avril 2013 Question: Total Points: Score: Nom: Prénom(s): Section: Matricule: Instructions Vous avez 2 heures 30 minutes pour faire cet examen! Écrivez soigneusement. Une réponse difficilement lisible sera considérée fausse. Marquez toutes les informations que vous jugez utiles mais soyez brefs. Nous tiendrons compte de votre raisonnement mais toute digression exagérément longue sera sanctionnée. Vous devez tout écrire à l encre, PAS au crayon et PAS en rouge. Ne pas détacher de feuilles(même les feuilles de brouillon)! Vous trouverez 2 feuilles de brouillon après les 8 questions. Cet examen se fait sans documents, sans calculatrice et de façon individuelle. Répondre aux questions dans le cadre prévu à cet effet. Si vous n avez pas suffisamment de place, répondez au verso de la feuille et précisez suite au verso 1

2 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 Question 1 [ /16] Question théorique

3 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 Question 2 [ /12] Considérer la fonction f : [ 2,4] R dessinée ci-dessous. 1.0 f x x (a) [ /3] Dessiner g(x) = f(x/2)+1, être le plus précis possible.

4 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (b) [ /3] Dessiner h(x) = f(x), être le plus précis possible. (c) [ /3] Dessiner k(x) = 2, être le plus précis possible. f(x)

5 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (d) [ /3] Dessiner F(x) = x 0 f(t)dt, être le plus précis possible.

6 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 Question 3 [ /19] Considérer la fonction f(x) = e x e x e x (a) [ /1] Déterminer le domaine de f (b) [ /3] Calculer f (c) [ /3] En déduire sur quels intervalles la fonction f est croissante/décroissante, ainsi que les coordonnées des éventuels extremums de f et leur nature (min ou max).

7 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (d) [ /3] Calculer f (e) [ /3] En déduire les coordonnées des points d inflexion éventuels (à 2 décimales), ainsi que les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave.

8 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (f) [ /3] Déterminer s il y a des asymptotes verticales, obliques ou horizontales. Donner leur équation si elles existent. (g) [ /3] Dessiner la fonction le plus précisément possible. Aide: f( 2) = 0,02, f( 1) = 0,16, f( 1 4 ) = 1,54, f(1 4 ) = 2,54, f(1) = 1,16, f(2) = 1,02.

9 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 Question 4 [ /9] Considérer l équation y = (y ) 2 +1 (1) (a) [ /1] Prendre z = y et déterminer l équation du premier ordre en z. (b) [ /2] Y a-t-il des points d équilibre pour cette équation en z? Si oui, les donner et déterminer si ce sont des points stables ou instables (c) [ /3] Résoudre l équation du premier ordre en z

10 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (d) [ /3] Utiliser la solution obtenue ci-dessus et le fait que z = y pour déterminer la solution générale y de l équation y = (y ) 2 +1 Question 5 [ /9] Je veux imprimer un poster. La surface du papier du poster est de 3200cm 2. A l impression il faut laisser des marges (où l on ne peut rien imprimer) de 5cm en haut, 3cm en bas, 2cm à gauche et 2cm à droite du poster. Quelle doivent être la longueur et la largeur de mon poster afin d obtenir la plus grande surface imprimable possible (nombres à 2 décimales)?

11 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 Question 6 [ /9] Considérer la fonction (a) [ /3] Calculer f x f : R 2 R 2 : (x,y) e x3 3 +x y2 et f y. (b) [ /3] Calculer 2 f x 2, 2 f x y 2 f y 2.

12 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (c) [ /3] Déterminer les min, max et points de selle éventuels pour cette fonction. Question 7 [ /16] Considérer la matrice A = ( ) (a) [ /5] Déterminer les valeurs propres λ 1 et λ 2 (λ 1 < λ 2 ) de A.

13 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (b) [ /3] Déterminer tous les vecteurs v R 2 tels que A v = λ 1 v. Notons V 1 l espace de toutes les solutions de cette équation. (c) [ /3] Déterminer tous les vecteurs v R 2 tels que A v = λ 2 v. Notons V 2 l espace de toutes les solutions de cette équation.

14 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 ( ) ( ) v (d) [ /5] Choisir v 1 1 = 1 v v2 1 V 1 et v 2 2 = 1 v2 2 V 2. Construisons les matrices ( ) ( λ1 0 v 1 Λ = et P = 1 v 2 ) 1 0 λ 2 v2 1 v2 2 Montrer que P est inversible et que A = PΛP 1 Question 8 [ /10] Une personne vole un billet dee100. Il y a 100 personnes qui ont physiquement eu la possibilité de voler ce billet. De ces 100 personnes, 6 personnes satisfont à la description faite par la victime. On suppose que la description de la victime est correcte. Si on prend une de ces 100 personnes au hasard: (a) [ /2] quelle est la probabilité qu elle soit innocente? (nombre, précision de 2 décimales)

15 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17 (b) [ /2] quelle est la probabilité qu elle corresponde à la description de la victime et qu elle soit innocente? (nombre, précision de 2 décimales) (c) [ /3] Sachant qu elle est innocente, quelle est la probabilité qu elle corresponde à la description de la victime? (fraction la plus simple possible, les numérateurs et dénominateurs doivent être des nombres entiers) (d) [ /3] Sachant qu elle correspond à la description de la victime, quelle est la probabilité qu elle soit innocente? (fraction la plus simple possible, les numérateurs et dénominateurs doivent être des nombres entiers)

16 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17

17 MATH-G-101 Examen blanc, Avril /17