Département Licence Sciences et Technologies Année Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences

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1 Université Joseph Fourier, Parcours BIO, CHB, SVT Département Licence Sciences et Technologies Année Exercices MATa: analyse mathématique pour les sciences

2 Chapitre A Fondements Exercice On se donne des nombres réels x, y, des parties A, B de R et des fonctions f, g définies sur R, à valeurs réelles, et supposées dérivables. Pour chaque objet mathématique ci-dessous, dire quand il est bien défini et donner son type.. x + y 6. sin(x). x 6. x = f 2. f(x) + x 7. sin 2. x + y 7. f x 3. f(x) 8. f + g 3. A B 8. f(x) x 4. f (x) 9. f + 4. A + B 9. f g 5. f. f + x 5. x y 2. A B Exercice 2 Pour chacune des expressions suivantes, on demande de :. vérifier si elle est correctement écrite 2. si oui, dire s il s agit d un terme ou d une assertion 3. s il s agit d une assertion ouverte, préciser le type implicite des variables ouvertes 4. s il s agit d une assertion fermée, dire si elle est vraie ou fausse. (a) (2 + 3 sin = (b) + R = 2 (c) f(x 2 ) = f (d) A B = (e) x N, x 2 = 4 (f) A (g) x R, ( x) 2 = 2x+x 2 (h) (i) x x < (2 > 3) (j) + ( x + (y x + 3 ) (k) x R, x 2 = x (l) x R, x 2 = x (m) n N, m N tq n = 2m (n) n N, n p (o) + (2 + (3 + (4 + (5 + 2)))) (p) (q) lim sin(x) = x + lim x + e x+y x y e x y x+y =.

3 Exercice 3. Déterminer toutes les implications vraies pour tout x R entre les assertions suivantes. (A) : x 2 (B) : < x 2 (C) : x ], 2] (D) : x ], 2[ 2. Déterminer toutes les implications vraies pour tout x R entre les assertions suivantes. (A) : < x < 2 (B) : x (C) : x (D) : < x < 2 Exercice 4 Ecrire les assertions suivantes et leurs négations avec des quantificateurs et les opérations logiques. On pourra utiliser la notation p q signifiant «p divise q». Dans chaque cas, dire si l assertion est vraie ou fausse et le justifier.. Tout entier naturel, divisible par 6, est divisible par Tout entier naturel, divisible par 2 et par 3, est divisible par Tout entier naturel, divisible par 2 et par 4, est divisible par 28. Exercice 5 Soient f, f 2 et f 3 des fonctions de R dans R. Pour chacune des propriétés suivantes, écrire sa négation et illustrer graphiquement la propriété et sa négation.. i {, 2, 3}, a R tq f i (a) = 2. i {, 2, 3} tq a R, f i (a) = 3. a R tq i {, 2, 3}, f i (a) = 4. a R, i {, 2, 3}, f i (a) = Exercice 6 Placer les symboles,, qui conviennent entre les propositions, dire si (b) est une condition nécessaire et/ou suffisante de (a) puis écrire les contraposées des implications (on pourra préciser la nature implicite des différentes variables en jeu).. (a) : x (b) : x < 2. (a) : x x < α (b) : x < x + α 3. (a) : x R, x vérifie P (b) : x R, x vérifie P 4. (a) : A B = A (b) : A B 5. (a) : A B = A (b) : B A 6. (a) : x 2 x (b) : x 7. (a) : n est impair (b) : n 2 est impair. 2

4 Exercice 7 Écrire la négation des phrases suivantes :. n N tq n 2 < n + 2. a A, b B tq a < b 2 3. a A tq b B, a < b 2 et a b a A, b B tq a < b 2 et a b a A, b B tq a < b 2 ou a b 3 + Exercice 8 Démontrer les propositions suivantes.. Soient a et x des nombres réels. Supposons que a est non nul et que l on ait x a < a. Montrer qu alors x est non nul et que x est de même signe que a. 2. Pour tous x R et y R, xy 2 (x2 + y 2 ). 3. Pour tout réel x >, + x + x 2 x. 4. Si A, B et C sont des ensembles, alors A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). Exercice 9 Montrer, par récurrence :. q R tq q, + q + q 2 + q q n = qn+ q 2. n N, n 2 n(n + )(2n + ) = 6 3. n N, n 3 = n2 (n + ) 2 4. n N, ( 2) + (2 3) + + n(n + ) = 5. n N, 9 divise n 6. x R, n N, sin(nx) n sin x 4 n(n + )(n + 2) 3 Exercice Soient x, y deux nombres réels déterminer le meilleur encadrement possible pour chaque expression ci-dessous, en fonction des encadrements donnés sur x et y.. x 2 avec x 2 2. x 2 avec x x 2 avec x 2 x 2 avec < x < 2 5. x + y avec x 2 2 y 3 6. xy avec x, y [ 2, 2] 7. xy avec x [, ] y [, ] 3

5 8. x y avec x y x y x y x + y avec avec avec x [, ] y [, ] x [, 2] y [2, 3] x [, 2] y [ 3, 2] x [ 2, 3] y [2, 3] avec x [, 2] y [2, 3] y x x y x + y x + y x y avec avec avec 6. (x y) 2 avec x ], 2[ y ]2, 3[ x ], 2[ y ]2, 3[ x ], 2[ y ]2, 3[ x ], 2[ y ]2, 3[ 7. (x y) 2 avec x, y [, ]. Exercice On considère l équation suivante notée (E). (x 2 + 2x 24)(2x 2 3x + 5) = Soient S l ensemble des solutions de (E) et A et B les ensembles des solutions des équations x 2 + 2x 24 = et 2x 2 3x + 5 =. Dire quelle proposition est correcte : S = A B ou S = A B. Exercice 2 Résoudre dans R les équations suivantes.. 3x 2 + 4x + 3 = 4x 2 3x x x + 2 = x. 2x x 4 = x + x. 4. x + x 2 = x x 3 + 4x 2 5x =. 6. (x )(x 2 + 2x + 2) = x. Exercice 3 Résoudre dans R les inéquations suivantes :. 2x 2 3x + 4 < 4x 2 + 2x x x + 2 <. 3. 2x 3 5x 2 + 3x. 4. (x + 2)(x 2 3x + 9) > x x > x. 6. x 2 < x. 7. x 3 + 2x x + 3 x + 5 x +. 4

6 9. x 2 2x + 3 x. x > 2 x. x 3 > 2x + Exercice 4. Le prix de vente d un article subit une baisse de 2% pendant les soldes. Les soldes terminés, il revient à son prix d origine. Quel est le pourcentage de l augmentation? 2. La TVA sur un produit passe de 5% à 2%. Quelle est le pourcentage d augmentation du prix total du produit? 3. Un épargnant place son argent sur un livret qui lui rapporte 3% par an. Après ans, quel sera le pourcentage d augmentation de son épargne? Exercice 5 Montrer que pour tout x R +, 2x + 5 x + 2 est plus près de 5 que x ne l est. 5

7 Chapitre B Fonctions et dérivation Exercice Pour chacune des fonctions R R suivantes, donner son ensemble de définition, son ensemble image, l image de et l ensemble des antécédents de. a : x 2x b : x x 4 c : x x 3 d : x cos(x) f : x 2 cos(x) g : x x + h : x ln(x) i : x e x j : x ln(x 2 ). Exercice 2 Pour chacune des fonctions R R suivantes, déterminer sa monotonie (est-elle croissante? décroissante? strictement?). a : x πx 2 b : x x c : x x 3 d : x x f : x 2 sin(x) g : x tan(x) h : x ln(x) i : x e x j : x ln(x 2 ). Exercice 3 En mimant la définition de l arctangente, définir des fonctions arccos et arcsin. Exercice 4 Simplifier quand c est possible les expressions suivantes.. e 2 e 3 2. e 2 + e 3 3. ln(2) ln(3) 4. ln(2) + ln(3) 5. e (e2 ) 6. (e e ) (32 ) 8. ( 2 3) 2 9. log 3 (5 3 ). log 3 (3 5 ). log 2 (24) 2. log 2 (log 2 (256)). Exercice 5 Etudier la dérivabilité en et, s il existe, calculer le nombre dérivé en des 6

8 fonctions suivantes : f(x) = x sin g(x) = x ( ) x et f() = h(x) = x 3 k(x) = e x 2 et g() = Exercice 6 Calculer les dérivées des fonctions données par les expressions suivantes. a(x) = sin(2x + ) b(x) = 4e 5x+ c(x) = x d(x) = cos x f(x) = 3x + x + g(x) = x 2 x + 2 h(x) = sin(x 2 ) i(x) = (sin x) 2 j(x) = + tan x ( ) 2 + 2x k(x) = l(x) = tan(2x + 3) m(x) = 3e 3x2 x n(x) = ln(3x 2 ). Exercice 7 Donner une estimation de y, avec une imprécision calculée au premier ordre, dans chacun des cas suivants. y = 2 x avec x = ±, y = 2 x avec x = 6 ±, y = log ( + x 2 ) avec x = ±, y = log ( + x 2 ) avec x = ±, y = + x x avec x = 2 ±, 3 y = x avec x = 4 ±, Exercice 8 Calculer les fonctions dérivées des fonctions données par les expressions suivantes : a(x) = sin(cos x) b(x) = cos(sin x) c(x) = ln(x 2 ) d(x) = ln (ln(x)) ( ) x 2 h(x) = sin cos(x 2 ) f(x) = ax + b cx + d i(x) = e ex g(x) = + (tan x) 2 Exercice 9 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer si elle admet un minimum et si oui, en quel point (on donnera le domaine de définition de la fonction). a : x x 2 + 3x b : x x 2 c : x x 2 ln(x) 7

9 Exercice Calculer les fonctions dérivées des fonctions données par les expressions suivantes : f(x) = arctan(2x + 3) g(x) = arctan(x 2 ) h(x) = arctan x Exercice Calculer f en fonction de g dans les différents cas suivants (où a, b sont des constantes réelles) : f(x) = g(ax + b) f(x) = g(x + g(a)) f(x) = g(a + g(x)) f(x) = g(x + g(x)) Exercice 2 Soit la f fonction définie par f(x) = 3x2 + ax + b x 2. + Soit C la courbe représentative de f.. Déterminer le domaine de définition de f. 2. Déterminer a et b pour que la droite d équation y = 4x + 3 soit tangente à C au point I de coordonées (, 3). Exercice 3 Calculer les dérivées premières et secondes des fonctions données par les expressions suivantes : a(x) = cos(2x) b(x) = tan x 2 c(x) = ln(2x + ) d(x) = e x2 3 f(x) = x 2 6x + 5 g(x) = 2x + 3x 2 h(x) = sin(ax + b) où a, b R Exercice 4 Parmi tous les rectangles de périmètre 3 cm, déterminer celui qui a la plus grande aire. Exercice 5 Pour tout entier naturel n, déterminer la dérivée n-ième des fonctions données par les expressions suivantes : f(x) = 4x 3 + x g(x) = e 2x h(x) = x Exercice 6 Un camion toupie appartenant à une entreprise de travaux publics ravitaille en béton un chantier en empruntant toujours le même trajet qui mesure aller-retour 5 km. Le prix d un litre de gazole est de, 3 e. Le chauffeur du camion est payé (toutes charges comprises) 3 e de l heure. La consommation c du véhicule, exprimée en litres de gasoil par heure, est une fonction de la vitesse moyenne v du camion donnée par c(v) = 6 + v2, 8

10 v étant exprimée en km par heure.. (a) Si la vitesse moyenne v du camion est de 5 km par heure, calculer le coût de revient d un trajet. (b) Plus généralement, exprimer en fonction de v le coût de revient d un trajet. Vérifier le résultat du a). 2. Etudier les variations de la fonction f définie pour x [4, ] par f(x) =, 95x x. 3. Trouver la vitesse moyenne v pour que le coût d u trajet soit minimal. Quel est alors ce coût? Exercice 7 Calculer les dérivées partielles premières des fonctions données par les expressions suivantes. a(x, y) = x 3 y + 5xy 6x + 8y 6 b(x, y) = cos(xy) c(x, y) = ln(5x + 8xy) d(x, y) = 7e x2 y+7xy 3 f(x, y) = 5x xy 2 h(x, y, z) = xyz + x 2 z + z 3 y l(x, y, z) = sin(xy + yz + xz). g(x, y) = arctan k(x, y, z) = ze xy ( ) x y Exercice 8 Déterminer les points critiques des fonctions données par les expressions suivantes (on pourra discuter leur domaines de définition). a(x, y) = (x ) 2 + (y 2) 2 c(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) b(x, y) = xy d(x, y) = e x y Exercice 9 Donner une estimation de y, avec une imprécision calculée au premier ordre, dans chacun des cas suivants. y = ax avec x = ±,, a =, 5 ±, 2 y = x b avec x = ±,, b = 2 ±, y = a + x avec x = 2 ±, 3, a x a = ±, Exercice 2 Résoudre les systèmes suivants en (x, y) R 2 : { x + y = 55 (A) : (B) : ln x + ln y = ln 7 { ln(x 2) + 3 ln(y ) = 9 (C) : (D) : 2 ln(x 2) ln(y ) = 4 { ln(xy) = 4 ln x ln y = 2 { e x.e 2y = e x+2.e y = e 9

11 Exercice 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes : (a) : e 3x = (b) : e 2x 4e x + 3 = (c) : e x + e x = 2 (d) : e 2x > 3 (e) : e +ln x < 2 (f) : e 3x 2e 2x 8e x > Exercice 22 On évalue l acidité (ou la basicité) d une solution en mesurant son ph (potentiel d hydrogène), donc en évaluant sa concentration en ions H 3 O + le ph d une solution est en effet défini par : ph = log[h 3 O + ] (où [H 3 O + ] est le nombre d ions H 3 O + par litre de solutions.). On admet qu à 25 degrés : [H 3 O + ][OH ] = 4 (produit ionique de l eau). Dans la suite, on suppose que les mesures sont faites à cette température.. Une solution de soude contient 2 moles d ions OH par litre. Quel est son ph? 2. Dans l eau pure, on trouve le même nombre de moles d ions OH que d ions H 3 O + par litre. Quel est son ph? 3. Une solution est acide si elle contient plus de moles d ions H 3 O + que d ions OH, et basique dans le cas contraire. Indiquer les inégalités que vérifient le ph d une solution acide et le ph d une solution basique. Exercice 23 On suppose que dans une expérience de migration cellulaire, la relation entre la distance moyenne de déplacement d d une cellule et le temps écoulé t est donnée par le modèle d = αt β. Donner un changement de variables D = f(d), T = g(t) permettant de mettre cette relation sous une forme linéaire D = a + bt et exprimer a, b en fonction de α, β. 2. On suppose qu après mesures, on obtient les estimations suivantes : a =, 34 ±, 2 et b =, 76 ±, Donner des estimations de α et β, avec imprécisions du premier ordre. 3. Déterminer une estimation de d en fonction d estimations en supposant α, β, t >. α = α ± δα β = β ± δβ t = t ± t Exercice 24 On suppose que dans une expérience, les deux grandeurs d intérêt x, y sont reliées par y = a x b x où a, b sont deux paramètres inconnus différents.. calculer en fonction de x et en déduire un changement de variable y Y = f(y), X = g(x) permettant d écrire la relation ci-dessous sous la forme Y = αx + β.

12 2. Exprimer a et b en fonction des coefficients α, β de la relation linéaire obtenue à la question précédente. 3. Donner des estimations sur a et b en fonctions d estimations α = α ± dα β = β ± dβ. Calculer numériquement ces estimations en supposant α = 3, ±, 2, β =, 8 ±,. 4. Donner une estimation approchée de y en supposant de plus x =, 2±, 2.

13 Chapitre C Intégration Exercice. Les fonctions données par f(x) = 5x2 7x + 9 3x et g(x) = 5x2 6x + 2 3x sont-elles des primitives de la même fonction sur I = [, + [? 2. La fonction F (x) = x2 + x 4 x 2 + 3x f(x) = 4x2 + x + (x 2 + 3x ) 2 sur I = [, + [? est-elle une primitive de la fonction Exercice 2 Donner une primitive des fonctions données par les formules suivantes sur un intervalle I que l on précisera.. f(x) = x 4 5x 3 x 2. f(x) = 3/x 2 3. f(x) = (x + ) 3 4. f(x) = 4x(x 2 + 3) 2 4x 2 5. f(x) = (x 3 + 8) 3 6. f(x) = 7. f(x) = 3 4x 2x x2 8. f(x) = sin x cos x 9. f(x) = (sin 2 x 3 sin x+8) cos x. f(x) = sin x cos 4 x. f(x) = /(4x ) 2. f(x) = 2x + x 2 + x 2 3. f(x) = ln x x 4. f(x) = tan x 5. f(x) = 6. f(x) = e 3x+5 sin x + cos x sin x cos x 7. f(x) = (x 3 + )e x4 +4x+. Exercice 3 Calculer les intégrales suivantes. I = I 3 = t 2 dt I 2 = dt t 5 I 4 = 3 3 (4t 2 5t )dt dt + t 2

14 Exercice 4. Calculer l aire de la partie D du plan comprise entre la parabole d équation y = x 2 et la droite d équation y = 3 2x. 2. Calculer l aire de la partie D du plan comprise entre la parabole d équation y = x 2 et la parabole d équation y = x 2 + 4x + 8. Exercice 5 On s intéresse, pour tout A >, à l intégrale qui apparaît en statistique. G(A) = A A e t2 dt. Montrer que pour tout A, on a G(A) 2A. 2. Comparer, en fonction de t, les expressions e t et e t2 et le nombre. 3. Donner une inégalité entre A e t2 dt et A e t dt. 4. En utilisant la relation de Chasles, déduire de ce qui précède une majoration de G(A) en fonction de A. 5. Montrer que G est une fonction croissante. 6. Montrer que G(A) a une limite finie quand A +. Exercice 6 Montrer que C(A) = A A + t 4 dt a une limite finie quand A +. On pourra s inspirer de l exercice 5. Exercice 7 On cherche à estimer le comportement en + de la primitive de t sin t qui s annule en.. Dessiner le graphe de t sin t. 2. En utilisant que sin t, donner pour tout t une majoration de F (t) = t sin x dx. 3. En admettant que pour tout t [, π 2 ], sin t 2 π t, donner une minoration de F (t). Montrer que F (t) + quand t +. Exercice 8 En faisant une intégration par partie, calculer une primitive de x cos 2 (x). En déduire la valeur des intégrales π cos 2 (x) dx cos 2 (x) dx π sin 2 (x) dx Exercice 9. Soit la fonction f définie par f(x) = x2 + (x 2 ) 2. 3

15 (a) Trouver des réels a et b tels que, pour tout x différent de et de, on ait a f(x) = (x ) 2 + b (x + ) 2. (b) En déduire une primitive de f sur ], + [. 2. Soit la fonction g définie sur ], + [ par g(x) = x(x 2 ). (a) Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x ], + [, Calculer G(x) = x g(x) = a x + (b) Calculer pour x >, H(x) = g(t) dt pour x >. x 2 b x + + c x. t ln t (t 2 ) 2 dt. Déterminer lim (on pourra utiliser que pour x >, ln(x 2 ) = 2 ln x+ln x + H(x) ( x 2 ) ). Exercice. Sans chercher à les calculer, préciser quelle est la plus grande des intégrales dans les cas suivants. (a) I = + x dx et J = ( + x/2) dx. (b) I = x 2 sin x dx et J = x sin 2 x dx. 2. Sans chercher à calculer les intégrales, démontrer les encadrements proposés. (a) 2 3 dx. 2 + x x 2 2 2π + 3 cos x dx 2π 7. (b) 2π 3 3. Montrer que pour tout t, t + t t + t2, puis en déduire que, pour tout x, x x2 2 ln( + x) x x2 2 + x3 3. Exercice En intégrant par partie, calculer les intégrales suivantes. A = D = π 2e (x ) sin 3x dx B = x ln x 3 dx E = e ln 3 x 2 ln x dx C = xe x dx F = e e ln 2 ln x dx x 2 e x dx. 4

16 Exercice 2 En intégrant par partie, trouver les primitives de fonctions définies par les expressions suivantes. a(t) = ln(t) b(t) = t ln t c(t) = cos t ln( + cos(t)) d(t) = t 2 e t f(t) = (t 3 )e 2t g(t) = arctan(t) h(t) = tan 2 (t) i(t) = t cos(2t) j(t) = sin(t)e 2t k(t) = t arctan 2 (t) l(t) = t tan 2 (t) m(t) = te t sin(t) Exercice 3. On pose I = π/2 (a) Calculer I + J. x 2 cos 2 x dx et J = π/2 x 2 sin 2 x dx. (b) Calculer I J (en intégrant par parties par exemple). (c) En déduire I et J. 2. Soit l intégrale I n = x n e x dx pour tout n N. (a) En intégrant par parties, calculer I, I 2. (b) En intégrant par parties, trouver une relation entre I n+ et I n. (c) En déduire la valeur de I Pour n N, on pose I n = (n+)π nπ e x sin x dx. (a) Calculer I n à l aide de deux intégration par parties. (b) Démontrer que la suite (I n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 4. Soit I = 3π/4 π/4 e x cos x dx. À l aide de deux intégration par parties, former une équation dont I est solution. En déduire I. Exercice 4 Au moyen du changement de variable indiqué, calculer les intégrales suivantes π/4 π/8 sin t dt avec u = cos t. 2 + cos t 2 e t + e t dt avec u = et. t + t dt avec u = + t. Indication : dt avec u = tan t. sin 2t 2 x 2 = x x +. 5

17 Exercice 5 Au moyen d un changement de variables, calculer les primitives des fonctions définies par les expressions suivantes. a(t) = (2t ) 4 b(t) = t d(t) = t ln 2 t f(t) = sin t + cos 2 (t) c(t) = cos t t g(t) = et + e t Exercice 6 Calculer les intégrales et primitives suivantes.. /2 t 2 dt (mettre la fraction sous la forme A t + + B t ) t t 2 + 3t + 2 dt (mettre la fraction sous la forme A t + + B t + 2. t 3 + 4t 2 9 dt t 3 dt t 2 t t(t 2 + ) dt (mettre la fraction sous la forme P (t) + A 2t 3 + B où P est un polynôme). 2t + 3 (mettre la fraction sous la forme A t + Bt + C t 2 + t + ). Bt + C (mettre la fraction sous la forme At + t 2 + ). 6t 2 t At + B (4t 2 dt (mettre la fraction sous la forme + )(t ) 4t C t ). 2t 2 t + 5 (t 2)(t + ) 2 dt. 3t 2 + t + (t )(t 2 + t + 2) dt t (t )(t 2 + ) 2 dt. t 6 (t 2 + ) 2 (t + ) 2 dt 2t + (t 2) 3 (t ) dt Exercice 7. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout t R \ {, }, t t(t + ) = a t + b t +, 6

18 t puis calculer dt (sur ], + [). t(t + ) 2. A l aide d un changement de variable, en déduire (sur R) e t e t + dt. Exercice 8 On fixe un nombre r > et on considère la fonction f : [ r, r] R x r 2 x 2. Calculer f(x) 2 + x 2 pour tout x [ r, r], et en déduire quel objet géométrique correspond au graphe de f. 2. En faisant un changement de variable x = r cos u et en utilisant un exercice précédent, calculer r r f(x) dx 3. Quel théorème de géométrie peut-on déduire des deux questions précédentes? Exercice 9 Le but de cet exercice est de chercher une valeur approchée de I = /2 e x x dx sans chercher une primitive de la fonction f(x) = e x x.. En étudiant les variations de f, démontrer que pour tout réel x [, /2], on a () f(x) 2 e. 2. Démontrer que pour tout x [, /2], En déduire que 3. Calculer J = I = /2 4. Déduire de () que /2 x = + x + x2 x. ( + x)e x dx + ( + x)e x dx. /24 /2 /2 x 2 f(x)dx. x 2 f(x)dx 2 e. 5. Déduire des questions précédentes une valeur décimale approchée de I à la précision,. 7

19 Chapitre D Equations différentielles Exercice Résoudre les équations suivantes (entre parenthéses, une condition initiale).. 2u u = 2. u + 3u = (u() = 2) 3. u (t) = u(t) + t u (t) u(t) = t 2 + 3t 5. u (t) = 4u(t) e t (u() = ) 6. u (t) 2u(t) = e t cos t (u( π 4 ) = ) 7. u (t) 3u(t) = 4 sin t 8. tu (t) = 9. 3u 2 = u 2. u (t)/u(t) = 5t. tu (t) = u(t) + 2. u (t) 2 t+u(t) = (t + )2 3. u (t) (αu(t))/t = (t + )/t 4. u (t) + ln(t)u(t) = Exercice 2 Résoudre l équation u (t) = e t y(t). Etudier, suivant la valeur de la constante d intégration, le comportement des solutions à l infini. Exercice 3 On considère sur ], + [ l équation ( ) y(t) tu (t) = 2t t + 2. Soit f une fonction définie sur ], + [ on définit F (t) = f(t)/t pour tout t ], + [.. Montrer que f est solution de (*) si et seulement si F (t) = /(t + 2) /t pour tout t ], + [. 2. En déduire les solutions de (*). Exercice 4 Résoudre les équations suivantes (entre parenthéses, une condition initiale). 8

20 . y = y (y() = ) 2. y = y 3 (y() = ) 3. y (t) = ty(t) 3 4. y (t) = 3y(t) t 5. y = cos(t) y 2 6. y (t) = +y(t)2 e t 7. y (t) = t 2 (y(t) 2 3y(t) + 2) 8. y (t) = e y(t) t 9. y (t) = cos(t) cos(y(t)) (y() = ) Exercice 5 (Refroidissement d un solide) Un solide dont la température est de 7 degrés est placé dans une pièce dont la température est de 2 degrés. Les dimensions du solide sont très faibles par rapport à celles de la pièce. On désigne par θ(t) la température du solide à l instant t (l unité de temps étant la minute, celle de température le degré Celsius). La loi de refroidissement d un corps, c est à dire l expression de θ en fonction de t est la suivante : la vitesse de refroidissement θ (t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et la température ambiante.. Sachant qu au bout de 5 minutes, la température du solide est de 6 degrés, déterminer θ (rappel : θ() = 7). 2. Quelle est la température du solide au bout de 2 minutes? 3. Tracer le graphe de θ. 4. La température de la pièce peut-elle atteindre celle de la pièce? Qu en conclure? Exercice 6 (Température d un bloc de céramique) Un bloc de céramique est mis dans un four dont la température constante est de degrés. Les variations de température x du bloc en fonction du temps t sont données par l équation différentielle suivante (k est une constante et x est exprimé en C) x = k( x).. Résoudre cette équation. 2. Le bloc initialement à température 4 degrés est mis dans le four au temps t =. Si la température du bloc au temps t = est de 6 degrés, quelle est sa température au temps t = 3? Exercice 7 (Demi-vie du radium) L atome de radium, en se désintégrant, donne de l hélium et une émanantion gazeuse, le radon, elle-même radioactive. La masse m(t) d un échantillon de radium est une fonction décroissante du temps (l unité est l année). La vitesse de désintégration m (t) est proportionnelle à la masse de l échantillon à l instant t : m = km (k constante réelle).. Résoudre cette équation. 2. On observe que la masse de radium diminue de, 43 pour cent par an. Déterminer k. 3. Montrer qu il existe T tel que, pour tout t R +, m(t + T ) = (/2)m(t). Le nombre T s appelle période du radium. 9

21 Exercice 8 (Évolution de la glycémie). Résoudre l équation différentielle u + ku = (D.) où k est une constante réelle. Préciser la solution particulière u correspondant à la condition initiale u () = Deux chercheurs ont constaté qu après une injection intraveineuse de glucose, la glycémie (taux de glucose dans le sang) décroit à partir d un certain instant choisi comme origine des temps selon la loi g + Kg = (D.2) où g représente la fonction glycémique dépendant du temps t > et K une constante strictement positive appelée coefficient d assimilation glucidique. (a) Trouver l expression de g(t) à l instant t sachant qu à t =, g() = 2. Etudier et représenter g. Déterminer en fonction de K l abscisse T du point d intersection de la tangente à la courbe au point M(, 2) avec l axe du temps. (b) Trouver la formule donnant le coefficient K en fonction de g = g(t ), g étant le taux de glycémie à l instant t donné et positif. (c) La valeur moyenne de K chez un sujet normal varie de, 6. 2 à 2, Préciser si les résultats du sujet X qui a un taux de glycémie g =, 2 à l instant t = 3 sont normaux. Exercice 9 (Datation au carbone 4). Le carbone contenu dans la matière vivante contient une infime proportion d isotope radioactif C 4. Ce carbone radioactif provient du rayonnement cosmique de la haute atmosphère. Grâce à un processus d échange complexe, toute matière vivante maintient une proportion constante de C 4 dans son carbone total, essentiellement constitué de l isotope stable C 2. Après la mort, les échanges cessent et la quantité de carbone radio-actif diminue : elle perd /8 de sa masse chaque année. Cela permet de déterminer la date de la mort d un individu. Ainsi, des fragments de squelette humain de type Néanderthal sont retrouvés dans une caverne en Palestine. L analyse montre que la proportion de C 4 n est que de 6, 24 pour cent de ce qu elle serait dans les os d un être vivant. Quand cet individu a-t-il vécu? Supposons une imprécision de ±, 43 sur ce pourcentage. Quelle imprécision en résulte sur l âge de l individu? 2. Quelle est la demi-vie du carbone C 4 (c est à dire le temps au bout duquel la moitié du carbone C 4 est desintégrée)? 3. En construisant une voie ferrée à Cro-Magnon en 868, on découvrit des restes humains dans une caverne. Philip van Doren, dans son livre Prehistoric Europe, from Stone Age to the early greeks, estime que cet homme vivait entre 3 et 2 ans avant JC. Dans quelle fourchette se situe le rapport entre la proportion de C 4 présent dans ce squelette et celui des os d un être vivant? 2

22 Exercice (Évolution d une population de punaises) Une population de punaises vivant sur une surface plane se rassemble en une colonie ayant la forme d une disque. Le taux d accroisement naturel des punaises est r de plus, les punaises situés à la périphérie souffrent du froid et ont un taux de mortalité supérieur. Si N est le nombre total de punaises, le nombre de celles de la périphérie est proportionnnelle à N. On trouve donc que la population N vérifie l équation N = r N r 2 N. Dessiner quelques solutions de cette équation. Y a-t-il un état d équilibre, c est à dire une solution constante? Exercice (Nutriments dans une cellule) Des nutriments entrent dans une cellule à la vitesse constante de R molécules par unité de temps et en sortent proportionnellement à la concentration : si N est la concentration à l instant t, le processus ci-dessus peut s exprimer par l équation dn dt = R KN. Résoudre cette équation. La concentration va-t-elle tendre vers un équilibre? Lequel? 2